Transformasi Balikan

Transformasi Balikan

Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asal V dan daerah hasilnya juga V. Jika g sebuah garis dan Mg refleksi pada garis

g, maka MgMg

( )

P =P. Kita tulis juga M g

( )

P =P

2

. Jadi M2 adalah suatu transformasi

yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi yang demikian dinamakan transformasi Identitas, dilambangkan dengan huruf I. Jadi I

( )

P =P,∀P.

Apakah I memang benar suatu transformasi?

Apakah I injektif?

Untuk menunjukkan I injektif ditunjukkan ∀x₁,x₂∈V,x₁ ≠x₂ ⇒I(x₁)≠I(x₂). Bukti:

Ambil x₁,x₂ ∈V dengan x₁ ≠x₂.

Menurut definisi identitas, x1∈V ⇒I(x1)=x1 2 2 2 V I(x ) x x ∈ ⇒ = Karena x1≠x2 maka I(x1)≠ I(x2) Jadi, I injektif.
Apakah I surjektif?

Untuk menunjukkan I surjektif, ditunjukkan ∃x∈V ∋I(x)=x Bukti:

Akan dibuktikan ∃y'∈V ∋ I(y)= y'

Ambil y'∈V, menurut definisi identitas jika y∈V makaI(y)= y'= y Sehingga ∀y'∈V∃y∈V ∋ y'= I(y)= y. Jadi y'= y.

Jadi, I surjektif.

Benar bahwa I suatu transformasi.

Karena I transformasi, T trasnformasi, berlaku sifat berikut:

( )

P IT

( )

P I

[

T

( )

p

]

T

( )

P P TI = = = ,∀ Jadi TI =T

( )

P I

[

T

( )

P

]

T

( )

P P IT = = ,∀ Jadi IT =T , sehingga TI = IT =T

Dengan demikian, transformasi identitas I berperan sebagai bilangan I dalam himpunan transformasi dengan operasi perkalian antara transformasi-transformasi.

Dalam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap

0

≠

x ada balikan x−1 sehingga xx−1 =x−1x=1. Demikian juga dalam transformasi, jika terdapat dua transformasi misal T dan Q, yang hasil kalinya adalah I (transformasi

identitas) ditulis TQ=QT =I . Transformasi balikan dari T ditulis sebagai −1

T sehingga TT−1 =T−1T = I

.

Teorema yang berkaitan dengan transformasi balikan: 1. Setiap transformasi T memiliki balikan.

Bukti:

Dipunyai T transformasi, akan dibuktikan T memiliki balikan. Misal balikan dari T adalah L, maka TL=LT =I

Oleh karena T suatu transformasi, maka T surjektif. Karena surjektif, ∀x∈V∃prapetaA∈V ∋T(A)= X Kita tentukan L

( )

X = A.

Kita punya T

( )

A =X . Karena L

( )

X = A, maka T

[

L

( )

X

]

= X Jadi L

( )

X adalah prapeta dari X .

Diperoleh T

[

L

( )

X

]

= X atau

( )( )

TL X = X.

Karena

( )( )

TL X =X maka menurut definisi identitas I

( )

X = X

( )( ) ( )

TL X =I X = X

Jadi, TL=I

Selanjutnya

( )( )

LT X =L

[

T

( )

X

]

Andaikan T

( )

X = B

Karena transformasi maka x∃ prapeta dari B dengan X =L

( )

B Jadi, karena T

( )

X = B, maka L

[

T(X)

]

= L

( )

B = X .

Jadi

( )( )

LT X = X = I

( )

X ,∀X∈V . Jadi, LT = I. Sehingga TL=LT =I.

Dari definisi L, jelas L suatu padanan yang surjektif. Selanjutnya akan dibuktikan L injektif.

Andaikan L

( ) ( )

X₁ =L X₂ dan andaikan pula T(A₁)= X₁,T(A₂)= X₂ dengan

( )

X1 A1

L = dan L

( )

X₂ = A₂

Karena T transformasi, dan jika A₁ = A₂ maka T(A₁)=T(A₂), sehingga kita peroleh

2

1 X

X = .

Jadi karena T transformasi dan L(X1)=L(X2) maka:

[

L(X1)

] [

T L(X2)

]

T =

( ) ( )

2 1 2 1 X X A T A T = ⇔ = ⇔

Jadi, L injektif. Sehingga L bijektif, maka L suatu transformasi.

Karena TL=LT =I, maka L merupakan balikan dari transformasi T yang dilambangkan dengan T . Jadi L = −1 T . −1

Contoh:

Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut:       + = ∀P xy F P x y 2 1 , 2 ) ( ), . ( danG(P)=(x−2,2y) Sehingga

( )( )

FG P =F

[

G(P)

] [

=F (x−2,2y)

]

=(x,y)=P Dan

( )( )

GF P G

[

F P

]

G x y _= x y =P      + = = ) ( , ) 2 1 , 2 ( ) ( Jadi

( )( ) ( )

FG P = GF (P)=P=I

( )

P,∀P Atau FG=GF =I

Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis G=F−1

2. Setiap transformasi hanya memiliki satu balikan. Bukti:

Andaikan T suatu transformasi dengan dua balikan S₁ danS₂.

dan karena S₂ balikan dari T, maka (TS₂)(P)=(S₂T)(P)=I(P),∀P Sehingga (TS₁)(P)=(TS₂)(P)

[

S₁(P)

] [

T S₂(P)

]

T =

⇔

Karena T transformasi maka S1(P)=S2(P),∀P.

Sehingga S1 =S2. Jadi balikan T adalah S1 =S2 =S.

Dengan kata lain transformasi T hanya memiliki satu balikan.

3. Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri Bukti:

Andaikan pencerminan pada garis g adalah M . _g

Andaikan Mg(X)=Y,X ∉gmaka Mg

[

Mg(X)

]

= X atau

( )

, )

)(

(M_gM_g X =I X ∀X∉g.jadi M_{g o}M_g =I.

Jika X∈gmaka M_g(X)= X sehingga M_g(X)=M_g

[

M_g(X)

]

atau M_{g o}M_g =I Jadi untuk setiap X diperoleh M_{g o}M_g =I.

Jadi M−1g =M_g.

Definisi : Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan suatu involusi.

Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan, yaitu

1 1

dan −

−

S

T . Komposisi transformasi, yaitu T o juga suatu transformasi. Jadi ada S balikan

(

T oS

)

−1

4. Apabila T dan S transformasi-transformasi, maka

(

)

−1 ₌ −1 −1 T S S To o . Bukti: Diketahui

(

ToS

)

−1o(ToS)= I. Tetapi

(

S−1_oT−1

)

_o

(

T_oS

)

=S−1_o

(

T−1_oT

)

_oS =S−1_oI_oS =S−1_oS =I. Oleh karena suatu transformasi hanya memiliki satu balikan, maka

(

)

−1 ₌ −1 −1

T S S

To o .

Jadi balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan – balikan transformasi dengan urutan yang terbalik.

Contoh:

Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g =

{

(x,y)y=x

}

dan

{

( , ) =0

}

= x y y

h .

Tentukan P sehingga (M_hM_g)(P)=R,dengan R = (2,7). Jawab :

Andaikan P=

( )

x,y .

Kita peroleh berturut-turut (M−1gM−1h)(M_hM_g)(P)=(M−1gM−1h)(R), Jadi P=M−1g

[

M−1h(R)

]

.

Oleh karena R=(2,7) dan M−1h =M_h, maka M−1h(R)=M_h(R)=(2,−7) sehingga

) 2 , 7 ( ) 7 , 2 ( ) 7 , 2 ( ) ( 1 1 1 − = − − = = − g g h gM R M M M sehingga P=(−7,2). Tugas:

Dalam tugas dibawah ini kita definisikan padanan-padanan sebagai berikut:

a) Apabila g sebuah garis. W adalah padanan yang didefinisikan untuk segala _g

titik P sebagai berikut:

Apabila P∈g maka W_g(P)=P

Apabila P∉g maka W_g(P)adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g.

b) Apabila g sebuah garis. V adalah padanan yang didefinisikan untuk semua _g

Apabila P∈g maka V_g(P)=P

Apabila P∉g maka Vg(P)=P' sehingga P titik tengah ruas garis tegak lurus dari 'P pada g.

c) Apabila A sebuah titik. UA adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut :

UntukP≠ A,U_A(P)=P1sehingga 1

P adalah titik tengah ruas garis PA . Untuk P= A,U_A(P)=P.

1. Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tentukan balikan transformasi–transformasi berikut:

a) W _g b) V _g c) M _g d) U_A

Penyelesaian:

Kasus 1 untuk A ∈ g

a) Menurut definisi identitas Jika A ∈ V maka I (A) = A

[

]

[

Wg A

]

A Wg A A Wg Wg A A I = ⇔ = ⇔ = ⇔ − − ) ( ) ( ) ( 1 1 Wg−1(A)= A Jadi, Wg−1(A)= A Kasus 2 untuk A ∉ g

Menurut definisi dari padanan Wg

Apabila A ∉ g maka Wg A A h A 2 1 2 1 )

( = ' = = dimana h adalah ruas garis tegak lurus dengan g dari A.

Diketahui W_g A A 2 1 ) ( = V_g(A)=2A Karena W_g A A 2 1 ) ( = V_g(A)=2A g h A A A Vg A1₌ ( )₌2

Maka W_g−1(A)=V_g(A) b) Kasus 1 untuk A ∈g

Menurut definisi identitas

Jika A ∈ V maka I (A) = A

A A Vg Vg A A Vg Vg = ⇔ = ⇔ − − )) ( ( ) )( ( 1 1 Vg−1(A)= A Untuk kasus 2, A ∉ g Menurut definisi identitas

Diketahui Wg A A 2 1 ) ( = Vg(A)=2A Karena W_g A A 2 1 ) ( = Vg(A)=2A Maka Vg 1(A)=Wg(A) − c) Kasus 1 untuk A ∈g

Menurut definisi pencerminan

Jika A ∈g, maka Mg(A) = A maka Mg−1(A)= A Untuk kasus 2, A ∉ g

Menurut definisi pencerminan

Jika A ∉ g, maka Mg(A)= A1 Menurut Teorema 6.3 1 ) (A A Mg = A A I = ⇔ ( )

(

)( )

A A Mg Mg A A MgMg = ⇔ = ⇔ )) ( ( 1 1 ) ( − ⇔ = ⇔ Mg A A Mg g h A A A Vg A1= ( )=2

d) Jika P= A jelas U_A(P)=P. Jadi balikan dari U_A adalah U_A.

Jika P≠ A maka U_A(P)=P' dimana P adalah titik tengah ruas garis PA ' Dari hipotesis ”Jika P∉G, 1

) (P P

V_g = , sehingga P adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari A pada g, dan misalkan A∈g, dan merupakan titik potong garis yang tegak lurus dengan g dan melalui titik P dan P , maka ' P

titik tengah ruas garis P'A. Jadi

V

_A balikan dari

U

_A. 2. Sederhanakanlah: a) 1 ) (M _gV_h − b) 1 ) (W_gV_g − c) 1 ) (W_gM _s − d) 1 ) (VgWs − e) 1 ) (M gM s − f) VsWg oWs 1 ) ( − Penyelesaian:

Menurut teorema apabila T dan S transformasi maka

(

)

−1₌ −1 −1

T S S T o o maka: a) (M_gV_h)−1=V_h−1M_g−1=W_hM_g b) M _gV_g −1 = V_g−1M _g−1 = W_gV_g ) ( c) M _gM _s −1 = M _s−1M _g−1 = M _sV_g ) ( d) (V_gW_s)−1 = W_s−1V_g−1 =V_sW_g e) M _gM _s −1 = M _s−1M _g−1 = M_sM _g ) ( f) (V_sW_g)−1oW_{s =} (M _g−1V_s−1)oW_{s =} (M _gW_s)oW_s

3. Andaikan g sebuah garis,

a. Apakah

W

g sebuah isometri?

b. Apakah

W

_g sebuah involusi ?

c. Apabila A, B dan C segaris (kolinear), apakah yang dapat katakana tentang peta-petanya ?

Penyelesaian:

a) Ambil sebarang tiga titik A,B,dan C dengan A≠B≠C dan A,B,C∉g

Karena A∉g maka '

) (A A

Wg = adalah titik tengah garis tegak lurus dari A

pada g.

Karena B∉g maka '

) (B B

W_g = adalah titik tengah garis tegak lurus dari

B

pada g.

Karena C∉g maka Wg(C)=C' adalah titik tengah garis tegak lurus dari C pada g.

b) Ambil sebarang titik A∉g. Karena A∉g maka '

) (A A

W_g = adalh titik tengah ruas garis tegak lurus dari A pada g. Ini berarti Wg(A') bukan merupakan balikan dari Wg( A)

Jadi W bukan suatu involusi. _g

c) Ambil tiga titik A,B,dan C yang segaris.

g AA A A W G A∉ g = ∋ ⊥ ' ' ) ( , dan AA' = A'r, g B B B W G B∉ _g = ' ∋ ' ⊥ ) ( , dan BB' =B'r, g CC C C W G C∉ , _g( )= ' ∋ ' ⊥ dan CC' =C'r, g AA' ⊥ g BB' ⊥ g CC' ⊥ Jadi AA'//BB'//CC'// atau Ap//Bq//Cr.

Sehingga AB= pq,dan BC =qr. Akibatnya ' '

B A

AB= dan BC =B'C'. Dapat disimpulkan jika A, B, dan C segaris maka W adalah sebuah isometri. _g

4. Diketahui garis g dan h yang berpotongan dan titik P dan Q tidak pada garis-garis tersebut. Lukislah:

a) R sehingga M_gM_h(R)=P. Penyelesaian: ) ( ) ( ) (R P M R M P M M_{g h} = ⇔ _h = _g

[

M (P)

]

M R= _{h g} ⇔ Q h P

( )

P M P'= _g g

( )

[

M P

]

M P R= ''= _{h g}

b) K sehingga W_hM_g(K)=Q Penyelesaian: ) ( ) ( ) (K Q M K W 1 Q M W_{h g} = ⇔ _g = _h−

[

( )

]

) ( ) ( Q V M K Q V K M h g h g = ⇔ = ⇔ c) E sehingga V_hW_g(E)=P Penyelesaian: ) ( ) ( ) (E P W E V 1 P W V_{h g} = ⇔ _g = _h−

[

]

[

( )

]

) ( ) ( ) ( 1 P W V E P W W E P W E W h g h g h g = ⇔ = ⇔ = ⇔ − d) D sehingga WhMg(D)=D Penyelesaian: ) ( ) ( ) (D D M D V D M Wh g = ⇔ g = h

[

V (D)

]

M D= _{g h} ⇔

Karena W_hW_g(D)= D=M_g

[

V_h(D)

]

berarti W_hM_g =M_gV_h =I (Transformasi Identitas). Q h P

( )

Q V Q'= _h g

( )

[

V Q

]

M Q K = ''= _{g h}

[

W (P)

]

V E= _{g h} ) ( ' W P P = _h Q h P g

Maka haruslah D terletak pada perpotongan antara garis g dan h.

5. Diketahui garis-garis g, h dan k dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut. Lukislah garis-garis: a) v sehingga W_h(v)=vdan A∈v b) u sehingga VgWh(u)=k c) z sehingga U_AV_h(z)= g v v ' R ' P ' Q R P Q z g ''= A ) ( ' V g g = A ' S S g h Q h P g D ' R ' P ' Q S' R P Q S g k h k'=Wg(k) v v

d) w sehingga W2g(w)=h

6. Diketahui titik-titik A(2,3),dan B(−2,9). a) Tentukan koordinat-koordinat U_A(B). Penyelesaian:

( )

0,6 2 3 9 3 , 2 2 2 2 2 , 2 ) ( =       − + − − + =       − + − + = B A A A B A A y y y x x x B U

Jadi, koordinat U_A(B) adalah (0,6).

b) Tentukan koordinat-koordinat U_A(P),dengan P(x,y).

Penyelesaian:       + + =       − + − + =       − + − + = 2 3 , 2 2 2 3 3 , 2 2 2 2 , 2 ) ( y x y x y y y x x x P U P A A A P A A

[

( )

]

) ( ) ( ) ( ) ( 2 h V V w h V w W h w W W h w W g = ⇔ _{g g} = ⇔ _g = _g ⇔ = _{g g} ) ( ' V h h= _g ' S S ' P P ' R ' Q R _Q

[

( )

]

'' w V V h h = = _{g g} g h

Jadi, koordinat UA(P) adalah       + + 2 3 , 2 2 y x

c) Apakah U_A sebuah isometri? Apakah U_A sebuah involusi?

Penyelesaian:

Ambil sembarang titik P(x₁,y₁)dan Q(x₂,y₂)

Jarak P ke Q adalah

(

) (

2 1

)

2 2 1 2 x y y x PQ= − + −       _{+ +} = = 2 3 , 2 2 ' ) ( x1 y1 P P U_A , dan       _{+ +} = = 2 3 , 2 2 ' ) ( x2 y2 Q Q U_A Sehingga jarak P’ ke Q’ adalah:

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 ' '       − +       − =       + − + +       + − + = x x y y x x y y Q P Ka

rena PQ≠ P'Q' maka U_A tidak mengawetkan jarak. Jadi, U_A bukan sebuah isometri.

Ambil sembarang titik P(x₁,y₁)

Jelas       + + = 2 3 , 2 2 ) ( x1 y1 P U_A Jelas             ₊ + + + =       + + = 2 2 3 3 , 2 2 2 2 2 3 , 2 2 ) ' ( 1 1 1 1 y x y x U P U_{A A}             + + = 2 2 6 , 2 2 4 1 1 y x

( )

x y y x , 4 6 , 4 4 1 1 _≠      + + =

Jadi, U_A bukan sebuah involusi.

d) Tentukan koordinat-koordinat U−1A(P)

Penyelesaian:

Andaikan U−1A(P)=(ax+c,by+d)

) , (ax c by d U_A + + ⇔ ) , ( 2 3 , 2 2 y x d by c ax ₌       + + + + ⇔ y d by x c ax = + + = + + ⇔ 2 3 dan 2 2 3 2 dan 2 2 − + = − = + ⇔ax c x by d y Jadi, koordinat U−1A(P)=(ax+c,by+d)=

(

(2x−2),(2y−3)

)

7. Apabila g =

{

(x,y)x=3

}

tentukanlah: a) Koordinat-koordinat Wg(P)untuk P(x,y) Penyelesaian: Jelas Wg(P)=Wg(x,y)=W{(x,y) x=3}(x,y) = _      − + p g p g y x x x , 2 =       − + x ,y 2 3 3 =       ₊ y x , 2 3

Jadi, koordinat Wg(P)untuk P(x,y)adalah 

     ₊ y x , 2 3 b) Koordinat-kordinat W−1g(P) Penyelesaian: Andaikan W−1g(P)=(ax+c,by+d) Jelas Wg

[

Wg p

]

= P − ) ( 1 ) , ( ) , (ax c by d x y W_g + + = ⇔ ) , ( , 2 3 y x d by b ax ₌       + + + ⇔ x b ax = + + ⇔ 2 3 dan by+d = y 3 2 − = + ⇔ax b x dan by+d =y Jadi, koordinat W−1g(P)= (ax+c,by+d)=(2x−3,y)

c) C dengan V_hW_g(C)=B apabila h sumbu Y dan B=(−1,6) Penyelesaian: Jelas V_hW_g(C)=B ⇔W_g(C)=W_b(B)⇔C =V_g

[

W_b(B)

]

⇔C =V_g

[

W_h(−1,6)

]

      − = ⇔ ,6 2 1 g V C ) 6 , 3 2 1 ( 2 ( − − = ⇔C ⇔C=(−4,6)

8. Apabila T, L, S transformasi-transformasi buktikan bahwa

( )

TLS −1 =S−1L−1T−1. Penyelesaian:

Menurut Teorema 6.4 : Apabila S dan T transformasi-transformasi, maka

( )

−1 ₌ −1 −1 oT S ToS Sehingga (TLS)−1= (TL(S))−1= S−1(TL)−1= S−1L−1T−1 9. Sederhanakanlah: a)

(

)

−1 g h gV M W b)

(

M hVhWgVg

)

−1 Penyelesaian: a).

(

W_gV_hM_g

)

−1 = W_gV_h M_g −1 = M_g−1 W_gV_h −1 = M_g−1V_h−1W_g−1 = M_gW_hV_g ) ( ) ) (( b).

(

M_hV_hW_gV_g

) (

−1=

(

M_hV_hW_g

)

V_g

)

−1=V_g−1

(

(

M_hV_h

)

W_g

)

−1=V_g−1W_g−1

(

M_hV_h

)

−1 h h g g h h g g M W V W M V W V = = −1 −1 −1 −1

10.Apabila A titik asal dan g =

{

(x,y)y=−2

}

tentukan koordinat-koordinat titik D sehingga U_AV_g(D)=(−3,4). Penyelesaian: Jelas U_AV_g(D)=(−3,4)⇔V_g(D)=V_A(−3,4)⇔ D=W_g

[

V_A(−3,4)

]

(

)

(

)

(

6,2

)

2 2 8 , 6 8 , 6 ) 4 .( 2 ), 3 .( 2 − = ⇔       − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ D D W D W D g g

11.Andaikan g =

{

(x,y)3x− y=6

}

dan h sumbu –Y. Apabila A titik asal, tentukan persamaan garis k sehingga V_hU_A(k)=g.

Penyelesaian:

Jelas V_hU_A(k)= g ⇔U_A(k)=W_h(g)⇔k =V_A

[

W_h(g)

]

Persamaan garis k yang melalui dua titik yaitu titik (2,0) dan (0,12) adalah:

2 0 2 0 12 0 1 2 1 1 2 1 − − = − − ⇔ − − = − − y x x x x x y y y y

(

)

12 6 2 2 12 + − = ⇔ − − = ⇔ x y x y

Jadi persamaan garis k adalah y =−6x+12 1 -12 y 0 ) (g Wh -6 2 x 6 3 − = x y

[

W (g)

]

V_{A h} h

12.Apabila g =

{

(x,y)y=x

}

tentukan:

a) Koordinat-koordinat titik W_g(A)dengan A=(6,2) Penyelesaian:

Jelas titik A = (6,2) akan memotong (tegak lurus) g di

sehingga koordinat adalah

b) Koordinat-koordinat titik W−1g(P)untuk P=(x,y)

Penyelesaian:

Koordinat-koordinat titik untuk P = (x,y)

Jelas titik P = (x,y) memotong (tegak lurus) garis g di

dan

Misal koordinat adalah

Jelas = P dan dan dan dan dan

13.Diketahui g //h. Titik A∈gdan B terletak di tengah-tengah antara g dan h. Jarak antara g dan h adalah 4 cm dan jarak antara proyeksi-proyeksi A dan B pada h

adalah 16 cm. Tentukan jarak terpendek jalur antara A dan B yang dipantulkan oleh h

g dan sebanyak tiga kali (A tidak dihitung).

14.Tentukan jarak dalam soal 13, apabila pemantulan itu adalah n kali.

15.Diketahui persegi panjang ABCD dan sebuah titik P di dalam ABCD yang terletak di tengah-tengah antara sisi-sisi AB dan DC; jarak antara P dan sisi AD adalah 1 cm. Panjang sisi AD = 1 cm dan panjang sisi DC = 4 cm.

a) Lukis jajargenjang dalam persegi panjang yang salah satu sisinya melalui P dan yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi-sisi persegi panjang itu.

b)Tentukan keliling paralellogram.