Sampling Process and Sampling Distribution Inference : Point and Interval Estimates. Pertemuan 2

Sampling Process and Sampling

Distribution

Inference : Point and Interval

Estimates

CAKUPAN MATERI:

Pemahaman tentang Sampling

Sampel Acak Sederhana (Simple Random Sampling

– SRS)

Estimasi Titik (Point Estimation)
Estimasi Titik (Point Estimation)

Distribusi Sampling untuk Rata-rata
Distribusi Sampling untuk Proporsi
Sifat Penaksir (estimator) Titik

Estimasi Interval (Interval Estimation)
Menguji ketepatan sampling

PENGANTAR

Populasi adalah seluruh obyek yang diteliti

Mengumpulkan informasi dari populasi

disebut sensus, dari sini diperoleh

parameter

parameter

Sampling



mengumpulkan informasi dari

sebagian unsur populasi diperoleh statistik

Sampling digunakan untuk menduga

INFERENSIA STATISTIK

Tujuan dari inferensia statistik adalah untuk

memperoleh informasi tentang populasi

berdasarkan informasi sampel.

Hasil dari sampel adalah nilai estimasi dari

Hasil dari sampel adalah nilai estimasi dari

karakteristik populasi.

Dengan metode sampling yang sesuai/tepat,

sampel yang terpilih adakan menghasil

estimator yang “baik” mengenai karakteristik

populasi.

INFERENSIA STATISTIK (L)

Inferensi Statistik meliputi:

1. Estimasi Parameter, terdiri dari:

Estimasi Titik (Point Estimation), yaitu suatu

nilai dari sampel sebagai estimator parameter nilai dari sampel sebagai estimator parameter

Estimasi Interval (Interval Estimation), yaitu

suatu interval yang dengan tingkat

kepercayaan tertentu memuat nilai parameter.

PENGGUNAAN SAMPLING

Pengujian produk

Dalam proses pemeriksaan / audit :

Pemilihan unit yang akan diperiksa

Pemilihan transaksi yang akan diperiksa

Pemilihan transaksi yang akan diperiksa

Pemilihan karyawan yang akan diinterview dalam

pengujian internal kontrol

Pengujian perilaku konsumen

Penelitian teoritis, sampel digunakan untuk membuat

Metode Sampling

Metode yang digunakan untuk mengambil

sampel dari populasi yang ada dua yaitu :

random sampling / probability sampling

non random sampling / judgment sampling

non random sampling / judgment sampling

Tidak ada cara yang terbaik

Cara yang cocok untuk pengambilan sampel

ditentukan oleh sifat-sifat populasi dan

ketrampilan peneliti

Random Sampel

Sampel random adalah sampel yang

probabilitas pemilihan masing-masing

unsur dalam populasi diketahui sebelum

unsur dalam populasi diketahui sebelum

pemilihan dan tidak sama dengan nol.

Simple random sampling

Systematic sampling

Stratified sampling

Cluster sampling

Simple Random Sampling

Suatu metode pemilihan sampel yang sedemikian rupa sehingga :

Setiap unsur dalam populasi mempunyai kesempatan yagn sama

untuk dipilih

Setiap ukuran sample (n) mempunyai kesempatan yagn sama

untuk dipilih. untuk dipilih.

Merupakan dasar statiska inferensia adalah Simple Random Sampling

Ilustrasi ada empat anak A, B, C, dan D. Jika diambil 2 anak untuk pergi berlibur maka kombinasi yang mungkin AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Setiap kemungkinan memiliki probabilita yang sama

Stratified Random Sampling

Populasi dibagi ke dalam kelompok (strata)

yang relatif homogen dan sampel dibentuk

dari masing-masing kelompok.

Pengelompokan dimaksudkan untuk

Pengelompokan dimaksudkan untuk

memperbaiki pendugaan ciri populasi

Contoh Auditor melakukan audit atas piutang.

Piutang dikelompokkan berdasarkan nilainya atau

kolektibilitas

Cluster Random Sampling

Ada dua tahap dalam random cluster

sampling

Memilih secara random kelompok (cluster) dari populasi

Semua elemen dari masing-masing kelompok
Semua elemen dari masing-masing kelompok

(atau hanya sebagian elemen dari masing-masing kelompok) diikutsertakan dalam sample

Cluster random sampling akan memberikan

ketepatan yang tinggi jika variasi dalam

kelompok lebih besar dibanding variasi antar

kelompok

Systematic Sampling

Elemen dipilih dari populasi pada satu interval

waktu atau urutan.

Persamaan denan simple random sampling

setiap elemen memiliki kemungkinan yang

setiap elemen memiliki kemungkinan yang

sama tetapi setiap ukuran sampel yang dipilih

tidak memiliki kesempatan yang sama untuk

dipilih.

Untuk menginterview pelanggan, dipilih dari

Non Random Sampling

Sampel yang didasarkan pada keahlian

seseorang tentang populasi.

Kualitas non random sample ditentukan ole

keahlian peneliti.

keahlian peneliti.

Tidak ditentukan berdasarkan teknik statistika

Sulit menduga secara obyektif karena

dipengaruhi oleh subyektifitas pengambil

sampel

SAMPEL ACAK SEDERHANA

(SIMPLE RANDOM SAMPLING – SRS)

1. Populasi Terbatas (Finite Population)

SRS untuk populasi terbatas berukuran N adalah

sampel yang dipilih sedemikian sehingga masing-masing kemungkinan sampel berukuran n

masing kemungkinan sampel berukuran n memiliki peluang yang sama untuk terpilih.

Ada 2 (dua) tipe, yaitu:

Dengan Pengembalian (with replacement

-WR)

Tanpa Pengembalian (without replacement

SAMPEL ACAK SEDERHANA

(SIMPLE RANDOM SAMPLING – SRS)

2. Populasi Tak Terbatas (Infinite Population)

SRS dari populasi tak terbatas merupakan

sampel yang dipilih sedemikian sehingga kondisi berikut terpenuhi:

berikut terpenuhi:

Masing-masing elemen dipilih dari populasi

yang sama

Setiap elemen dipilih secara bebas

Desain Penelitian

Perencanaan penelitian

Sampling hanya merupakan bagian dari keseluruhan desain penelitian

Fase-Fase dalam Desain Penelitian

Menetapkan tujuan
Menetapkan tujuan

Apa yang akan diukur untuk memenuhi tujuan yang diinginkan

Seberapa besar ukuran sampel
Melaksanakan penelitian

Analisis data

Seberapa keyakinan kita terhadap hasil penelitian
Sesuatu dapat ditelliti dengan berbagai cara

Sampling Distribution

Sampel memiliki atribut statistik

Populasi memiliki atribut parameter

Masing-masing kombinasi sampel memiliki nilai

statistik

Statistik merupakan suatu variabel random yang

Statistik merupakan suatu variabel random yang

memiliki distribusi probabilitas atau

statistic

stochastic variable

Distribusi sampling adalah distribusi probabilita

dengan statistik sampel sebagai variabel randomnya

Distribusi rata-rata sampel adalah semua

kemungkinan rata-rata dari sampel yang mungkin

sampling distribution of the mean

Sampling Distribution

Membentuk seluruh kombinasi sampel

kemudian menghitung rata-rata dan

standar deviasi  tidak mungkin,

melelahkan

melelahkan

Sampel digunakan untuk menduga

populasi

Seberapa kedekatan nilai statistik

DISTRIBUSI SAMPLING

UNTUK

Proses Inferensi Statistik

X

Population Population Population Population dg Rata dg Rata--ratarata

Sampel Acak sederhana Sampel Acak sederhana

berukuran n dipilih berukuran n dipilih dg Rata dg Rata--ratarata m m = ?= ? berukuran n dipilih berukuran n dipilih dari populasi. dari populasi. Data sampel Data sampel menghasilkan nilai menghasilkan nilai Nilai digunakan Nilai digunakan Untuk membuat Untuk membuat

x

DISTRIBUSI SAMPLING

µ

atau

Distribusi sampling untuk adalah distribusi

probabilita dari semua kemungkinan nilai rata-rata sampel .
Expected Value E( ) =

µ

atau

µ

=

µ

x

X

x x E( ) =

µ

atau

µ

_x =

µ

dimana

µ

= rata-rata populasi

Simpangan baku dari

Populasi Terbatas Populasi Tak terbatas

merupakan faktor koreksi x x 1 N n N ) n ( x − − = σ σ n x σ σ = ) n N ( −

DISTRIBUSI SAMPLING

Dari rumus dapat disimpulkan :

akan turun jika n bertambah

lebih kecil dibandingkan dengan ,kecuali jika seluruh

unsur populasi nilainya sama besar sehingga

x

σ

X

x

σ

σ

0

=

=

σ

σ

_x

unsur populasi nilainya sama besar sehingga

Dapat digunakan Tabel distribusi normal untuk

menghitung probabilita dari nilai sampel.

σ

µ

−

=

x

z

0

=

=

σ

σ

_x

DISTRIBUSI SAMPLING

Tabungan sebuah bank tersdistribusi secara normal

dengan rata-rata 2000 dan standar deviasi 600. Bank tersebut mengambil sampel. Sebuah sampel 100

tabungan nasabah bank dibentuk. Berapa probabilita rata-rata tabungan dari sampel tersebut antara 1900 dan 2050

X

rata tabungan dari sampel tersebut antara 1900 dan 2050

7492 , 0 2967 , 0 4525 , 0 2967 , 0 83 , 0 60 2000 2050 4525 , 0 67 , 1 60 2000 1900 100 600 = + = → = − = → − = − = = p z z σ

The Central Limit Theorem

Distribusi populasi berarti distribusi probabilitas dari

suatu variabel random

Populasi infinite yang memiliki distribusi normal akan

memiliki distribusi sampling rata-rata yang normal berapapun ukuran sampelnya.

memiliki distribusi sampling rata-rata yang normal berapapun ukuran sampelnya.

Jika n bertambah mendekati tak terhingga maka

distribusi sampling rata-rata akan semakin kecil

Distribusi populasi tidak normal distribusi sampling

rata-rata akan mendekati normal jika ukuran sampel cukup besar >30

The Central Limit Theorem

Rata-rata distribusi sampling rata-rata akan

sama dengan rata-rata populasi

Expected Value

E( ) =

µ

atau

µ

_x

=

µ

dimana

µ

= rata-rata populasi

Standard error atau Simpangan baku dari

Populasi Terbatas Populasi Tak terbatas

x n N ) ( x − − = σ σ n x σ σ =

STANDARD ERROR ATAU SAMPLING

ERROR

Sampling error merupakan perbedaan absolut antara

estimator tak bias (unbiased) dengan paramemter populasi.

Contoh sampling error:
Contoh sampling error:

untuk rata-rata sampel

untuk simpangan baku sampel untuk proportsi sampel

| x | −

µ

| p pˆ | − | s | −

σ

CONTOH 1

Suatu perusahaan ingin menduga penjualan per

bulan berdasar rata-rata sampel yang dilakukan selama 100 bulan. Misalkan rata-rata per bulan sebenarnya 5.650 dan standar deviasi 700

sebenarnya 5.650 dan standar deviasi 700

Berapa banyak bulan dari sampel tersebut akan

CONTOH 2

Dalam sampel yang terdiri 25 observasi dari populasi yagn

terdistribusi normal dengan rata-rata 98,6 dan standar deviasi 17,2.

Hitung probabilita rata-ratanya terletak antara 92 sampai

100 100

Bagaiman jika jumlah sampelnya 36?

Andi seorang kreditor di sebuah bank. Rata-rata tagihan kredit

nasabah per bulan 112 dan standar deviasi 56. Secara acak ia memilih 50 tagihan, berapa probabilita dari sampel yang terpilih rata-ratanya:

CONTOH 3

Dari populasi 125 item dengan rata-rata 105 dan standar deviasi

17,64. Jika diambil sampel 64 ?

Berapakan standar error dari rata-rata?

Berapa probabilita rata-ratanya antara 107,5 dan 109
Intan melakukan penelitian konsumsi kopi dari rumah tangga

tiap tahun. Diketahui distribusi populasi kopi normal dengan rata-rata tidak diketahui dan standar deviasi 1,25.

Jika diambil 36 rumah tangga sebagai sampel dan dhitung

komsumsi kopinya per tahun. Berapa probabilita rata-rata sampel setengah pound dari rata-rata populasinya.

Seberapa besar sampel harus diambil untuk memastikan bahwa

98% rata-rata sampel berada pada setengah pound rata-rata populasi.

PROPORSI

Rata-rata proporsi

Standar deviasi

p

p

=

µ

p

p

∑

−

=

2

)

(

µ

σ

Standar deviasi

Didekati dengan distribusi normal :

n

p p

∑

=

σ

p p p p

p

n

p

Z

σ

µ

σ

µ

±

−

=

−

=

(

1

/

2

)

BEDA RATA-RATA

Beda rata-rata

Standar deviasi

2 1 2 1 2 1 x x x x x x

µ

µ

µ

µ

µ

₋

=

−

=

−

2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 x x x n n x

σ

σ

σ

σ

σ

₋ = − = +

Standar deviasi

Didekati dengan distribusi normal :

2 1 2 1 2 1 x x x n n x − 2 1

)

(

)

(

_{1 2 1 2} x x

x

x

Z

−

−

−

−

=

σ

µ

µ

BEDA PROPORSI

Beda rata-rata

Standar deviasi

2 1 2 1 2 1 p p p

P

P

p −

=

µ

−

µ

=

−

µ

2 2 1 1 2 2 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 n P P n P P p p p p − + − = − = − σ σ σ

Standar deviasi

Didekati dengan distribusi normal :

2 1 2 1 2 1 p p p n n p − 2 1

)

(

)

(

_{1 2 1 2} p p

P

P

p

p

Z

−

−

−

−

=

σ

LATIHAN

Carilah probabilita bahwa rata-rata suatu sampel

random sebanyak 25 unsur dari suatu populasi yang didistribusikan normal dengan rata-rata 90 dan standar deviasi lebih besar dari 100?

Lima persen barang dalam gudang Pekanbaru cacat,
Lima persen barang dalam gudang Pekanbaru cacat,

sedangkan sepuluh persen dari gudang Dumai cacat. Bila diambil sampel random sebanyak 200 dari gudang Pekanbaru dan 300 dari gudang Dumai, berapa

probabilitas beda prosentase barang yang cacat dalam gudang Dumai 2% lebih besar dibandingkan dengan gudang Pekanbaru

Dengan menganggap probabilitas kelahiran bayi pria

ESTIMASI

Seberapa jauh parameter populasi yang tidak

diketahui berada di sekitar statistik sampel.

Estimasi merupakan suatu bagian statistik inferensia

yaitu pernyataan mengenai parameter populasi yagn yaitu pernyataan mengenai parameter populasi yagn tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel random sederhana yang diambil dari populasi

SIFAT PENAKSIR (ESTIMATOR)

Sebelum menggunakan suatu nilai sampel sebagai

estimator titik, perlu diperiksa apakah nilai sampel tersebut memenuhi sifat-sifat sebagai estimator yang baik, yaitu:

baik, yaitu:

a. Tak bias (Unbiased), yaitu jika nilai harapan dari

estimator sama dengan nilai parameter populasi yang diestimasi.

b. Efisien (Efficient), yaitu jika estimator tersebut

memiliki standar error (varian) yang paling kecil dibandingkan estimator tak bias yang lain.

SIFAT PENAKSIR (ESTIMATOR)

c. Konsisten (Consistent)

Suatu estimator dikatakan memiliki sifat

konsisten, apabila estimator tersebut cenderung mendekati nilai parameter populasi jika ukuran mendekati nilai parameter populasi jika ukuran sampel ditingkatkan (semakin besar).

Jika ukuran sampel ditambah tanpa batas

distribusi sampling penduga akan menjadi satu garis tegak lurus di atas paramater yang

ESTIMASI TITIK

(POINT ESTIMATION)

Dalam estimasi titik kita menggunakan data sampel

untuk menghitung suatu nilai statistik sebagai estimasi parameter populasi.

Contoh:
Contoh:

sebagai estimator titik dari rata-rata populasi, µ.
s sebagai estimator titik dari simpangan baku

populasi,

σ

.

sebagai estimator titik dari proporsi populasi, P.

x

POINT ESTIMATION

Rata-rata

n

x

x

=

∑

Standar deviasi

1

)

(

)

(

2 ₂ 2 2

−

−

=

→

−

=

∑

∑

n

x

x

s

bias

n

x

x

s

CONTOH

Sebuah bank berusaha untuk menentukan berapa

jumlah teller yang tersedia pada saat istirahat di hari Jumat. Untuk itu dilakukan pengamatan selama tiga bulan pada tiap hari jumat. Berikut data yang

bulan pada tiap hari jumat. Berikut data yang diperoleh :

242 275 289 306

342 385 279 245

269 305 294 328

ESTIMASI INTERVAL

(INTERVAL ESTIMATION)

Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi normal.

Varian populasi diketahui.

Misalkan variabel acak n observasi/sampel dari suatu populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan

varian σ2. Jika σ2 diketahui dan rata-rata sampel yang

varian σ2. Jika σ2 diketahui dan rata-rata sampel yang

diobservasi adalah maka interval kepercayaan 100(1 – α)% untuk rata-rata populasi adalah:

dimana memenuhi x n z x n z x − α 2σ < µ < + α 2σ 2 z_α ) z Z ( P > = α

ESTIMASI INTERVAL

(INTERVAL ESTIMATION) (L)

Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi: sampel

dengan ukuran besar

Misalnya n observasi/sampel dari suatu populasi dengan rata-rata µ. Maka jika n besar, interval

kepercayaan 100(1 – α)% untuk µ adalah:

kepercayaan 100(1 – α)% untuk µ adalah:

dimana s = simpangan baku sampel

Penafsiran ini secara khusus akan tetap sesuai walaupun distribusi populasi bukan normal.

n s z x n s z x − α 2 < µ < + α 2

DISTRIBUSI t

Kurva dari distribusi t memiliki bentuk mirip dengan

kurva normal, namun lebih runcing.

Ciri khusus: distribusi t tergantung pada suatu

parameter yang disebut derajat bebas (degrees of freedom).

freedom).

Jika derajat bebas meningkat maka perbedaan

distribusi t dengan distribusi normal baku semakin kecil.

Distribusi t dengan derajat bebas yang lebih besar

memiliki varian yang lebih kecil.

DISTRIBUSI t

Membaca Tabel Student’s t

Misalkan α = 0,05 dan n = 10, maka nilai tabel

t_n-1,α/2 = t_(10-1);0,025 = 2,262

Degrees Area in Upper Tail Degrees Area in Upper Tail

of Freedom .10 .05 .025 .01 .005 . . . . . . 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 . . . . . .

UKURAN SAMPEL UNTUK ESTIMASI

INTERVAL RATA-RATA POPULASI

Misalkan E = nilai sampling error maksimum yang

ditentukan.

E sering disebut sebagai batas kesalahan (margin of

error). maka sehingga n z E 2

σ

α = 2 2

)

z

(

n

=

α2

σ

ESTIMASI INTERVAL

(INTERVAL ESTIMATION) (L)

Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi normal:

varian populasi tidak diketahui

Misalnya n observasi dari variabel acak dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan varian

tidak diketahui. Interval kepercayaan 100(1-α)%

tidak diketahui. Interval kepercayaan 100(1-α)%

untuk rata-rata populasi adalah

dimana t_n-1,α/2 memenuhi

P(t_n-1 > t_n-1,α/2 ) = α/2

Variabel acak t_n-1 mempunyai distribusi student’s t

n s t x n s t x − n−1,α 2 x < µ < + n−1,α 2 x

ESTIMASI INTERVAL

(INTERVAL ESTIMATION) (L)

Interval kepercayaan untuk proprosi populasi

(sampel besar)

Jika menotasikan proporsi “sukses” dalam sampel acak dari n observasi suatu populasi dengan

proporsi sukses p. Maka, jika n besar, interval

pˆ

proporsi sukses p. Maka, jika n besar, interval

kepercayaan 100(1 – α)% untuk proporsi populasi

adalah dimana z_α/2 memenuhi n ) pˆ 1 ( pˆ z pˆ p n ) pˆ 1 ( pˆ z pˆ − _{α 2} x − x < < + _{α 2} x − x

UKURAN SAMPEL UNTUK

ESTIMASI INTERVAL PROPORSI

POPULASI

Misalkan E = nilai sampling error maksimum yang

ditentukan.

E sering disebut sebagai batas kesalahan (margin of

error). error). maka sehingga

n

)

p

1

(

p

z

E

2

−

=

α 2 2 E ) p 1 ( p ) z ( n = α2 −

CONTOH

ESTIMASI INTERVAL

1. Suatu proses memproduksi kantong-kantong gula. Berat kantong-kantong diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,2 ons. Suatu sampel 25 kantong diambil dan memiliki rata-rata 19,8 ons. Buatlah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata Buatlah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi berat kantong gula!

SOLUSI: α = 0,05 z_α/2 = 1,96 n z x n z x − α 2σ < µ < + α 2σ ) 2 , 1 )( 96 , 1 ( 8 , 19 ) 2 , 1 )( 96 , 1 ( 8 , 19 − < µ < +

CONTOH

ESTIMASI INTERVAL (L)

2. Sampel acak berukuran 172 mahasiswa akuntansi ditanya pendapat mereka ttg pentingnya suatu

pekerjaan dengan skala 1 (tidak penting) s.d. 5

(sangat penting). Ternyata diperoleh rata-rata nilai adalah 4,38 dengan standar deviasi 0,7. Buat selang adalah 4,38 dengan standar deviasi 0,7. Buat selang kepercayaan 99% untuk rata-rata populasi.

SOLUSI: α = 0,01 z_α/2 = 2,575 n s z x n s z x − α 2 < µ < + α 2 172 ) 7 , 0 )( 575 , 2 ( 38 , 4 172 ) 7 , 0 )( 575 , 2 ( 38 , 4 − < µ < + 52 , 4 24 , 4 < µ <

CONTOH

ESTIMASI INTERVAL (L)

3. Sampel acak berukuran 6 mobil dari suatu model tertentu memiliki konsumsi bahan bakar sbb (mil per galon):

18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20,5

Buat selang kepercayaan 90% untuk rata-rata konsumsi bahan bakar populasi.

SOLUSI: α = 0,10 t_n-1,α/2 = t_5;0,05 = 2,015 n s t x n s t x − n−1,α 2 < µ < + n−1,α 2 ) 98 , 0 )( 015 , 2 ( 48 , 19 ) 98 , 0 )( 015 , 2 ( 48 , 19 − < µ < +

CONTOH

ESTIMASI INTERVAL (L)

4. Sampel acak berukuran 344 pemilik perusahaan ditanya mengenai kebijakan perusahaan pada bagian pembelian barang jika diberi hadiah oleh pemasok. Ternyata, 83

menyatakan tidak ada kebijakan apapun. Buat selang

kepercayaan 90% untuk proporsi populasi yg menyatakan kepercayaan 90% untuk proporsi populasi yg menyatakan tidak ada kebijakan apapun berkenaan dg hal tersebut.

SOLUSI: α = 0,10 z_α/2 = 1,645 n ) pˆ 1 ( pˆ z pˆ p n ) pˆ 1 ( pˆ z pˆ x x 2 x x 2 − + < < − − _{α α} 344 ) 759 , 0 )( 241 , 0 ( 645 , 1 241 , 0 p 344 ) 759 , 0 )( 241 , 0 ( 645 , 1 241 , 0 − < < +

CONTOH

Suatu sampel random sebanyak 100

mahasiswa menghasilkan rata-rata berat

badan 60 kg dan standar deviasi 10. Jika

populasi 250

populasi 250

Buatlah interval keyakinan rata-rata populasi kalau digunakan tingkat keyakinan 90%

Berapa tingkat keyakinan digunakan agar rata-rata populasi terletak dalam interval 58-62