theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

1

NAMA :

KELAS :

2

BARISAN DAN DERET

Barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri.Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Contoh 1:

1, 3, 5, 7, 9, . . .

1, 2, 4, 8, 16, . . . contoh barisan 3, 5, 7, 9, . . .

Contoh 2:

1 + 3 + 5 +7+9+ . . .

1+2+4+8+16+ . . . contoh deret 3+5+7+9+ . . .

Perhatikan barisan berikut:

1.

1, 3, 5, 7, 9, . . . ., Un

Suku ke -

1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

. . .

. . .

n Rumus suku ke –n

= . . . 2.

1, 2, 4, 8, 16, . . .Un

Suku ke -

1 1

2 2

3 4

4 8

5 16

. . .

. . .

n Rumus suku ke –n

= . . .

Perhatikan setiap barisan berikut:

a. 1, 4, 7, 10, 13, . . .

b. 2, 8, 14, 20, . . .

c. 30, 25, 20 , 15, . . .

d. 2, 10, 18, 26, . . .

3

1. Barisan Aritmetika (BA) selisih/beda-nya sama

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un.

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah sama/tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).

Misalkan suku pertama = a, beda b, maka U1, U2, U3, ..., Un

a, a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b

Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah :

Keterangan:

Un = suku ke -n a = suku pertama b = beda/ selisih

Beda/selisih barisan aritmetika dapat diperoleh dari :

b = Un – Un-1

Contoh:

1. Tentukan rumus suku ke-n (Un) dan tentukan U15–nya dari barisan aritmetika: 1, 3, 5, 7, 9, . . !

2. Tentukan rumus suku ke-n (Un) dan tentukan U20–nya dari barisan aritmetika: 3, 5, 7, 9, . . !

3. Tentukan rumus suku ke-n (Un) dan tentukan U50–nya dari barisan aritmetika: 2,10,18,26, ... !

4. Diketahui barisan aritmetika: -2, 1, 4, 7, . . .,40. Ada berapa banyak suku yang ada pada barisan tersebut ( n- nya ada berapa)?

5. Suatu barisan aritmetika mempunyai suku ke-5 =25 dan suku ke-10=45, tentukan suku ke-20!

U

_n

= a+ (n -1)b

4

 Suku Tengah Barisan Aritmetika ( Uk)

Suku Tengah Barisan BA adalah suku barisan yang letaknya di tengah-tengah jika banyak sukunya ganjil.

Rumus suku tengah : Uk = (a + U2k - 1)

Contoh:

Diket: Barisan aritmetika 3, 5, 7, . . . , 95. Tentukan suku tengah barisan tersebut!

 Sisipan Barisan Aritmetika

Misalkan diberikan 2 bilangan x dan y (x ≠ y) kemudian di antara kedua bilangan tersebut disisipkan sebanyak k bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika.

x, . . . , y k bilangan

x, (x + b), (x + 2b), . . ., (x+kb), y bilangan-bilangan yang disisipkan

Mencari beda aritmetika tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:

y – (x+kb) = b y – x – kb = b kb + b = y – x (k+1) b = y – x

=

Jadi, rumus aritmetika-nya yang terbentuk untuk beda sisipan barisan aritmatika:

=

Keterangan:

b = beda sisipan barisan aritmatika y =suku terakhir

x = suku pertama

k = banyaknya bilangan yang disisipkan Contoh:

Di antara bilangan 1 dan 49 disisipkan 7 bilangan. Tentukan:

a. Beda dan rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut.

b. Nilai U5

a = suku pertama

U2k – 1 = suku terakhir

5

2. Deret Aritmetika (DA)/ Deret Hitung

Misalkan suatu Barisan Aritmetika: U1, U2, U3, U4, . . ., Un maka deret aritmetikanya: U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un

Sn adalah jumlah n suku pertama, maka S3 = U1 + U2 + U3

S20 = U1 + U2 + U3 + . . . + U20

Deret Aritmetika adalah bentuk penjumlahan barisan aritmetika. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah barisan aritmetika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmetika. Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn.

Sn = U1 +U2 + U3 + …,Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Contoh:

1. Diketahui barisan aritmetika 3, 5, 7, 9, . . . . Tentukan jumlah 50 suku pertama!

2. Dari suatu barisan aritmetika U

n

diketahui U

n

= 12 dan suku U

15

= 27. Tentukan jumlah 25 suku pertama dari barisan tersebut!

3. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 5!

4. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3!

Sn =

n



a n b



) 1 ( 2 2  

Sn =

( )

2 a Un n 

6

Mencari Un jika diketahui Sn

Contoh:

1.

Diketahui rumus umum jumlah n suku pertama suatu barisan aritmetika adalah Sn = 2n

²

- 3n + 5.

Tentukan suku ke-10!

2. Dalam suatu deret aritmetika diketahui U

3

= 8 dan U

10

= 29. Tentukan jumlah 5 suku pertama!

3. Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n (Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Dengan kata lain:

Syarat suatu barisan geometri :

1 3

4 2 3

1

2

...











n n

U U U

U U U U U

Misal :

 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

Rasionya = r = 2 (suku selanjutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2)

 25, 5, 1, . . .

Rasionya = r = (suku selanjutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan ) Nilai perbandingan itu disebut ratio ( r ), ditulis :

r =

1

 n

n

U U

dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1

Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka : U1, U2, U3, ..., Un

a, ar, ar² , … ,ar^{n – 1}

Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :

U

n

= S

n

- S

n-1

Un

= ar

^n-1

konstan

7

Contoh:

Diketahui barisan geometri suku ke 2 adalah 12, suku ke-5 adalah -324. Tentukan suku pertama dan rasio!

 Suku tengah barisan geometri

Suku Tengah Barisan barisan geometri adalah suku barisan yang letaknya di tengah-tengah jika banyak sukunya ganjil.

Rumus suku tengah : Uk = ×

Contoh:

Diketahui barisan geometri: 5, 10, 20, . . ., 1280. Tentukan suku tengahnya dan suku ke berapakah suku tengahnya!

Jawab:

 Sisipan barisan geometri

Misalkan diberikan 2 bilangan x dan y (x ≠ y) kemudian di antara kedua bilangan tersebut disisipkan sebanyak k bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika.

x, xr, xr² , xr³, . . ., xr^k , y bilangan-bilangan yang disisipkan

Jadi, rasio barisan geometri yang terbentuk adalah:

=

^{( )}

=

Contoh:

Antara bilangan dan 625 disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan rasio barisan tersebut dan barisannya!

Jawab:

U

₁

= suku pertama

U2k – 1 = suku terakhir

Ingat:

a^m : aⁿ = a^{m – n}

√ =

Ingat:

a^f(x) = a^g(x)  f(x) = g(x)

Keterangan:

k = banyaknya bilangan yang disisipkan y = suku terakhir

x = suku pertama

Ingat:

a^m . aⁿ = a^{m + n}

√ =

8

4. Deret Geometri

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.

Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 +U2 + U3 + …,Un merupaka deret geometri. Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn)

Sn = U1 +U2 + …, Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Contoh:

1. Diketahui barisan geometri: 3, 9, 27, . . . Tentukan:

a. Suku pertama b. Rasio

c. Rumus suku ke-n d. Suku ke- 5

e. Jumlah n suku pertama f. Jumlah 5 suku pertama Jawab:

2. Tentukan jumlah 6 suku pertama dari suatu barisan geometri dengan U

1

= 32 dan U

4

= 4!

5. Deret Geometri Takhingga

Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

S∞ = U1 +U2 + …, Un-1 + …

Jika

 





 

 



 



karenar

r r S a

maka r

n

n

, .

1 lim 1

, , 1

Jika

 

. 0 1 ,

1 lim 1 ,

1

karena r mendekati

r a r

r S a

maka r

n n





 

 



 



Sehingga,rumus jumlah deret geometri takhingga untuk r

 1 ,

r

 0

adalah

:

r S a

 

 1

 

  _{; jika r 1 dan r 1}

r 1

r 1 S a

atau

1 r dan 1 r jika 1 ; r

1 r S a

n n

n n



 

 



 

 

9 Contoh:

1.

Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 9 dan suku pertamanya 6. Tentukan rasio dari deret tersebut!

2.

Diketahui jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 49. Jika suku pertamanya 7, tentukan rasionya!

3.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m setiap menyentuh lantai, bola akan memantul kembali

4

1

kali ketinggian semula. Tentukan panjang lintasan bola sampai berhenti!