On Portfolio Optimization Using Fuzzy Decisions.

ON PORTFOLIO OPTIMIZATION USING FUZZY DECISIONS 

*) 

Supian SUDRADJAT and Vasile PREDA 

Departement of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences  Padjadjaran University,  Bandung, Indonesia Jl. Raya Bandung Sumedang km.21 Bandung 40600 Indonesia, e­mail : 

adjat03@yahoo.com 

Faculty of Mathematics and Computer Science  Bucharest University Romania  14 Academiei Str.,  Sector 1, Bucharest 010014  e­mail : preda@fmi.unibuc.ro 

Abstract. 

We  consider  stochastic  optimization  problems  involving  stochastic  dominance  constraints.  We  develop  portfolio  optimization  model  involving  stochastic  dominance  constrains  using  fuzzy  decisions  and  we  concentrate  on  fuzzy  linear  programming  problems  with  only  fuzzy  technological  coefficients  and  application/implementation  of  modified  subgradient  method  to  fuzy  linear programming problems. 

AMS  subject  classifications.

  Primary,  90C15,  90C29,  90C46,  90C48,  90C70; 

Secondary, 46N10, 60E15, 91B06

 

1.  Introduction 

The problem of optimizing a portfolio of finitely many assets is a classical problem in theoretical and  computational finance. Since the seminal work of Markowitz [11, 2] it is generally agreed that portfolio  performance should be measured in two distinct dimensions: the mean describing the expected return,  and  the  risk  which  measures  the  uncertainty  of  the  return.  As  one  of  theoretical  approach  to  the  portfolio selection problem is that of stochastic dominance (see [18, 7]). 

The rest of the paper is organized in the following manner. Section 1 provides some newly obtained  results  on  stochastic  dominance,  motivation  for  posing  the  portfolio  selection  problem  in  the  fuzzy  decisions theory framework. Section 2 describes the formulation of the portfolio selection problems.  Section 3, consider an overview of portfolio problem fuzzy technological coefficient. Section 4, give a  solution of defuzzificated problems. 

2.  Portfolio problem 

Let 

R

₁ 

 ,..., 

R 

_n be random returns of assets 

1 

,..., 

n

 

. We assume that

E 

[

 

R

 

j 

] 

<

 

¥

for all 

j

  ,..., 

=

 

1

n 

.  Our aim is to invest our capital in these assets in order to obtain some desirable characteristics of the  total return on the investment. Denoting by 

x

 ,..., 

1 

x 

_n the fractions of the initial capital invested in  assets 

1 

,..., 

n

 

we can easily derive the formula for the total return: 

(2.1) 

R

( 

x 

) 

=

 

R 

₁ 

x 

₁ 

+

... 

+

R 

_n 

x 

_n 

The set of possible asset allocations can be defined as follows: 

X

{

x 

n 

: 

x 

... 

x 

_n 

1 

, 

x 

_j 

0 

, 

j 

1 

,..., 

n 

}

 

1

+

+

=

³

=

Î

=

 

R 

. 

The mean return

[

( 

) 

]

 

) 

(

 

x

  E

=

R 

x 

m

 

, 

then the resulting optimization problem has a trivial and meaningless solution: invest everything  in  assets  that have  the  maximum  expected  return.  For  these  reasons  the  practice  of  portfolio  optimization resorts usually to two approaches. 

[

( 

) 

]

 

) 

(

 

x

  V

=

ar 

R 

x 

r

 

, 

but many other measures are possible here as well. 

The mean–risk portfolio optimization problem is formulated as follows: 

(2.2) 

max

 

( 

x 

) 

( 

x 

) 

X 

xΠ

m

-

lr

, 

Subject to 

x 

Î

 

X

. 

Here,

l

 

is  a  nonnegative  parameter  representing  our  desirable  exchange  rate  of  mean  for  risk.  If 

0

=

l

 

,  the risk has no  value  and  the  problem  reduces  to  the  problem  of  maximizing  the  mean.  If 

0

>

l

 

we look for a compromise between the mean and the risk. 

The second approach is to select a certain utility function 

u 

: 

R

®

 

R 

and to formulate  the following optimization problem 

(2.3)

max

 

[

u 

(

R 

( 

x 

) 

)

]

 

X 

x Î 

E

. 

It is usually required that the function u(∙) is concave and nondecreasing, thus representing preferences  of a risk­averse decision maker. 

In  this  paper  the  portfolio  optimization,  we  shall  consider  stochastic  dominance  relations  between  random returns in (2.1) if to avoid placing the decision vector, x, in a subscript expression, we shall  simply write 

) 

( 

) 

; 

( 

h

 

x 

F 

R (x ) 

h

F

=

 

and 

F

₂

( 

h

 

; 

x 

) 

=

 

F 

₂ R ( x ) 

( 

h

) 

.  We say that portfolio

x

 

dominates portfolio 

y 

under theFSDrules, if 

) 

); 

( 

( 

) 

); 

( 

(

R 

x 

h

 

F 

R 

y 

h

F

£

 

for all 

h

 

Î

R

, 

where at least one strict inequality holds. Similarly, we say that 

x

dominates 

y 

under the SSD rules 

)) 

( 

) 

( 

(

 

R 

x 

f

 

SSD

R 

y 

, if 

) 

); 

( 

( 

) 

); 

( 

( 

2 

2

R 

x 

h

 

F 

R 

y 

h

F

£

 

for all 

h

 

Î

R

, 

with at least one inequality strict. Recall that the individual returns 

R 

_j have finite expected values and  thus the function 

F

₂

 

( 

R 

( 

x 

); 

×

h

 

) 

is well defined. 

Stochastic  dominance  relations  are  of  crucial  importance  for  decisions  theory.  It  is  known  that 

) 

( 

) 

(

 

x 

R 

y 

R 

f

 

FSD if and only if 

(2.4) 

E

[

u 

 

( 

R 

( 

x 

))] 

³

 

E 

[ 

u 

( 

R 

( 

y 

))] 

for  any  nondecreasing  function  u(∙)  for  which  these  expected  values  are  finite.  Furthermore, 

) 

( 

) 

(

 

x 

R 

y 

R 

f

 

SSD if and only if (2.4) holds true for every nondecreasing and concave u(∙) for which 

these expected values are finite [4, 5, 8]. 

A portfolio x is called SSD­efficient (or FSD­efficient) in a set of portfolios 

X 

if there is no 

y

Î

 

X 

such that 

(

 

R 

( 

y 

) 

f

 

_SSD

R 

( 

x 

)) 

(or 

(

 

R 

( 

y 

) 

f

 

_FSD

R 

( 

x 

)) 

). 

We  shall  focus  our  attention  on  the  SSD  relation,  because  of  its  consistency  with  risk­averse  preferences:  if 

(

 

R 

( 

y 

) 

f

 

_SSD

R 

( 

x 

)) 

,  then  portfolio  x  is  preferred  to  y  by  all  risk­averse  decision  makers. 

The starting point for our model is the assumption that a reference random return  Y having a finite  expected value is available. It may be an index or our current portfolio. Our intention is to have the  return  of  the  new  portfolio, 

R

(

 

x 

) 

,  preferable  over  Y.  Therefore,  we  introduce  the  following  optimization problem [4]: 

(2.9) 

max

  x 

f

 

( 

) 

(2.10)  Subject to 

R 

(

f

x 

) 

 

( 2 ) 

Y 

, 

Here 

f

 

:

 

X

 

®

R

is a concave continuous functional. In particular, we may use 

)] 

( 

[ 

) 

(

 

x 

R 

x 

f

 

=

 

E

and this will still lead to nontrivial solutions, due to the presence of the dominance constraint 

Proposition 2.1 [4] Assume that 

Y 

has a discrete distribution with realizations 

y 

_i 

,

=

i 

 

1 

, 

m 

. Then  relation(2.10)is equivalent to 

(2.12) 

E 

[(

y 

_i 

-

R 

( 

x 

)) 

₊ 

] 

£

E 

[( 

y 

_i 

-

Y 

) 

₊

], 

"

i 

=

1 

, 

m 

. 

Let us assume now that the returns have a discrete joint distribution with realizations 

r 

_jt , 

t  , 

=

 

1

T 

, 

n 

j  , 

=

 

1

,  attained  with  probabilities 

p

 

_t , 

t  , 

=

 

1

T 

.  The  formulation  of  the  stochastic  dominance  relation (2.10) resp. (2.12) simplifies even further. Introducing variables 

s

_it 

 

representing shortfall of  R(x) belowyi in realization  t, 

i  , 

=

 

1

m 

and 

t  , 

=

 

1

T 

, we obtain the following result. 

Proposition 2.2  The problem (2.9)­(2.11) is equivalent to the problem: 

(2.13) 

max

  x 

f

 

( 

) 

(2.14)  Subject to  n  _{j  it  i} 

j  jt 

y 

s 

x 

r

-

£

-

-

å

=1 

, 

i  , 

=

 

1

m 

, 

t  , 

=

 

1

T 

, 

(2.15)  ₂ 

( 

; 

) 

1  it  i 

T 

t 

p

t 

s 

F 

Y 

y 

£

å

= 

, 

i  , 

=

 

1

m 

, 

(2.16) 

s

 

it 

³

 

0

, 

i  , 

=

 

1

m 

, 

t  , 

=

 

1

T 

(2.17)

å

=

£

 

n 

j  j 

x

 

1 

1 

(2.18)

å

=

-

£

-

 

n 

j  j 

x

 

1 

1 

(2.19) 

x 

_j 

³

 

0

, 

j  , 

=

 

1

n 

,  and problema (2.13)–(2.19) can be written as 

(2.20) 

max

  X

j

 

( 

) 

=

å

=  n 

j  j  j 

X 

c

 

1 

max 

(2.21)  Subject to n mT  _i 

j  ij  j 

b 

X 

a

£

å

+ =1 

, 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

, 

(2.22) 

X 

_j 

³

 

0

, 

j

=

  , 

1 

n 

+

mT 

,  Where 

X

=

( 

x 

₁ 

,..., 

x 

_n 

, 

s 

₁₁ 

,..., 

s 

_1 T 

, 

s 

₂₁ 

,..., 

s 

_2 T 

,..., 

s 

_m 1 

,..., 

s 

_mT 

) 

ï

î

ï

í

ì

+

-

+

+

=

-

=

+

+

=

-

-

=

+

+

=

=

-

=

 

otherwise 

i 

T 

n 

n 

j 

and 

T 

K 

m 

K 

Km 

i 

T 

K 

m 

K 

Km 

i 

n 

j 

r 

a 

ij 

ij 

, 

0 

1 

) 

1 

( 

, 

1 

, 

) 

1 

( 

, 

0 

, 

) 

1 

( 

, 

1 

, 

1 

) 

1 

( 

, 

0 

, 

) 

1 

( 

, 

1 

, 

, 

1 

,

î

í

ì

=

=

+

=

 

otherwise 

mT 

i 

n 

j 

a 

ij 

, 

0 

1 

, 

î

í

ì

-

=

=

+

=

 

otherwise 

mT 

i 

n 

j 

a 

ij 

, 

0 

2 

, 

, 

1 

, 

1

î

í

ì

=

+

-

+

+

=

=

+

+

+

=

- - -

otherwise 

m 

mT 

mT 

i 

m 

K 

TK 

n 

K 

T 

n 

j 

p 

a 

j n T K  ij 

, 

0 

2 

, 

3 

, 

, 

1 

, 

, 

1 

) 

1 

( 

, 

)  1  ( 

In the next section we extended this result to fuzzy decisions theory. 

3.  Portfolio problems with fuzzy technological coefficients  In this section presents an approach to portfolio selection using fuzzy decisions theory. 

We consider a linear programming problem (2.20) – (2.22) with fuzzy technological coefficients [13]. 

(3.1) 

max

  X

j

 

( 

) 

=

å

=  n 

j  j  j 

X 

c

 

1 

max 

(3.2)  Subject to n mT  _i 

j  ij  j 

b 

X 

a

£

å

+ =1 

~ 

_, 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

_, 

(3.3) 

X 

_j 

³

 

0

, 

j

=

  , 

1 

n 

+

mT 

. 

Assumption 3.1. 

a 

~ 

_ij  is a fuzzy number for any i and j.  In this case we consider the following membership functions:  (i) 1. For 

i 

=

 

Km 

+

1

, 

( 

K 

+

1 

) 

m 

, 

K 

=

0 

, 

( 

T 

-

1 

) 

and 

j  , 

=

1

n 

ï

î

ï

í

ì

+

-

³

+

-

<

£

-

-

+

-

-

<

=

 

. 

0 

, 

/ 

) 

( 

, 

1 

) 

(

 

ij  ij 

ij  ij  ij 

ij  ij 

ij 

ji 

a 

d 

r 

t 

if 

d 

r 

t 

r 

if 

d 

t 

d 

r 

r 

t 

if 

t 

ij

m

 

2. For 

i 

=

 

Km 

+

1

, 

( 

K 

+

1 

) 

m 

, 

K 

=

0 

, 

( 

T 

-

1 

) 

and  j=n+T(i­Km­1)+K+1

ï

î

ï

í

ì

+

-

³

+

-

<

£

-

-

+

-

-

<

=

 

, 

1 

0 

, 

1 

1 

/ 

) 

1 

( 

1 

1 

) 

(

 

ij  ij  ij 

ij  a 

d 

t 

if 

d 

t 

if 

d 

t 

d 

t 

if 

t 

ij

m

 

(ii) For 

i 

=

 

mT 

+

3

, 

mT 

+

m 

+

2 

, 

K  , 

=

 

1

m 

and 

j

=

 

n 

+

T 

(

K 

-

1 

) 

+

1 

, 

n 

+

TK 

ï

î

ï

í

ì

+

³

+

<

£

-

+

<

=

- - -

- - - -

- -

- - -

- - - 

,  ) 

1  ( 

)  1  ( 

)  1  (  ) 

1  ( 

)  1  ( 

0 

, 

/ 

) 

( 

, 

1 

) 

(

 

ij 

ij  ij 

ij  K  T  n  j  a 

d 

p 

t 

if 

d 

p 

t 

p 

if 

d 

t 

d 

p 

p 

t 

if 

t 

K  T  n  j 

K  T  n  j  K 

T  n  j 

K  T  n  j  ij

m

 

For  defuzzification  of  this  problem,  we  first  fuzzify  the  objective  function.  This  is  done  by  calculating the lower and upper bound of the optimal values first. The bounds of the optimal  values 

z

_l

 

  and 

z

 

_u  are obtained by solving the standard linear programming problems 

(3. 4) 

z

₁ 

=

 

max 

j

( 

X 

) 

(3. 5)  Subject to n  mT  _{j  i} 

j  ij 

b 

X 

a

£

å

+ =1 

, 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

(3.6) 

X 

_j 

³

 

0

, 

j

=

  , 

1 

n 

+

mT 

and 

(3.7) 

z

₂ 

=

 

max 

j

( 

X 

) 

(3.8)  Subject to n  mT  _{j  i} 

j  ij 

b 

X 

a

£

å

+ =1 

ˆ 

, 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

(3.9) 

X 

j 

³

 

0

, 

j

=

  , 

1 

n 

+

mT 

where

ï

î

ï

í

ì

-

=

+

-

+

+

=

+

+

=

+

-

-

=

+

+

=

=

+

-

=

 

otherwise 

d 

T 

K 

and 

i 

T 

n 

n 

j 

m 

Km 

Km 

i 

d 

T 

K 

and 

m 

K 

Km 

i 

n 

j 

d 

r 

a 

ij  ij 

ij  ij 

ij 

, 

) 

1 

( 

, 

0 

, 

1 

) 

1 

( 

, 

1 

, 

) 

1 

( 

, 

1 

, 

1 

) 

1 

( 

, 

0 

) 

1 

( 

, 

1 

, 

, 

1 

, 

ˆ

ï

î

ï

í

ì

+

=

=

+

=

 

otherwise 

d 

mT 

i 

n 

j 

d 

a 

ij  ij 

ij 

, 

1 

, 

, 

, 

1 

, 

1 

ˆ

ï

î

ï

í

ì

-

+

=

=

+

=

 

otherwise 

d 

mT 

i 

n 

j 

d 

a 

ij  ij 

ij 

, 

2 

, 

, 

1 

, 

1 

ˆ 

The objective function takes values between 

z

₁

 

 and 

z

 

₂ while technological coefficients vary  between 

a 

_ij  and 

a

_ij 

+

 

d 

_ij . Let 

z

_l

=

 

min( 

z 

₁ 

, 

z 

₂ 

) 

and 

z

=

_u 

max( 

z 

₁ 

, 

z 

₂ 

) 

. Then 

z

 

_l  and 

z

 

_u  are  called the lower and upper bounds of the optimal values, respectively. 

Assumption 3.2. The linear crisp problem (3.4)­(3.6) and (3.7)­(3.9) have finite optimal values. In this  case the fuzzy set of optimal values,G, which is  subset of 

R

 

n , is defined as [10] 

(3.10)

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

³

£

£

-

-

<

=

å

å

å

å

= = =

= 

n 

j  j  j 

n 

j  j  j 

n 

j  j  j 

n 

j  j  j 

G 

z 

X 

c 

if 

z 

X 

c 

z 

if 

z 

z 

z 

X 

c 

z 

X 

c 

if 

X 

1  1  1 

1 

1 

) 

/( 

) 

( 

0 

) 

( 

u  u  l 

l  u  l 

l

m 

The fuzzy set of theith constraint, 

C

 

_i , which is a subset of 

R

n + mT _{, is defined by:} 

(3.11) 

m 

C_i 

(

X 

) 

=

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

+

-

³

+

-

<

£

-

+

-

<

å

å

å

å

å

å

= = = = = =  n 

j  ji  ij  j 

i  n 

j 

n 

j  ij  ij  j 

i  j  ij  n  j  n 

j  ij  j  j 

ij  i 

n 

j  ji  j  i 

X 

d 

r 

b 

X 

d 

r 

b 

X 

r 

X 

d 

X 

r 

b 

X 

r 

b

 

1  1  1  1  1  1 

) 

( 

, 

1 

) 

( 

, 

/ 

) 

( 

, 

0 

2. For 

i 

=

 

Km 

+

1

, 

( 

K 

+

1 

) 

m 

and 

K 

=

  T 

0

, 

( 

-

1 

) 

(3.12)

m

_Ci 

(

X 

) 

=

 

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

+

-

³

+

-

<

£

-

+

-

<

å

å

å

å

å

å

+ = + = = + + = = + =  )  ,  (  1  )  ,  (  1  )  ,  (  1  )  ,  (  1  1  )  ,  (  1 

) 

1 

( 

, 

1 

) 

1 

( 

, 

/ 

) 

( 

, 

0

 

K  i  n  n 

j  ij  j 

i  K  i  n  n  j  K  i  n  n 

j  ij  j 

i  j  K  i  n  n  j  n 

j  ij  j  j  i  K  i  n  n  j  j  i 

X 

d 

b 

X 

d 

b 

X 

X 

d 

X 

b 

X 

b

 

wheren(i,K)=n+T(i­Km­1)+K+1 

(ii) For 

i 

=

 

mT 

+

3

, 

mT 

+

m 

+

2 

, 

and 

K  , 

=

 

1

m 

(3.13) 

m

 

_Ci 

(

X 

) 

=

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

+

³

+

<

£

-

<

å

å

å

å

å

å

+ - + = - - - + - + = + - + = - - - - - - + - + = + - + = - - - + - + = - - -  TK  n  K  T  n 

j  j n T K  ij  j  i  TK  n  K  T  n  j  TK  n  K  T  n 

j  j n T K  ij  j  i  j  K  T  n  j  TK  n  K  T  n  j  TK  n  K  T  n  j  ij  j  j  K  T  n  j  i  TK  n  K  T  n 

j  j n T K  j  i 

X 

d 

p 

b 

X 

d 

p 

b 

X 

p 

X 

d 

X 

p 

b 

X 

p 

b

 

)  1  (  (  1 )  ) 

1 

(  (  1 )  (  1 )  (  1 )  ) 

1 

(  (  1 )  (  1 ) 

)  1  (  (  1 ) 

. 

) 

( 

, 

1 

, 

) 

( 

, 

/ 

) 

( 

, 

, 

0 

By using the definition of the fuzzy decisions proposed by Bellman and Zadeh [1], we have 

))) 

( 

( 

min 

), 

( 

min( 

) 

(

 

X 

G 

X 

_j  C _j 

X 

D

m

m

m

=

 

. 

i.e. 

))) 

( 

( 

min 

), 

( 

min( 

max 

)) 

( 

( 

max 

0 

0  D 

X 

_x  G 

X 

_j  C j 

X 

x³

m

=

 

³

m

m

. 

Consequently, the problem (3.1)­(3­3) becomes to the following optimization problem 

(3.14)

max 

l

 

(3.15)

m

_G 

(

X 

) 

³

 

l

(3.16) 

m

 

C_i 

(

X 

) 

³

 

l

, 

i 

=

1 

, 

mT 

+

m 

+

2 

,  (3.17) 

X 

j 

³

 

0

, 

0

£

l 

£

1 

, 

j  , 

=

 

1

mT 

. 

By using (3.10) and (3.11)­(3.13), we obtain the following theorem. 

(3. 18)

max 

l

 

(3.19) 

( 

) 

₂ 

0 

1  2 

1

-

-

å

+

£

= 

z 

X 

c 

z 

z 

n 

j  j j 

l

 

(3.20)

å

+

=

£

-

 

mT  n 

j  ij  j  i 

b 

X 

a

 

1 

0 

) 

( 

ˆ

l

 

, 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

,  (3.21) 

X 

_j 

³

 

0

, 

0

£

l 

£

1 

, 

j  , 

=

 

1

mT 

. 

where

ï î ï í ì

+ - + = -

= +

+ = +

-

- = +

+ = = +

- = 

otherwise,  , 

,  1  )  1  (  ,  1  ) 

1  (  ,  0  ,  )  1  (  ,  1  , 

1 

,  )  1  (  ,  0  , 

)  1  (  ,  1  , 

,  1  ,  ) 

(  ˆ 

ij  ij 

ij  ij 

ij 

d 

i  T  n  j  and  T 

K  m  K  Km  i  d 

T  K  and  m  K  Km  i  n  j  d  r  a

l

l

l

l

ï

î

ï

í

ì

+

=

=

+

=

 

, 

otherwise 

, 

, 

1 

, 

, 

1 

, 

1 

) 

( 

ˆ 

ij  ij 

ij 

d 

mT 

i 

n 

j 

d 

a

l

l

l

ï

î

ï

í

ì

-

+

=

=

+

=

 

otherwise, 

, 

, 

2 

, 

, 

1 

, 

1 

) 

( 

ˆ 

ij  ij 

ij 

d 

mT 

i 

n 

j 

d 

a

l

l

l

ï

î

ï

í

ì

+

=

+

-

+

+

=

+

+

+

=

- - -

. 

otherwise 

, 

2 

, 

3 

, 

, 

1 

) 

1 

( 

, 

) 

( 

ˆ 

(  1 ) 

ij 

ij  K 

T  n  j 

ij 

d 

m 

mT 

mT 

i 

TK 

n 

K 

T 

n 

j 

d 

p 

a

l

l

l 

Notice that, the constraints in problem (3.18)­(3.21) containing the cross product term 

l

 

X

_j  are not  convex.  Therefore  the  solution  of  this  problem  requires  the  special  approach  adopted  for  solving  general nonconvex optimization problem. 

4.  Solution of defuzzificated problems 

In this section, we present the modified subgradient method [6] and use it for solving the defuzzificated  problems (3.18)­(3.21) for nonconvex constrained problems and can be applied for solving a large class  of such problems. 

Notice that, the constraints in problem (3.18)­(3.21)  generally are not convex. These problems may be  solved either by the fuzzy decisive set method, which is presented by Sakawa and Yana [15], or by the  linearization method of Kettani and Oral [2]. 

4.1. Application of modified subgradient method to fuzzy linear programming problems. 

For applying the subgradient method [6] to the problem (3.18)­(3.21), we first formulate it with  equality constraints by using slack variables 

y

₀

 

 and 

y

 

_i , 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

. Then, we can be written  as 

(4.1)

max 

l

 

(4.2) 

( 

, 

, 

) 

( 

) 

_{2  0} 

0 

1  2  1  0 

0

=

-

-

å

+

+

=

= 

y 

z 

X 

c 

z 

z 

y 

X 

g 

n 

j  j j 

l

l

 

(4.3)

g

_i 

(

 

X 

, 

l

, 

y 

_i 

) 

=

 

å

+

=

=

+

-

 

mT  n 

j  ij  j  i  i 

y 

b 

X 

a

 

1 

( 

) 

0 

ˆ

l

 

, 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

For this problem the set Scan be defined as 

} 

1 

0 

, 

0 

, 

0 

) 

, 

, 

{(

³

³

£

£

=

X 

p 

l 

X 

y 

l

S 

. 

Since 

max

l

=

 

-

min( 

-

l

) 

and 

g

 

=

 

( 

g 

₀

,..., 

g 

mT + m + ₂ 

) 

the augmented Lagrangian associated with 

the problem (4.1)­(4.4) can be written in the form 

.  2 

1  ˆ ( ) 

0  2  1  )  2  1  (  0  2  1  2  2 

1  ˆ ( ) 

2  0  2  1  )  2  1  (  )  ,  ,  (  1  1 å + + = ÷ ø ö ç è æ _{- +} å -÷ ÷ ø ö ç ç è æ + å = + - - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é å + + = ÷ ø ö ç è æ _{å - +} + ï þ ï ý ü ï î ï í ì + + å = - - + - = + = + =  m  mT 

i  u  a  X  b  y  y 

z  n

j  c j Xj  z 

z 

m  mT 

i  a  X  b  y  y 

z  n

j  c j Xj  z  z  c  c  u  x  L  i  i  j  mT  n  j  ij  i  i  i  j  mT  n  j  ij l l m l l l  The modified subgradient method may be applied to the problem (4.1)­(4.4) in the following way:  Initialization Step.Choose a vector 

( 

u 

1 ₀ 

, 

u 

₁ 1 

,..., 

u 

_mT1  + _m + ₂ 

, 

c 

1 

) 

with 

c

 

1

³

 

0 

. Let 

k 

=

 

1

, and go to main 

step. 

Main Step. 

Step 1.Given 

( 

u

₀k  

, 

u 

₁ k 

,..., 

u 

mT k  + m + ₂ 

, 

c 

k 

) 

; solve the following subproblem : 

.  2

1  ₁ ˆ  ( ) 

0  2  1  ) 2  1  (  0  2  1  2  2 

1  ₁ ˆ  (  ) 

2  0  2  1  ) 2  1  (  min å + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + - å + = -÷ ÷ ø ö ç ç è æ + å = + - - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é å + + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + - å + = + ï þ ï ý ü ï î ï í ì + + å = - - + -  mT 

i  X j  b i  y i  mT 

n  j  a ij  i 

u  y 

z  n

j  c j Xj  z 

z  u 

m  mT 

i  b i  y i  mT 

n 

j  a ij  X j  y 

z  n

j  c j Xj  z  z  c l l l l l 

. 

) 

, 

, 

(

 

X

y 

l

 

Î

S 

Let 

(

 

X

k 

, 

y 

k 

, 

l

 

k 

) 

be any solution. If 

g

(

 

X 

k 

, 

y 

k 

, 

l

 

k 

) 

, then stop; 

( 

u 

₀k  

, 

u 

₁ k 

,..., 

u 

_mT k 

, 

c 

k 

) 

is a solution  to dual problem, 

(

 

X

l

k 

, 

 

k 

) 

is a solution to problem (3.18)­(3.21). Otherwise, go to Step 2. 

Step 2.Let

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

+

-

-

-

=

å

= +  0  2  1  2  1  0  1 

0 

u 

h 

( 

z 

z 

) 

c 

x 

z 

y 

u 

n 

j  j  j  k  k  k

l

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

-

-

=

å

=

+  n 

j  ij  j  i  i 

k  k  i  k 

i 

u 

h 

a 

X 

b 

y 

u 

1 

1 

ˆ l

( 

 

) 

_, 

i 

=

 

1

, 

mT 

+

m 

+

2 

) 

, 

, 

( 

) 

( 

1  k  k  k  k  k  k 

k 

c 

h 

g 

X 

y 

c

+ 

=

+

+

e

l

where 

h

 

k and 

e

 

k are positive scalar stepsizes and 

h

e

k 

>

 

 

k 

>

0

_{, replacek byk + 1;and}  repeat Step 1. 

4.2. The algorithm of the fuzzy decisive set method 

Algorithm 

Step 1. Set

l 

= 1 and test whether a feasible set satisfying the constraints of the problem (3.18)­(3.21)  exists or not using phase one of the simplex method. If a feasible set exists, set

l

 

= 1: Otherwise, set 

0

=

 

L

l

 

and 

l

 

R

=

 

1

_{and go to the next step.} 

Step 2. For the value of 

l

=

 

(

 

l

L

+

l

R 

) 

/ 

2 

; update the value of 

l

 

L and 

l

 

R using the bisection  method as follows :

l

l

=

L 

 

_{if feasible set is nonempty for}

l

l

l

=

R 

 

_{if feasible set is empty for}

l 

_. 

Consequently, for each

l 

, test whether a feasible set of the problem (3.18)­(3.21) exists or  not  using  phase  one  of  the  Simplex  method  and  determine  the  maximum  value 

l

*

 

satisfying  the  constraints of the problem (3.18)­(3.21). 

References 

[1]  Bellman,  R.E.,  Zadeh,L.A.,  Decision­making  in  fuzzy  environment,  Management  Science  17  (1970), B141­B164. 

[2]  Birge J.R. and Louveaux F.V., Introduction to Stochastic Programming, Springer­Verlag, New  York, 1997. 

[3]  Dentcheva,  D.  and  Ruszczynski,  A.,  “Frontiers  of  stochastically  nondominated  portfolio”  Operations research and financial engineering, Princeton University, ORFE ­0­01,2002. 

[4]  Dentcheva,  D.  and  Ruszczynski,  A.,  Portfolio  Optimization  with  Stochastic  Dominance  Constraints, May 12, 2003 

[5]  Dentcheva, D. and Ruszczynski

, A

, Optimization with stochastic dominance constraints, Siam  J. Optim.Society For Industrial And Applied Mathematics Vol. 14, No. 2, Pp. 548–566,2003.  [6]  Gasimov,  R.  N.,  Yenilmez  K.,  Solving  fuzzy  linear  programming  problems  with  linear 

membership functions,Turk J Math. 26  , 375 ­396, 2002. 

[7]  Hadar J. and Russell W.,  Rules for ordering uncertain prospects, Amer. Econom. Rev., 59, pp.  25–34, 1969. 

[8]  Hanoch G. and Levy H., The efficiency analysis of choices involving risk, Rev. Econom.Stud.,  36 (1969), pp. 335–346. 

[9]  Kettani,  O.,  Oral,  M.:  Equivalent  formulations  of  nonlinear  integer  problems  for  eficient  0ptimization,Management Science Vol.36No. 1  115­119, 1990. 

[10]  Klir, G.J., Yuan, B.: Fuzzy Sets and Fuzzy Logic­Theory and Applications, Prentice­Hall Inc.,  574p, 1995. 

[11]  Markowitz H. M.,Mean–Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets,  Blackwell, Oxford, 1987. 

[12]  Negoita, C.V.:Fuzziness in management, OPSA/TIMS, Miami 1970. 

[13]  Ruszczynski  A.  and  Vanderbei  R.  J.,  Frontiers  of  stochastically  nondominated  portfolios,  Operations Research and Financial Engineering, Princeton University, ORFE­02­01, 2002  [14]  Rockafellar  R.T.  and  Wets  R.J.­B.,  Stochastic  convex  programming:  Basic  duality  ,  Pacific 

J.Math., 62 (1976), pp. 173­195. 

[15]  Sakawa,  M.,  Yana,  H.:  Interactive  decision  making  for  multi­objective  linear  fractional  programming problems with fuzy parameters,Cybernetics Systems 16 (1985) 377­397. 

[16]  Tanaka, H., Asai, K.: Fuzzy linear programming problems with fuzzy numbers, Fuzzy Sets and  Systems13(1984) 1­10 

[17]  Tanaka, H., Okuda, T., Asai, K.: On fuzzy mathematical programming, J. Cybernetics 3 (1984)  37­46. 

[18]  Uryasev  S.  and  Rockafellar  R.T.,  Conditional  value­at­risk:  Optimization  approach,  in  Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (Gainesville, FL, 2000), Appl. Optim. 54,  Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands, 2001, pp. 411–435. 

[19]  Zimmermann,  H.J.:  Fuzzy  mathematical  programming,  Comput.  &  Ops.  Res.  Vol.  10  No  4  (1983) 291­298.