TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA. docx

TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA

“TURUNAN DAN FUNGSI”

:

Y

DISUSUN OLEH KELOMPOK 4 : 1. JUNANDA ARDIANSYAH 2. BENNY SYAWILDI

3. WAWAN SUHENDRA 4. ZAID MUAMMAR

JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat

dan kesehatan kepada kita semua, sehingga kita dapat melaksanakan suatu

proses pembelajaran sebagaimana yang terlaksana seperti sekarang ini. Dalam

Makalah ini, kami mencoba membuat suatu pembahasan mengenai “Turunan

dan Fungsi” yang dapat kami sajikan yaitu beberapa defenisi- defenisi dan

rumus-rumus disertai dengan contoh dan pembahasan soal. Makalah ini sangat

sederhana dan masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu, untuk

membantu kesempurnaan Makalah ini, kami sangat mengharapkan kritik dan

saran dari semua pihak terutama bapak dosen. Selain itu atas

kekurangan-kekurangan yang ada didalam Makalah ini maka saya juga memohon maaf

yang sebesar- besarnya.

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ... 1

Daftar Isi ... 2

BAB 1 : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ... 3 B. Rumusan Masalah ... 3 C. Tujuan ... 3

BAB 1 PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Turunan fungsi (diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan ( differentiation ). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya.Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan.

Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Persamaan – persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial dan bahkan aljabar abstrak.

B. RUMUSAN MASALAH

Makalah ini membahas defenisi dari turunan fungsi. Dalam makalah ini dijelaskan rumus – rumus, aturan pencarian turunan dan disertai dengan contoh soal dan pembahasannya.

C. TUJUAN

1. Untuk mengetahui defenisi dari turunan 2. Untuk mengetahui aturan pencarian turunan

BAB II PEMBAHASAN

A. TURUNAN FUNGSI

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f ' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Laju perubahan nilai fungsi f :x → f(x) pada x=a dapat ditulis:

Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu

fungsi yang kontinu pada selang - ∞ ¿x<∞, berlaku limh →0f(x+h)−f(x)

h = f

'

(x)

(turunan pertama dari f (x) ). Sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:

f'(x)=lim

h →0

Jika nilai limitnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di x , dan f '(x)

disebut fungsi turunan dari f . Turunan dari y=f(x) sering kali ditulis dengan

y '=f '(x) . Notasi dari y '=f '(x) juga dapat ditulis: dy

dx= df (x)

dx .

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan Turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial

y ’= 3x 2

x3+1(y+1) dapat ditulis dalam bentuk

dy=

[

3x2

x3+1(y+1)

]

dx atau y '

− 3x 2

x3+1 y= 3x2 x3+1 Contoh soal :

1. Tentukan turunan pertama dari f(x)=x3+5 ! Penyelesaian :

f(x)=x3+5

f(x+h)=(x+h)3+5

¿x3+3x2h+3x h2+h2+5

f ’(x) = limh →0 f(x+h)−f(x)

h

= limh →0 x 3

+3x2_{h+3x h}2_+h2

+5−(x3 +5) h

= limh →03x 2

h+3x h2+h2 h

= limh →0h(3x 2

= lim_{h →0}(3x2+3xh+h) = 3x2+3x .0+02 = 3x2

2. Carilah f'(x) jika f(x)=

√

x , x>0 Penyelesaian

f'_(x) =

lim

h →0f

(x+h)−f(x)

h

_¿limh →0

√

x+h−

√

x h

Dalam soal ini dapat diselesaikan dengan merasionalkan pembilang.

f ’(x) = lim

h →0

[

√

x+h−

√

x

h .

√

x+h+

√

x

√

x+h+

√

x

]

= limh →0x+h−x h(

√

x+h+

√

x)

= limh →0h h(

√

x+h+

√

x)

= limh →0 1

√

x+h+

√

x

= 1

√

x+

√

x

= 1 2

√

x

B. ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f ’ . Jika f(x)=x3+7x

adalah rumus untuk f , maka f ’(x)=3x2+7 adalah rumus untuk f ’ . Ketika kita menurunkan f , artinya kita mendiferensiasikan f . Turunan mengoperasikan f untuk menghasilkan f ’ . Kita biasanya menggunakan simbol D_x untuk menandakan operasi diferensiasi. Simbol D_x menyatakan bahwa kita mengambil turunan (terhadap peubah x ). Maka, kita menuliskan

Dxf(x)=f ’(x) atau Dx(x3+7x)=3x2+7.

Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang

x , f ’(x)=0; yakni

Dx(k)=0

Bukti

f ’(x)=¿ limh →0f(x+h)−f(x)

h

_¿limh →0k−k h

¿lim_{h →0}0

¿0

 Teorema B : Aturan Fungsi Identitas

Jika f(x)=x , maka f ’(x)=1 ; yakni

Dx(x)=1

Bukti

f ’(x)=lim

h →0

f(x+h)−f(x) h

¿lim

h →0

x+h−x h

¿

lim

h →0 h

h

¿1

 Teorema C : Aturan Pangkat

Jika f(x)=xn _{, dengan n bilangan bulat positif, maka f ’}

Dx(xn)=n xn−1

Bukti

f ’(x)=lim

h →0

f(x+h)−f(x) h

¿ limh →0(x+h)

n

−xn

h

¿lim_{h →0}¿ x n

+n xn−1

h+n(n−1)

2 x n−2

h2+… .+nx hn−1

+h2−xn

h

¿ lim_{h →0}¿ h

[

n x n−1

+n(n−1)

2 x

n−2_{h+…+nx h}n−2

+hn−1

]

h

Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi

f ’(x)=n xn−1

Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa :

Dx

(

x

3

)

=3x2Dx

(

x

9

)

=9x8Dx(x

100

)=100x99

 Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensial maka (kf)’(x)=k . f ’(x); yakni,

D_x

[

k . f(x)

]

=k . D_x. f(x)

Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator Dx.

Andaikan F(x)=k . f(x). Maka

F ’(x)= lim

h→0F

(x+h)−F(x)

h

¿ lim_{h →0}¿ k . f(x+h)−k . f(x)

h

¿ lim

h →0k .

f(x+h)−f(x) h

¿k . f '(x)

Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah

Dx

(

−7x

3

)

=−7Dx

(

x

3

)

=−7.3x2=−21x2

dan

D_x

(

4

3 x

9

)

=4

3 Dx

(

x

9

)

=4

3.9x

8 =12x8

 Teorema E : Aturan Jumlah

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensial, maka (f+g)’(x)=f ’(x)+g’(x); yakni,

D_x

[

f(x)+g(x)

]

=D_xf(x)+D_xg(x)

Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan.

Bukti

Andaikan F(x)=f(x)+g(x). Maka

F ’(x) ¿ limh →0

[

f(x+h)+g(x+h)

]

−

[

f(x)+g(x)

]

h

¿lim_{h →0}¿

[

f(x+h)−f(x)

h +

g(x+h)−g(x)

_¿limh →0f

(x+h)−f(x)

h +¿ limh →0

¿ g(x+h)−g(x)

h

¿f'(x)+g'(x)

 Teorema F : Aturan selisih

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka

(f−g)'

(x)=f'_(x)−g'

(x) ; yakni,

D_x

[

f(x)−g(x)

]

=D_xf(x)−D_xg(x)

Bukti

Andaikan F(x)=f(x)−g(x). Maka

F ’(x) ¿ limh →0

[

f

(x+h)−g(x+h)

]

−

[

f(x)−g(x)

]

h

¿lim_{h →0}¿

[

f(x+h)−f(x)

h −

g(x+h)−g(x)

h

]

_¿limh →0f (x+h)−f(x)

h −¿ limh →0

¿ g(x+h)−g(x)

h

¿f'_(x)+g'_(x) Contoh:

Tentukan turunan dari 5x2

+7x –6 dan 4x6_–3x5_–10x2

+5x+16.

Penyelesaian

Dx(5x

2

+7x –6)=Dx(5x

2

¿5Dx(x2)+7Dx(x)– Dx(6) (Teorema D) ¿5.2x+7.1+0 (Teorema C,B,A) ¿10x+7

Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,

Dx(4x

6

–3x5–10x2+5x+16)=Dx(4x

6

)– Dx(3x

5

)– Dx(10x

2

)+Dx(5x)+Dx(16)

¿4Dx(x6)–3Dx(x5)–10Dx(x2)+5Dx(x)+Dx(16)

¿4(6x5)–3(5x4)–10(2x)+5(1)+0 ¿24x5_–15x4_–20x

+5

2. Turunan Hasilkali dan Hasilbagi  Teorema G : Aturan Hasilkali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f . g)’(x)=f(x)g ’(x)+g(x)f ’(x)

Yakni,

Dx[f(x)g(x)]=f(x)Dxg(x)+g(x)Dxf(x)

Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan fungsi pertama.

Bukti

F'(x)=

lim

h →0 F

(x+h)−F(x)

h

¿lim

h →0¿

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x) h

¿ limh →0f

(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)−f(x)g(x)

h

¿ lim

h →0

[

f (x+h).

g(x+h)−g(x)

h +g(x).

F(x+h)−F(x)

h

]

¿ lim

h →0f(x+h).

lim

h →0¿

g(x+h)−g(x)

h +¿

g(x).

lim

h →0 F

(x+h)−F(x)

h

¿f(x)g ’(x)+g(x)f ’(x)

Contoh :

Carilah turunan (3x2_–5

)(2x4_{– x) dengan menggunakan aturan hasil kali.}

Periksalah jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain. Penyelesaian :

Dx

[

(

3x

2

−5

)

(2x4−x)

]

=(3x2–5)Dx(2x

4

– x)+(2x4– x)Dx(3x

2 −5)

¿(3x2_–5

)(8x3_–1

)+(2x4_{– x} )(6x) ¿24x5–3x2–40x3+5+12x5+6x2

¿36x5–40x3–9x2+5

Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.

(

3x2−5

)

(2x4−x)=6x6–10x4–3x3+5x

Dx

[

(

3x2−5

) (

2x4−x

)

]

=Dx

(

6x6

)

– Dx(10x4)– Dx(3x3)+Dx(5x) ¿36x5–40x3–9x2+5

 Teorema H : Aturan Hasilbagi

Andaikan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan

g(x)≠0 . Maka

(

f g

)

'

(x)=g(x)f

'₍

x)−f (x)g'(x) g2(x)

Yakni,

D_x

(

f(x) g(x)

)

=

g(x)D_xf(x)−f(x)D_xg(x) g2

(x)

Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi adalah sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.

Bukti

Andaikan F(x)=f(x)

g(x) . Maka

F'(x)=lim

h →0

F(x+h)−F(x) h

¿

lim h →0

f(x+h) g(x+h)−

f(x) g(x) h

_¿limh →0 g(x)f(x+h)−f(x)g(x+h)

h .

1

g(x)g(x+h)

[

g(x)f(x+h)−g(x)f(x)+g(x)f(x)−f (x)g(x+h) 1

¿lim

h →0

{

[

g

(x)f(x+h)−f(x)

h −f(x)

g(x+h)−g(x)

h

]

1

g(x)g(x+h)

}

¿

[

g(x)f'(x)−f(x)g '(x)

]

1 g(x)g(x)

Contoh:

a. Carilah turunan

x (¿¿2+7)

(3x−5) ¿

.

Penyelesaian:

D_X

[

3x−5 x2

+7

]

=

(

x2

+7

)

Dx(3x−5)−(3x−5)Dx(x2+7)

(

x2+7

)

2

¿

(

x 2

+7

)

(3)−(3x−5)(2x)

(

x2+7

)

2

¿−3x 2

+10x+21

(

x2₊₇

)

2

b. Carilah D_xy jika y= 2

x4+1+ 3

x

Penyelesaian

D_xy=D_x

(

2

x4+1

)

+Dx

(

3

x

)

¿

(

x 4

+1

)

Dx(2)−2Dx(x

4 +1)

(

x4+1

)

2 +

x Dx(3)−3Dx(x)

x2

¿

(

x 4

+1

)

(0)−2

(

4x3

)

(

x4

+1

)

2 +

x(0)−3(1) x2

¿ −8x 3

(

x4₊₁

)

2−

3

x2

Penyelesaian

D_x

(

x−n

)

=D_x

(

1 xn

)

¿x

n

.0−1. n xn−1 x2n

¿−n x

n−1 x2n

¿−n x−n−1

Kita melihat sebagai bagian dari contoh sebelumnya bahwa D_x

(

3 x

)

=

−3

x2

Maka dengan rumus aturan pangkat bulat negatif didapat

D_x

(

3

x

)

=3Dx

(

x

−1

)

=3(−1)x−2

=¿ −3 x2 .

A. KESIMPULAN

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometrid an mekanika.

Finizio dan G.Ladas . 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Edisi kedua. Jakarta:Erlangga.

Muchtinah, Ety Sri, dkk. 2009. Matematika Untuk SMA/MA kelas XI. Bekasi:Swadaya Murni

Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi kedelapan. Jakarta:Erlangga