Soal Lingkaran Dan Penyelesaiannya SMA Kelas XI Semester 1

(1)

1.

1. Salah satSalah satu persamau persamaan garis sian garis singgung lnggung lingkaraingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )n ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di t² =13 di titik yitik yangang berabsis –1 adalah …. berabsis –1 adalah …. aa.. 33x x – – 22y y – – 3 3 = = 00 bb.. 3x 3x – – 22y y – – 5 5 = 0= 0 cc.. 33x x + + 22y y – – 9 9 = = 00 dd.. 33x x + + 22y y + + 9 9 = = 00 ee.. 33x x + + 22y y + + 5 5 = = 00 Penyelesaian Penyelesaian Langkah 1 : Langkah 1 :

Substitusi nilai x = –1 pada persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13, Substitusi nilai x = –1 pada persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13, sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : 9 + ( y + 1 )² =13 9 + ( y + 1 )² =13 ( y + 1 )² =13 – 9 ( y + 1 )² =13 – 9 ( y + 1 )² = 4 ( y + 1 )² = 4 y + 1 = ± 2 y + 1 = ± 2 y = –1 ± 2, sehingga didapat : y = –1 ± 2, sehingga didapat : yy11= = ––1 1 – – 22 yy22= –1 + 2= –1 + 2 yy11==––33 yy22= 1= 1

didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 ) didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 ) Langkah 2 :

Langkah 2 :

Persamaan garis singgung pada umumnya “ membagi adil “ persamaan. Persamaan garis singgung pada umumnya “ membagi adil “ persamaan.

Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka menjadi Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka menjadi persamaannya menjadi

persamaannya menjadi

( x – 2 ) ( x – 2 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat ( x – 2 ) ( x – 2 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat titik singgungnya. titik singgungnya. ( ( –1,–3 –1,–3 ) ) ( ( –1,1 –1,1 )) (–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + (–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + 1 ) ( y + 1 1 ) ( y + 1 ) = 13 ) = 13 (–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 + 1 ) ( y + ( 1 + 1 ) ( y + 1 ) = 131 ) = 13 – –3 3 ( ( x x – – 2 2 ) ) + + –2 –2 ( ( y y + + 1 1 ) ) = = 13 13 –3 –3 ( ( x x – – 2 2 ) ) + + 2 2 ( ( y y + + 1 1 ) ) = = 1313 ––33x x + + 6 6 – – 22y y – – 2 2 = = 113 3 ––33x x + + 6 6 + + 22y y + + 2 2 = = 1133

(2)

–3x

–3x – – 2y 2y + + 4 4 – – 13 13 = = 0 0 –3x –3x + + 2y 2y – – 13 13 + + 8 8 = = 00 ––33x x – – 22y y – – 9 9 = = 0 0 ––33x x + + 22y y – – 5 5 = = 00

{kedua ruas dikalikan dengan (–)}, maka akan diperoleh : {kedua ruas dikalikan dengan (–)}, maka akan diperoleh :

3x + 2y + 9 = 0 atau 3x – 2y + 5 = 0 , keduanya merupakan jawaban yang benar tetapi 3x + 2y + 9 = 0 atau 3x – 2y + 5 = 0 , keduanya merupakan jawaban yang benar tetapi hanya jawaban D yang tersedia pada option .

hanya jawaban D yang tersedia pada option .

2.

2. PersPersamaamaan garian garis singgs singgung liung lingkangkaran x² + y² – 2x – ran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 6y – 7 = 0 di tit0 di titik yanik yang berabg berabsis 5sis 5 adalah …. adalah …. aa.. 44x x – – y y – – 118 8 = = 00 bb.. 44x x – – y y + + 4 4 = = 00 cc.. 44x x – – y y + + 110 0 = = 00 dd.. 44x x + + y y – – 4 4 = = 00 ee.. 44x x + + y y – – 115 5 = = 00 Penyelesaian Penyelesaian Langkah 1 : Langkah 1 : Sub

Subtititutusisikakan n ninilalai i x x = = 5 5 padpada a pepersarsamamaan an lilingkngkararan an untuntuk uk memendndapaapatktkan an titititik k singgungnya. singgungnya. x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0 5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0 y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0 y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0 y² – 6y + 8 = 0 y² – 6y + 8 = 0 ( y – 2 ) ( y – 4 ) = 0 ( y – 2 ) ( y – 4 ) = 0 y

y =2 =2 ataatau u y y = = 4, 4, sehisehinggngga a koorkoordnidninat nat tittitik ik sinsinggunggungnygnya a adaadalah lah ( ( 5,2 5,2 ) ) dandan ( 5,4 ).

( 5,4 ).

Langkah 2 : Persamaan berbagi adil Langkah 2 : Persamaan berbagi adil x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 Langkah 2 : Langkah 2 :

Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0

(3)

(

( 5,2 5,2 ) ) ( ( 5,4 5,4 ))

x.x1 + y.y1

x.x1 + y.y1 – ( x + – ( x + x1 ) – 3( x1 ) – 3( y + yy + y1 ) – 7 1 ) – 7 = 0 = 0 x.x1 + y.y1 x.x1 + y.y1 – ( x + – ( x + x1 ) – 3( x1 ) – 3( y + y1 y + y1 ) – ) – 5x 5x + + 2y 2y – – ( ( x x + + 5 5 ) ) – – 3( 3( y y + + 2 2 ) ) – – 7 7 = = 0 0 7 7 = = 00 5x 5x + + 2y 2y – – x x – – 5 5 – – 3y 3y – – 6 6 – – 7 7 = = 0 0 5x + 5x + 4y 4y – – ( ( x x + + 5 5 ) ) – – 3( 3( y y + + 4 4 ) ) – – 7 7 == 44x x – – y y – – 118 8 = = 0 0 55x x + + 44y y – – x x – – 5 5 – – 33y y – – 112 2 – – 7 7 = = 00 4x + y – 24 = 0 4x + y – 24 = 0 3.

3. PePersrsamamaaaan n lilingngkakararan n yayang ng pupusasatntnya terya terleletatak k papada da gagariris s 2x 2x – – 4y – 4y – 4 4 = = 0, 0, sesertrtaa menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah ….

menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah …. a. a. x² x² + y+ y² + ² + 4x 4x + 4+ 4y + y + 4 = 4 = 00 b b.. x² x² + y+ y² + ² + 4x 4x + 4+ 4y + y + 8 = 8 = 00 c. c. x² x² + y+ y² + ² + 2x 2x + 2+ 2y + y + 4 = 4 = 00 d. d. x² x² + y+ y² – ² – 4x 4x – 4– 4y + y + 4 = 4 = 00 e. e. x² x² + y+ y² – ² – 2x 2x – 2– 2y + y + 4 = 4 = 00 Penyelesaian Penyelesaian

Dari soal terdapat pernyataan “ menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative Dari soal terdapat pernyataan “ menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative “, itu artinya lingkaran berada di kuadran III. Karena pusat lingkaran menyinggung “, itu artinya lingkaran berada di kuadran III. Karena pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y. kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y. Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat :

Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat : 2x – 4(x) – 4 = 0

2x – 4(x) – 4 = 0 –2x = 4

–2x = 4

x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2. lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2. Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum limgkaran :

Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum limgkaran : ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2² ( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2² x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 4.

4. PersamaPersamaan garis lan garis lingkaringkaran yang bean yang berpusat drpusat di ( 1,4 ) dan i ( 1,4 ) dan menyimenyinggung garnggung garis 3x – 4y is 3x – 4y – 2– 2 = 0 adalah ….

(4)

a. a. x² x² + y+ y² + ² + 3x 3x – 4– 4y – y – 2 = 2 = 00 b b.. x² x² + y+ y² – ² – 4x 4x – 6– 6y – y – 3 = 3 = 00 c. c. x² x² + y+ y² + ² + 2x 2x + 8+ 8y – y – 8 = 8 = 00 d. d. x² x² + y+ y² – ² – 2x 2x – 8– 8y + y + 8 = 8 = 00 e. e. x² x² + y+ y² + ² + 2x 2x + 2+ 2y – y – 16 16 = 0= 0 Penyelesaian Penyelesaian

Karena pusat lingkarannya sudah diketahui maka nilai lain yang tinggal dicari adalah Karena pusat lingkarannya sudah diketahui maka nilai lain yang tinggal dicari adalah jari – jarinya. Untuk menentukan nilai tersebut kita tinggal mencari jarak dari pusat jari – jarinya. Untuk menentukan nilai tersebut kita tinggal mencari jarak dari pusat lingkaran ke garis singgungnya dengan menggunakan jarak titik ke garis yaitu : lingkaran ke garis singgungnya dengan menggunakan jarak titik ke garis yaitu :

2 2 2 2 1 1 1 1 b b a a c c b byy a axx d d + + + + + + = =

Dari soal diketahui persamaan garisnya 3x – 4y – 2 = 0 berarti nilai a = 3, b = –4, dan Dari soal diketahui persamaan garisnya 3x – 4y – 2 = 0 berarti nilai a = 3, b = –4, dan c = –4, dengan titiknya yaitu ( 1,4 ) berarti nilai x

c = –4, dengan titiknya yaitu ( 1,4 ) berarti nilai x11= 1 dan y= 1 dan y11= 4.= 4.

M

Maassuukkkkaan n nniilliiaai i tteerrsseebbuut t kke e ddaallaam m rruummuus s jjaarraak k ttiittiik k kke e ggaarriiss

3 3 2 255 1 155 1 166 9 9 2 2 1 166 3 3 ) ) 4 4 ( ( ) ) 3 3 ( ( 2 2 ) ) 4 4 ( ( 4 4 ) ) 1 1 ( ( 3 3 2 2 2 2 == − − = = + + − − − − = = − − + + − − − − = = d d

Maskkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3. Maskkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3. ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3² ( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3² x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0 x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0 5.

5. Salah saSalah satu persatu persamaan garimaan garis singgus singgung linng lingkaran x² gkaran x² + y² = 2+ y² = 25 yang t5 yang tegak luegak lurus garis rus garis 2y2y – x + 3 = 0 adalah…. – x + 3 = 0 adalah…. a. a. 55 2 2 5 5 2 2 1 1 + + − − = = xx y y b. b. 55 2 2 5 5 2 2 1 1 − − − − = = xx y y c. c. y y ==22xx−−55 55 d. d. y y ==−−22xx++55 55 e. e. y y ==22xx++55 55

(5)

Penyelesaian Penyelesaian

Gradien dari persamaan garis ax +

Gradien dari persamaan garis ax + by + c by + c = 0 adalah= 0 adalah

b b a a m m==−−

Gradien dari persamaan garis 2y – x + 3 = 0 adalah Gradien dari persamaan garis 2y – x + 3 = 0 adalah

2 2 1 1 2 2 )) 1 1 (( = = − − − − = = m m , karena, karena

persamaan garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis 2y – x + 3 = 0 maka persamaan garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis 2y – x + 3 = 0 maka

gardien garis tersebut adalah

gardien garis tersebut adalah 22

2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 ==−− ==−− ==−− m m m m 6.

6. TentukTentukan persaman persamaan liaan lingkaran yngkaran yang berpang berpusat (3usat (3,4) dan ,4) dan berjariberjari-jari 6 -jari 6 !! a. a. xx22_{+ y}_{+ y}22_{- 6x - 8y - 11 = 0}_{- 6x - 8y - 11 = 0} bb.. xx22_{+ y}_{+ y}22_{- 2x - 7y - 35 = 0}_{- 2x - 7y - 35 = 0} c. c. xx22_{+ y}_{+ y}22_{- 8x - 8y – 5 = 0}_{- 8x - 8y – 5 = 0} d. d. xx22_{+ y}_{+ y}22_{- 3x - 8y -81 = 0}_{- 3x - 8y -81 = 0} e. e. xx22_{+ y}_{+ y}22_{- 6x - 8y - 11 = 0}_{- 6x - 8y - 11 = 0} Penyelesaian Penyelesaian (x - 3) (x - 3)22_{+ ( y - 4)}_{+ ( y - 4)}22_{= 6}_{= 6}22 _xx22_{+ y}_{+ y}22_{- 6x - 8y - 11 = 0}_{- 6x - 8y - 11 = 0} 7.

7. DiketDiketahui tiahui titik A(5,tik A(5,-1) dan B(2-1) dan B(2,4). Ten,4). Tentukan pertukan persamaan lsamaan lingkaringkaran yang dan yang diameteiameternyarnya melalui titik A dan B !

melalui titik A dan B ! a. a. xx22+ y+ y22- 9x - 1y + 8 = 0- 9x - 1y + 8 = 0 bb.. xx22+ y+ y22- 7x - 3y + 6 = 0- 7x - 3y + 6 = 0 c. c. xx22+ y+ y22- 1x - 4y + 4 = 0- 1x - 4y + 4 = 0 d. d. xx22+ y+ y22 – 2x - 4y + 3 = 0 – 2x - 4y + 3 = 0 e. e. xx22+ y+ y22- 2x - 3y + 4 = 0- 2x - 3y + 4 = 0 Penyelesaian Penyelesaian

(6)

8.

8. TenTentuktukan persaman persamaan lingaan lingkarakaran n yanyang g berpberpusat di titiusat di titik k (2,(2,-3) dan menyi-3) dan menyinggnggung garisung garis 3x - 4y + 7 = 0 ! 3x - 4y + 7 = 0 ! a. a. xx22 _{+ y}_{+ y}22_{– 9x + 3y – 64 = 0}_{– 9x + 3y – 64 = 0} bb.. xx22 _{+ y}_{+ y}22_{– 7 + 8y – 17 = 0}_{– 7 + 8y – 17 = 0} c. c. xx22 _{+ y}_{+ y}22_{– 4x + 6y – 12 = 0}_{– 4x + 6y – 12 = 0} d. d. xx22 _{+ y}_{+ y}22_{– 9x + 4y – 85 = 0}_{– 9x + 4y – 85 = 0} e. e. xx22 _{+ y}_{+ y}22_{– 8x + 3y – 15 = 0}_{– 8x + 3y – 15 = 0} Penyelesaian Penyelesaian 9.

9. TeTentntukukan pan pusausat lit lingngkarkaran xan x22_{+ y}_{+ y}22_{+ 4x - 6y + 13 = 0 !}_{+ 4x - 6y + 13 = 0 !}

aa.. ((--44,,33)) bb.. ((--22,,99)) cc.. ((--11,,22)) dd.. ((--22,,33)) ee.. ((--66,,44)) Penyelesaian Penyelesaian 10.

10. TentukTentukan jari-jaan jari-jari lingkari lingkaran xran x22_{+ y}_{+ y}22_{- 4x + 2y + c = 0 yang melalui titik A(5,-1) !}_{- 4x + 2y + c = 0 yang melalui titik A(5,-1) !}

a. a. 11 bb.. 22 c. c. 33 d. d. 44 e. e. 55 Penyelesaian Penyelesaian 11.

11. TentukTentukan m supaya lan m supaya lingkaraingkaran xn x22_{+ y}_{+ y}22_{- 4x + 6y + m = 0 mempunyai jari-jari 5 !}_{- 4x + 6y + m = 0 mempunyai jari-jari 5 !}

aa.. --1111 bb.. --1122

(7)

cc.. --1133 dd.. --1144 ee.. --1155 Penyelesaian Penyelesaian 12.

12. Agar garis y = x + c menyingAgar garis y = x + c menyinggung lingkgung lingkaran xaran x22_{+ y}_{+ y}22_{= 25 maka tentukan c !}_{= 25 maka tentukan c !}

aa.. ±±55√√22 bb.. ±±66√√88 cc.. ±±22√√22 dd.. ±±11√√44 ee.. ±±77√√88 Penyelesaian Penyelesaian 13.

13. TentukTentukan persamaan garian persamaan garis singgung lingkas singgung lingkaran xran x22_{+ y}_{+ y}22_{= 25 yang melalui titik (7,1) !}_{= 25 yang melalui titik (7,1) !}

aa.. 44xx--33yy==2255 bb.. 55xx--44yy==2266 cc.. 66xx--55yy==2277 dd.. 77xx--66yy==2288 ee.. 88xx--77yy==2299 Penyelesaian Penyelesaian 14.

14. TentukTentukan persamaan garian persamaan garis singgung pada lingks singgung pada lingkaran xaran x22_{+ y}_{+ y}22_{- 4x + 6y - 12 = 0 di (5,1 )}_{- 4x + 6y - 12 = 0 di (5,1 )}

aa.. 55x x + + 77y y – – 116 = 6 = 00 bb.. 3x 3x + 4+ 4y – y – 119 = 9 = 00 cc.. 55x x + + 88y y – – 223 = 3 = 00 dd.. 9x 9x + + 99y y – – 118 = 8 = 00 ee.. 77x x + + 22y y – – 665 = 5 = 00

(8)

Penyelesaian

15. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x2_{+ y}2_{= 169 menyinggung lingkaran}

(x - 5)2 + ( y - 12)2 = p . Tentukan p ! a. 167 b. 168 c. 169 d. 170 e. 171 Penyelesaian

16. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y ! a. x2_{+ y}2_{- 9x - 3y + 7 = 0} b. x2_{+ y}2_{- 2x - 1y + 9 = 0} c. x2_{+ y}2_{- 4x - 9y + 4 = 0} d. x2_{+ y}2_{- 6x - 4y + 4 = 0} e. x2_{+ y}2_{- 3x - 6y + 1 = 0} Penyelesaian

17. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90o_{searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh}

(9)

a. a. xx22_{+ y}_{+ y}22_{– 8x + 3y + 5 = 0}_{– 8x + 3y + 5 = 0} bb.. xx22_{+ y}_{+ y}22_{– 9x + 3y + 5 = 0}_{– 9x + 3y + 5 = 0} c. c. xx22_{+ y}_{+ y}22_{– 1x + 2y + 5 = 0}_{– 1x + 2y + 5 = 0} d. d. xx22_{+ y}_{+ y}22_{– 6x + 8y + 5 = 0}_{– 6x + 8y + 5 = 0} e. e. xx22_{+ y}_{+ y}22_{– 6x + 6y + 5 = 0}_{– 6x + 6y + 5 = 0} Penyelesaian Penyelesaian 18.

18. Tentukan jari-jari lingkaran yang mTentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titielalui titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) !k A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) ! aa.. √√1133 bb.. √√1144 cc.. √√1155 dd.. √√1166 ee.. √√1177 Penyelesaian Penyelesaian 19.

19. DikDiketaetahui hui linlingkagkaran ran dendengan gan perspersamaamaan an xx22 ₊_{+ yy}22 _{+ b}_{+ bx -}_{x - 66y +}_{y + 225 =}_{5 = 0 d}_{0 daan b}_{n b < 0}_{< 0}

menyinggung sumbu X. Tentukan nilai b ! menyinggung sumbu X. Tentukan nilai b !

aa.. --99 bb.. --1100 cc.. --1111

(10)

dd.. --1122 ee.. --1133

Penyelesaian Penyelesaian

20.

20. LinLingkargkaran xan x22 _{+ y}_{+ y}22_{- 2 px + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis}_{- 2 px + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis}

x – y = 0 bila nilai p yang positif = …… x – y = 0 bila nilai p yang positif = ……

aa.. √√22 bb.. 22√√22 cc.. 33√√22 dd.. 44√√22 ee.. 55√√22 Penyelesaian Penyelesaian 21.

21. TentukTentukan persamaan lingkaan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran xran x22_{+ y}_{+ y}22_{- 4x + 6y - 17 =}_{- 4x + 6y - 17 =}

0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 ! 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 !

aa.. ((x x - - 99))22_{+ (y + 7)}_{+ (y + 7)}22_{= 32}_{= 32} bb.. ((x x - - 66))22_{+ (y + 2)}_{+ (y + 2)}22_{= 27}_{= 27} cc.. ((x x - - 99))22_{+ (y + 3)}_{+ (y + 3)}22_{= 22}_{= 22} dd.. ((x x - - 22))22_{+ (y + 3)}_{+ (y + 3)}22_{= 25}_{= 25} ee.. ((x x - - 33))22_{+ (y + 3)}_{+ (y + 3)}22_{= 21}_{= 21} Penyelesaian Penyelesaian