( ). /. /. /. /. /. /

(1)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 1

FUNGSI PEMBANGKIT BIASA

Fungsi pembangkit biasa digunakan untuk membilang, yaitu mencari banyaknya suatu pilihan dalam mengambil objek atau banyaknya cara dalam melakukan kegiatan tertentu.

1. Definisi

Suatu fungsi

( ) ∑

disebut fungsi pembangkit biasa dari barisan tak hingga bilangan real Contoh 1.1 a. Untuk sembarang n ∈ Z+ ( ) ∑ . / ∑ . / . / . / . / . /

Dengan demikian ( ) ( ) adalah fungsi pembangkit dari barisan: . / . / . / . /

b. Jika ( ) dibagi dengan ( ) dengan cara pembagian biasa, maka diperoleh Dengan demikian : , sehingga ( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan

(2)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 2 c. Dengan cara yang sama, jika ( ) dibagi oleh ( ), maka akan diperoleh

, sehingga: ( )

adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan

d. Jika 1 dibagi dengan dengan cara pembagian biasa, maka diperoleh :

Dengan demikian

sehingga ( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan

e. Dari hubungan pembagian

dapat ditentukan bahwa: ( ) ( )

( ) , sehingga ( )

( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan 1, 2, 3, 4, . . . f. Dari hubungan pada butir e:

( ) dapat ditentukan bahwa: ( ) ( ) Sehingga ( )

( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan 0, 1, 2, 3, 4, . . . g. Dari hubungan pada butir f:

( ) dapat ditentukan bahwa {( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(3)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 3 ( )( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga ( ) ( )

( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan h. Dari hubungan pada butir e: ( )

Dapat ditentukan bahwa:

( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga ( )

adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan 1, 1, 0, 1, 1, … Demikian pula: ( ) ( ) ( ) Sehingga ( )

adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan 1, 1, 1, 3, 1, 1, …

Contoh 1.2

Fungsi pembangkit biasa dari barisan 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . . dapat dicari dengan menggunakan pola : Dari:

Dapat diketahui bahwa : dengan n 0, sehingga :

(4)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan demikian :

( )

( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . .

Dari pembahasan tentang binomial dapat ditentukan bahwa : . /

( )

( )( ) ( )

Untuk n, r dan n 0, dengan demikian untuk n , dapat ditentukan bahwa: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₎ Contoh 1.3

Sesuai dengan pembahasan dalam kalkulus, Deret Maclaurin dari ( ) adalah : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )_{( )} Jika ( ) ( ) _{maka :} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( )( )} _, _{( ) ( )( )} _{( )} ( )_{( ) ( )( ) ( )( )} ( )_{( ) ( – )( – ) ( )}_, Sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( )

(5)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 5 ( ) ∑ ( ) ( ) . / . / . / . / ∑ . /

Berarti ( ) ( ) adalah fungsi pembangkit dari barisan ( ) ( ) ( )

Latihan 1

1. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh a. ( ) b. ( ) c. ( )

2. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh a. ( ) b. ( ) c. ( )

3. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh a. ( )

b. ( )

4. Carilah fungsi pembangkit biasa dari barisan 1, -4, 16, -64, … 5. Carilah fungsi pembangkit biasa dari barisan 2, 8, 32, 128, … 6. Carilah

a. . / b. . / c. . /

(6)

2. MENERAPKAN FUNGSI PEMBANGKIT BIASA

Dalam menerapkan fungsi pembangkit biasa ini, langsung saja kita lihat beberapa contoh di bawah ini yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari

Contoh 2.1

Seorang ibu mempunyai 2 jeruk yang akan dibagikan kepada anak-anaknya yaitu Ani dan Budi. Ada berapa cara yang bisa dilakukan ibu untuk membagikan jeruk kepada anak-anaknya ?

Jawab :

Cara 1:

Dengan cara mendaftarnya secara rinci

No. Ani Budi

1. 2. 3. 2 1 - - 1 2 Banyaknya cara membagi adalah tiga Cara 2:

Dengan bantuan kombinasi dan persamaan linier, permasalahan dapat dinyatakan dalam model matematika.

=banyaknya jeruk yang diterima Ani = banyaknya jeruk yang diterima Budi

Keadaan ini sesuai dengan kombinasi berulang 2 unsur dari 2 unsur, sehingga banyaknya seluruh keadaan adalah :

( ) ( ) Cara 3 :

Keadaan jumlah jeruk yang diterima Ani maupun Budi adalah 0 jeruk, 1 jeruk, 2 jeruk. Jika dinyatakan dalam bentuk polinomial, maka diperoleh atau

karena perkalian polinomial menghasilkan suku-suku dari yang pangkatnya dijumlahkan, maka gabungan keadaan jumlah jeruk yang diterima Ani dan Budi

(7)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 7 Karena jumlah jeruk seluruhnya hanya dua, maka gabungan keadaan-keadaan jumlah jeruk yang diterima oleh Ani dan Budi tidak dalam bentuk suku maupun tetapi suku

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Koefisien dari f(x) adalah 3, jadi banyaknya seluruh cara membagi jeruk adalah 3.

Contoh 2.2

Dari contoh 2.1, jika jumlah jeruk yang dibagi adalah 4, maka banyaknya cara membagi dapat dijelaskan sebagai berikut :

Cara 1: Mendaftarnya secara rinci

No. Ani Budi

1. 2. 3. 4. 5. 4 3 2 1 - - 1 2 3 4 Banyaknya cara membagi adalah 5 Cara 2. : Model persamaan linier :

Nilai kombinasi berulang 4 unsur dari 2 unsur adalah : ( ) ( )

Cara 3: Fungsi pembangkit yang mewakili cara pembagian adalah : ( ) ( )( )

Karena jumlah jeruk yang dibagi ada 4, maka yang dicari adalah koefisien , yaitu diperoleh dari: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Jadi banyaknya seluruh cara membagi jeruk adalah 5.

Berdasarkan contoh 2.1 dan contoh 2.2 dapat diketahui bahwa model persamaan linier dengan penyelesaian bulat mempunyai hubungan dengan koefisien tertentu suatu suku dari suatu fungsi pembangkit biasa. Fungsi pembangkit biasa ini mewakili

(8)

keadaan-Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 8 keadaan dalam suatu distribusi unsur yang dapat dilakukan dengan menggunakan tabel. Cara tabel tentu menjadi kurang praktis, karena memerlukan waktu lebih banyak dan tempat lebih panjang, jika jumlah unsur yang didistribusikan bertambah banyak, dan penerima distribusi juga bertambah banyak. Berikut ini berbagai contoh yang memperjelas keterkaitan dari cara 1, cara 2, dan cara 3.

Contoh 2.3

Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa dari penyelesaian bulat persamaan-persamaan :

)

Jawab :

a) Mencari koefisien _{dari fungsi pembangkit biasa :} ( ) ( ) b) Mencari koefisien x20_{dari fungsi pembangkit biasa :}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Contoh 2.4

Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa dari: a) Banyaknya memilih 10 permen dari 6 merek permen b) Banyaknya cara mengambil r unsur dari n jenis unsur Jawab :

a) Mencari koefisien _{dari :}_{( ) (} ₎ b) Mencari koefisien dari : ( ) ( )

Contoh 2.5

Carilah permasalahan fungsi pembangkit dari mencari banyaknya penyelesaian bulat persamaan:

Jawab:

Misalkan , , , dan , maka : untuk , dapat ditentukan ,

(9)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 9 untuk , dapat ditentukan ,

untuk , dapat ditentukan , untuk , dapat ditentukan ,

Sehingga : , dapat diganti menjadi :

( ) ( ) ( ) , , , , , , , ,

Jadi permasalahan fungsi pembangkit yang dicari adalah menentukan koefisien _dari ( ) ( ) ( )

Contoh 2.6

Seorang ibu membagikan 24 jeruk kepada 4 anaknya sehingga masing-masing anak menerima paling sedikit 3 jeruk tetapi tidak lebih dari 8 jeruk. Ada berapa cara membagikan jeruk ?

Jawab :

Permasalahan di atas dapat diubah menjadi permasalahan fungsi pembangkit biasa, yaitu mencari koefisien _dari_{( ) (} ₎

( ) , (

.

/

₍ ₎ _{( )} Koefiaien _dari_{( )}_adalah _dari_{( ) (} ₎ _{( )}

{ ( ) ( ) _{} {(} ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ _}

Koefisien _dari_{( )}_adalah₍

) ( ) ( _{) (} ₎₍ ₎ ( ) ₍ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – ( )

(10)

Contoh 2.7

Carilah banyaknya cara menempatkan 20 bola sejenis dalam 6 kotak sehingga kotak pertama berisi 1 sampai dengan 5 bola dan kotak-kotak yang lain paling sedikit berisi 2 bola.

Jawab :

Masalah ini sama dengan mencari penyelesaian bulat :

, , , , Penyelesaian masalah ini adalah sebagai berikut :

Pertama dicari penyelesaian yang memenuhi , dan , yaitu sebanyak

( ) ( )

Kedua dicari penyelesaian yang memenuhi , , yaitu sebanyak ( ) ( )

Banyaknya penyelesaian bulat adalah

( ) ( )

Cara lain menyelesaikan masalah ini adalah mencari koefisien _{dari suatu fungsi} pembangkit biasa : ( ) ( )( ) ( )* ( )+ ( )

Koefisien _dari_f₍_x_{) adalah koefisien} _dari ( )

( )

₍ _{)( )}

[( )( ) ( )( ) ][( )( ) ( )( ) ] Koefisien dari ( ) adalah :

[( ) ( )] [ ( ) ( )]

[ ( )] [ ( )]

(11)

Fungsi Pembangkit Biasa, Sri Rahayuningsih Page 11 [( )] [ ( )] [( )] [ ( )] ( ) ( ) Contoh 2.8

Carilah barisan yang dibangkitkan oleh ( )

Jawab :

( )

( )( ) ( ) ( )

Untuk , diperoleh ( ), sehingga Untuk , diperoleh ( ), sehingga ( ) ₍ ) ( ) [ ∑ . / ] [ ∑ . / ] [ ∑ ( ) ] [ ∑ ( ) ] ∑ ( )

Barisan yang dibangkitkan adalah : . / . / . /

(12)

Latihan 2

1. Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa dari penyelesaian bulat persamaan berikut:

a.

b. , genap dan ganjil 2. Carilah koefisien:

a. _dari_{( ) (} ₎ b. _dari_{( ) (} ₎

c. _dari_{( ) (} ₎₍ ₎₍ ₎ 3. Carilah barisan yang dibangkitkan oleh

( ) 4. Buktikan bahwa . / ∑. / untuk semua 5. Carilah koefisien dari ( )

( )( )

6. Seorang Ibu mempunyai 12 jeruk, akan dibagikan ke tiga anaknya, anak pertama paling sedikit menerima 4 jeruk, anak kedua dan ketiga masing-masing paling sedikit menerima 2 jeruk, tetapi anak ketiga tidak boleh menerima lebih dari 5 jeruk. Ada berapa cara Ibu dalam membagikan jeruk kepada anak-anaknya?

7. Sebutkan permasalahan fungsi pembangkit biasa dari permasalahan berikut:

a. Ada 4 warna permen, yaitu merah, hijau, putih dan kuning. Seorang anak mengambil 24 permen sedemikian hingga jumlah permen putih genap, dan paling sedikit 6 permen adalah kuning. Ada berapa cara mengambil permen? b. Seorang direktur akan membagikan 25 lembar sepuluh ribuan kepada 4 orang

karyawannya. Ada berapa cara membagi?

8. Ada berapa cara mendistribusikan 3000 amplop dalam kotak-kotak yang berisi masing-masing 25 amplop, kepada empat kelompok siswa, sehingga setiap kelompok menerima paling sedikit 150 amplop, tetapi tidak boleh lebih dari 1000 amplop.