fourier dönüşümü

FOURIER SERİLERİ

Fourier serileri sadece sin veya cos trigonometrik fonksiyonunu içerdiğinden, karmaşık fonksiyonların hesaplarında ve bunlarla gerçekleştirilen işlemlerde kolaylık sağlamaktadır.

Temel periyodu ( 2 ) 0 0 0     = T

T ω π olan herhangi bir f =x

( )

t fonksiyonu, üç farklı gösterimdeki Fourier seri açılımlarıyla ifade edilebilir. Bunlar;1

a.Fourier Serilerinin Trigonometrik Formu

τ Periyodundaki bir x(t) sinyalini Fourier serileri ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. nwt b wt b wt b nwt a wt a wt a a t

x cos cos2 .... ncos sin sin2 .... nsin

2 ) ( = 0 + 1 + 2 + + + 1 + 2 + + [a.1] Buradaki 2 o a

sabit terim olmakla birlikte frekansın olduğu andaki dc terimi ifade eder. 2.1 nolu denklem serilerin genel ifadesidir. Bunu normal bir sinyal şeklinde ifade edebilmemiz için an ve bn terimlerinin bulunması

gereklidir. Bu terimlerin bulunmasında integral fonksiyonundan faydalanacağız.

Denklemle ilgili faydalı integrallerin sonuçları aşağıda verilmiştir.

∫

= τ 0 0 ) sin(nwt dt

∫

τ = 0 0 ) cos(nwt dt

∫

τ o dt mwt nwt ).sin( ) sin( _{=0 ⇔ m≠}n = 2 τ _{⇔ m=n}

∫

τ 0 ) cos( ). cos( nwt mwt dt _{=0 ⇔ m≠}n = 2 τ _{⇔ m=n}

∫

τ 0 ) cos( ).

sin(nwt mwt dt _{=0 ⇔} bütün m ve n’ler için

a.1 nolu denklem için ± 2

τ _{sınırları için integral alınırsa,}

dt a dt t x

∫

∫

+ − + − = 2 2 2 2 0 2 ) ( τ τ τ τ 2 0τ a

= Olur. (Sağ taraftaki terimler üstte verilen integral sonuçlarına göre sıfır olur.)

a0’ı buradan çekersek,

∫

+ − = 2 2 0 ( ) τ τ dt t x

a olur. Burada sadece a0’ ı

bulduk anve bn’leri bulmak için ana denklemin her iki tarafını cos( nwt )ile

çarpıp integral alırsak

∫

∫

+ − + − = 2 2 2 2 . cos cos ) ( τ τ τ τ dt nwt a nwt t

x _n Olur. Baştaki trigonometrik formüllerin

integral sonuçlarına göre n ve m nin eşit olduğu cos’lu çarpım hariç diğer çarpımlar sıfır olur, buradan da denklem

∫

+ − = 2 2 . cos ) ( 2 τ τ τ x t nwt dt

a_n Halini alır. n yerine sıfır koyarsak baştaki a0

formülü elde edilir.

Aynı şekilde ana denklemin her iki tarafı sin( nwt )_{ile çarparsak} b_n

bulunur.

∫

+ − = 2 2 . sin ) ( 2 τ τ τ x t nwt dt b_n Olur.

Denklemlerini daha güzel bir şekilde ifade edersek 3 ana denklem elde ederiz. ∗

∑

∞

∑

= ∞ = + + = 1 1 0 _{cos sin .} 2 ) ( n n n n nwt b nwt dt a a t x _[a.2] ∗

∫

+ − = 2 2 . cos ) ( 2 τ τ τ x t nwt dt a_n [a.3]

∗

∫

+ − = 2 2 . sin ) ( 2 τ τ τ x t nwt dt b_n (w=2_τπ_{) [a.4]} ÖRNEK 1:

Kare dalga sinyali için Fourier katsayılarını bulup açılımını yazınız.

ÇÖZÜM:

Fourier katsayılarını bulabilmek için hangi aralıkta integral almamız gerektiğini belirlemeliyiz. Genellikle integral alınacak aralık küçük parçalara (aralıklara)bölünür ve her aralık için farklı bir fonksiyon kullanılır. Aralığı − ≤t 2 τ _{<0 alırsak;} x(t)=−V − ≤t 2 τ _<0 x(t)=+V _0≤t< 2 τ n

a _{Katsayısını bulmak için 2.3 nolu denklemi kullanırsak;}

∫

+ − = 2 2 . cos ) ( 2 τ τ τ x t nwt dt a_n ] ) (sin ) sin [( 2 .. cos ) ( 2 . cos ) ( 2 ₂ 0 0 2 0 2 2 0 Τ − − + − = + + − =

∫

∫

nwt I nwt I nwt V dt nwt V dt nwt V a_{n τ} τ τ τ τ 0] 0 2 sin ) 2 sin( 0 [ 2 _{+ − + − =} = nwt nwt nwt V

∫

− = 2 2 . sin ) ( 2 τ τ τ x t nwt dt b_n

∫

∫

− + + = + − = − − 2 0 2 0 0 2 0 2 ] ) cos ( ) [(cos 2 . sin ) ( 2 . sin ) ( 2 τ τ τ τ τ τ nwt nwt I nwt I V dt nwt V dt nwt V b_n [2 2cos( 2 )] 2 ] 1 ) 2 cos( ) 2 cos( 1 [ 2 τ τ τ τ τ nw nw V nw nw nw V bn = − − − + = − Burada τ π τ π nw _n w= ⇒ = 2 2

olur. Böylece denklem _π n V b_n =4 ⇔ n tek (n>0) bn =0 ⇔ n çift sin5 .... 1sin ] 5 1 3 sin 3 1 [sin 4 ) ( nwt n wt wt wt V t x = + + + + π

b.Fourier Serilerinin Exponansiyel Formu

Temel x(t) sinyalini doğal logaritma tabanında kullanarak daha kolay ifade edebiliriz. 2 cos jnwt jnwt _e e nwt = + − ve nwt e _je jnwt jnwt 2

sin = − − eşitliklerini denklem a.2’de yerine yazar isek;

∑

∑

∞ = − − ∞ = − + + + = 1 1 0 2 ) ( ) 2 ( 2 ) ( n jnwt jnwt n jnwt jnwt n n j e e b e e a a t x jnwt n n n n jnwt a jbn a jbn _e e a t x ∞ − = ∞ =

∑

− +

∑

+ + = 1 1 0 2 ) ( 2 ) ( . 2 ) (

a ve b’li ifadelere katsayılar atarsak,

∑

∞

∑

= ∞ = − + + = 1 1 * 0 ) ( n n jnwt n jnwt ne C e C C t x buradan, x(t)=

∑

∞ −∞ = n jnwt ne C bütün şartlarını sağlar. Cn ise 2 jbn a_n− _idi.

∫

∫

− − − = − = 2 2 2 2 ). ( 2 1 ) sin ).(cos ( 2 2 1 τ τ τ τ τ x t nwt j nwt dt x t e dt C jnwt n

böylece x(t) çekilirse x(t)=

∑

∞ −∞ = n jnwt ne C

∫

− − = 2 2 ) ( 1 τ τ τ x t e dt C jnwt n

şeklinde iki çok basit sade formül elde ederiz.2

c. Harmonik Fourier serisi

( )

_∑

∞

(

)

= + + = 1 0 0 .cos k k k k t R R t x ω θ veya

( )

_∑

∞

(

)

= + + = 1 0 0 .sin k k k k t R R t x ω θ Bu eşitlikte

♦ R0 ,Doğru akım bilşeni, ♦ Rk ,harmonik genliği, ♦ θk da faz açısını

göstermekte olup Rk.cos

(

kω0t+θk

)

veya Rk.sin

(

kω0t+θk

)

, k. harmonik bileşen olarak adlandırılır. Tabloda bazı periyodik fonksiyonlara ait seri açılımları ve grafikleri verilmektedir.

Periyodik fonksiyon ve seri

açılımı Grafiği

( )







=

tx

1 1 − , , 0 0 < < − < < t t π π

( )

( )

( )

( )

      _{+ + +} = ... 5 5 sin 3 3 sin sin 4 t t t t x π t t x( )=

,

0<t<2_π

( )

( )

( )

( )

      _{+ + +} − = ... 3 3 sin 2 2 sin sin 2 x x x t x π 2_{http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22837}

t t x( )=

,

_{0<t <π}

( )

( )

( )

( )

      _{+ + +} − = ... 5 5 cos 3 3 cos cos 4 2 2 2 t t t t x π π t t x( )=

,

−

π

< _t<

π

( )

( )

( )

( )

      _{− + +} = ... 3 3 sin 2 2 sin sin 2 x x x t x ÖRNEK:







=

)

(

t

x

₅0 _,, ₀ 4 ₄0 < < < < − t t

fonksiyonunun Fourier seri açılımını yapınız. 4 8 2 8 ₀ 0 π π ₌ = → = w T

( )

∫

=

∫

= 0 4 0 0 0 5 8 2 2 T dt dt t x T a

( )

(

)

∫

∫

      = = 0 4 0 0 0 4 cos 5 8 2 cos . 2 T k dt t k dt t k t x T a ω π                = 4 0 4 sin 4 4 5 k t k π π

( )

{

}

π π k k cos 1 5 − =

( )

_∑

∞

{

(

)

(

)

}

= + + = 1 0 0 0 .cos .sin 2 1 k k k t b k t a a t x ω ω

( )

∑

∞_{= }                    − + = 1 4 sin . cos 1 5 2 5 k t k k kπ π π       ₊       +       +       + = .... 4 5 sin 5 1 4 3 sin 3 1 4 sin 10 2 5 πt πt πt π

3

1.Simetri Etkisi

Önceki örnekte ankatsayıları 0 dır. Ve dikkat edersek x(t)

fonksiyonu tek bir fonksiyondu. Biz biliyoruz ki x(-t)=x(t) çift fonksiyonları temsil eder. x(-t)=-x(t) ise tek fonksiyonları temsil eder. Buna göre cosinüs fonksiyonu çift bir fonksiyondur. Sinüs ise tek bir fonksiyondur. Tabi ki bunların tüm harmonikleri de aynı özelliğe sahiptir.

Bu özellikten yola çıkarak tek bir fonksiyon Fourier serisinde yalnız tek fonksiyon tarafından temsil edilir. Aynı şekilde çift bir fonksiyonda çift fonksiyon tarafından temsil edilir.

Fourier serilerinin trigonometrik gösteriminde sinüs ve cosinüs fonksiyonlarını kullandığımıza göre eğer x(t) sinyali çitse bu sinyali cosinüs sinyal cinsinden tek ise sinüs sinyali cinsinden yazarız. Bunun sonucu olarak ta sinyal tekse serinin açılımındaki tüm anler 0, çiftse tüm bn ler 0

dır.

1.1 Yarım dalga simetri

Şayet bir simetrik sinyal tek ya da çift ise onun tek yarım dalga simetri veya çift yarım dalga simetriye sahip olup olmadığı araştırılır.

τ

temel sinyalin periyodu ise; ) ( )

2

(t x t

x +τ = ⇒ Çift yarım dalga simetri vardır.

⇒ − = + ) ( ) 2 (t x t

x τ _{tek yarım dalga simetri vardır.}

Bir simetrik sinyal çift yarım dalga simetriye sahip ise onu Fourier serisinde tek katsayılı harmonikler olmaz. Aynı şekilde tek yarım dalga simetri varsa Fourier serisinde çift katsayılı harmonikler olmaz. Bu da bize hesaplamada kolaylık sağlar çünkü sadece n’nin tek ve çift değerleri için hesap yaparız.

ÖRNEK:

Peak V voltaja sahip [

2 o T − _, 2 o T

+ _{] periyotlu bir üçgen dalga sinyalin Fourier}

seriye açılımını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Bu sinyali simetriklik bakımından incelediğimiz zaman tek simetriye sahip olmakla beraber yarım dalga simetri özelliği de vardır. Böylece sadece bn

katsayılarını n’in tek değerleri için hesaplamamız yeterlidir. Öyle ise;

o T Vt 4 0≤t≤To/4 V(t)= 2V - o T Vt 4 To /4<t≤To/2

buradan bn katsayıları a.4 nolu denklemle bulabiliriz; =

∫

+

∫

− 4 / 0 2 / 4 / . sin ) 4 2 ( 4 . sin 4 4 o o o T T T o o o o o o n nw tdt T Vt V T dt t nw T Vt T b

bu uzun integralin sonucunu yazarsak

2 sin 8 2 2 π π n n V

b_n = n’ in tek değerleri için Fourier seriye açınımını yazarsak; V(t)=

∑

∞ = t e k n n o t n w n V ,1 2 2 s i n 8 π şeklinde olur.4 FOURİER DÖNÜŞÜMLERİ

Fourier serileri, sonlu sınırları olan periyotlarda tekrarlanan fonksiyonlar içindir. Bir fonksiyon periyodik değilse ve aynı zamanda bütün uzayda tanımlıysa Fourier serisi anlamsızdır. Bu durumlarda, Fourier serilerinin genel biçimi olarak kabul edilecek olan Fourier dönüşümü ele alınmalıdır. Matematikte benzer integral dönüşümleri kullanılmaktadır. Örnek olarak Laplace dönüşümü verilebilir.

Fourier dönüşümü esas olarak Fourier serisinden türetilir. Ancak dönüşümün sonunda elde edilen artık bir serinin terim katsayıları değil, bir fonksiyondur. Fourier dönüşümü, birbiriyle bir integral dönüşümü altında ilişkili olan iki uzay arasındaki dönüşümdür. Bir başka deyişle, bir olay bu uzayların her ikisinde de gözlenebilir. Örneğin kartezyen koordinatlarda konum değişkeni x olan bir fonksiyonun Fourier dönüşümü, gözlenen olayı değişkeni 1/x ile orantılı olan bir uzaya taşır.5

1.Fourier Dönüşümünün Elde Edilişi:

(

( cos sin ) 2 ) ( 1 0 T x n b T x n a a x f _n n n π π + + =

∑

∞ = ve dx T x n x f T a T T n ( ).cos . 1 π

∫

− = dx T x n x f T b T T n ( ).sin . 1 π

∫

−

= olduğunu biliyoruz. Bu durumda T→∞ olduğunda Fourier Serisi yerini Fourier İntegrallerine bırakıyor. Eğer f(x) ve f’(x)parçalı sürekli fonksiyonlar ve,

4_{http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22837} 5_{Sayısal Çözümleme-Recep TAPRAMAZ-Literatür Yayıncılık}

ise; ) ( <∞

∫

∞ ∞ − dx x f 1.

∫

∞ + = 0 ) sin ). ( cos ). ( ( ) (x Aα αx B α αx dα f 2. A( ) 1 f(u).cosαu.du π α ∞

_∫

∞ − = 3. B( ) 1 f(u).sinαu.du π α

_∫

∞ ∞ − =

2. ve 3.’ü 1.’de yerine koyarsak;

[

α α

]

α π α α π f u udu u f u udu x d x

f 1 ( ).cos . cos 1 ( ).sin . .sin

2 1 ) (     +     =

_∫

_∫

_∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ −

f(u)

[

cosαu.cosαx sinαu.sinαx

]

du.dα 2 1 + =

_{∫ ∫}

∞ ∞ − ∞ ∞ −

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − = α α π f u x u dud x f ( )cos ( ) . 2 1 ) (

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − = α α π i f u x u dud i . ( )sin ( ) . 2 1 . 0

(

)

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − + − = α α α α π f u x u i x u dud dud x f ( ).cos ( ) sin ( ) . . 2 1 ) (

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − = α π f u eα dud x f _{( ).} i x u _. 2 1 ) ( ( )

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − = α π α α_{e dud} e u f x f _{( ).} i x i u _. 2 1 ) (

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − −     = e d f u e du x f iαx _α iαu π ( ). 2 1 ) (

∫

∞ ∞ − − = ( ) ) ( f u e du

F _α iαu _{f(u)’nun fourier dönüşümü (1)denir.}

∫

∞ ∞ − = α α π α _d e F u F _{( )} i x 2 1 )

( Ters fourier dönüşümüdür.(2)Yani;

F(α)’nın bilinmesi halinde f(u)’nun bulunması için kullanılır.Ters dönüşümün varlığı, yani (2)’deki integralin yakınsak olması ve yakınsaklık halinde gerçekten f(u)’yu vermesi için f(u)’nun sürekli olması yeterlidir. 2.Özel Durumlar:

∫

∫

∞ ∞ = = 0 0 u.du f(u)sin sin 2 ) ( α α α π xd x F

∫

∞ = 0 u.du f(u)sin ) (α α s F Fourier-Sin Dönüşümü

∫

∞ = 0 sin ) ( 2 ) ( α α α π F xd x f _s 2)f(x) çift ⇒B(α)=0

∫

∫

∞ ∞ = = 0 0 u.du f(u)cos . cos 2 ) ( α α α π xd x f

∫

∞ = 0 u.du f(u)cos ) (α α c F Fourier-Cos Dönüşümü

∫

∞ = 0 c( )cos .d F ) (x α αx α f 6 3.Fourier Dönüşümünün Özellikleri a.Doğrusallık

Fourier dönüşümü, doğrusal özellikli bir dönüşümdür. Eğer bir f(t)

fonksiyonu f1(t), f2(t), f3(t)… fonksiyonlarının doğrusal birleşimi şeklindeyse,

yani c1, c2, c3… sabitler olmak üzere

... ) ( ) ( ) ( ) (t =c1f1 t +c2f2 t +c3f3 t + f _(1.6)

biçiminde ise, bunun Fourier dönüşümü

... )} ( { )} ( { )} ( { )} ( {f t =c1F f1 t +c2F f2 t +c3F f3 t + F (1.7)

olacaktır. Bu özellik ters dönüşüm için de geçerlidir. b.Türev özelliği

Bir f(t) fonksiyonunun türevinin Fourier dönüşümü, dönüşümün tanımı ve kısmi integrasyon yöntemi kullanarak (Denklem 1.1 ve 1.2) kolayca gösterilebilir. ) ( ) ( ) ( 1 ω iωF ω dt t df F F =−       = (1.8)

ifadede F(

ω

) , Teorem 1.1 ile tanımlanan f(t) fonksiyonunun dönüşümüdür. Benzer biçimde, fonksiyonun ikinci türevinin Fourier dönüşümü de, ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ω ω F ω dt t df F F =−       = (1.9)

olacaktır. Genel biçimiyle bir fonksiyonun herhangi bir n mertebeli türevinin Fourier dönüşümü, ) ( ) ( ) ( ) (ω iω F ω dt t df F F n n n n = −       = (1.10)

olarak verilir. Türev özelliği, çeşitli fiziksel olayları temsil eden diferansiyel denklem çözümlerinde büyük kolaylık sağlar.

Örnek: Şekilde verilen elektronik devrenin girişine bir sinyal uygulandığı zaman çıkıştan nasıl bir sinyal alınacağını, yani devrenin tepkisini inceleyelim. L indiktörü ve C kapasitörü üzerinden geçen akım I alınırsa, Kirchoff gerilim yasasına göre devrenin denklemi,

dt dl L C q V_g = +

olur.R1 ve R2 dirençlerinin çıkış sinyal şekline doğrudan katkısı olmadığı için

bunlar denklemde dikkate alınmayacaktır. Denklemin zamana göre türevi alınırsa, dt dq I = olduğundan, 2 2 1 dt t d L I C dt dVR _{= +}

şeklindeki diferansiyel denklem elde edilecektir. Bu denklemin çözümünden elde edilen I akımıyla çıkış sinyali bulunur.

Şimdi denklemin frekans uzayına(

ω

) Fourier dönüşümünü alalım:

{ }

      + =       2 2 1 dt t d LF I F C dt dV F g

Denklem 1.10 ile verilen dönüşümün türev özelliği ile devre denklemi,

{ }

{ }

      − = − 1 2 2₂ dt t d F I F C V F iω _g ω

olacaktır. Denklemi yeniden düzenleyerek

{ }

F

{ }

Vg L i I F ₂ 0 2 (ω ω ω − =

sonucunu elde ederiz. Bu ifadede ω₀ =1/ LC alınmıştır. Bu tür devrelerde 0

ω devrenin rezonans frekansı olarak tanımlanır. Verilen bir giriş voltajının Fourier dönüşümü alınarak devre akımının Fourier dönüşüm ifadesi, ya da akımın frekans uzayındaki ifadesi bulunur. Bütün bunlardan sonra ters Fourier dönüşümü alınarak devre akımının zamana göre değişimi elde edilecektir. Devreye göre çıkış voltajı R2I olacaktır.

c.Katlanma (Convolution)

) (t

f _ve g(t)_{fonksiyonlarını alalım. Bu fonksiyonların Fourier dönüşümleri}

de F(ω)_ve G(ω)_{olsun. Fonksiyonların katlanması,}

∫

∞ ∞ − − = ∗g g s f t s ds f ( ) ( ) 2 1 π (1.11)

olarak tanımlanır. Fourier dönüşümünü kullanarak ω ω ω_{G e} ω_d F ds s t f s g −i t ∞ ∞ − ∞ ∞ −

∫

( ) ( − ) =

∫

( ) ( ) (1.12)

sonucu bulunur. Yani f (t)_ve g(t)_{fonksiyonlarının Fourier dönüşümlerinin}

çarpımlarının ters dönüşümü iki fonksiyonun katlanması olarak tarif edilir. 7

HIZLI FOURİER DÖNÜŞÜMÜ

Mikroişlemci hızları arttıkça Sayısal Fourier dönüşümü algoritması büyük sayıdaki data değerlerini değerlendirme açısında cazipliğini koruyabilir. Ancak düşük hızlardaki işlemciler için yüksek sayıda datayı işleme sokmak , sayısal Sayısal Fourier dönüşümü algoritması için oldukça zamana ihtiyaç duyulacağından pek tercih edilmez. Ölçüm sayısının çok sayıda olduğu işlemlerde hızlı Fourier dönüşümü tercih edilmelidir. Hızlı Fourier dönüşümü algoritmasının uygulanabilmesi için data sayısının 2n olması gerekir. Bu özellik hızlı fourier dönüşümünün sayısal Fourier dönüşümüne göre bir dezavantajıdır, zira sayısal fourier dönüşümü de data sayısında bir kısıtlama bulunmamaktadır. Eğer Hızlı fourier dönüşümünde data sayısında eksiklik olursa ve datalar ‘0’ a doğru yakınsıyor ise ilk yol eksik dataları ‘0’ ile doldurmaktır. Böyle bir durum söz konusu değil ise datalar içinden uygun görülenleri dışarı atarak data sayısını 2n ‘e çekmektir. Diğer bir yaklaşım ise İnterpolasyon yaparak yeni datalar üretmektir. MATLAB ortamında Fourier yöntemine ilişkin çeşitli komutlar bulunmaktadır. Bunlardan ilki hızlı fourier dönüşümü komutudur Hızlı Fourier dönüşümü matlab komutu fft’dir :

Y=fft(y):

hızlı fourier dönüşümünde kullanılan MATLAB komutudur. y vektörünün ayrık fourier dönüşümünü bulur.Bu işlem,hızlı fourier dönüşümü algoritması kullanılarak gerçekleştirilir. Y değerinin aranılan harmonik genliklerinin k/2 katıdır. Hızlı Fourier dönüşümü komutu kullanıldığında, örnekleme sayısının yarısı kadar (k/2) harmonik ve bunların genlikleri incelenir. Örnek olarak K=16 adet örnekleme yapılmış ise bu komut kullanıldığında doğru bileşen dahil k/2=8 adet harmonik ile ilgili bilgi alınır. Diğer kalan 16k/2=8 bileşen ise negatif bileşen değerleridir.1.bileşen doğru akım bileşenini, 2.,3.,4.,5.,6.,7., bileşenler pozitif bileşenleri verir.8. harmonik bileşeni ise Nyquist frekans bileşenidir. Nyquist frekansını takip eden bilenler ise (9-15) negatif bileşenlerdir.9. bileşen değeri 7. bileşenin eşleniğine (konjugesine) eşittir. 10. bileşen 6. bileşenin, 11. bileşen 5. bileşenin, 12. bileşen 4. bileşenin, 13. bileşen 3. bileşenin, 14. bileşen 2. bileşenin, 15. bileşen 1. bileşenin eşleniğidir.

Yukarıda da bahsedildiği gibi hızlı fourier dönüşüm uygulamalarında harmonik analizi yapılacak fonksiyonun (y) eleman sayısı (ne) ,2n özelliğini sağlamalıdır. k adet eleman içeren bir y fonksiyonuna Hızlı fourier dönüşümü komutu uygulandığında ancak k/2 kadar harmonik ve bunların genlikleri hakkında bilgi sahibi olunabilir.(doğru bileşen değeri bu harmonik sayısına dahildir).8

7_{Sayısal Çözümleme-Recep TAPRAMAZ-Literatür Yayıncılık}

4.Fourier Serisinin Bir Limiti Olarak Fourier İntegrali:

Fourier serisinin bu özelliğini geliştirmemizde Dirichlet Koşulları, herhangi bir periyodik fonksiyonun genişlemesini sağlamak için yeterlidir.Birçok mekanik ve elektrik sistemlerde genel periyodik karışıklıklara yanıt bulmayı olanaklı kılar.Diğer yandan, etkileyen güç yada voltaj içeren birçok problem periyodik değildir, çünkü tek bir tekrarlanmayan ahenkli kalp atışı gibidir.Bu kısa fonksiyon, Fourier serisinin doğrudan kullanımını kontrol altında tutamaz.Fourier Serisi, böyle seriler için sadece periyodik fonksiyonları tanımlamada faydalıdır.Ancak, verilen fonksiyonun periyodunu sonsuz olarak, Fourier Serisi tarafından yaklaşan limitini araştırmak, periyodik olmayan fonksiyon için uygun bir temsil olarak elde edilebilir.

Şekil1.2p=4 periyodunda periyodik bir fonksiyon.

Fourier İntegrali farklı bir formda yazılabilir.Bunun için;

∫

∫

∞ ∞ − − ∞ ∞ −       = e f s e ds dw t f _. iwt _{( .)} iwt_. 2 1 ) ( π ‘den yararlanabiliriz.

∫

∞ ∞ − = g w e dw t f_{( ) ( ).} iwt_{. ve}

∫

∞ ∞ − − = f s e ds w g _{( ).} iws_. 2 1 ) ( π

f(t) ve onun katsayı fonksiyonu g(w) olan bu iki ifadeyle, Fourier Dönüşümü olarak bilinen çifti oluşturabiliriz.Katsayı fonksiyonu g(w), f(t)’ye eşittir.Bu durumun ,fonksiyonun iki farklı temsiline etkisi;f(t)’nin zaman içinde ilgi alanı ve g(w)’nin bu ilgi alanında ne sıklıkta yer alacağıdır.

ÖRNEK:







=

0

1

)

(

x

f

, , a x a x > <

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulmak için; F(f(x))=F(α)=

∫

∞ ∞ − − _dx e x f_{( ).} iαx_. F(α)= ( ). . 1 . i x 1 ( i a i a) a a x i _{e e} i e i dx e x f α α α α α α − − − − _{=− =− −}

∫

ÖRNEK:

f(x)=_e−mx _{(m>0) olmak üzere Fourier-Cos dönüşümünü bulunuz.}

Fp(t)

Fc(α)=

∫

∞

0

f(u).Cosαu.du

İki kez kısmi integral uygulanarak; = ∞ → s lim 2 2 ) . ( α α α α + + − − m u Sin u Cos m e mu Fc(α)= ∞ → s lim 2 2 2 2 ) . ( α α α α α + + + + − − m m m s Sin s Cos m e ms = _{2 2} α + m m

∫

∞ − + = 0 2 2 . . 2 dx x Cos m m e mx _α α π

∫

∞ − + = 0 2 2 . . 1 2me m Cos xdx mx _α α π sonucundan yararlanarak ;

∫

∞ + 0 2 ₁₆. . 1 dt Costx t integralinin sonucunu ) 4 ( ) 4 ( 2 x e m − = π şeklinde bulabiliriz.9 ÖRNEK:

Periyodu T=9.6 sn olan y(t) fonksiyonu içinden [0;T] aralığında, eşit zaman aralıkları ile 16 adet örnek (ölçme yöntemi ile) alınmaktadır. Elde edilen örnek (ayrık değerler) aşağıda verilmiştir.

y=[0 4.7163 6.5026 5.6751 3.2878 0.5738 -1.5028 -2.4723 -2.3602 -1.5293…

-0.4619 0.4301 0.9153 0.9619 0.6876 0.2770 -0.0979];

y ayrık vektörüne fft komutu kullanarak harmonik analizi yapınız. ÇÖZÜM:

Zamana ilişkin başlangıç, artış ve bitiş değerleri t=0:0.6:9.6 saniye olarak verilmektedir. Örneklenmiş y vektörünün eleman sayıları 2n=4 ₌16 _şartı sağlanmadır. Yukarıda, fft komutu kullanılarak ancak k/2sayıda harmonik hakkında bilgi sahibi olunabileceği belirtilmişti. Bu bilgiye göre ulaşılabilecek harmonik sayısı (m);verilen y vektörü için k/2=16/2=m=8 olmaktadır.

Yatay eksen olarak t (zaman) domeninden f (frekans) domenine geçildiğinde frekans artışı;

10416 . 0 6 . 9 / 1 / 1 = = = ∆f T _{Hz ;(}∆f =0.6 _{sn olduğu} unutulmamalıdır)

Olacaktır. Fft komutu kullanılarak incelenebilecek en büyük harmonik frekansı(Nyquist frekansı); 83 . 0 10416 . 0 * 8 * ) 2 / ( max = k ∆f = = f _Hz

Olacaktır. Bu soruda da yukarıda anlatıldığı gibi 3.harmonik genliği ile 14.harmonik genliği ve 7.harmonik genliği ile 9.harmonik genliği birbirlerine eşittir. Aynı şekilde Nyquist frekanslarının tek katları kendi

aralarında ve çift katlarıda kendi aralarında eşit harmonik genlik değerine sahiptir.

Yukarıda , ‘Y değerinin aranılan harmonik genliklerinin k/2 katı olduğu unutulmamalıdır’ ifadesi kullanıldı. Bundan hareketle;

>>Y=fft(y)

Komutu uygulandığında (aranılan gerçek harmonik genlik değerlerine ulaşmak için) Y harmonik genlik değerlerini k/2 sayısına bölmek gerekmektedir. Aşağıda verilen programda bu işlem;

>>Yss(1:nt/2)=(2/nt)*Y(1:nt/2);

satırında yapılmaktadır. Verilen programda; >>[fss ‘Yss’] ;

satırında gerçek frekans ve gerçek harmonik genlik değerlerine ulaşılmaktadır. Örnekte verilen örnekleme şartlarında y vektörünün harmonik analizini yapan MATLAB programı aşağıda gösterilmiştir.

>> nt=16; %örnekleme sayısı

→

₂n_{şartını sağlamalı} >> T=9.6; %periyot

→

(nt+1)*dt=T

>> dt=T/nt; %örnekleme aralığı

→

∆t =0.6sn >> df=1/T; %frekans artışı

→

∆f =1/T =1/9.6=0.10416 _Hz

>> fmax=(nt/2)*df; %Nyquist frekansı

→

83 . 0 10416 . 0 * 8 * ) 2 / ( max = k ∆f = = f Hz >> t=0:dt:(nt-1)*dt; %t=0:0.6:9; >> f=0:df:(nt-1)*df; %f=0:0.10146:fmax=0.83

% y harmonik analizi yapılacak y(t) fonksiyonunun örneklenmiş data değerleri

>> y=[0 4.7163 6.5026 5.6751 3.2878 0.5738 -1.5028 -2.4723 -2.3602... -1.5293 -0.4619 0.4301 0.9153 0.9619 0.6876 0.2770]

>> y=fft(y)%y vektörüne fft komutu uygulanır

>> subplot(221),bar(t,abs(y)),xlabel('zaman(sn)'),ylabel('genlik(y)'); >> subplot(222),bar(t,real(y)),xlabel('zaman(sn)'),ylabel('real(y)'); >> subplot(223),bar(t,imag(y)),xlabel('zaman(sn)'),ylabel('imajiner(y)'); >> fss=0:df:(nt/2-1)*df;

>> yss=zeros(1,nt/2);

>> yss(1:nt/2)=(2/nt)*y(1:nt/2); %y değeri nt/2 ‘ye bölünüyor(an+jbn) değerleri

>> disp('frekans harmonik sayısı gerçek genlik değerleri')

>> [fss'[0:nt/2-1]'yss'] %aranılan harmonik ve gerçek genlik değerleri

>> subplot(221),

>> bar(fss,abs(yss)); %harmonik genliğinin çubuk formunda çizimi >> xlabel('frekans (Hz)'),ylabel('genlik (yss)');

>> subplot(222);

>> bar(fss,real(yss)); %an katsayısının çubuk formunda çizimi >> xlabel('frekans (Hz)'),ylabel('reel (yss)');

>> subplot(223);

>> bar(fss,imag(yss)); %bn katsayısının çubuk formunda çizimi >> xlabel('frekans (Hz)'),ylabel('imajiner(yss)');

Yukarıda verilen programın çalıştırılması sonunda command window ortamında elde edilen harmonik sayısı ve gerçek genlik değerleri aşağıdaki gibidir.

>>y y =

0 15.7010 %doğru akım bileşeni

0.6000 19.2996 +11.5735 % 1. harmonik nt/2 katı 1.2000 -11.2650 +13.8929i % 2. harmonik nt/2 katı 1.8000 -5.8754 + 2.3748i % 3. harmonik nt/2 katı 2.4000 -3.3826 + 0.8128i % 4. harmonik nt/2 katı 3.0000 -2.3512 + 0.3682i %5. harmonik nt/2 katı 3.6000 -1.8616 + 0.1811i %6. harmonik nt/2 katı 4.2000 -1.6322 + 0.0769i %7. harmonik nt/2 katı

4.8000 -1.5642 %fmax (nyquist ) frekansındaki genlik (nt/2 katı) 5.4000 -1.6322 -0.0769i %7. harmonik eşleniği nt/2 katı

6.0000 -1.8616 -0.1811i %6. harmonik eşleniği nt/2 katı 6.6000 -2.3512 -0.3682i %5.harmonik eşleniği nt/2 katı

7.2000 -3.3826 -0.8128i %4. harmonik eşleniği nt/2 katı 7.8000 -5.8754 -2.3748i %3.harmonik eşleniği nt/2 katı

8.4000 -11.2650 -13.8929i %2.harmonik eşleniği nt/2 katı 9.0000 19.2996 -11.5735i %1.harmonik eşleniği nt/2 katı

↑t değerleri >>

frekans harmonik sayısı gerçek genlik değerleri ans=

0 0 1.9626 %doğru akım bileşeni=

ort y 0.1042 1 2.4124 +1.4467i %1.harmonik genliği 0.2083 2 -1.4081 +1.7366i %2.harmonik genliği 0.3125 3 -0,7344 +0.2969i %3.harmonik genliği 0.4167 4 -0.4228 +0.1016i %4.harmonik genliği 0.5208 5 -0.2939 +0.0460i %5.harmonik genliği 0.6250 6 -0.2327 +0.0226i %6.harmonik genliği 0.7292 7 -0.2040 +0.0096i %7.harmonik genliği ↑frekans değerleri ÖRNEK: ) * 25 . 9 * * 2 cos( ) * 125 . 3 * * 2 sin( 5 . 0 ) (t t t

y = + π + π fonksiyonu ile değişen ve periyodu T=3.2 sn olan bir işaretin fft komutu yardımıyla harmonik analizi

yapın.y(t) fonksiyonundan periyot boyunca eşit zaman aralıklarında nt=64 adet örnek alınmaktadır

ÇÖZÜM:

y (t) değişimi şekil 1.1. de görülmektedir. Verilen problemi çözen MATLAB programı aşagıda gösterilmiştir.

Yukarıda verilen programın çalıştırılması sonunda command window ortamında elde edilen harmonik frekans değerleri ve harmonik genlik değerleri aşağıda gösterilmiştir.

ans =

0 1.0272 % doğru bileşen:yort

0.3125 0.0272 - 0.0014i % 1.h 0.6250 0.0272 - 0.0028i % 2.h 0.9375 0.0272 - 0.0043i % 3.h 1.2500 0.0271 - 0.0057i % 4.h 1.5625 0.0271 - 0.0072i % 5.h 1.8750 0.0271 - 0.0087i % 6.h 2.1875 0.0270 - 0.0103i % 7.h 2.5000 0.0270 - 0.0119i % 8.h

2.8125 0.0269 - 0.0136i % 9.h 3.1250 0.0269 + 1.9846i % 10.h 3.4375 0.0268 - 0.0173i % 11.h 3.7500 0.0267 - 0.0193İ % 12.h 4.0625 0.0266 - 0.0214i % 13.h 4.3750 0.0264 - 0.0237i % 14.h 4.6875 0.0263 - 0.0263i % 15.h 5.0000 0.0261 - 0.0291i % 16.h 5.3125 0.0258 - 0.0322i % 17.h 5.6250 0.0255 - 0.0357i % 18.h 5.9375 0.0251 - 0.0397i % 19.h 6.2500 0.0246 - 0.0443i % 20.h 6.5625 0.0240 - 0.0498i % 21.h 6.8750 0.0231 - 0.0564i % 22.h 7.1875 0.0219 - 0.0646i % 23.h 7.5000 0.0202 - 0.0753i % 24.h 7.8125 0.0175 - 0.0899i % 25.h 8.1250 0.0130 - 0.1115i % 26.h 8.4375 0.0046 - 0.1473i % 27.h 8.7500 -0.0159 - 0.2231i % 28.h 9.0625 -0.1107 - 0.5318i % 29.h 9.3750 0.2830 + 0.6553i % 30.h 9.6875 0.1222 + 0.1214i % 31.h

FOURİER DÖNÜŞÜMÜ MATLAB KOMUTLARI

y = ifft(x):x vektörünün ters ayrık fourier dönüşümü (hızlı fourier dönüşümü algoritmasını kullanarak ) hesaplar. Eğer x bir matris ise her bir kolonun ters ayrık fourier dönüşümünü bulur.

y=ifft(x,n): x vektörünün n noktalı ters ayrık Fourier dönüşümü (hızlı fourier dönüşümü algoritmasını kullanarak) hesaplar

y =ifft(x,n,dim) y = ifft(x,[],dim): Boyut (dim) boyunca, x vektörünün n noktalı ters ayrık Fourier dönüşümü (hızlı fourier dönüşümü algoritmasını kullanarak) hesaplar.

y =ifft(…, ‘symmetric’): Aktif olan boyut (dim)boyunca eşlenik simetrik x matrisinin ters ayrık dönüşümünde kullanılır. Özellikle yuvarlama hataları dolayısı ile tam anlamı ile eşlenik simetrik olamayan x matrislerinde tercih edilir.

y = (…, ‘nonsymmetric’): Aktif olan boyut(dim)boyunca eşlenik simetrik olmayan x matrisinin ters ayrık dönüşümünde kullanılır.

İfft2 (x) : x vektör (ya da matrisinin)iki boyutlu Ters hızlı fourier dönüşümü bulur.

Fourier : Sembolik işlemlerde fourier dönüşümünde kullanılır.Aşağıda bu komutun çeşitli kullanılışları gösterilmiştir.

F = fourier (f) : Sembolik f(x) fonksiyonunun fourier transformunu bulur. f fonksiyonu (default olarak)x’e bağlıdır.Dönüşüm sonunda (default olarak)w ile değişen bir fonksiyon elde edilir.Diğer bir ifade ile f = f(x)fonksiyonuna fourier komutu kullanılarak dönüşüm uygulandığında, F =F(w)elde edilir.F fonksiyonu f fonksiyonunun fourier dönüşümüdür:

F(w)=f{f(x)}=

∫

∞

∞ −

f(x)e−iwx _{dx (1)}

F=fourier(f,v): (1)eşitliğinde (default değer olan)w yerine v koyarak f fonksiyonunun fourier dönüşümünü bulur.

F (v)= f{f(u)}=

∫

∞

∞ −

f(u)e−ivx _dx

F =fourier(f,u,v): (1)eşitliğinde (default değer olan)w yerine v ve (default değer olan )x yerine u koyarak f fonksiyonunun fourier dönüşümünü bulur: F(v)= f {(u)}

∫

∞ ∞ − f(u)e−ivu _du

İfourier : Sembolik işlemlerde ters fourier dönüşümünde kullanılır. Aşağıda bu komutun çeşitli kullanılışları gösterilmiştir.

f =ifourier (F): Sembolik F(w)fonksiyonunun ters fourier transformunu (f(x))bulur.F fonksiyonu (default olarak)w’ya bağlıdır.Dönüşüm sonunda (default olarak)x ile değişen bir f fonksiyonu elde edilir.Diğer bir ifade ile F = F(w)fonksiyonuna ifourier komutu kullanılarak dönüşüm uygulandığında f=f(x)elde edilir.f fonksiyonu F

fonksiyonunun ters fourier dönüşümüdür:

f(x)=f−1_{F(w)}= π 2 1

∫

∞ ∞ − F(w)eiwx _{dw (2)}

f =fourier(F,u) :(2)eşitliğinde (default değer olan)x yerine u koyarak F fonksiyonunun ters fourier dönüşümünü bulur:

f(u)=f−1_{F(w)}= π 2 1

∫

∞ ∞ − F(w)eiwu _{dw (3)}

f=fourier (F,v,u) : (2)eşitliğinde (default değer olan) w yerine v ve (default değer olan) x yerine u koyarak F fonksiyonu ters fourier dönüşümünü bulur: f(u)=f−1_{F(v)}= π 2 1

∫

∞ ∞ − F(v)eivu _{dv (4)} 10

Fourier Dönüşümünü sürekli ve ayrık zamanda inceleyelim.

∫

+∞ ∞ − − = X t e dt e X jwt C jw_{) ( )}

( Sürekli zamanlı Fourier dönüşümü

∫

+∞ ∞ − − = x n e dn e

X₍ j_{) ( )} jωn _{Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü}

Matlab’da kullandığımız dönüşüm ise hem zamanda hem de frekansta ayrık olduğu için DFT ve IDFT kullanırız.

∑

− = − = 1 0 ) ( ) ( N n n jwk e n x k X k N w_k =2π Ayrık FT

∑

− = − = 1 0 ) ( 1 ) ( N n n jw_k k X N n x Ters Ayrık FT

Şekil 1a’da sinyalin frekans cevabının mutlak değeri çizilmişken şekil 1b’de faz cevabı çizilmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken husus faz cevabının bulunurken örnekleme frekansının yeterince büyük seçilmesinin gerekli olduğudur.

şekil 1a

şekil 1b

Sinyalin Fourier dönüşümünden sonra sıfıra yakın değerler oluşmaktadır. Bu sayıların oluşumundan dolayı faz cevabı anlaşılır şekilde çıkmamıştır. Bu problemin çözülebilmesi için DFT işleminden sonra sıfıra yakın saylar sıfırlanır. Bu işlem verilen örnekte faz temizleme ile gösterilen kısmın açılmasıyla gerçekleştirilebilir.11

KAYNAKLAR

1. İleri Programlama Uygulamaları-Dr.Fahri VATANSEVER-Seçkin Yayınları

2. Sayısal Çözümleme-Recep TAPRAMAZ-Literatür Yayıncılık

3. http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22770

4. http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22837

5. http://www.istanbul.edu.tr/eng/ee/labs/iletisim/lablar/lab1.pdf