MODEL DINAMIK PERTUMBUHAN EKONOMI WAKTU DISKRET
DENGAN VARIABEL KEBIJAKAN FISKAL DAN MONETER
FREDERICK F. JEBADA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Variable Time Diskret Fiscal and Monetary Policy. Supervised by RETNO BUDIARTI and DONNY CITRA LESMANA.
This paper is a scientific analysis on how fiscal and monetary policies affect economic growth (related to the amount of money and consumption). Model is essentially a budget constraint the household sector for the period of time. Budget constraints that made equality of conditions that describes the ability of households and the government to pay for the expenses / pay off debts.
Objective function that optimized is a function which is the utility function of consumption and real money. Then conducted a qualitative analysis on the optimal trajectory for the influence of nominal interest rates and inflation on the dynamics of consumption and real money demand (the case of Bernoulli type utility function).
Finally, I analyze the influence of several fiscal and monetary decisions on the optimal trajectory. The results form an objective function that is affected by the level of inflation.
RINGKASAN
FREDERICK FREINADEMETZ JEBADA. Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Waktu Diskret dengan Variabel Kebijakan Fiskal dan Moneter. Di bawah bimbingan RETNO BUDIARTIdan DONNY CITRA LESMANA.
Karya ilmiah ini merupakan analisis mengenai cara bagaimana kebijakan fiskal dan moneter mempengaruhi pertumbuhan ekonomi (terkait jumlah uang dan konsumsi). Dasarnya adalah sebuah model kendala anggaran sektor rumah tangga untuk periode waktu tertentu. Kendala anggaran itu dijadikan persamaan yang menggambarkan kondisi kesanggupan rumah tangga dan pemerintah untuk membiayai pengeluaran atau melunasi hutangnya.
Fungsi obyektif yang dimaksimumkan adalah sebuah fungsi utilitas yang merupakan fungsi dari konsumsi dan uang real. Kemudian dilakukan analisis secara kualitatif pada lintasan optimal untuk mengetahui pengaruh suku bunga nominal dan tingkat inflasi terhadap dinamika konsumsi dan permintaan uang real (kasus fungsi utilitas tipe Bernoulli).
Akhirnya dianalisis mengenai pengaruh beberapa keputusan fiskal dan moneter pada lintasan optimal. Hasilnya berupa sebuah fungsi objektif yang dipengaruhi oleh tingkat inflasi.
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh :
FREDERICK F. JEBADA
G54104069
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Waktu Diskret dengan Variabel
Kebijakan Fiskal dan Moneter
Nama
: Frederick F. Jebada
NIM
: G54104069
Disetujui,
Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA.
NIP 19610328 198601 1 002
Tanggal Lulus :
Pembimbing I
Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP 19610729 198903 2 001
Pembimbing II
Donny Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math
NIP 19790227 200501 1 001
Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Waktu Diskret dengan Variabel Kebijakan Fiskal dan Moneter”. Pertumbuhan ekonomi terkait erat dengan tingkat konsumsi secara agregat. Memaksimumkan konsumsi dengan kendala jumlah uang yang dimiliki menjadi fokus pembahasan dalam skripsi ini. Terkait jumlah uang yang beredar, pemerintah dapat melakukan intervensi dalam bentuk penetapan suku bunga acuan (bank sentral), tingkat inflasi, dan besaran pajak yang harus dibayar.
Skripsi ini menjadi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB).
Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang secara langsung dan tak langsung membantu penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
1. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. yang telah dengan sabar membimbing penulis sejak awal pengerjaan skripsi ini. Terimakasih telah menjadi ”IBU” yang luar biasa ketika penulis menghadapi sedikit tantangan di saat-saat akhir. Semoga Ibu selalu mendapatkan yang terbaik dari-NYA.
2. Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math. yang telah memperkaya wawasan penulis melalui masukan dan kritik-kritik berharganya. Terimakasih juga untuk istri beliau, yang rela waktu istirahatnya diganggu, untuk makanan dan minuman yang telah penulis nikmati selama bimbingan di rumah. Semoga sukses untuk kuliah doktornya nanti.
3. Ibu Dr. Endar Hasafah Nugrahani, MS. yang telah bersedia menjadi moderator seminar dan dosen penguji disidang akhir. Terimakasih untuk pengertian dan segala budi baiknya. 4. Mahnuri, Ricken Rora, dan Novita Handayani yang telah berkenan menjadi pembahas
dalam seminar skripsi ini. Sukses selalu buat kalian.
5. Bapak Karolus Jebada dan Ibunda Dortea Maria Fatima yang telah menjadi orang tua ”juara satu” bagi penulis. Terimakasih atas doa, dorongan, pengertian, juga materi yang memperlancar penulisan skripsi ini. Juga untuk Cicik sek., Kendit, Awoh, Suleng, dan Utung yang telah dengan caranya masing-masing selalu menyemangati penulis.
6. Teman-teman MatematikaAngkatan 41: Oezhank, Gretho, Didot dan Cochom (untuk semua dukungan yang tak ternilai), Racil, Idris, Mahnur, Zali, Mazid, Iboy, Triyadi, Ibra, Dika, Yaya, Mimin, Jengez, Denol, Cumi, Chubby, Yos, Hendri, Fitrie, Endhit, Sithul, Rite, Dee, Dian, Liay, Sifa, Mukti, Penoy, Uwie, Ani, Liam, Darwisah, Jannah, Ami, Intan, Enyon, Echi, Ria, Enny, Roma, Tities, Tia, Febrina, Ayu, Ika, Mahar, Eli, Rina Z, Eva, Roro, Nidia, atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB.
7. Teman-teman di FUTSAL IPB (Mas Hary, Mas Marno, Pace Kukuh, Aconk, Bere, Galuh, Neswari, Huda, Agus, Bedul, dll.), KORAN KAMPUS IPB (Iqbal, Fahmul, Palestin, dll.), BEM KM, GUMATIKA, GAMANUSRATIM BOGOR (Ka Adi, Dony, Rian, Bala, Gonzie, Ocin, Yuni, Mirna, Ayu, Risna, dll.), Pengurus MASTRANS JAKARTA, PRODUTA SA. BANDUNG, dan GOLDEN WATER JAKARTA, yang telah menginspirasi penulis dan rela melihat penulis membawa draft skripsi ini ke mana-mana. 8. Teman-teman di Wisma ASRI: Ka Thellin, Obie, Oenald, Ewad, Mas Rony, Ian (my
manager), Ucok, Rizky, Thommai, Hangga, Ade, Dicky, Abang, Teteh, Uwo, Adella, Diana, dan Hestiny. Terimakasih atas dukungan dan kekeluargaan yang telah terjalin. 9. Para pegawai di lingkungan Departemen Matematika IPB: Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono,
dan Mas Hery yang telah banyak membantu penulis. Terimakasih untuk semua yang saya dapatkan di sini.
Penulis menyadari adanya ketidaksempurnaan dalam skripsi ini. Karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Bogor, Agustus 2009
RIWAYAT HIDUP
Frederick F. Jebada lahir di Ranggu, Flores, pada 16 Januari 1986. Penulis adalah anak kedua dari enam bersaudara, dari pasangan Karolus Jebada dan Dortea Maria Fatima. Jenjang pendidikan dasar dan menengah penulis lalui tanpa halangan berarti. Setelah menamatkan pendidikan dasar pada SD Ranggu I, penulis menempuh sekolah menengah pada SMP dan SMA St. Pius XII Kisol, Ruteng. Pada Agustus 2004, penulis lulus Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN), dan diterima sebagai mahasiswa pada Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor (IPB).
Selama menjalani masa perkuliahan, penulis aktif dalam berbagai organisasi internal dan eksternal kampus.
1. Penulis terlibat dalam kepengurusan organisasi kemahasiswaan dan umum sejak awal masuk kuliah. Tahun 2004 penulis bergabung dalam kepengurusan Himpunan Profesi Mahasiswa Matematika IPB (GUMATIKA), yakni Departemen Kesekretariatan dan Kajian Strategis. Selain itu, penulis menjadi pengurus organisasi mahasiswa daerah NTT (GAMANUSRATIM Bogor), dan terakhir menjadi wakil ketua organisasi tersebut. Penulis adalah salah satu perintis Dewan Legislatif GUMATIKA. Masuk dalam Dewan Direksi KORAN KAMPUS IPB pada 2006-2008. Juga menjadi staf pada Kementrian Infokom BEM KM IPB periode 2006/2007. Selain itu, penulis aktif dalam berbagai diskusi bersama organisasi ekstrakampus seperti: GMNI, PMKRI, HMI, dan KAMMI di Kota Bogor. Unit Kegiatan mahasiswa (UKM) Sepak bola juga menjadi tempat penulis belajar berorganisasi, dengan menjadi ketua Divisi Eksternal UKM Sepak bola periode 2005/2006. Kemudian menjadi salah satu pendiri UKM Futsal dan menjadi Sekjen pada periode kepengurusan 2006/2007. Penulis juga sempat menjadi ketua sementara di masa peralihan tahun 2008. Di tahun 2006, penulis menjadi sekretaris wilayah Bogor untuk Forum Pemuda NTT Jakarta-Bogor dan di tahun berikutnya penulis menjadi koordinator wilayah Bogor. Penulis terpilih menjadi Ketua Angkatan Keluarga Mahasiswa Katolik IPB (KEMAKI) Angkatan 41. Sempat menjadi staf di Biro Pendidikan dan Pembinaan KEMAKI periode kepengurusan 2006/2007.
2. Penulis juga mengembangkan hobi menulis dan belajar manajemen media (jurnalistik) dengan bergabung dengan KORAN KAMPUS IPB, media jurnalistik terbesar di kampus IPB. Aktif di KORAN KAMPUS IPBdengan amanah terakhir sebagai redaktur senior pada 2007-2008. Penulis menjadi reporter aktif dan menjadi penanggung jawab berita berat dari 2005-2007. Merintis dan menjadi penanggung jawab KORAN KAMPUS IPB Edisi Pamflet pada 2006-2007. Pada periode ini, penulis menjadi Redaktur Pelaksana KORAN KAMPUS IPB. Selain itu, penulis juga menjadi pemimpin redaksi dan penanggung jawab buletin GAMANEWS (buletin mahasiswa NTT Bogor). Menjadi editor BUKTI ’41 (Buletin Ukhuwah Keluarga Matematika Angkatan 41). Pada 2004/2005 menjadi editor majalah dinding GUMATIKA.
3. Dalam bidang olah raga, penulis turut serta mengharumkan nama almamater di tingkat nasional. Penulis menjadi pemain tim nasional Futsal IPB pada 2005-2009. Sejak awal 2007 menjadi kapten tim nasional Futsal IPB. Pada musim kompetisi 2006/2007, penulis dikontrak klub futsal profesional, PRODUTA SA. BANDUNG, dalam kompetisi Indonesian Futsal League (IFL) – Liga profesional futsal tertinggi di tanah air. Di musim kompetisi berikutnya, penulis pindah ke klub MASTRANS JAKARTA hingga sekarang. Di kedua klub tersebut, penulis sekaligus mengemban amanah sebagai kapten tim. Untuk tingkat kampus, penulis menjadi kapten tim futsal Fakultas MIPA, pada Olimpiade Mahasiswa IPB tahun 2005, 2006, 2007, 2008, 2009. Menjadi juara dan memperoleh gelar pemain terbaik sekaligus top scorer pada Olimpiade Mahasiswa IPB tahun 2005. Selain itu, penulis juga sering bermain untuk beberapa klub untuk kompetisi tak resmi (“tarkam”) di Bogor, Jakarta, dan Bandung.
4. Penulis aktif dalam berbagai kepanitian penting, di tingkat kampus hingga nasional, diantaranya sebagai koordinator futsal pada Olimpiade Mahasiswa IPB 2007 dan 2008. Juga menjadi koordinator Humas dan Media Massa pada Futsal Nasional 2007.
Semasa kuliah, penulis menjadi guru privat Matematika dan Bahasa Inggris untuk siswa SD, SMP, dan SMA di Bogor. Di akhir masa kuliah, penulis menjadi tenaga entrydata Bank Dunia untuk penggunaan Dana BOS tingkat SD dan SMP di Indonesia (Tahun Anggaran 2008/2009).
DAFTAR ISI ... vii DAFTAR LAMPIRAN ... I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI ... 2 2.1 Pertumbuhan Ekonomi ... 2 2.2 Pembangunan Ekonomi... 2 2.3 Kebijakan Fiskal ... 2 2.4 Kebijakan Moneter ... 2
2.5 Inflasi dan Tingkat Inflasi ... 2
2.6 Seigniorage ... 2
2.7 Tingkat Bunga Nominal Bebas Risiko ... 2
2.8 Tingkat Bunga Real Bebas Risiko... 3
2.9 Lump-Sum Tax ... 3
2.10 Persamaan Fisher (Fisher Equation)... 3
2.11 Persamaan Beda ... 3
2.12 Turunan ... 3
2.13 Prinsip Maksimum: Maksimisasi dan Minimisasi Fungsi... 4
2.14 Turunan Parsial ... 4
2.15 Pengali Lagrange ... 4
2.16 Determinan Hess ... 4
2.17 Varabel Slack ... 4
2.18 Fungsi Utilitas (Utility Function) ... 5
2.19 Persamaan Hamilton ... 5
III PEMBAHASAN ... 5
3.1 Model Perilaku Ekonomi Sektor Rumah Tangga dan Pemerintah ... 5
3.2 Model Masalah Optimasi ... 6
3.3 Analisis Kualitatif Lintasan Optimal ... 8
3.4 Kondisi Transversalitas ... 9
3.5 Kasus Fungsi Utilitas Tipe Bernoulli ... 9
3.6 Kesesuaian antara Kebijakan Fiskal dan Moneter ... 11
IV KESIMPULAN DAN SARAN ... 13
4.1 Kesimpulan ... 13
4.2 Saran... 13
DAFTAR PUSTAKA ... 14
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Penurunan Persamaan (6b) menjadi Persamaan (7) ... 16
Penurunan Persamaan (22) menjadi Persamaan (24) ... 17
Bukti Persamaan (29) ... 18
Bukti Persamaan (30) ... 18
Bukti Persamaan (37) ... 19
Bukti Persamaan (39) ... 19
Bukti Persamaan (40) dan Persamaan (41) ... 20
Bukti Persamaan (48) ... 20
Bukti Persamaan (51a) ... 21
Bukti Persamaan (51b) ... 22 Bukti Persamaan (52) ... 23 Bukti Persamaan (54) ... 23 Bukti Persamaan (67) ... 24 Bukti Persamaan (74) ... 25 Bukti Persamaan (84) ... 26 Bukti Persamaan (88) ... 27
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Setiap negara di dunia mempunyai instansi tertentu yang mengatur kemajuan ekonomi bangsanya. Adapun tugas negara melalui instansi bersangkutan yakni memastikan kontinuitas pembangunan ekonomi demi kesejahteraan kehidupan bangsa dan negaranya. Pertumbuhan ekonomi (economic growth) menjadi salah satu indikator dari pembangunan ekonomi.
Pertumbuhan ekonomi suatu negara merupakan parameter, sejauh mana instrumen negara memanfaatkan semua potensi dan kekayaan negara itu demi membangun ekonomi makro. Hal ini menjadi penting sebab kondisi ekonomi menjadi faktor urgen dalam menjaga stabilitas suatu negara.
Ciri penting perkembangan sistem perekonomian negara-negara dunia dewasa ini adalah tidak ada negara yang benar-benar menganut sosialis murni (kiri) atau liberal (kanan). Yang ada, yakni, terdapat peran pemerintah dalam mengontrol pasar. Tiap negara berbeda ukuran dan ciri peranan pemerintahnya. Hal ini dilakukan agar saat mekanisme pasar berjalan, negara (pemerintah) memastikan adanya manfaat terhadap pertumbuhan ekonomi bangsanya.
Salah satu peran negara dalam mengontrol pasar dan memacu pertumbuhan ekonomi suatu negara adalah melalui implementasi kebijakan fiskal dan moneter yang efektif. Dalam beberapa tahun terakhir, berkembang perdebatan soal efektifitas dari implementasi kebijakan fiskal dan moneter suatu negara dalam mendukung tercapainya pertumbuhan ekonomi yang optimal, terutama dalam jangka panjang, misalnya studi teoritis maupun empiris yang menganalisis hubungan antara inflasi dengan pertumbuhan ekonomi jangka panjang. (Altar, 2003)
Studi-studi yang dilakukan sejak dua dekade terakhir makin memperluas wawasan kita tentang pengaruh kebijakan-kebijakan publik terhadap pertumbuhan ekonomi. Barro (1990) secara khusus mempelajari pengaruh kebijakan-kebijakan fiskal, seperti perpajakan dan belanja pemerintah, terhadap pertumbuhan ekonomi. Van der Ploeg &
Alogoskoufis (1994) dan Chari, Jones, & Manuelli (1995) menguji pengaruh kebijakan moneter, seperti perubahan pada tingkat persediaan nominal mata uang terhadap aktifitas real jangka panjang.
Akhir-akhir ini para ekonom meningkatkan perhatiannya pada interaksi antara kebijakan makro melalui teori tingkat harga, yang dikenal dengan sebutan Teori Fiskal (Fiscal Theory/FT). FT menyoroti bahwa kemampuan membayar pemerintah harus dijamin, sehingga kebijakan moneter akan dapat mengontrol tingkat harga. Saat otoritas fiskal mengalami defisit pada anggaran, otoritas moneter harus menjamin kemampuan membayar pemerintah melalui kebijakan seigniorage. Selain itu, pengeluaran (belanja pemerintah) juga akan berakibat pada perubahan harga (inflasi). Karena itu, perlu disadari pentingnya keseimbangan anggaran melalui penyusunan anggaran yang ‘bijak’ sehingga tidak menghambat stabilisasi fiskal.
Pertumbuhan ekonomi suatu negara pada dasarnya tidak hanya tergantung pada kebijakan fiskal saja, atau kebijakan moneter saja, tetapi lebih pada gabungan kedua kebijakan makroekonomi ini. Interaksi kebijakan fiskal dan moneter penting dalam mendukung pertumbuhan dan menstabilkan perekonomian suatu negara. Karena itu, kajian ilmiah sangat diperlukan untuk mempelajari masalah interaksi kebijakan fiskal dan moneter; pengaruhnya terhadap pertumbuhan ekonomi jangka panjang.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menganalisis sebuah model dinamik pertumbuhan ekonomi waktu diskret, dengan variabel berupa kebijakan fiskal dan moneter.
2
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapadefinisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
2.1 Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi (economic growth) adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksikan dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya.
(Sukirno 2004) 2.2 Pembangunan Ekonomi
Pembangunan ekonomi (economic development) adalah pertumbuhan ekonomi yang diikuti oleh perubahan dalam struktur dan corak kegiatan ekonomi. Dalam konsep pembangunan ekonomi, yang dilihat tidak saja perkembangan pendapatan nasional real, tetapi juga pada pergeseran struktur pendukung, misalnya modernisasi kegiatan ekonomi. Pembangunan ekonomi juga ditandai dengan pendapatan per kapita yang terus-menerus meningkat.
(Lancaster & Dulaney 1979) 2.3 Kebijakan Fiskal
Kebijakan fiskal merupakan kebijakan yang dibuat pemerintah (otoritas fiskal) dalam mengelola pendapatan (perpajakan) dan pengeluaran pemerintah untuk mengarahkan perekonomian suatu negara. Instrumen utama kebijakan fiskal adalah pengeluaran dan pajak. Perubahan dalam tingkat dan komposisi pajak; dan pengeluaran pemerintah yang dapat mempengaruhi variabel-variabel seperti: permintaan agregat dan tingkat aktivitas ekonomi, pola persebaran sumber daya, dan distribusi pendapatan.
Yang disebut otoritas fiskaladalah badan pemerintah yang bertanggung jawab terhadap penerimaan dan anggaran pemerintah, dalam
hal ini menteri keuangan. (Sukirno 2004)
2.4 Kebijakan Moneter
Kebijakan moneter merupakan kebijakan yang meliputi langkah-langkah pemerintah (otoritas moneter) dalam mengatur/ mempengaruhi jumlah uang yang beredar dalam perekonomian suatu negara.
Langkah-langkah yang dilakukan bertujuan menstabilkan perekonomian. Tujuan yang dicapai misalnya pengendalian terhadap inflasi dengan mengatur keseimbangan antara persediaan uang dan barang. Hal ini dilakukan dengan menentukan standar bunga pinjaman (suku bunga), intervensi di pasar valuta asing, dan menjadi tempat terakhir bagi bank-bank untuk meminjam uang apabila mengalami kesulitan likuiditas.
Adapun otoritas moneter suatu negara adalah bank sentral, yang di Indonesia adalah Bank Indonesia.
(Sukirno 2004) 2.5 Inflasi dan Tingkat Inflasi
Inflasi adalah suatu proses kenaikan harga-harga yang berlaku dalam suatu perekonomian. Sementara tingkat inflasi (presentasi pertambahan kenaikan harga) menggambarkan perubahan harga-harga yang berlaku dari satu tahun ke satu tahun lainnya.
(Sukirno 2004) 2.6 Seigniorage
Seigniorage berasal dari kata dalam bahasa Perancis, seigneur, yang merupakan sebutan orang perancis untuk “tuan tanah”. Di abad pertengahan, tuan tanah memiliki hak eksklusif untuk mencetak uang. Sekarang, hak ini dimiliki oleh pemerintah pusat (bank sentral), dan merupakan salah satu sumber penerimaan. Jadi, penerimaan (negara) yang ditingkatkan melalui percetakan uang baru disebut seigniorage.
(Mankiw 2003) 2.7 Tingkat Bunga Nominal Bebas Risiko
Tingkat bunga nominal bebas risiko (risk-free nominal interest rate) adalah tingkat bunga pasti yang ditentukan bank terhadap nominal uang (dengan tidak memperhitungkan inflasi). Tingkat bunga nominal berkaitan dengan pertumbuhan uang berdasarkan suku bunga. Misalnya, tepat setahun lalu Anda mendepositokan Rp 1.000.000,- ke dalam deposito satu tahun yang menjamin suku bunga 10%. Anda akan segera memperoleh Rp 1.100.000, sekarang.
2.8 Tingkat Bunga Real Bebas Risiko Tingkat bunga real/efektif bebas risiko (risk-free real interest rate) adalah tingkat bunga nominal pasti (risk-free rate) yang dikoreksi dengan cara mengurangi laju inflasi, untuk menyesuaikan perubahan dalam daya beli uang. Jadi, suku bunga real berkaitan dengan pertumbuhan daya beli. Dalam contoh di atas, apakah imbal hasil sebesar Rp 100.000,- itu real? Bergantung pada apa yang bisa dibeli uang sekarang, yang sangat dipengaruhi oleh tingkat inflasi dalam setahun terakhir.
(Kunarjo 2003) 2.9 Lump-Sum Tax
Lump-sum tax adalah pajak yang penghitungannya mengabaikan variabel apa pun, seperti pendapatan atau pengeluaran. Pajak dibebankan pada besarnya kapasitas pendapatan tetapi tidak bergantung pada jumlah keseluruhan pendapatan. Sebagai contoh, pajak barang pribadi. Seorang pemilik rumah membayar pajak yang sama, apakah ia memperoleh pendapatan dari rumahnya atau tidak. Penaksiran lump-sum tax terhadap kapasitas pendapatan individu cukup sulit terutama jika tetap berpegang pada prinsip pajak harus sesuai dengan “kapasitas untuk membayar” dari tiap pembayar pajak. Karena itu, lump-sum tax dikontrol oleh pembayar pajak.
(Boulding 1958) 2.10 Persamaan Fisher (Fisher Equation)
Persamaan dengan bentuk i r
merupakan sebuah bentuk pendekatan yang mengaitkan tingkat suku bunga real ( )r , tingkat suku bunga nominal ( )i , dan tingkat inflasi ( ) . Persamaan ini menunjukkan tingkat suku bunga nominal bisa berubah karena dua alasan: karena tingkat bunga real berubah atau karena tingkat inflasi berubah. Nama persamaannya sendiri diambil dari nama belakang ekonom Irving Fisher (1867-1947). Pendekatan di atas akurat selama r, i, dan cukup kecil (kurang dari 20 persen per tahun). Di luar itu, formula eksak untuk persamaan di atas sebenarnya sebagai berikut
1 1 1 i r .Teori kuantitas uang menunjukkan bahwa tingkat pertumbuhan uang menentukan tingkat inflasi. Dalam persamaan Fisher, tingkat
bunga real ditambah tingkat inflasi untuk menentukan tingkat bunga nominal.
(Mankiw 2003) 2.11 Persamaan Beda
Konsep persamaan beda (difference equation) digunakan dalam analisis sistem dinamik dengan variabel diskret untuk menunjukkan dinamika/perubahan suatu variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi
y t , nilai yberubah bila nilai t berubah dari integer yang satu ke integer berikutnya, mis. t1, t2, t3, dan seterusnya. Pola perubahan y digambarkan dengan istilah ‘beda’ (difference).
Misalkan y menunjukan besar perubahan y pada dua periode berurutan, sehingga dapat ditulis
1
t t
y y y
.
Dengan ytadalah nilai ypada periode
ke-t. Sedangkan yt1 menunjukan nilai y pada satu periode setelah periode ke-t. Bentuk di atas dapat ditulis
1 t t y y y 2 1 t t y y y 3 2 t t y y y ... .
Misalkan 0 t T , maka kita dapat menyatakan yT dalam yT1 hingga y0.
Hal yang sama berlaku juga sebaliknya, dalam hal ini jika persamaan berbentuk
1
t t
y y y.
(Chiang & Wainwright 2005) 2.12 Turunan
Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel tak bebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.
Turunan fungsi f pada bilangan
a
dinyatakan dengan f'
a adalah
0 ' lim h f a h f a f a h , jika limit ini ada.Jika x a h, maka h x a dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x mendekati a. Sehingga dapat ditulis
' lim x a f x f a f a x a . (Stewart 1998)4
2.13 Prinsip Maksimum: Maksimisasi dan Minimisasi Fungsi
Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai maksimum dan minimum (terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua. Andaikan f '' kontinu di sekitar c, a) Jika f '
c 0 dan f ''
c 0, makaf mempunyai minimum lokal pada c. b) Jika f '
c 0 dan f ''
c 0, maka fmempunyai maksimum lokal pada c. (Stewart 1998) 2.14 Turunan Parsial
Jika f adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya adalah fungsi fx dan fy yang didefinisikan oleh
0 , , , lim h x f x h y f x y f x y h
0 , , , lim h y f x y h f x y f x y h .Untuk mencari fx, pandang y sebagai konstanta dan diferensialkan f x y
, terhadap x. Sementara untuk fy, pandang x sebagai konstanta lalu diferensialkan f x y
, terhadap y.Jika f adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsial (pertama) fx dan fy juga
fungsi dua variabel, sehingga kita dapat meninjau turunan parsial kedua,
fx x,
fx y,
fy x,
fy y. Notasi
fx y atau fxy atau2f y x
bermakna bahwa pertama
kita mendiferensialkan terhadap x, kemudian terhadap y.
(Stewart 2003) 2.15 Pengali Lagrange(
)
Untuk mencari nilai ekstrem f x y( , ) terhadap kendala g x y
, k (dengan anggapan bahwa nilai ekstrem ini ada), kita mencari semua nilai x, y, dan sedemikian sehingga
,
, f x y g x y , dan g x y
, k. (Stewart 2003) 2.16 Determinan HessUntuk mengoptimumkan suatu fungsi dua variabel z f x y
, dengan anggapan syarat turunan pertama telah dipenuhi, syarat selanjutnya harus dipenuhi:1) zxx,zyy 0 untuk minimum
zxx,zyy 0 untuk maksimum, dan 2) z zxx yy
zxy 2.Suatu pengujian yang mudah untuk syarat ordo kedua ini adalah determinan Hess, ditulis: xx xy yx yy z z H z z dengan zxy zyx. Jika H1 0, dan
2 2 0 xx xy xx yy xy yx yy z z H z z z z z ,syarat ordo kedua untuk suatu minimum dipenuhi. Hal tersebut dikatakan Hess definit positif. Jika H1 0 dan, 2 xx xy 0 yx yy z z H z z
syarat ordo kedua untuk suatu maksimum dipenuhi. Hal tersebut dikatakan Hess definit negatif.
(Dowling 1980) 2.17 Variabel Slack
Mencari solusi (penyelesaian) dari sebuah fungsi obyektif dengan lebih dari dua variabel pada pemrograman linear dapat menggunakan metode penyelesaian tertentu, misalnya metode simpleks. Misalkan:
1
n
ij j i j a x b
(1) adalah sebuah kendala pertaksamaan. Dimisalkan sebuah variabel baru, s. Persamaan (1) dapat ditulis kembali sebagai berikut: 1 n ij j i j a x s b , atau 1 n i ij j j s b a x (2) 0 s . (3)
Variabel s disebut variabel slack. Penambahan variabel slack bertujuan untuk mengubah pertaksamaan yang mengandung tanda “
” menjadi sebuah persamaan. Pertaksamaan (1) benar jika dan hanya jika persamaan (2) dan pertaksamaan (3) benar. Penulisan variabel s biasanya disesuaikan dengan variabel yang digunakan dalam fungsi, misalnya: xn i untuk variabel slack pada pertaksamaan ke-i. Sehingga kendala ke-i menjadi: 1 n n i i ij j j x b a x , dengan xn i 0. (Cormen 2002) 2.18 Persamaan HamiltonPersamaan Hamilton didefinisikan sebagai berikut:
, , , , , , , H x t y t t t f x t y t t t g x t y t t dengan
t disebut costate variable. Costate variable
t menaksir nilaimarginal atau mengikuti perubahan dari variabel state x t
.(Dowling 2001) 2.19 Fungsi Utilitas (Utility Function)
Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut:
1, ,...,2
t n
U U x x x
dengan Ut adalah kegunaan/utilitas total, dan 1, ,...,2 n
x x x merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi.
Kegunaan total barang yang dikonsumsi seorang individu biasanya makin meningkat pada saat dia mengonsumsi suatu produk. Hingga pada tingkat tertentu, kegunaan marginalnya menjadi lebih kecil dibandingkan dengan sebelumnya. Hal ini terjadi sejalan dengan kejenuhan individu bersangkutan akan produk itu.
(Passet al 1994)
III PEMBAHASAN
Analisis mengenai pengaruh kebijakanmoneter dan fiskal terhadap pertumbuhan ekonomi dibuat atas dasar sebuah model dinamik dengan variabel-variabel tertentu dari tipe Sidrauski-Brock (Obsfeld & Rogoff, 1983).
3.1 Model Perilaku Ekonomi Sektor Rumah Tangga dan Pemerintah
Pada bagian ini akan dibahas sebuah model dinamik, dengan asumsi:
1. Rumah tangga dengan waktu hidup tanpa batas dan memperoleh pendapatan konstan tiap periode.
2. Rumah tangga membayar pajak konstan dan konsumsi tiap periode konstan.
3. Ada agen swasta yang representatif dan sektor pemerintah yang terdiri atas gabungan otoritas fiskal dan moneter (bank sentral).
4. Tidak ada ketidakpastian dan pasar dalam kondisi sempurna.
Variabel-variabel yang digunakan sebagai berikut:
t : periode waktu.
Pada model diskret, interval antar satuan waktu adalah sama.
t
y : pendapatan rumah tangga pada periode t, denganyt 0.
t
c :konsumsi pada periode t, dengan 0
t
c .
t
h : pengeluaran untuk pembayaran lump-sum taxpada periode t.
t
P : nilai uang dari outputpada periode t.
t
M : jumlah uang pada awal periode t (atau di akhir periode t-1).
t
B : obligasi nominal yang belum dilunasi pada awal periode t (atau di akhir periode t-1).
t
i : suku bunga nominal bebas risiko untuk satu periode t.
t
r : suku bunga real bebas risiko untuk satu periode t. t : tingkat inflasi. t x : variabel slack. t
g : belanja/pengeluaran real pemerintah pada periode t.
6
Diketahui Persamaan Fisher: 1 1 1 t t t i r (1) dengan, 1 t 1 t t P P .
Kendala anggaran rumah tangga untuk suatu periode: 1 1 , 1 t t t t t t t t t t t B Pc M M B P y P h i 0 t
(2) Dengan kata lain, jumlah pengeluaran lebih kecil atau sama dengan pendapatan setelah dikurangi pajak.
Didefinisikan kekayaan real, Wt, sebagai berikut:
t t t
W B M . (3) Untuk mengubah pertaksamaan (2) menjadi sebuah persamaan, diberikan variabel slack
t
x , xt 0, t 0.
Persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi: 1 1 1 t t t t t t t t t t t B Pc M M B P y Ph i
1 1 1 t t t t t t t t t t B M W P y Ph Pc i
1 1 1
1 t t t t t t t t t t M M i B W P y h c i
1 1
1 1 t t t t t 1 t t t t t t M B i W P y h c M i i Karena Wt1Bt1Mt1, maka dengan
menambahkan variabel slack, diperoleh persamaan berikut
1
1 1 1 1 t t t t t t t t t t t t W x i W P y h c M i i i .Atau dapat ditulis
1 1 1 1 t t t t t t t t t t W i W P y h c M i i . 1 t t x i (4) Pada kondisi kesetimbangan, saat pengeluaran yang direncanakan sama dengan pendapatan, persamaan di atas mengikuti kaidah umum dalam ilmu ekonomi, yakni, 0
t t t
c g y t . (5) Dengan demikian persamaan (4) menjadi
1 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t W i x W P g h M i i i (6a)
Untuk mendapatkan Wt, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1 . 1 1 1 t t t t t t t t t t t W i x W P h g M i i i (6b)
Dengan Persamaan Beda, persamaan (6b) dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut: t t t W B M
1 1 1 0 0 0 1 1 = 1 1 1 1 [ ]. 1 T T k t j k j j t j t j t k t t k t k t k t k t k W i i i P h g M x i
(7) (Bukti lihat Lampiran1)
Jika kondisi transversalitas: 1 0 1 lim 0 1 T j T T j it j W
(8)dipenuhi, maka persamaan (7) menjadi:
1 0 0 1 1 [ 1 ] 1 k t t t k t k t k k j t j t k t k t k t k B M P h g i i M x i
(9)
Persamaan (9) menggambarkan kondisi kesanggupan pemerintah untuk membiayai pengeluaran, termasuk melunasi hutangnya.
Dengan menyubstitusi kembali
t t t
g y c pada persamaan (9), maka akan diperoleh persamaan (10) yang menggambarkan kondisi kesanggupan rumah tangga untuk membiayai pengeluarannya:
1 1 0 0 1 [ 1 1 - - - ]. k t k t t t k k j t j t k t k t k t k t k t k i B M M i i P y h c x
(10) 3.2 Model Masalah Optimasi
Misalkan kita notasikan: 1
t t
Z M (11) dan faktor diskon nilainya sama dengan:
1 , 0 1 (12)
dengan >0 adalah suku bunga subjektif. Konsumen memaksimumkan fungsi
J
yang diberikan oleh persamaan:0 , t t t t t Z J U c P
(13)dengan U
.,. adalah fungsi utilitas. Fungsi tersebut merupakan fungsi naik, konkaf dan terturunkan dua kali:
.,. 0,
.,. 0c z
U U (14) dan Matriks Hess-nya:
cc cz zc zz U U U U
(15)adalah definit negatif, dengan
c U U c
;
z U U z ;
2 2 cc U U c ;
2 2 zz U U z ;
2 cz U U z c ; dan 2 zc U U c z . Lebih jauh lagi,0 0 lim c , lim z , c z Z Z U c U c P P
(16) lim c , 0 c Z U c P
. (17)Agen memaksimumkan (13) terhadap kendala berikut:
1 1 [ ( )] t t t t t t t t t t W i W P y h c i Z x(18) 1 t t W Z (dengan W0 ditentukan) (19) 0 t x (20) 1 0 1 lim 0 1 T T j T j i j W i
. (21)Kendala (19) dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1 1
t t t
B M M atau Bt1 0
.
(19’) Untuk memperoleh kondisi yang optimal, digunakan Prinsip Maksimum untuk sistem dinamik dengan variabel diskret.Persamaan Hamilton-nya: (Altar, 2003)
, {(1 )[ ( )] } {(1 )[ ( )] (1 ) } t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t Z H U c i W P y P h c i Z x i W P y h c i Z x x
(22) dengan t melambangkan variabel dual; t
dan t adalah pengali Lagrange (Lagrange multiplier) yang sesuai dengan kendala (19) dan (20).
Syarat perlu untuk kondisi optimalnya adalah sebagai berikut:
0 t H c 0 t H Z 0 t H x
.
(23) Sehingga diperoleh
, 1 t t c t t t t t t Z U c i P P
1 , . 1 t t z t t t t t t t Z U c i i P P
t t t (24) (Bukti lihat Lampiran2)Persamaan dinamik dari variabel dual t
adalah sebagai berikut: (Altar, 2003) 1 t t t H W (25) sehingga
1 1 1 t it t it t . (26) Untuk pengali Lagrange (berdasarkan Prinsip Maksimum), diperoleh (Altar, 2003):
1
0 ; 0 t t Wt Zt 0 ; . 0 t t xt .
(27a)8
Dari persamaan t 0 ; .t xt 0, dapat dilihat bahwa jika xt 0 maka t 0.
Dalam hal ini, persamaan ketiga pada persamaan (24) menjadi t t, sehingga
membuat kondisi di atas tidak optimal. Sementara itu, jika xt 0, t 0, maka kendala anggaran konsumen (2) pada kurva/lintasan optimal dipenuhi sebagai sebuah persamaan, yaitu
1 1 , 1 0 t t t t t t t t t t t B Pc M M B P y P h i t
(27b)
Dari persamaan pertama (27a), bila t 0 maka Wt1Zt 0,
Bt1Mt1Zt 0Karena Mt1Zt, maka dapat ditulis
Bt1 0.Dengan kata lain, jika t 0, maka agen tidak akan membeli obligasi pada periode bersangkutan. Didefinisikan: ; t t t t t t q , (28)
maka kondisi optimal (24) menjadi:
, t 1 c t t t t t t Z U c i P q P
, t 1 z t t t t t t t t Z U c Pi q P i P
(29) (Bukti lihat Lampiran3).Persamaan dinamiknya sebagai berikut:
1 1 t t t t q i q atau
1 1 1 t t t t q q i . (30) (Bukti lihat Lampiran4)3.3 Analisis Kualitatif Lintasan Optimal Untuk mempermudah analisis ini, diasumsikan bahwa fungsi utilitas dapat dipisahkan dalam dua argumen berikut:
( , t) ( ) ( t) t t t t Z Z U c V c P P . (31)
Dalam kasus ini, kondisi optimal (29) menjadi: '( )t (1 t) (t t t) V c i P q (32) ' Zt t t t t(1 t) t Pt i Pq P i . (33)
Berdasarkan persamaan (27a), jika
1 0
t
B (agen membeli obligasi) maka nilai 0 t , sehingga t 0
. P
ersamaan (30), (32), (33) menjadi:
1 1 1 t t t q q i (34)
' t 1 t t t V c i Pq (35) ' t t t t t Z Pi q P
. (36)Penulisan kondisi optimal (35) untuk dua periode berurutan adalah sebagai berikut:
' t 1 t t t V c i Pq
1 1
1 1 ' t 1 t t t V c i P q .Dengan mengambil rasio kedua persamaan tersebut dan menggunakan persamaan (34), diperoleh
1 1 1 ' 1 1 ' 1 t t t t t V c P V c i P . (37) (Bukti: lihat Lampiran5)Diketahui 1 1 1 t t t P P , (38)
dengan t1 menunjukkan tingkat inflasi pada periode t1, persamaan (37) menjadi:
1 1 ' 1 ' 1 t t t V c V c r . (39) (Bukti: lihat Lampiran6)Dengan asumsi bahwa fungsi dari konsumsi di atas adalah fungsi satu-satu, maka persamaan (39) berimplikasi pada situasi berikut:
a) Jika rt1 , maka ct ct1.
b) Jika rt1 , maka ct ct1.
c) Jika rt1 , maka ct ct1.
Oleh karena itu, perkembangan inflasi dan suku bunga nominal bebas risiko menyebabkan konsumsi dapat menjadi konstan, naik ataupun turun.
Selanjutnya, dengan mengambil rasio persamaan (36) untuk dua periode berurutan
dan menggunakan persamaan (34), diperoleh
1 1 1 1 ' 1 1 ' t t t t t t t t t Z P P i P i i Z P
(40) atau 1 1 1 1 ' 1 1 ' t t t t t t t t t Z P P i P i i Z P
. (41)(Bukti lihat Lampiran7) Jika diasumsikan bahwa: a) Inflasi konstan, yaitu
1 1 t t P P . b) it it1. c) 1 1 1 1 i r r . Maka, dari (41) diperoleh:
1 1 ' 1 ' t t t t Z P Z P
atau 1 1 t t t t Z Z P P . (42) Karena Zt Mt1, maka 1 1 1 . t t t t M P M P Jadi, dengan persamaan (13), asumsi (b), dan asumsi (c), diketahui bahwa permintaan terhadap uang tumbuh dengan laju yang sama dengan pertumbuhan inflasi.
1 1 .
t t
M M . (43) 3.4 Kondisi Transversalitas
Untuk lintasan optimal, Prinsip Maksimum menyediakan kondisi transversalitas atau syarat batas:
lim T T 0
T W . (44)
Substitusikan menggunakan persamaan (28), maka persamaan (44) menjadi:
lim T T T 0
T q W . (45)
Karena WT BT MT dengan
B
T
0
dan0
TM
, kondisi transversalitas (45) menjadi:lim
T T T0
T
q B
(46a)lim
T T T0
T
q M
. (47a)Dari persamaan dinamik (34) diperoleh:
0 1 1 1 1 T T k T k q q i
(48)(Bukti lihat Lampiran8)
Dengan menyubstitusi (48) ke persamaan
(46a) dan (47a), diperoleh:
0 1 lim 0 1 T T T k k B i
(46b) 0 1 lim 0 1 T T T k k M i
. (47b)Jika tingkat bunga nominal bebas risiko konstan, yaitu
1 , 0
k k
i i i k (49) maka kondisi transversalitas menjadi:
1 lim 0 1 T T T i B
(46c) 1 lim 0 1 T T T i M
. (47c)Ini berarti bahwa barisan
B t NT dan
MT t N harus naik lebih lambat dari padabarisan 1 1 t i t N
.3.5 Kasus Fungsi Utilitas Tipe Bernoulli Diasumsikan bahwa fungsi utilitas V(.) dan (.) pada persamaan (31) merupakan tipe Bernoulli. Misalkan:
1 1 1 -V c c 1 1 1 t t t t Z Z P P
(50) dengan(0,1)Dengan mengetahui konsumsi pada dua periode berurutan di persamaan (39), diperoleh persamaan konsumsi pada kondisi optimal sebagai berikut:
10 1 1 1 1 1 t t t r c c
. (51a)(Bukti lihat Lampiran9)
Persamaan (51a) menggambarkan sebuah persamaan dinamik dengan variabel kontrol
t
c.
Persamaan (51a) menunjukkan bahwa, untuk tujuan mengetahui dinamika konsumsi yang optimal, cukup dengan mengetahui perubahan dari tingkat suku bunga real bebas risiko dan nilai awal c0 untuk konsumsi.
Dengan Persamaan Beda, persamaan (51a) dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut: 1 1 0 0 1 1 t k t k r c c
(51b)(Bukti lihat Lampiran10) Dengan substitusi maju, diperoleh
1 0 1 1 T t k t T t k r c c
. (52)(Bukti lihat Lampiran11)
Terkait permintaan terhadap uang, kita bagi persamaan (35) dengan persamaan (36), sehingga diperoleh persamaan berikut:
' ' 1 t t t t t Z P i V c i
. (53)Dengan menyubstitusikan bentuk turunannya diperoleh: 1 1 t t t t t Z i c P i
. (54)(Bukti lihat Lampiran12)
Karena Zt Mt1, maka persamaan (54) dapat ditulis sebagai berikut:
1 1 1 t t t t t i M P c i
. (55)Dari persamaan (55) dapat disimpulkan bahwa permintaan terhadap uang, Mt1, meningkat selama Pt dan ct naik.
Diketahui: 1 t 1 t t P P . Misalkan: 1 1 1 t t t M m P (56) Karena 1 1 t t t P P
,
maka persamaan (55) dapat ditulis sebagai berikut:1 1 1 1 1 t t t t t t P i M c i
1 1 1 1 1 1 t t t t t t M i c P i
.Berdasarkan persamaan (56), diperoleh persamaan berikut: 1 1 1 1 1 t t t t t i m c i
. (57)Dapat disimpulkan bahwa mt1 akan turun mengikuti kenaikan tingkat inflasi,t.
Jika tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi konstan:
1 1 1 1 i r (58) maka, berdasarkan persamaan (51a), dapat dikatakan bahwa konsumsi konstan.
1,
t t
c c t (59) Dalam kasus ini, permintaan real terhadap uang juga akan menjadi konstan:
1 1 1 1 i m c i
. (60)Dari persamaan (58) kita memperoleh persamaan tingkat suku bunga nominal:
(1 )(1 ) 1
i . (61) Sehingga persamaan permintaan real terhadap uang pada persamaan (60) di atas akan menjadi: 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) m c
. (62) Karena itu, dengan asumsi di atas, jika bank sentral membuat keputusan seputar besarnya tingkat inflasi, , (konstan), maka besarnya tingkat suku bunga diberikan oleh persamaan (61) dan permintaan real terhadap uang diberikan oleh persamaan (62).3.6 Kesesuaian antara Kebijakan Fiskal dan Moneter
Interaksi antara kebijakan fiskal dan moneter tetap menjadi topik yang menarik untuk dibahas oleh para ahli makroekonomi.
Pada bagian ini, diambil beberapa asumsi mengenai kebijakan fiskal dan moneter, untuk melihat bagaimana kondisi kesanggupan membayar fiskal terpenuhi (juga kondisi transversalitas (46b) dan (47b)).
Dalam kaitannya dengan kebijakan moneter oleh bank sentral, diasumsikan bahwa kondisi-kondisi berikut terpenuhi: 1. Tingkat inflasi konstan.
2. Tingkat suku bunga nominal konstan. Selanjutnya, diasumsikan juga bahwa tingkat suku bunga nominal telah diberikan pada persamaan (61), yang menyebabkan konsumsi konstan.
Untuk penyederhanaan, diasumsikan juga pendapatan, y, sama untuk tiap periode:
1 , 0
t t
y y y t . (63) Belanja real pemerintah tiap periode adalah
t t t
g y c.
Karena yt dan ct tetap, maka gt juga tetap. Sehingga dapat ditulis:
1 , 0
t t
g g g t . (64) Jika kita membagi persamaan anggaran rumah tangga (27b) dengan
P
t, maka diperoleh:1 1 1 1 1 1 1 1 -t t t t t t t t t t t t t t M P B P c P P P P i M B y h P P
(65) Misalkan ; t t t t t t B M b m P P . (66) Karena y c- g, maka persamaan (66) dapat ditulis sebagai berikut:
1 1 - 1 1 t t t t t b b g h m m r
. (67) (Bukti lihat Lampiran13)Berdasarkan asumsi mengenai tingkat inflasi dan tingkat suku bunga nominal di atas, dapat disimpulkan bahwa permintaan real terhadap uang juga konstan:
1 , 0
t t
m m m t (68)
yang besarnya diberikan pada persamaan (62). Persamaan (67) dapat ditulis sebagai berikut:
1 - -1 t t t b b g h m r (69a) atau 1 -1 t t t b b S r (69b) dengan St menunjukkan surplus termasuk seignorage.t t
S h m g . (70) Dalam kaitannya dengan kebijakan fiskal, diasumsikan lump-sum tax-nya konstan:
, 0
t
h h t . (71) Dalam kasus ini, surplus termasuk seignorageadalah konstan:
, 0
t
S S t (72) dan persamaan (69b) menjadi:
1 1 t t b b S r (73a) atau
1 1 1 t t b r b r S. (73b) Dengan persamaan beda, persamaan (73b) dapat dipecahkan untuk memperoleh hasil berikut:
0
1 1 T 1 T 1 T S r b r b r r
. (74) (Bukti lihat Lampiran14)Jika kedua ruas dibagi dengan
1r T:
0
1 1 1 1 1 T T T b r b S r r r
(75) Diketahui bahwa, T T T B b P
1
0 T T P P,
(76) maka dari persamaan (75), diperoleh persamaan berikut:
0 00 1 1 1 1 1 T T T B B r S P r r i P
(77) dan
0 0 1 lim 1 T T T B b rS r i P . (78)12
Kondisi transversalitas akan dipenuhi hanya jika: 0 1 r S b r . (79) Sehingga besarnya jumlah lump-sum tax adalah 0 -1 r h g m b r (80) Jika nilai pajak diberikan oleh persamaan (80), maka dari persamaan dinamik (73a), diperoleh
0 1 2 ... t,
b b b b t N (81) Kewajiban real pemerintah bernilai konstan dan kewajiban nominal naik berdasarkan tingkat inflasi:
1
0T T
B B . (82) Dari persamaan kendala anggaran, untuk
0 t , maka: 0 mm (83) dengan 0 0 0 M m P diberikan.
Dengan menggunakan persamaan (62), diperoleh
1 0 1 1 1 1 1 1 c m
. (84) (Bukti lihatLampiran15)Dari hipotesis-hipotesis sebelumnya, solusi yang optimal adalah
0 1 2 ... t , 0
c c c c c t (85) dengan cdiberikan pada persamaan (84).
0 1 2 ... t , 0
m m m m m t .
(86) Sehingga permintaan uang nominal diberikan oleh:
1
0, 0t t
M M t . (87) Dengan menggunakan persamaan (31) dan (50), persamaan (13) dapat ditulis sebagai berikut: 1 1 1 0 1 1 1 - 1 -t t t t M J c P
. (88) (Bukti lihat Lampiran16)Berdasarkan solusi optimal pada persamaan (85) dan (86), diperoleh
0 0 1 1 -M J c P
. (89)Dari persamaan (84), persamaan (89) menjadi:
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 -J m m
(90) Dapat dilihat bahwa fungsi utilitas optimal bergantung pada tingkat inflasi. Karena itu bank sentral berperan penting dalam proses optimasi fungsi utilitas, melalui pengaturan tingkat inflasi, yang berdampak pada maksimalnya konsumsi sesuai dengan jumlah uang real.
model pertumbuhan ekonomi waktu diskret dengan variabel kebijakan fiskal dan moneter. Dasarnya adalah model kendala anggaran sektor rumah tangga. Dalam kasus dengan fungsi utilitas diasumsikan memiliki tipe Bernoulli, maka diperoleh sebuah persamaan dinamik optimal dari konsumsi. Dinamikanya tergantung pada tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi. Jika tingkat suku bunga real sama dengan tingkat bunga subjektif, maka konsumsi optimal konstan untuk seluruh waktu. Permintaan terhadap uang juga berubah sesuai perubahan tingkat inflasi. Saat inflasi konstan, maka permintaan uang real akan konstan.
Dari asumsi tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi yang konstan oleh bank sentral, diperoleh persamaan besarnya pajak
pemerintah akan naik berdasarkan tingkat inflasi.
Dengan memanfaatkan solusi optimal, diperoleh persamaan fungsi utilitas baru yang tergantung pada tingkat inflasi.
4.2 Saran
Mengingat model dalam karya ilmiah ini menggunakan waktu diskret, maka untuk penelitian lanjutan, perlu dipelajari model pertumbuhan ekonomi dengan waktu kontinu dan jangka waktu hidup yang terbatas.
Selain itu, dapat dianalisis model dengan asumsi moneter yang berbeda, variabel kebijakan yang lebih kompleks, dan asumsi pajak yang tidak konstan.
