Pengantar Statistika Matematika II

(1)

atinaahdika.com

Pengantar Statistika Matematika II

Sifat-Sifat Estimator

Atina Ahdika, S.Si., M.Si.

Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

(2)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan

Asas Reduksi Data

Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti

Informasi dalam sampelX1, X2, . . . , Xn akan digunakan

untuk melakukan inferensi tentang parameterθ

Bila ukuran sampel nbesar, kita perlu meringkas daftar nilai sampelx1, x2, . . . , xn atau mencari sifat-sifat

kuncinya agar data tersebut bisa lebih bermakna Hal ini biasanya dikerjakan dengan menghitung statistiknya, misalkan mean sampel, variansi sampel, nilai observasi terbesar, dan nilai observasi terkecil.

(3)

Untuk keperluan notasi, X= (X1, X2, . . . , Xn)

menyatakan sampel random, sedangkan

x= (x1, x2, . . . , xn) menyatakan nilai sampelnya

Setiap statistik T =t(X) selalu menghasilkan reduksi data

Dalam melakukan inferensi, kita selalu menggunakan nilai terobservasi dari statistik yaitu T =t(X)bukan keseluruhan sampel terobservasi x dan memperlakukan dua sampel x dany sama asalkant(x) =t(y) meskipun nilai xdan y tidak sama

(4)

Terdapat tiga asas reduksi data,

1 Asas Kecukupan (Sufficiency)

Asas kecukupan mengembangkan metode reduksi data yang tidak menghilangkan informasi tentang θ dengan meringkas data

2 Asas Likelihood

Asas likelihood menggambarkan fungsi parameter yang ditentukan oleh sampel terobservasi yang memuat semua informasi tentang θyang tersedia dari sampel

3 Asas Invarian

Asas invarian adalah metode lain reduksi data yang mengawetkan beberapa sifat utama dari model

(5)

Asas Kecukupan

Statistik cukup (sufficient statistics) untuk parameter θ

adalah statistik yang dalam arti tertentu bisa menyerap semua informasi tentang θyang termuat dalam sampel. Setiap informasi tambahan dalam sampel di samping harga statistik cukup, tidak memuat informasi tambahan tentangθ.

(6)

BilaT =t(X) adalah statistik cukup untukθ, maka setiap inferensi tentangθharus bergantung pada sampel X

hanya melalui harga T =t(X). Bila xdan y adalah dua titik sampel sedemikian hingga t(x) =t(y), maka inferensi tentangθ harus sama, tidak tergantung apakah X=x

atauY =y yang terobservasi.

(7)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Definisi 1

Statistik T =t(X) disebut statistik cukup untuk suatu keluarga distribusi fX(x|θ) jika dan hanya jika distribusi

bersyarat dariX diberikan hargaT tidak bergantung pada

θ:

(8)

Contoh 1

Misalkan X1, X2, . . . , Xn adalah i.i.d sampel acak

berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ,0< θ <1. Akan ditunjukkan bahwaT =

n

P

i=1

Xi adalah statistik

cukup untukθ. Perhatikan bahwa T menjumlah harga-hargaXi yang sama dengan 1 sehingga T

berdistribusi Binomial(n, θ).

(9)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Bukti: f_X|T(x|t, θ) = fX,T(x, t) fT(t) = fX1,X2,...,Xn,T(x1, x2, . . . , xn, t) fT(t) = n Q i=1 θxi₍₁₋_θ₎1−xi n t θt₍₁₋_θ₎n−t = θ n P i=1 xi (1−θ) n P i=1 (1−xi) n t θt₍₁₋_θ₎n−t = θ t₍₁₋_θ₎n−t n t θt₍₁₋_θ₎n−t = 1 n t = 1   n n P i=1 xi  

KarenafX|T(x|t, θ) tidak bergantung pada θ, maka

T = n

P

i=1

(10)

Contoh 2

Misalkan X1, X2, . . . , Xn adalah i.i.dN(µ, σ2)denganσ2

diketahui. Akan ditunjukkan bahwa mean sampel

T = ¯X= X1+X2+...+Xn

n adalah statistik cukup untuk µ.

(11)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Bukti:

(12)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Definisi 2

Suatu statistikT =t(X)adalah cukup untuk suatu keluarga distribusi fX(x|θ) jika dan hanya jika fungsi

peluangnya dapat difaktorkan sebagai:

fX(x|θ) =g(t(x)|θ)h(x)

(13)

Contoh 3

Misalkan X1, X2, . . . , Xn adalah i.i.d berdistribusi

(14)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan fX(x|θ) = n Y i=1 θxi₍₁₋_θ₎1−xi =θ n P i=1 xi (1−θ) n−Pn i=1 xi =g n X i=1 xi|θ ! h(x) denganh(x) = 1. Jadi,T = n P i=1

Xi merupakan statistik cukup untukθ.

(15)

Contoh 4

Misalkan X1, X2, . . . , Xn adalah i.i.d berdistribusi Normal

(16)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan fX(x|θ) = n Y i=1 1 √ 2π σe −1 2 (_xi−µ)2 σ2 = 1 (2π)n2σn e −1 2 n P i=1 (_xi−x¯)2 σ2 e−n2 (¯x−µ)2 σ2 =h(x)g(¯x|µ)

Jadi,T = ¯X adalah statistik cukup untuk µ.

(17)

Contoh 5

Misalkan X1, X2, . . . , Xn adalah peubah acak dengan

fungsi peluang fXi(xi|θ) =θ x θ−1 ,0< x <1, θ >0 Tunjukkan bahwaT = n Q i=1

Xi adalah statistik cukup untuk

(18)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Bukti: fX(x|θ) = n Y i=1 θ xθ−1_i =θn n Y i=1 xi !θ−1 =g n Y i=1 xi|θ ! h(x) denganh(x) = 1. Jadi,T = n Q i=1

Xi adalah statistik cukup untuk θ.

(19)

Contoh 6

Misalkan X1, X2, . . . , Xn adalah peubah acak i.i.d

berdistribusi Uniform dengan parameter (0, θ),0< x < θ, akan ditunjukkan bahwa T =M ax Xi adalah statistik

(20)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Bukti: fX(x|θ) = n Y i=1 1 θ, 0< xi < θ = 1 θn, 0< max xi < θ = 1 θn, I(0,θ)(max xi) =g(max xi|θ)h(x) denganh(x) = 1.

Jadi,T =M ax Xi adalah statistik cukup untuk θ.

(21)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Definisi

fX(x|θ) disebut keluarga eksponensial jikafX(x|θ) bisa

ditulis sebagai fX(x|θ) =h(x)c(θ)exp " _k X i=1 wi(θ)ti(x) #

(22)

Contoh 7

Misalkan X∼Binomial(n, θ), maka

fX(x|θ) = n x θx(1−θ)n−x = n x (1−θ)n θ 1−θ x = n x (1−θ)nexp log θ 1−θ x = n x (1−θ)nexp x log θ 1−θ denganh(x) = n x ,c(θ) = (1−θ)n,t(x) =x, dan w(θ) =log θ 1−θ .

(23)

Contoh 8

Misalkan X∼Eksp(λ) denganλ= 1_θ, maka

fX(x|θ) = 1 θe −1 θx = 1 θexp x· −1 θ denganh(x) = 1,c(θ) = 1_θ,t(x) =x, dan w(θ) =−1 θ.

(24)

Contoh 9

Misalkan X∼N(µ, σ2), maka

(25)

Keluarga Lengkap

JikaT =t(X) adalah statistik cukup dan keluarga eksponensial, maka statistik tersebut masuk ke dalam keluarga lengkap.

(26)

Sifat Kelengkapan

Sifat

Suatu statistikT =t(X)memiliki sifat lengkap jika

E(g(t)) = 0 ⇒ g(t) = 0

(27)

Keluarga Eksponensial adalah keluarga lengkap tetapi keluarga lengkap tidak identik dengan keluarga Eksponensial. Contoh:

(28)

Contoh 10

Misalkan Xi ∼U(0, θ). Akan dibuktikan bahwa

T =M ax Xi adalah statistik lengkap.

(29)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Bukti:

Pertama kali yang harus dilakukan adalah mencari fungsi peluangT =t(X). FT(t) =P(T ≤t) =P(M ax Xi ≤t) =P(X1 ≤t, X2≤t, . . . , Xn≤t) = n Y i=1 P(Xi≤t) (1) DiketahuiXi∼U(0, θ), maka fXi(xi) = 1 θ, 0≤xi≤θ

(30)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan Sehingga P(Xi≤t) = t Z 0 1 θdxi = t θ

Kembali ke persamaan (1), maka

FT(t) = n Y i=1 P(Xi ≤t) = t θ n = t n θn fT(t) = d dtFT(t) = n tn−1 θn , 0< t < θ

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

E(g(t)) = 0 ⇒ g(t) = 0

(31)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan E(g(t)) = θ Z 0 g(t)fT(t)dt= 0 θ Z 0 g(t)n t n−1 θn dt= 0 n θn θ Z 0 g(t)tn−1dt= 0

Kemudian kedua ruas diturunkan terhadap θ, sehingga diperoleh

(32)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan d dθ   n θn θ Z 0 g(t)tn−1dt  = 0 n(−n) θn+1 θ Z 0 g(t)tn−1dt+ n θn d dθ   θ Z 0 g(t)tn−1dt  = 0 − n 2 θn+1 θ Z 0 g(t)tn−1dt+ n θng(θ)θ n−1 = 0 −n θ   n θn θ Z 0 g(t)tn−1dt  +n g(θ) θ = 0 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar Statistika Matematika II April 17, 2017 32/33

(33)

Statistik Cukup Asas Reduksi Data Keluarga Eksponensial Keluarga Lengkap Sifat Kelengkapan Latihan _{0 +}_ng(θ) θ = 0 ⇒ g(θ) = 0

Terbukti bahwaXi ∼U(0, θ) adalah statistik lengkap,

namun distribusi Uniform tidak termasuk keluarga Eksponensial.

(34)

Latihan

1 Misalkan X1, X2, . . . , Xn adalah peubah acak-peubah

acak berdistribusi Gamma dengan α= 2 dan β=θ >0. Buktikan definisi bahwa T =

n

P

i=1

Xi adalah statistik

cukup untuk θmenggunakan definisi 1 dan 2.

2 Buktikan bahwa keluarga distribusi Poisson dengan

parameter θ termasuk dalam keluarga Eksponensial.

3 Diketahui X₁, X₂, . . . , X_n adalah peubah acak dari

distribusi dengan fXi(xi|θ) =θ 2_{x e}−θx_,₀_{< x <}_{∞, θ >}₀ Buktikan T = n P i=1

Xi adalah statistik cukup lengkap

untukθ.