NAMA : CITRA TIARA NINGATI NIM : K TURUNAN

TURUNAN

A. DUA MASALAH DENGAN SATU TEMA Garis Singgung

Gagasan Euclides tentang garis singgung adalah garis yang menyentuh kurva di satu titik benar untuk lingkaran, tetapi tidak memuaskan untuk kurva lain. Lihat gambar dibawah ini.

Gagasan bahwa garis singgung kurva pada titik P sebagai garis yang merupakan aproksimasi terbaik terhadap kurva di sekitar titik P adalah gagasan yang lebih baik, tapi masih kurang jelas secara matematis. Misalkan P adalah titik pada kurva dan Q titik berdekatan yang dapat dipindah – pindahkan pada kurva. Garis yang melalui P dan Q disebut garis sekan (tali busur).

Garis singgung (garis tangen) di P adalah posisi pembatas (jika ada) dari garis sekan jika Q bergerak kearah P sepanjang kurva. Lihat gambar dibawah ini.

Misalkan terdapat suatu kurva dengan grafik dari persamaan y = f(x). Misal P mempunyai koordinat P(c,f(c)) dan titik Q di dekatnya mempunyai koordinat Q(c+h,f(c+h)). Tali busur

PQ memiliki gradien

h c f h c f

mPQ = ( + )− ( ).

P

P NAMA : CITRA TIARA NINGATI

NIM : K1321029

CONTOH SOAL :

Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x² + 2x +2 di titik dengan absis -1.

PEMBAHASAN SOAL :

Kemiringan garis singgung kurva y = f(x) = -x² + 2x +2 di titik x = a adalah m tan = lim

ℎ →0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ = lim

ℎ→0

[−(𝑎+ℎ)²+2(𝑎+ℎ)+2] − [−𝑎²+2𝑎+2]

ℎ

= lim

ℎ→0

−𝑎²− 2𝑎ℎ − ℎ²+ 2𝑎 + 2ℎ + 2+ 𝑎²−2𝑎 − 2 ℎ

= lim

ℎ→0

ℎ(−2𝑎−ℎ+2) ℎ = lim

ℎ→0(−2𝑎 − ℎ + 2) = -2a + 2

Sehingga, gradien untuk a = -1 adalah -2(-1) + 2 = 4.

Definisi

Garis singgung terhadap kurva y = f(x) pada titik P(c,f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan

h c f h c m f

mgsP h h

) ( ) lim (

lim talibusur 0 0

−

= +

= → →

NB : asalkan limitnya ada dan bukan atau −

Kecepatan Rata – rata dan Kecepatan Sesaat

Misalkan suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan s = f(t), menunjukkan jarak ( berarah ) benda terhadap titik asal setelah waktu t dan sering disebut sebagai fungsi posisi.

Pada interval t =asampai dengan t =a+h perubahan posisi adalah f(a+h)− f(a). Sehingga kecepatan rata – rata pada interval ini adalah

Vrata – rata = 𝒇 (𝒂+𝒉) −𝒇 (𝒂) 𝒉

CONTOH SOAL :

Partikel bergerak sepanjang koordinat dan s merupakan jarak berarah dalam cm yang diluar dari titik – titik asal ke titik yang dicapai t detik dinyatakan sebagai 𝑠 = 𝑓(𝑡) = √5𝑡 + 1. Tentukan kecepatan sesat partikel pada akhir 3 detik.

Definisi

Jika benda bergerak di sepanjang garis lurus dengan posisi f(t), maka kecepatan sesaat pada saat a adalah

h

a f h a v f

v

h h

) ( )

lim ( lim

rata-rata[a,a h] 0 a 0

pada

−

= +

=

→ + →

NB : asalkan limitnya ada dan bukan atau −

PEMBAHASAN SOAL :

Kecepatan sesat pada akhir 3 detik adalah v = lim

ℎ →0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ = lim

ℎ→0

𝑓(3+ℎ)−𝑓(3) ℎ

= lim

ℎ→0

√5(3+ℎ)+1 − √5(3)+1 ℎ

= lim

ℎ→0

√16+5ℎ − √16

ℎ (𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) = lim

ℎ →0 5

√16+5ℎ − √16

= ⁵

8

Jadi, kecepatan sesaat pada akhir 3 detik adalah ⁵

8𝑐𝑚 tiap detik.

B. TURUNAN

Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative.

❖ Turunan fungsi f di c dinotasikan dengan f’(a).

❖ Jika suatu fungsi memiliki turunan di c, maka fungsi f terdiferensil di c.

❖ Pencarian turunan disebut diferensiasi.

Definisi Turunan di Suatu Titik

Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki turunan di 𝛼 jika limit berikut ada : 𝑓(𝑐) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞.

Bentuk Ekuivalen

Jika 𝑥 = 𝑎 + ℎ sehingga ketika ℎ → 0 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡 𝑥 → 𝑐, maka turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dititik c dinyatakan sebagai berikut :

𝑓′(𝑐) = lim

𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐 NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞.

CONTOH SOAL :

Misalkan f(x) = 13x – 6. Carilah f’(4).

PEMBAHASAN SOAL : Misalkan c = 4. Maka,

𝑓′(4) = lim

ℎ→0

𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4)

ℎ = lim

ℎ→0

(13(4 + ℎ) − 6) − (13(4) − 6) ℎ

= lim

ℎ→0 13ℎ

ℎ

= lim

ℎ→013

= 13

Menggunakan cara lain : 𝑓′(4) = lim

𝑥→4

𝑓(𝑥) − 𝑓(4)

𝑥 − 4 = lim

𝑥→4

(13(𝑥) − 6) − (13(4) − 6) 𝑥 − 4

= lim

𝑥→4

13(𝑥−4) 𝑥−4 = 13 Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas

Jika fungsi f memiliki turunan di c, maka fungsi tersebut kontinu di c. jika suatu kurva memiliki garis singgung di suatu titik, maka kurva tersebut tidak dapat melompat dititik tersebut.

Bukti, akan ditunjukka bahwa lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Diketahui bahwa f’(c) ada sehingga 𝑓′(𝑐) = lim

𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐)

𝑥−𝑐 . Perlihatkan bahwa

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) +𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎0 𝑥 − 𝑐 Sehingga,

lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑎[𝑓(𝑎) +^{𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)}

𝑥−𝑎 (𝑥 − 𝑎)]

= lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑎) + lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 lim

𝑥→𝑎(𝑥 − 𝑎) = 𝑓(𝑎) + 𝑓^′(𝑎)0

= 𝑓(𝑎) Teorema

Jika 𝑓^′(𝑐)𝑎𝑑𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑑𝑖 𝑎.

Hal tersebut merupakan konvers dari teorem yaitu Jika 𝒇(𝒂) 𝒌𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 𝒅𝒊 𝒂, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇^′(𝒂)𝒂𝒅𝒂.

Contoh yang memenuhi :

Misalakan 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Jelas bahwa fungsi 𝑓(𝑥) = |𝑥| kontinu di x = 0. Akan tetapi :

• lim

𝑥→0⁺

𝑓(𝑥)−𝑓(0)

𝑥−0 = lim

𝑥→0⁺ 𝑥−0

𝑥 = lim

𝑥→0⁺1 = 1

• lim

𝑥→0⁻

𝑓(𝑥)−𝑓(0)

𝑥−0 = lim

𝑥→0⁻

−𝑥−0

𝑥−0 = lim

𝑥→0⁻−1 = −1

Jika suatu fungsi kontinu di suatu titik, maka tidak berarti turunan fungsi dititik tersebut ada. Ini berarti konvers dari Teorema tidak benar. Hal ini menunjukkan bahwa di sebarang titik dimana grafik suatu fungsi kontinu memilki pojok yang tajam (corner), maka fungsi tersebut tidak terdiferensiasikan.

Bentuk kontraposisi dari teorema ;

Jika fungsi 𝒇 𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒌𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 𝒅𝒊 𝒂, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 𝒇^′(𝒂) 𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒂𝒅𝒂.

Dengan bentuk kontrapositif tersebut, maka untuk menunjukkan suatu fungsi tidakterdiferensiasikan di suatu titik, cukup tunjukkan (salah satunya) bahwa fungsi tersebut tidak kontinu dititk yang dimaksud. Gambar dibawah menunjukkan cara suatu fungsi agar tidak terdiferensiasiak di suatu titik. Selain itu lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎 = ∞ juga menyebabkan 𝑓^′(𝑎) tidak ada, hal tersebut dikenali dengan garis singgung vertikal pada kurva.

Notasi Leibniz

Pertambahan sebesar ∆𝑥 pada sumbu 𝑋 akan menyebabkan pertambahan sebesar ∆𝑦 pada sumbu 𝑌, yaitu: ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

Jika kedua ruas dibagi dengan, maka diperoleh: ^∆𝑌

∆𝑋 = f (x + ∆x )−f(x)

∆x yang menggambarkan gradien sebuah garis yang melalui titik (𝑥, 𝑓 (𝑥)).

Jika ∆𝑥 → 0, maka kemiringan garis sekan akan mendekati kemiringan garis singgung sehingga

∆𝒙→𝟎𝐥𝐢𝐦

∆𝒚

∆𝒙= 𝐥𝐢𝐦

∆𝒙→𝟎

𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)

∆𝒙 = 𝒇′(𝒙)

Leibniz menyatakan notasi ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 untuk menyatakan lim

∆𝑥→0 Δ𝑦

Δ𝑥, sehingga diperoleh : ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓^′(𝑥).

Catatan : ^𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒎𝒆𝒓𝒖𝒑𝒂𝒌𝒂𝒏 𝒔𝒂𝒕𝒖 𝒌𝒆𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒃𝒖𝒌𝒂𝒏 𝒉𝒂𝒔𝒊𝒍 𝒃𝒂𝒈𝒊 𝒂𝒏𝒕𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒚 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒅𝒙.

C. ATURAN PENCARIAN TURUNAN Aturan Fungsi Konstanta

BUKTI :

Untuk 𝑓 (𝑥) = 𝑘, maka 𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑘−𝑘

ℎ = lim

ℎ→00 = 0 CONTOH :

𝑓 (𝑥) = 2, maka 𝑓 ′ (𝑥) = 0. 𝑔 (𝑥) = 𝑧, maka 𝑔 ′ (𝑥) = 0.

Aturan Fungsi Satuan

CONTOH :

f (𝑥) = 𝑥, maka 𝑓 ′ (𝑥) = 1. 𝑔 (𝑧) = 𝑧, maka 𝑔 ′ (𝑧) = 1.

Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f(x) = 0; yakni, Dx (k) =0

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1; yakni, Dx (x) = 1

Aturan Pangkat

CONTOH :

𝑓 (𝑥) = 𝑥² , maka 𝑓 ′(𝑥) = 2𝑥^2-1 = 2x.

Aturan Kelipatan Konstanta

CONTOH :

𝑓(𝑥) = −7𝑥³, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓^′(𝑥) = −7. (3𝑥³⁻¹) = −21𝑥² Aturan Jumlah

Perhatikan bahwa Dx adalah operator, sehingga teorema D dapat dinyatakan

‘Turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan - turunan’

Jika f(x) = 𝑥^𝑛, dengan n suatu bilangan bulat positif maka f’(x) = n𝑥^𝑛−1; yakni, Dx (𝑥^𝑛) = 𝑛𝑥^𝑛−1

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan maka (𝑘𝑓)^′𝑥 = 𝑘. 𝑓′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 + 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Aturan Selisih

Perhatikan bahwa Dx adalah operator, sehingga teorema D dapat dinyatakan sebagai :

“Turunan dari suatu selisih adalah selisih dari turunan - turunan”

CONTOH :

𝑓(𝑥) = 5𝑥²+ 7𝑥 − 6, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓^′(𝑥) = 5(2)𝑥²⁻¹+ 7(1)𝑥¹⁻¹+ 0 = 10𝑥 + 7

Aturan Kali

CONTOH SOAL:

Carilah turunan ℎ(𝑥) = (3𝑥²− 5)(2𝑥⁴− 𝑥) PEMBAHASAN SOAL :

Misalkan 𝑓(𝑥) = 3𝑥²− 5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓^′(𝑥) = 6𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 2𝑥⁴− 𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑔^′(𝑥) = 8𝑥³− 1 Sehingga, jika ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑚𝑎𝑘𝑎

ℎ^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔^′(𝑥)

= 6𝑥(2𝑥⁴− 𝑥) + (3𝑥²− 5)(8𝑥³− 1) = 12𝑥⁵ − 6𝑥²+ 24𝑥⁵− 3𝑥²− 40𝑥³+ 5

= 36𝑥⁵ − 40𝑥³− 9𝑥²+ 5

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 − 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓. 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

Aturan Bagi

CONTOH :

Carilah turunan ℎ(𝑥) =^3𝑥−5

𝑥²+7

PEMBAHASAN SOAL :

Misalkan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓^′(𝑥) = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 7 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑔^′(𝑥) = 2𝑥, Sehingga jika ℎ(𝑥) =^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), 𝑚𝑎𝑘𝑎

ℎ^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔²(𝑥)

=3(𝑥²+ 7) − (3𝑥 − 5)(2𝑥) 𝑔²(𝑥)

=3(𝑥²+ 7) − (3𝑥 − 5)(2𝑥) (𝑥²+ 7)²

=3𝑥²+ 21 − 6𝑥² + 10𝑥 (𝑥²+ 7)²

= −3𝑥²+ 10𝑥 + 21 (𝑥²+ 7)²

Untuk aturan pangkat, bagaimana jika pangkat 𝒏 merupakan bilangan bulat negatif, yaitu 𝒏 < 𝟎 atau −𝒏, turunan dari fungsi. 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛 .

Perhatikan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛= ¹

𝑥^𝑛, sehingga dengan menggunakan teorena untuk aturan bagi diperoleh :

𝑓^′(𝑥) = 0(𝑥^𝑛) − 𝑛𝑥^𝑛−1(1) 𝑥^2𝑛

= −𝑛𝑥^𝑛−1

𝑥^2𝑛 = −𝑛𝑥^−𝑛−1 Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓^′(𝑥) = −𝑛𝑥^−𝑛−1

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓

𝑔)

′

(𝑥) =𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔²

D. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Bukti :

𝐷𝑥(sin 𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0

sin (x + h) − sin 𝑥 ℎ

= lim

ℎ→0

sin x cos h + cos x sin h − sin 𝑥 ℎ

= lim

ℎ→0(sin x cos h − sin 𝑥

ℎ + cos x sin h

ℎ )

= −𝑠𝑖𝑛𝑥 lim

ℎ→0(− cos h + 1

ℎ ) + cos 𝑥 lim

ℎ→0

sin ℎ ℎ

= − sin 𝑥 0 + cos 𝑥 (1) = cos x CONTOH SOAL :

Tentukan turunan fungsi f (𝑥0 = 3 sin 𝑥 − 2 cos 𝑥.

PEMBAHASAN SOAL :

𝑓 (𝑥) = 3 sin 𝑥 − 2 cos 𝑥, maka 𝑓 ′(𝑥) = 3𝐷𝑥(sin 𝑥) − 2 𝐷𝑥(cos 𝑥) = 3 cos 𝑥 − 2(− sin 𝑥)

= 3 cos 𝑥 + 2 sin x

TEOREMA A : Fungsi 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥 dan 𝑔 (𝑥) = cos 𝑥 terdiferensialkan, maka 𝐷𝑥(sin 𝑥) = cos 𝑥 dan 𝐷𝑥(cos 𝑥) = − sin x

CONTOH SOAL :

Tentukan turunan fungsi dari 𝑓 (𝑥) = 𝑥ⁿ tan 𝑥 untuk 𝑛 ≥ 1.

PEMBAHASAN SOAL :

Dengan menerapkan Aturan Hasil Kali, diperoleh bahwa :

𝑢 𝑥 = 𝑥ⁿ , maka 𝑢′(𝑥) = 𝑛𝑥^n-1 dan 𝑣 (𝑥) = tan 𝑥, maka 𝑣 ′ (𝑥) = sec² 𝑥, sehingga 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢 ′ (𝑥) 𝑣 (𝑥) + 𝑢 (𝑥) 𝑣′(𝑥)

= 𝑛𝑥^n-1 tan 𝑥 + 𝑥ⁿ sec²x E. ATURAN RANTAI

Teorema Aturan Rantai

Secara sederhana, turunan fungsi komposisi adalah turunan fungsi sebelah luar dihitung pada fungsi sebelah dalam, dikalikan turunan fungsi sebelah dalam.

CONTOH SOAL :

Jika 𝑦 = (2𝑥² − 4𝑥 + 1)⁶⁰, tentukan turunan fungsi 𝑦.

PEMBAHASAN SOAL :

Perhatikan bahwa fungsi 𝑦 berpangkat 60 untuk suatu fungsi 𝑥, yaitu

𝑦 = [𝑢(𝑥)]⁶⁰ = 𝑢⁶⁰ (𝑥) dengan 𝑢 (𝑥) = 2𝑥² – 4𝑥 + 1

Fungsi luar adalah 𝑦 = 𝑓 (𝑢) = 𝑢⁶⁰ dan fungsi sebelah dalam adalah 𝑢 (𝑥) = 2𝑥² − 4𝑥 + 1.

Jadi

𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑢) .𝑢 ′(𝑥) = 60𝑢⁵⁹. (4𝑥 – 4) = 60 (2𝑥² − 4𝑥 + 1)⁵⁹ (4𝑥 – 4) = (240𝑥 – 240) (2𝑥² − 4𝑥 + 1)⁵⁹ TEOREMA B : Untuk semua titik 𝑥 di dalam daerah asal fungsi, maka

𝐷𝑥(tan 𝑥) =𝑠𝑒𝑐²𝑥 𝐷𝑥(cot 𝑥) = −𝑐𝑠𝑐²𝑥 𝐷𝑥(sec 𝑥) =𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝐷𝑥(csc 𝑥) = −𝑐𝑠𝑐 𝑥 cot 𝑥

Misal 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Jika 𝑔 terdiferensialkan di 𝑥 dan 𝑓 terdiferensialkan di 𝑢 = 𝑔(𝑥), maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔 yang didefinisikan oleh (𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) = 𝑓( 𝑔 (𝑥)), adalah terdiferensialkan di 𝑥 dan (𝒇 ∘ 𝒈) ′ (𝒙) = 𝒇 ′ (𝒈 (𝒙)) 𝒈′(𝒙). Yakni 𝐷𝑥 (𝑓 (𝑔) (𝑥)) = 𝑓 ′ (𝑔 (𝑥)) 𝑔′(𝑥) atau

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥

F. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Operasi pendiferensialan terhadap f mengahasilkan sebuah fungsi baru f'. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f'akan diperoleh f" ( dibaca f dua aksen ) dan disebut turunan kedua. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f"akan diperoleh fungsi f'''dan disebut turunan ketiga. Cara penulisan untuk turunan dari y = f(x) adalah sebagai berikut :

Turunan-ke Notasi f' Notasi y' _Notasi D_x Notasi Leibniz

1 f' x( ) y' _Dxy

dx dy

2 f '' x( ) y''

xy D 2

2 2 dx y d

3 f'''(x) y' ''

xy D3

3 3 dx y d

4 f (4)(x) y(4) D4xy

4 4 dx y d

. . .

n f n(x) y(n) ny

Dx

dxn ny d

CONTOH SOAL :

Tentukan 𝐷_𝑥²𝑦 untuk setiap fungsi berikut.

JAWABAN SOAL : Mencari 𝐷_𝑋𝑦

𝐷_𝑋𝑦 =𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥( 𝑥

2𝑥 + 1) = [𝑑

𝑑𝑥(𝑥)] (2𝑥 + 1) − (𝑥) [𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 1)]

(2𝑥 + 1)²

= (2𝑥 + 1) − 2𝑥

(2𝑥 + 1)² = 1

(2𝑥 + 1)² = (2𝑥 + 1)⁻²

Mencari 𝐷_𝑋²𝑦.

𝐷_𝑋²𝑦 = 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² = 𝑑

𝑑𝑥(𝑑𝑦 𝑑𝑥) = 𝑑

𝑑𝑥((2𝑥 + 1)⁻²) = −2(2𝑥 + 1)⁻³𝐷𝑥(2𝑥 + 1) = −2(2𝑥 + 1)⁻³(2)

= −4(2𝑥 + 1)⁻³ = − 4 (2𝑥 + 1)³ G. TURUNAN IMPLISIT

Perhatikan persamaan berikut. 𝑦³ + 7𝑦 = 𝑥³.

Kita tidak dapat memecahkan 𝑦 dalam bentuk 𝑥. Akan tetapi, terdapat satu 𝑦 yang berkorespondensi terhadap masing-masing 𝑥. Misalkan untuk 𝑥 = 2 , yaitu 𝑦³ + 7𝑦 = 8 , maka terdapat nilai 𝑦 = 1 sebagai penyelesaian dan satu-satunya penyelesaian bilangan real. Hal tersebut menunjukkan persamaan mendefinisikan 𝑦 sebagai fungsi implisit 𝑥. Jika dinyatakan fungsi tersebut oleh 𝑦(𝑥), maka

[𝑦(𝑥)]³+ 7[𝑦(𝑥)] = 𝑥³

Kita tidak memiliki bentuk fungsi untuk 𝑦(𝑥), akan tetapi kita masih dapat melihat kaitan antara 𝑥, 𝑦(𝑥), dan 𝑦′(𝑥) dengan menggunakan aturan rantai untuk mendiferensialkan kedua ruas.

Kaitan antara 𝑥, 𝑦(𝑥), dan 𝑦′(𝑥). Akan dilakukan pendiferensialan kedua ruas sebagai berikut.

𝑦³ + 7𝑦 = 𝑥³. 𝒅

𝒅𝒙(𝒚^𝟑) + 𝒅

𝒅𝒙(𝟕𝒚) = 𝒅

𝒅𝒙(𝟕𝒚) = 𝒅 𝒅𝒙(𝒙^𝟑) 𝟑𝒚^𝟐𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟕𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟑𝒙^𝟐 𝒅𝒚

𝒅𝒙(𝟑𝒚^𝟐+ 𝟕) = 𝟑𝒙^𝟐 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟑𝒙^𝟐 𝟑𝒚^𝟐+ 𝟕

Perhatikan bahwa ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 merupakan ekspresi yang melibatkan 𝑥 dan 𝑦. Metode yang baru diselesaikan di atas, tanpa menyelesaikan dahulu persamaan untuk 𝑦 disebut dengan metode diferensiasi implisit.

CONTOH SOAL : Tentukan ^𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑎𝑟𝑖 4𝑥²𝑦 − 3𝑦 = 𝑥³− 1 PEMBAHASAN SOAL :

• Mengubah persamaan kedalam bentuk 𝑦(𝑥) → 𝑎𝑑𝑎

44𝑥²𝑦 − 3𝑦 = 𝑥³− 1 ↔ 𝑦(4𝑥² − 3) = 𝑥³ − 1 ↔ 𝑦 = ^𝑥3−1

4𝑥²−3

Sehingga, ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 =^{3𝑥2(4𝑥2−3)−(𝑥3−1)8𝑥}

(4𝑥²−3)² = ^{4𝑥4−9𝑥2+8𝑥}

(4𝑥²−3)²

• Pendiferensiasi Implisit 𝑑

𝑑𝑥(4𝑥²𝑦 − 3𝑦) = 𝑑

𝑑𝑥(𝑥³ − 1) ↔ 4𝑥²𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 8𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥𝑦 − 3𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥²𝑑𝑥 𝑑𝑥 4𝑥^{2 𝑑𝑦}

𝑑𝑥+ 8𝑥𝑦 − 3^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3𝑥² 𝑑𝑦

𝑑𝑥(4𝑥²− 3) − 3𝑥²− 8𝑥𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3𝑥²− 8𝑥𝑦 4𝑥²− 3

H. DIFERENSIAL DAN APROKSIMASI

Notasi _𝑑𝑥^𝑑 digunakan sebagai operator untuk turunan sehingga notasi _𝑑𝑥^𝑑 sinonim dengan 𝐷𝑥. Sebelumnya telah didefinisikan turunan fungsi 𝑓 sebagai berikut. Misalkan fungsi 𝑓 terdiferensiasi pada (𝑥0,𝑦_𝑂) jika

∆𝑥→0lim

𝑓(𝑥₀+∆𝑥)−𝑓(𝑥₀)

∆𝑥 = 𝑓′(𝑥₀)

Perhatikan bahwa jika ∆𝑥 kecil, maka hasil bagi lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥₀+∆𝑥)−𝑓(𝑥₀)

∆𝑥 = 𝑓′(𝑥₀) akan mendekati 𝑓 ′(0) sehingga 𝑓(𝑥0+ ∆𝑥) − 𝑓(𝑥₀) ≈ ∆𝑥𝑓(𝑥₀)

Ruas kiri disebut ∆𝑦, yaitu perubahan dalam y Ketika 𝑥₀ berubah ke 𝑥₀+ ∆𝑥. Ruas kanan disebut 𝑑𝑦 dan bertindak sebagai aproksimasi terhadap ∆𝑦.

Besaran 𝑑𝑦 merupakan perubahan dalam garis singgung terhadap kurva di P ketika x berubah dari 𝑥₀ 𝑘𝑒 𝑥₀+ ∆𝑥. Ketika ∆𝑥 kecil, diharapkan 𝑑𝑦 mengaproksimasi terhadap ∆𝑦.

Definisi Diferensial

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) fungsi terdiferensiasi dari variable bebas x.

• ∆𝑥 adalah pertambahan sebarang dalam variable x.

• 𝑑𝑥 adalah diferensial variable bebas x sama dengan ∆𝑥.

• ∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dalam variable y ketika x berubah dari x ke 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

• 𝑑𝑦 adalah diferensial variable tak-bebas y, didefinisikan oleh 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥.

Perhatikan bahwa 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥, pembagian kedua ruas dengan 𝑑𝑥 menghasilkan 𝑓^′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥

CONTOH SOAL :

Jika diketahui 𝑦 = sin(4𝑥³− 3𝑥²+ 11), maka diferensial dari y ? PEMBAHASAN SOAL :

Cukup memnetukan turunan fungsi y dikalikan dengan 𝑑𝑥, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢

𝑑𝑥 = cos(4𝑥³− 3𝑥²+ 11)(12𝑥²− 6𝑥)𝑑𝑥 = (12𝑥² − 6𝑥) cos 4𝑥³ − 3𝑥² + 11 𝑑𝑥.

CONTOH SOAL :

Teleskop ruang angkasa Hubbis diluncurkan pada 24 April oleh peswat ulang – alik luar angkasa Bernama Dicovery. Persamaan kecepatan dari pesawat ulang – alik selama misi, dari lepas landas pada t = 0 sampai roket pendorong dilepaskan pada t = 126 s diberikan sebagai :

𝑣(𝑡) = 0.001302𝑡³ − 0.09029𝑡²+ 23.61𝑡 − 3.083

(Dalam kaki per detik). Dengan menggunakan model ini, perkiraan nilai maksimum dan minimum dari percepatan pesawat ulang – alik saat lepas landas dan saat melepaskan roket pendorongnya.

PEMBAHASAN SOAL :

Kita diminta untuk menilai ekstrim bukan dari fungsi kecepatan yang diberikan, melainkan dari fungsi percepatan. Jadi pertama kita perlu membedakan unutuk menemukan percepatan :

𝑎(𝑡) = 𝑣^′(𝑡) = 𝑑

𝑑𝑡(0.001302𝑡³− 0.09029𝑡² + 23.61𝑡 − 3.083)

= 0.003906𝑡²− 0.18058𝑡 + 23.61

Kita sekarang menerapkan metode interval tertutup pada fungsi kontinu a pada interval 0 ≤ 𝑡 ≤ 126. Turunannya adalah

𝑎^′(𝑡) = 0.007812𝑡 − 0.18058 Satu – satunya bilangan kritis yang terjadi Ketika 𝑎^′(𝑡) = 0 :

𝑡₁ = 0.18058

0.007812≈ 23.12

Mengevaluasi 𝑎(𝑡) pada bilangan kritis dan pada titik akhir, kita mendapatkan 𝑎(0) = 23.61 𝑎(𝑡₁) ≈ 21.52 𝑎(126) ≈ 62.87

Jadi percepatan maksimum adalah 62.57 𝑓𝑡/𝑠² dan percepatan minimum adalah 21.52 𝑓𝑡/𝑠²