TKS 4008 Analisis Struktur I

TKS 4008

Analisis Struktur I

TM. XIII :

METODE CLAPEYRON

Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Pendahuluan

Metode ini diusulkan oleh Clapeyron (1857) dan dikembangkan lebih lanjut oleh Mohr (1860)

I_AB = I_{1 I}

BC = I2

L1 L2

B

C’

A

A’

A1

C C₁

hc

hA Balok dua bentang

yang bersebelahan.

Diagram momen akibat beban luar.

A₂ A₁

a₁ a₂

A4 A5

A3 A6

L1/3 L1/3 L2/3

MB

M_C

MA Diagram momen akibat

Penurunan Rumus

 Hubungan antara M_A, M_B, dan M_C dapat diperoleh dari kondisi keselarasan

(compatibility) untuk balok yang menerus (continue) di titik B.

 Garis singgung kurva elastis BC’ di titik B terletak pada satu garis lurus dengan garis singgung kurva elastis BA’ di titik B.

 Kedua garis singgung di titik B pada kurva elastis di kedua sisi titik B satu terhadap yang lain harus tetap membentuk garis lurus (180o_).

 Karena A₁BC₁ harus berupa garis lurus maka :

(Pers. 1) dengan AA₁ = h_A– A₁A’

2 1 1

1

L CC L

AA _



LendutandiAdarigarissinggungdiB



h A A h

AA₁  _A ₁  _A

   



 _{ } 

 _{A 1 1 3 1 4 1}

1 A L

3 2 L A 3 1 a A EI

1 h AA

   



 _{ }



 2

1 B 2

1 A 1

1 A

1 M L

3 1 L M 6 1 a A EI

1 h

AA _{(Pers. 2)}

Penurunan Rumus

(lanjutan)





C

C 1

1 CC h LendutandiC darigarissinggungdiB h

CC     

c 2

2 6 2

5 2

2

1 A L h

3 1 L A 3 2 a A EI

1

CC 

  



 _{ } 

C 2

2 C 2

2 B 2

2

1 M L h

6 1 L M 3 1 a A EI

1

CC 

  



 _{ } 

dan

Pers. (2) dan Pers. (3) disubstitusikan ke Pers. (1), maka diperoleh Pers. (4) :

Penurunan Rumus

(lanjutan)

2

Persamaan Clapeyron didapatkan dengan mengalikan (6E) terhadap setiap/semua suku pada Pers. (4), sehingga berubah menjadi seperti Pers. (5) yang dikenal juga dengan Persamaan Tiga Momen :



penurunan akibat

2 C 1

A luar

beban akibat

2 6Eh L

6Eh I

Contoh

(lanjutan)

Data perhitungan :

E = konstan P₁ = 80 kN P₂ = 72 kN

A 3Ic B 10Ic C 2Ic _D 1/8x16x122

= 288kNm 1/8x24x62

= 108kNm

80x12/4 = 240kNm Diagram M

akibat beban luar

432 6 24 12

1

A1   3

1440 4

2304 12

DiagramM akibat M ujung

(215,9) _(146,6)

Contoh

(lanjutan)

Pers. Clapeyron pada bentang AB & BC :



luar beban akibat

10I 12

6 2304 6 10I 12

6 1440 6 3I 6

3 432 6 10I

12 M 10I

12

Pers. Clapeyron pada bentang BC & CD :

 

luar beban akibat

c 288 6 10I 12

6 2304 6 10I 12

6 1440 6 10I

12 2M 10I

Hitung M_B dan M_C dengan menyelesaikan Pers. (a) & Pers. (b) : 6,4M_B + 1,2M_C = -1555,2

1,2M_B + 8,4M_C = -1495,2

     



C M

C B

A

1495,2 1555,2 M

M

8,4 1,2

1,2 6,4

   

              

 

Det [A]=(6,4x8,4)-(1,2x1,2)=52,32

→[M]=[A]-1_[C]

 

_

  

 

 

 

    

  

 

 

0,122 0,023

0,023 0,161

6,4 1,2

1,2 8,4

52,32 1 A 1

Contoh

(lanjutan)

→[M]=[A]-1_[C]

 

kNm

146,644 215,997 1495,2

1555,2 0,122

0,023

0,023 0,161

M _

  

      

        

 

 

 



Jadi M_A = 0 kNm

M_B = 215,997 kNm M_C = 146,644 kNm M_D = -36 kNm

Free body diagram :

24,4

5,6 C D

146,64 36

72x4/6

146,6/6

24

36/6 6 66,4

72kN 24x6/2

A B

215,997

215,9/6

36 108 72 36 24kN/m

B _C

16x12/2

215,997 146,64

80/2 96 40 215,9/12 18 146,6/12 12,2 141,8 130,2

80kN

16kN/m 36

24 24

E

Cek V = 0

(24x6+16x12+80+72+24)-(36+249,8+196,6+29,6) = 0 512 – 512 = 0  oke!

R_B = 249,8 kN R_C = 196,6 kN R_D = 29,6 kN R_A = 36 kN

Contoh

(lanjutan)

Momen Maksimum

Bentang AB M

x= RA(x) - ½q1(x) 2

→D_x= R_A- q₁(x) = 0

x = R_A/q = 36/24 = 1,5m dari titik A M

maks = 36 (1,5) - ½(24)(1,5)

2 _{= 27 kNm}

Bentang BC M

maks terjadi di bawah beban P = 80kN

M_x = R_BC(6) -½q₂(6)2 -215,9 = 346,8 kNm

M_maks = 36(6) - ½(24)(6)2 = 346,8 kNm

Bentang CD M

G= RCD(2) - MCD= -13,8kNm

M = -(24)1,5 = -36 kNm

Garis elastis bentang AB Sudut rotasi bentang AB :

 3E(I

1

kNm EI

0,001 )

3 647,99 (

2 432 ) 3E(I

1 3E(I

1

kNm EI

72 )

3 647,99 2

( 2 432 )

3E(I 1

(searah jarum jam)

647,99 215,997

6 2 1

A5   

1295,98 215,997

12 2 1

A6   

Contoh

(lanjutan)

(searah jarum jam) Lihat slide no 7

Garis elastis bentang BC Sudut rotasi bentang BC :

 10E(I

1

kNm EI

71,5 ) 10E(I

1

kNm EI

85,3 A 10E(I

1

(searah jarum jam)

(berlawanan arah jarum jam)

 10E(I

1

Garis elastis bentang CD Sudut rotasi bentang CD :

3 C 9

8 4

3 10 c

C kNm

EI 85,3 A

3 1 A 3 2 A 6 ) 2E(I

1

θ 

   



_{  } 

3 C 9

8 4

3 8 c

D kNm

EI 45,3 A

3 2 A 3 1 A 6 ) 2E(I

1

θ 

   



_{  } 

879,86 146,64

12 2 1

A7    

439,93 146,64

6 2 1

A8    Lihat slide no 7

Contoh

(lanjutan)

Diagram M, D, & kurva garis elastis

A B C D

3Ic 10Ic 2Ic

4m

6m 12m 1,5m

E 2m

q₁

q₂ P₁

P₂ P₃

Diagram M (kNm)

Diagram D (kN)

346,8

36 146,6

216

27

(-)

(+)

(-)

(+)

13,8

36

141,8 _66,4

5,6 24 (+)

(+)

(+) (+)

(-) (-) (-)

45 35

θA

θB

θC

θD Kurva garis elastis

Contoh

(lanjutan)

Latihan

Analisis struktur balok menerus berikut :

Buat diagram M, D, dan garis elastis, jika : P₁= 1 kN

P₂= 2P₁ q = 1kN/m E = konstan

A B C D

2m 6m 6m 3m 3m

2I_c 4I_c 3I_c P₂ P1

E F

Terima kasih