4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum atau minimum fungsi. Kemudian, kaitan antara garis singgung kurva dan velositas atau kecepatan suatu benda bergerak ditemukan pada masa berikutnya sekitar tahun 1660 an oleh Sir Isaac Newton (1642-1727). Selanjutnya, Newton mengembangkan temuan ini menjadi teori uksi yang didasarkan ide intuitif dari limit; didalamnya muncul konsep diferensial dimana beberapa istilah dan notasi dicip- takan. Pada pihak lain, secara terpisah Gottfried Leibniz (1646-1716) sekitar tahun 1680 menyelidiki bahwa luas daerah di bawah kurva dapat dihitung dengan membalik proses diferensial. Teknik menarik Leibniz ini dapat memecahkan masalah yang sebelumnya sangat sulit menjadi sangat mudah; merupakan pemicu ketertarikan bagi banyak matem- atikawan melakukan riset pengembangan dan dihasilkan teori koheren yang dewasa ini menjadi kalkulus diferensial dan kalkulus integral.

Pada bab ini kita akan memahami teori diferensial dimana diasumsikan bahwa maha- siswa sudah memahami interprestasi sika dan geometris dari derivatif suatu fungsi.

Diingatkan bahwa teori diferensial dan teori diferensial adalah dua topik yang konsep- nya berbeda, namun keduanya dihubungkan oleh teorema fundamental kalkulus. Teori integral akan dipelajari pada bab berikutnya.

4.1 Pengertian derivatif

Pada sub bab ini mahasiswa harus memahami beberapa pengetahuan dan keterampilan berikut :

1. Memahami denisi derivatif fungsi di suatu titik.

2. Memahami maksud istilah derivatif dan diferensial.

3. Menentukan derivatif fungsi di suatu titik dengan menggunakan denisi.

4. Memahami hubungan antara fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial.

5. Memahami dan membuktikan sifat-sifat aljabar derivatif.

6. Memahami aturan rantai sebagai aturan diferensial untuk fungsi komposisi 7. Membuktikan (teorema) aturan rantai

8. Menggunakan sifat-sifat derivatif dan aturan rantai untuk menentukan derivatif suatu fungsi.

9. Memahami teorema yang menghubungkan derivatif fungsi dan derivatif fungsi in- versnya.

10. Mengkaji masalah-masalah kritis yang berkaitan dengan konsep diferensial, seperti a) fungsi yang kontinu di mana-mana tetapi tidak terdiferensial di mana-mana b) ketakberlakuan aturan rantai jika ada syarat pada hipotesis yang tidak dipenuhi.

c) ketakberlakuan torema pada indikator 9 jika fungsinya tidak naik tegas d) dll

Sungguh banyak tuntutan pengetahuan dan keterampilan yang harus dicapai oleh maha- siswa. Bayangkan, ini hanya untuk 1 sub pokok bahasan. Padahal kita masih akan mem- pelajari 3 sub pokok bahasan yang lebih luas lagi yaitu Teorema nilai rata-rata (TNR), aturan L'Hospital dan Teorema Taylor. Tidak ada pilihan kecuali wajib memenuhi tun- tutan seperti ini, kecuali kalau nanti siap menjadi sarjana 'ecek-ecek'. Hanya sistem pembelajaran berpusat pada mahasiswa sajalah yang dimungkinkan dapat mencapai tuntutan seperti ini. Mahasiswa yang pasif, hanya 'nrimo' dan pasrah pada nasib di- pastikan tidak mungkin dapat 'eksis', akhirnya TERSINGKIR. Semangat dan motivasi mempunyai kekuatan luar biasa dalam mencapai sukses belajar, bukan kecerdasan.

Denisi 4.1. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R, c ∈ R. Bilangan real L dikatakan derivatif f di titik c jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku

x ∈ I dimana 0 < |x − c| < δ −→

   

f (x) − f (c) x − c − L

   

< ε. (4.1) Dalam kasus ini dikatakan f terdiferensial di c, ditulis f⁰(c) = L.

Lihat kembali denisi limx→cg(x) = L, kemudian diambil g(x) := f (x)−f (c)

x−c dalam ek- spresi (4.1). Dengan demikian dapat dikatakan, derivatif f di c diberikan oleh

f⁰(c) = lim

x→c

f (x) − f (c)

x − c (4.2)

asalkan limit ini ada. Sebelum lanjut, pahami dulu maksud Denisi 4.1, pahami mengapa ekspresi (4.1) dapat ditulis ke dalam bentuk (4.2).

Fungsi f dikatakan terdiferensial di c jika derivatifnya f⁰(c) ada. Fungsi f dikatakan terdiferensial pada I jika ia terdiferensial di setiap c ∈ I. Sampai di sini seharusnya sudah jelas perbedaan istilah derivatif dan diferensial. Istilah 'turunan' adalah bentuk nasionalisasi istilah 'derivative'.

Contoh 4.1. Perhatikan fungsi f(x) := x²,untuk x ∈ R.Misalkan c titik sebarang dalam R. Diperoleh

f⁰(c) = lim

x→c

f (x) − f (c) x − c = lim

x→c

x²− c² x − c = lim

x→c(x + c) = 2c.

Karena f⁰(c) = 2cterdenisi untuk setiap c ∈ R maka diperoleh f⁰(x) = 2xuntuk x ∈ R.

Dua sifat, kekontinuan dan keterdiferensialan ternyata memiliki hubungan implikasi seperti diungkapkan pada Teorema berikut.

Teorema 4.1. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R, c ∈ R. Jika f terdiferen- sial di c maka f kontinu di c.

Bukti. Lihat kembali denisi f kontinu di c pada bab sebelumnya. Untuk x ∈ I dan x 6= c, dibentuk

f (x) − f (c) = f (x) − f (c) x − c



(x − c).

Karena f⁰(c) ada, kemudian dengan memasangkan limit pada kedua ruas per- samaan ini dan gunakan sifat limit hasil kali fungsi maka diperoleh limx→cf (x) = f (c),yaitu f kontinu di c.  (lengkapi tahapan yang dihilangkan pada bukti ini) Dengan teorema ini, dapatkah Anda menyimpulkan lebih luas mana, himpunan fungsi terdiferensial atau himpunan fungsi kontinu ?

Teorema ini tidak mengatakan kontinu → diferensial. Diperhatikan fungsi f(x) :=

|x|, x ∈ R. Fungsi ini jelas kontinu di 0 (lihat kembali bab kekontinuan semester lalu).

Sekarang perhatikan untuk x 6= 0,diperoleh f (x) − f (0)

x − 0 = |x|

x =

( 1 jika x > 0

−1 jika x < 0.

Dengan mengambil limit satu sisi di 0 maka diperoleh hasil sebagai berikut lim

x→0⁻

f (x) − f (0)

x − 0 = lim

x→0⁻

|x|

x = −1 dan lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x − 0 = lim

x→0⁺

|x|

x = +1.

Karena kedua limit satu sisi tidak sama maka disimpulkan limx→0 f (x)−f (0)

x−0 tidak ada sehingga f⁰(0)tidak ada. Jadi, f tidak terdiferensial di 0.

Pahami dulu sajian dalam kotak di atas. Berikut ini diberikan masalah kritis yang berkaitan dengan kekontinuan dan keterdiferensialan.

Kritis 4.1.1. Pada tahun 1872, Karl Weirestrass mendenisikan fungsi f dalam bentuk deret takhingga berikut

f (x) :=

∞

X

n=0

1

2ⁿcos(3ⁿx).

Ternyata fungsi ini kontinu di mana-mana tetapi tidak terdiferensial di mana-mana.

Buktinya sangat sulit. Tapi bagi mahasiswa berjiwa peneliti/penemu akan mencari tahu bagaimana cara membuktikan fakta ini. Banyak sumber belajar yang dapat digunakan,

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Gambar 4.1: Grak fungsi Weierstrass

seperti informasi melalui buku cetak ataupun referensi elektronik pada jaringan internet.

Untuk jumlah parsial 5 suku pertama (n = 4) fungsi ini berbentuk f (x) = cos x +1

2cos 3x +1

4cos 9x +1

8cos 27x + 1

16cos 81x dan graknya diberikan sebagai berikut.

Sifat aljabar diferensial

Teorema 4.2. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan c ∈ R. Bila fungsi f : I −→ R dan g : I −→ R terdiferensial di c maka

a. untuk sebarang α ∈ R, fungsi (αf) terdiferensial di c, dimana

(αf )⁰(c) = αf (c) (4.3)

b. fungsi jumlahan f + g terdiferensial di c, yaitu

(f + g)⁰(c) = f⁰(c) + g⁰(c) (4.4) c. fungsi perkalian fg terdiferensial di c, dimana

(f g)⁰(c) = f⁰(c)g(c) + f (c)g⁰(c) (4.5) d. fungsi hasil bagi f/g terdiferensial di c asalkan g(c) 6= 0, dimana

 f g

0

(c) = f⁰(c)g(c) − f (c)g⁰(c)

(g(c))² . (4.6)

Bukti. Hanya diberikan outline bukti untuk bagian c, sedangkan yang lainnya sudah di- tulis dengan jelas pada buku paket. Silahkan dipelajari sendiri! Ketidaklengkapan ini harusnya dijadikan sarana untuk belajar mandiri, kecuali orang-orang pemalas (bukan bodoh) yang bermental kuli dan pengemis. Misalkan p := fg, maka untuk x 6= c kita mempunyai bentuk berikut :

p(x) − p(c)

x − c = f (x)g(x) − f (c)g(c) x − c

= f (x)g(x) − f (c)g(x) + f (c)g(x) − f (c)g(c) x − c

= f (x) − f (c)

x − c · g(x) + f (c) · g(x) − g(c) x − c .

Perhatikan pada baris kedua, pembilang ditambah dengan suku −fc)g(x)+f(c)g(x) suatu kuantitas bernilai nol sehingga tidak merubah apa-apa. Tujuannya agar diperoleh bentuk pada denisi diferensial seperti tampak pada baris berikutnya.

Dengan menggunakan fakta g kontinu di c (mengapa ?), yaitu limx→cg(x) = g(c), dan fakta yang diketahui pada hipotesis teorema maka diperoleh

x→clim

p(x) − p(c)

x − c = f⁰(c)g(c) + f (c)g⁰(c), yaitu disimpulkan p = fg terdiferensial di c. 

Perjelas langkah-langkah yang masih bolong pada pembuktian ini, kemudian buktikan bagian lainnya yang belum disinggung.

Kalau pada teorema ini hanya terlibat dua fungsi f dan g. Sesungguhnya dapat dikem- bangkan untuk berhingga banyak fungsi f1, f₂, · · · , f_n dengan menggunakan prinsip in- duksi matematika. Kita amati untuk sifat jumlahan fungsi terdiferensial berikut.

Corollary 1. Jika fungsi f1, f₂, · · · , f_n terdiferensial di c ∈ I maka f1+ f₂+ · · · + f_n dan f1f₂· · · f_n terdiferensial di c, dimana

(f₁+ f₂+ · · · + f_n)⁰(c) = f₁⁰(c) + f₂⁰(c) + · · · + f_n⁰(c) (4.7) (f₁f₂· · · f_n)⁰(c) = f₁⁰(c)f₂(c) · · · f_n(c) + f₁(c)f₂⁰(c) · · · f_n(c)

+ · · · + f₁(c)f2(c) · · · f_n⁰(c). (4.8) Suatu kejadian khusus pada sifat diferensial perkalian adalah bilamana f1 = f2 = · · · = fn:= f maka berlaku

(fⁿ)⁰(c) = n (f (c))ⁿ⁻¹f⁰(c). (4.9) Tunjukkan mengapa ? Lebih khusus lagi bila f(x) = x, maka fⁿ(x) = xⁿ. Tulis saja g(x) := xⁿ,maka diperoleh

g⁰(x) = n (f (x))ⁿ⁻¹f⁰(x) = nxⁿ⁻¹· 1 = nxⁿ⁻¹. (4.10)

Fakta ini sudah Anda kenal dengan baik pada kalkulus, yaitu bila y = xⁿ maka y⁰ = nxⁿ⁻¹.

Notasi lain yang digunakan untuk f⁰ adalah Df dan _dx^df bila x variabel bebas pada fungsi f, yaitu f = f(x). Notasi _dx^df dikenal dengan notasi Leibniz salah seorang founding father kalkulus diferensial.

Aturan rantai (chain rule)

Ketika Anda di SMA atau pada kuliah kalkulus dasar tentunya tidak asing lagi proses menentukan turunan fungsi y = sin√

1 + x² seperti berikut :

y⁰ = cosp

1 + x²

· d dx

p1 + x²

= cosp 1 + x²



· 1

2√

1 + x² · d

dx 1 + x²

= cosp 1 + x²



· 1

2√

1 + x² · 2x

= cosp 1 + x²



· x

√

1 + x²·

Semuanya paham prosedur tersebut di atas, ada yang kurang paham. Segeralah sadar dan insyaah!....Pertanyaannya, apa dasar Anda boleh melakukan langkah-langkah ini ? Bagaimana pembenarannya ? Pada bagian ini kita membahas turunan fungsi komposisi g ◦ f.

Teorema 4.3. [Aturan Rantai] Misalkan I dan J interval pada R, dan misalkan g : I → R, f : J → R adalah fungsi-fungsi dimana f (J) ⊆ I, dan misalkan c ∈ J. Bila f terdiferensial di c dan g terdiferensial di f(c) maka fungsi komposisi g ◦ f terdiferensial di c, dimana

(g ◦ f )⁰(c) = g⁰(f (c)) · f⁰(c). (4.11) Bukti. Fakta yang diketahui pada teorema ini adalah c ∈ J, f(J) ⊆ I, f terdiferensial di c dan g terdiferensial di f(c). Tulis d := f(c) dan didenisikan G : I → R sebagai berikut

G(y) :=

(_g(y)−g(d)

y−d bila y ∈ I, y 6= d, g⁰(d) bila y = d.

Karena g terdiferensial di d, yaitu g⁰(d) ada dan berlaku limy→dG(y) = g⁰(d) = G(d) maka diperoleh bahwa G kontinu di d. Karena f kontinu di c dan f(J) ⊆ I maka disimpulkan G ◦ f juga kontinu di c (justikasi !, mengapa?), sehingga berlaku

x→clim(G ◦ f )(x) = (G ◦ f )(c) = G(f (c)) = G(d) = lim

y→dG(y) = g⁰(d) = g⁰(f (c)) (4.12)

ditulis limx→c(G ◦ f )(x) = g⁰(f (c)). Menurut denisi fungsi G maka diperoleh g(y) − g(d) = G(y)(y − d)

untuk setiap y ∈ I. (Mengapa?). Jadi, untuk x ∈ J dan misalkan y = f(x) maka berlaku g ◦ f (x) − g ◦ f (c) = g (f (x)) − g (f (c))

= g(y) − g(d)

= G(y)(y − d)

= G (f (x)) (y − d)

= G ◦ f (x)(f (x) − f (c)).

Untuk x 6= c, kita bagi kedua ruas persamaan yang baru diperoleh dengan x−c, diperoleh g ◦ f (x) − g ◦ f (c)

x − c = G ◦ f (x)f (x) − f (c) x − c Diambil limit mendekati c pada kedua ruas maka diperoleh,

x→clim

g ◦ f (x) − g ◦ f (c)

x − c = lim

x→cG ◦ f (x)f (x) − f (c) x − c = lim

x→cG ◦ f (x) · lim

x→c

f (x) − f (c) x − c

↔ (f ◦ g)⁰(c) = g⁰(f (c)) · f⁰(c).  Pahami betul setiap langkah dan pembenaran pada bukti di atas!.

Contoh 4.2. Pada ilustrasi awal sub pokok bahasan ini, fungsi h(x) = sin√

1 + x² dapat dipandang sebagai komposisi fungsi h = g ◦ f dimana g(x) = sin x dan f(x) =

√

1 + x². Kemudian, fungsi f(x) = √

1 + x² suatu komposisi fungsi f = g1◦ f₁ dimana g₁(x) = √

x dan f1(x) = 1 + x². Untuk fungsi komposisi yang terdiri dari tiga fungsi seperti ini, aturan rantai dapat diperumum sebagai

(g ◦ g1◦ f₁)⁰(c) = g⁰(g1◦ f₁(c)) · g₁⁰(f1(c)) · f⁰(c).

Cek kebenaran prosedur di atas dengan formula ini !

Contoh berikut adalah cara lain membuktikan turunan fungsi fⁿ:= f f · · · f

| {z }

n f aktor

.

Contoh 4.3. Misalkan f : I → R terdiferensial pada I dan g(y) = yⁿ. Karena g⁰(y) = nyⁿ⁻¹ dan fⁿ= g ◦ f maka berdasarkan aturan rantai diperoleh

(g ◦ f )⁰(x) = g⁰(f (x)) · f⁰(x), yaitu (fⁿ)⁰(x) = n (f (x))ⁿ⁻¹f⁰(x)untuk setiap x ∈ I.

Contoh berikut ini menentukan derivatif fungsi dengan menggunakan aturan rantai dan denisi derivatif.

Contoh 4.4. Misalkan fungsi f didenisikan sebagai berikut

f (x) :=

(x²sin(1/x) bila x 6= 0

0 bila x = 0 .

Tentukan f⁰(x)?

Penyelesaian. Untuk x 6= 0 kita dapat menggunakan aturan rantai bersamaan dengan formula turunan hasil kali, yaitu diperoleh

f⁰(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x), untuk x 6= 0.

Untuk x = 0 tidak ada aturan yang dapat digunakan. Oleh karena itu dikembalikan ke denisi originalnya, yaitu

f⁰(0) = lim

x→0

f (x) − f (0) x − 0 = lim

x→0

x²sin(1/x)

x = lim

x→0x sin(1/x) = 0.

Langkah terakhir menggunakan hasil yang pernah dipelajari pada pokok bahasan limit, ingatkah?...lihat lagi. Jadi fungsi f terdiferensial pada R dengan derivatif

f⁰(x) :=

(2x sin(1/x) − cos(1/x) bila x 6= 0

0 bila x = 0 .

Ingat nilai 0 pada derivatif f⁰ (cabang bawah) tidak diperoleh dari f(0) = 0.  Diperhatikan bahwa fungsi f kontinu di x = 0 tetapi fungsi f⁰ tidak mempunyai limit di x = 0 (mengapa ?), f⁰ tidak kontinu di 0.

Fungsi invers

Pada bagian ini dibahas hubungan derivatif fungsi dan derivatif inversnya, seperti di- ungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 4.4. Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R fungsi monoton tegas dan kontinu pada I. Bila J = f(I) dan g : J −→ R monoton tegas dan kontinu, invers fungsi f. Bila f terdiferensial di c ∈ I dan f⁰(c) 6= 0, maka g terdiferensial di d := f(c), dimana

g⁰(d) = 1

f⁰(c) = 1

f⁰(g(d)). (4.13)

Bukti. Dapat dilihat pada buku teks. 

Untuk sementara dilewatkan dulu memahami buktinya, tapi pahami dulu maksud teore- manya. Untuk memahami teorema ini, beberapa istilah: fungsi kontinu, monoton tegas, fungsi invers harus dipahami kembali.

Contoh 4.5. Misalkan n ∈ N, I := [0, ∞) dan misalkan f(x) = xⁿ. Dengan mudah dapat dimengerti bahwa f monoton tegas dan kontinu pada I, sehingga inversnya ada yaitu g(y) = y^1/n untuk y ∈ J := [0, ∞) juga monoton tegas, kontinu. Diketahui pula f⁰(x) = nxⁿ⁻¹ untuk semua x ∈ I. Jadi berdasarkan hal ini, jika y > 0 maka g⁰(y) ada, yaitu

g⁰(y) = 1

f⁰(g(y)) = 1

n (g(y))ⁿ⁻¹ = 1

n y^1/n
n−1 = 1 ny^(n−1)/n. Akhirnya disimpulkan g⁰(y) = _n¹y^(1/n)−1, y > 0. 

Soal-soal yang dipecahkan

1. Gunakan denisi untuk menentukan derivatif fungsi berikut a) f(x) := x³, x ∈ R

b) k(x) := ^√1_x, x > 0

Penyelesaian. Untuk (a), ambil sebarang c ∈ R. Diperoleh

f⁰(c) := lim

x→c

f (x) − f (c)

x − c = lim

x→c

x³− c³ x − c

= lim

x→c

(x − c)(x²+ xc + c²) x − c

= c²+ c · c + c²

= 3c².

Ada beberapa langkah yang sengaja tidak diberikan secara eksplisit. Tugas mahasiswalah yang harus melengkapinya. Jadi f⁰(x) = 3x² untuk setiap x ∈ R. Untuk (b), diambil sebarang c > 0. Didapat

k⁰(c) := lim

x→c

k(x) − k(c)

x − c = lim

x→c

√1 x−^√1_c x − c

= lim

x→c

(√ c −√

x) (x − c)√

xc

= lim

x→c

(√ c −√

√ x) xc(√

x −√ c)(√

x +√ c)

= lim

x→c

√ −1 xc(√

x +√

c) = − 1 c · 2√

c = − 1 2c√

c. Karena bentuk ini terdenisi untuk setiap c > 0 maka diperoleh k⁰(x) =

−_2x^1√_x, x > 0. 

2. Tunjukkan fungsi f(x) := x^1/3, x ∈ R tidak terdiferensial di x = 0.

Penyelesaian. Dibentuk pecahan yang mengarah pada f⁰(0), yaitu f (x) − f (0)

x − 0 = x^1/3− 0

x = 1

x^2/3. Selanjutnya tunjukkan bahwa limx→0 1

x^2/3 tidak ada (Petunjuk: gunakan kri- teria barisan untuk limit !). Karena limx→0f (x)−f (0)

x−0 tidak ada maka disim- pulkan f⁰(0)tidak ada. 

3. Misalkan fungsi f terdenisi pada R dengan

f (x) :=

(x² jika x rasional 0 jika x irrasional.

Buktikan f terdiferensial di 0, dan tentukan f⁰(0)! 

Penyelesaian. Berdasarkan denisi fungsi ini diperoleh f(0) = 0. Diperhatikan bentuk f (x)−f (0)

x−0 = ^{f (x)}_x , diperoleh f (x)

x =

(x jika x rasional 0 jika x irrasional.

Selanjutnya, ditunjukkan limx→0f (x)

x . Misalkan (xn) barisan yang konvergen ke 0, maka diperoleh barisan 

f (xn)

xn  sebagai berikut f (x_n)

xn

=

(x_n jika xn rasional 0 jika xn irrasional.

Jadi apapun kasusnya barisan_{f (x}

n)

xn  konvergen ke 0. Terbukti limitnya ada dan f⁰(0) = 0. 

4. Tentukan turunan dan sederhanakanlah ! a) f(x) := _1+x^x2

b) h(x) := sin x^k
m

, m, k ∈ N.

Penyelesaian. Untuk (a) dikerjakan sendiri, cukup gunakan aturan turunan hsil bagi. Untuk (b), digunakan aturan rantai berikut :

h⁰(x) = m(sin x^k)^m−1· d dx

 sin x^k

= m(sin x^k)^m−1· cos x^k· d dx

 x^k

= m(sin x^k)^m−1· cos x^k· kx^k−1

= kmx^k−1(sin x^k)^m−1· cos x^k. 

5. Misalkan n ∈ N dan f : R → R didenisikan sebagai berikut

f (x) :=

(xⁿ untuk x ≥ 0 0 untuk x < 0.

Tentukan nilai n apa saja yang membuat fungsi ini kontinu di 0. Pertanyaan yang sama yang membuat fungsi ini terdiferensial di 0.

Penyelesaian. Syarat kontinu di 0: limx→0f (x) = f (0) = 0. Agar syarat ini dipenuhi maka haruslah limx→0xⁿ = 0. Syarat ini otomatis dipenuhi un- tuk setiap bilangan aslin. Jadi fungsi ini kontinu untuk setiap n ∈ N.Untuk keterdiferensialan di 0, diperhatikan bentuk berikut

f (x) − f (0)

x − 0 = f (x)

x =

(xⁿ⁻¹ jika x ≥ 0 0 jika x < 0 . Agar f⁰(0)ada maka haruslah limx→0 f (x)−f (0)

x−0 ada. Agar limit ini ada maka nilainya haruslah nol. Jadi, harus dipenuhi

x→0limxⁿ⁻¹ = 0.

Keadaan ini hanya dipenuhi oleh n = 2, 3, · · · . (Mengapa n = 1 tidak dipenuhi?) 

6. Misalkan f : R → R terdiferensial di c dan f(c) = 0. Buktikan g(x) := |f(x)|terdiferensial bila hanya bila f⁰(c) = 0.

Penyelesaian.

4.2 Teorema nilai rata-rata (TNR)

Seharusnya materi pada bagian sebelumnya sudah dipahami dengan baik. Pada sub pokok bahasan ini, kompetensi minimal yang yang harus dipenuhi adalah

1. Memahami maksud ekstrim relatif (minimum relatif dan maksimum relatif).

2. Memberikan interpretasi grak untuk minimum relatif dan maksimum relatif.

3. Memahami maksud teorema ekstrim interior (TEI) dan dapat membuktikannya.

4. Memahami kasus kritis pada TEI.

5. Memahami maksud dan dapat membuktikan teorema Rolle (TR).

6. Memahami maksud teorema nilai rata-rata (TNR).

7. Memberikan interpretasi grak untuk TNR.

8. Mengetahui sifat-sifat fungsi asal melalui informasi pada derivatifnya.

9. Memahami pengertian fungsi naik dan fungsi turun.

10. Memahami teorema yang menghubungkan derivatif dan naik turunnya fungsi dan dapat membuktikannya.

11. Memahami uji derivatif pertama untuk ekstrim dan mampu membuktikan teore- manya.

12. Mampu menggunakan TNR untuk menyelesaikan masalah pertidaksamaan.

Sungguh banyak pengetahuan dan keterampilan yang harus dikuasai oleh mahasiswa.

Bayangkan untuk 1 pertemuan saja seperti ini, bagaimana kalau selama kuliah ada 20 mata kuliah per semester × 13 kali pertemuan × 7 semester = 1520 kompetensi dasar yang seharusnya dapat dari tatap muka saja, belum lagi hasil belajar mandiri. Seharus- nya semua lulusan mempunyai kualitas tinggi sejajar dengan lulusan perguruan tinggi kelas dunia, hebat.

Denisi 4.2. Ada dua macam ekstrim relatif, yaitu maksimum relatif dan minimum relatif. Fungsi f : I → R dikatakan mempunyai

1. minimum relatif di c ∈ I jika ada persekitaran V := Vδ(c) sehingga f(x) ≤ f(c) untuk setiap x ∈ V ∩ I,

2. maksimum relatif c ∈ I jika ada persekitaran V := Vδ(c) sehingga f(x) ≥ f(c) untuk setiap x ∈ V ∩ I.

Teorema berikut memberikan syarat cukup untuk ekstrim interior, yaitu bilamana c titik interior interval I.

Teorema 4.5. [Teorema ekstrim interior (TEI)] Jika c titik inteior interval I dan f : I → R mempunyai ekstrim di c maka f⁰(c) = 0.

Bukti. Hanya dibuktikan kasus f mempunyai minimum relatif di c. Untuk maksimum relatif dibuktikan sendiri. Dibuktikan dengan kontradiksi, yaitu diandaikan f⁰(c) >

0dan f⁰(c) < 0, kemudian ditunjukkan kontradiksi sehingga disimpulkan f⁰(c) = 0. Karena diketahui f mempunyai minimum relatif di c maka terdapat V1persekitaran csehingga berlaku

f (c) ≤ f (x), untuk setiap x ∈ V1. (4.14) Pengandaian f⁰(c) > 0 mengakibatkan terdapat persekitaran V2 dari c sehingga

f (x) − f (c)

x − c > 0 untuk setiap x ∈ V2. (4.15) Dengan mengambil V := V1 ∩ V₂ maka kedua ketidaksamaan ini berlaku untuk setiap x ∈ V . Ambil x ∈ V dan x < c maka berlaku x − c < 0. Di lain pihak diperoleh

f (x) − f (c) = f (x) − f (c) x − c

| {z }

>0

(x − c)

| {z }

<0

< 0 → f (x) < f (c),

kontradiksi dengan f(c) ≤ f(x). 

Kritis 4.2.1. Fungsi f(x) := x³ mempunyai sifat f⁰(0) = 0 tetapi x = 0 bukan titik ek- strim. Ini berarti f⁰(0) = 0bukan syarat cukup agar c menjadi titik ekstrim. Ilustrasinya lihat pada gambar (kiri).

Terkait dengan masalah kritis ini, kebiasaan mengambil turunan pertama kemudian di- ambil harga nolnya bukanlah cara yang sempurna dalam menentukan nilai ekstrim baik minimum maupun maksimum. Ada tahapan lagi untuk memastikan bahwa nilai nol tu- runan pertama merupakan ekstrim, yaitu menggunakan uji derivatif pertama yang akan dibahas berikutnya.

Kritis 4.2.2. Fungsi f(x) := |x| jelas mempunyai minimum relatif di x = 0, tetapi f⁰(0) tidak ada. Ini menunjukkan bahwa adanya f⁰(c) pada TEI sangat penting. Ilutrasinya dapat dilihat pada gambar (kanan).

Teorema 4.6. [Teorema Rolle] Bila fungsi f : I → R kontinu pada interval I := [a, b], terdiferensial pada interval (a, b) dan f(a) = f(b) = 0 maka ada c ∈ (a, b) sehingga f⁰(c) = 0.

Ilustrasi Teorema Rolle mengatakan bahwa bila dipenuhi beberapa syarat maka ada titik ekstrim di dalam interval (a, b). Ilustrasinya diberikan pada gambar berikut.

a

b c

f'(c) = 0 y = f(x)

Gambar 4.2: Ilustrasi teorema Rolle (kiri)

Bukti. Bila f ≡ 0, yaitu identik dengan fungsi nol maka sebarang c ∈ (a, b) pasti memenuhi f⁰(c) = 0karena derivatifnya juga nol di mana-mana. Sekarang andaikan saja f tidak identik dengan nol, yaitu cukup diasumsikan ada bagian f yang posi- tif. Bila semua bagian f negatif, cukup diambil −f. Lihat ilutrasi pada gambar berikut ini. Karena f kontinu dalam interval tertutup [a, b] maka berdasarkan Teo- rema maksimum-minimum, fungsi f mencapai maksimum di dalam [a, b], yaitu ada c ∈ [a, b]sehingga

f (c) = sup

x∈[a,b]

f (x).

Karena f > 0 maka f(c) > 0. Sekarang dipastikan bahwa c adalah titik interior, yaitu c ∈ (a, b). Seandainya c bukan interior maka c = a atau c = b. Tetapi hal ini tidaklah mungkin sebab f(a) = f(b) = 0, sedangkan f(c) > 0. Jadi dapat diyakini c adalah titik interior. Karena f⁰(x) ada untuk setiap x ∈ (a, b) maka

a

b y = f(x)

c fmaks

a

b

y = f(x) c

fmaks y = - f(x)

Gambar 4.3: Kemungkinan fungsi f tidak identik dengan nol

otomatis f⁰(c) juga ada. Sampai di sini semua asumsi pada TEI terpenuhi, yaitu c titik interior, f mencapai ekstrim pada I dan f⁰(c) ada, sehingga disimpulkan f⁰(c) = 0. 

Sebagai konsekuensi langsung Teorema Rolle, diperoleh Teorema nilai rata-rata berikut.

Teorema 4.7. [Teorema nilai rata-rata] Bila fungsi f : I → R kontinu pada interval I := [a, b], terdiferensial pada interval (a, b) maka ada c ∈ (a, b) sehingga

f (b) − f (a) = f⁰(c)(b − a) atau f (b) − f (a)

b − a = f⁰(c). (4.16) Ilustrasi Berdasarkan persamaan di atas, TNR mengatakan bahwa c adalah suatu titik dimana gradien garis singung kurva y = f(x) di x = c sejajar dengan garis yang melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)) seperti diilustrasikan pada gambar berikut.

a c x b

h(x)

sejajar y = f(x)

(b,f(b)) (a,f(a))

Gambar 4.4: Ilustrasi dan interpretasi TNR

Bukti. Didenisikan fungsi h : I → R sebagai berikut h(x) := f (x) − f (a) −f (b) − f (a)

b − a (x − a).

Selanjutnya ditunjukkan h memenuhi syarat pada Teorema Rolle:

• hkontinu pada [a, b] karena ia tersusun atas fungsi-fungsi kontinu pada [a, b],

• Dengan argumen yang mirip, kita simpulkan h fungsi terdiferensial pada (a, b),

• h(a) = f (a)−f (a)−f (b)−f (a)

b−a (a − a) = 0dan h(b) = f(b)−f(a)−f (b)−f (a) b−a (b − a) = 0.

Berdasarkan Teorema Rolle, terdapatlah c ∈ (a, b) sehingga h⁰(c) = 0. Derivatif h⁰(x) diperoleh sebagai berikut

h⁰(x) = f⁰(x) − f (b) − f (a) b − a sehingga diperoleh

0 = h⁰(c) = f⁰(c) − f (b) − f (a)

b − a → f (b) − f (a)

b − a = f⁰(c). 

4.3 Penggunaan teorema rata-rata

4.3.1 Identikasi sifat fungsi asal melalui derivatifnya

Teorema 4.8. Jika f kontinu pada interval tutup I := [a, b] dan terdiferensial pada interval buka (a, b) dengan f⁰(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan.

Bukti. Kita mulai dari f(a) yaitu nilai f di titik a. Dibuktikan f(x) = f(a) untuk setiap x ∈ (a, b]. Ambil sebarang x ∈ (a, b]. Karena fungsi f memenuhi syarat cukup TNR pada [a, x], maka terdapat c ∈ (a, x) sehingga

f (x) − f (a) = f⁰(c)(x − a).

Karena f⁰(c) = 0 maka diperoleh f(x) − f(a) = 0, yaitu f(x) = a. Karena x diambil sebarang maka terbukti f fungsi konstan. 

Teorema 4.9. Jika f dan g kontinu pada interval tutup I := [a, b] dan terdiferensial pada interval buka (a, b) dengan f⁰(x) = g⁰(x) untuk setiap x ∈ (a, b) maka f = g + C untuk suatu konstanta C.

Bukti. Ambil h(x) := f(x) − g(x), maka diperoleh h⁰(x) = 0. Berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh h fungsi konstan, katakan h(x) = C. Akibatnya f(x)−g(x) = C atau f(x) = g(x) + C. 

4.3.2 Identikasi fungsi naik dan fungsi turun

Denisi 4.3. Fungsi f dikatakan naik (increasing) pada interval I jika berlaku x1 <

x2 → f (x₁) ≤ f (x2), dikatakan turun (decreasing) jika berlaku x2 < x2 → f (x₁) ≥ f (x₂). Dikatakan naik tegas atau turun tegas jika tidak memuat tanda kesamaan.

4.3.3 Uji derivatif pertama untuk ekstrim 4.3.4 Penyelesaian masalah pertidaksamaan

4.4 Aturan L'Hospital

Marquis Guillame Francois L'Hospital (1661-1704) mempublikasikan teorema imit dalam kalkulus yang belakang ini disebut aturan L'Hospital.

Pada teorema limit hasil bagi berlaku bahwa jika limx→cf (x) = Adan limx→cg(x) = B, dan jika B 6= 0 maka

x→clim f (x) g(x) = A

B.

Namun, jika B = 0 maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil. Dalam kasus A 6= 0 maka limit tersebut menjadi ∞ asalkan limitnya ada. Dalam kasus A = 0 dan B = 0 maka limit hasil bagi ^f_g menghasilkan bentu taktentu ⁰₀. Limit bentuk tentu mungkin ada, mungkin juga tidak ada.

Contoh 4.6. Misalkan f(x) := αx dan g(x) := x. Dalam kasus ini untuk c = 0, muncul bentuk taktentu ⁰₀.Tetapi

x→0lim f (x) g(x) = lim

x→0

αx x = α.

Dalam kasus ini bentuk taktentu ⁰₀ memberikan hasil bilangan real.  Bentuk taktentu lainnya diberikan sebagai berikut :

∞

∞, 0 · ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰, ∞ − ∞.

Aturan hospital untuk bentuk ⁰₀

Teorema 4.10. Misalkan f, g : [a, b] → R berlaku f(a) = g(a) = 0, dan g(x) 6= 0 untuk a < x < b. Bila f dan g terdiferensial di a dan g⁰(a) 6= 0 maka

lim

x→a⁺

f (x)

g(x) = f⁰(a) g⁰(a).

Bukti. Karena f(a) = g(a) = 0, kita dapat menulis bentuk yang ekuivalen sebagai berikut

f (x)

g(x) = f (x) − f (a) g(x) − g(a) =

f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a)

x−a

Selanjutnya dengan menggunakan teorema limit hasil bagi diperoleh

lim

x→a⁺

f (x)

g(x) = lim_x→a⁺ f (x)−f (a) x−a

lim_x→a+ g(x)−g(a) x−a

= f⁰(a) g⁰(a). 

Hati-hati dengan syarat f(a) = g(a) = 0.

Sebagai contoh, jika f(x) := x + 17 dan g(x) := 2x + 3 maka diperoleh

x→0lim f (x) g(x) = 17

3 , padahal

f⁰(0) g⁰(0) = 1

2.

Hasil ini tidak sama dengan hasil yang ada dalam teorema dikarenakan f(0) = g(0) = 0 tidak terpenuhi.

Contoh 4.7. Hitunglah limit berikut dengan menggunakan teorema di atas

x→0lim

x²+ x sin 2x.

Penyelesaian. Dalam soal ini kita mempunyai f(x) = x²+xdan g(x) = sin 2x, limx→0f (x) = lim_x→0g(x) = 0. Jadi diperoleh

x→0lim f (x) g(x) = lim

x→0

x²+ x sin 2x = lim

x→0

2x + 1

2 cos 2x = 2(0) + 1 2 cos 2(0) = 1

2.  Teorema nilai rata-rata Cauchy (TNR-C)

Teorema 4.11. Misalkan f an g kontinu pada [a, b] dan terdiferensial pada (a, b), dan diasumsikan g⁰(x) 6= 0 untuk setiap x ∈ (a, b). Maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga

f (b) − f (a)

g(b) − g(a) = f⁰(c) g⁰(c).