PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

(1)

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

(PMP, Minggu 1-7)

Sri Haryatmi Kartiko

Universitas Gadjah Mada

Juni 2014

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA

Outline

1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan

Sifat-Sifat Operasi Himpunan

2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Permutasi dan Kombinasi

3 Minggu 3:PROBABILITAS Probabilitas

4 Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Independensi

5 Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit

Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

(2)

Outline

(3)

Outline

(4)

Minggu 1:HIMPUNAN

Himpunan S adalah koleksi obyek yang diberi notasi s.

Dengan kata lain, s adalah anggota S , elemen S , atau dimiliki oleh S diekspresikan dengan tulisan s ∈ S . Negasi pernyataan tersebut diekspresikan dengan menulis s /∈ S. Dikatakan S⁰ adalah

himpunan bagian dari S atau bahwa S⁰ termuat dalam S , ditulis S⁰ ⊆ S, bila setiap s ∈ S⁰, berakibat s ∈ S . S⁰ dikatakan

himpunan bagian sejati dari S dan ditulis S⁰ ⊂ S, bila S⁰ ⊆ S dan terdapat s ∈ S sedemikian hingga s /∈ S⁰.

Operasi Himpunan

Komplemen terhadap S dari himpunan A ditulis dengan notasi A^c didefinisikan sebagai

A^c = {s ∈ S ; s /∈ A} (1) Union dari himpunan A_j, j = 1, 2, . . . , n, diberi notasi

A₁ ∪ A2∪ · · · ∪ An or

n

[

j =1

A_j didefinisikan sebagai

n

[

j =1

A_j = {s ∈ S ; s ∈ A_j untuk paling sedikit satu j = 1, 2, . . . , n}

(2) Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga, sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis

∞

[

j =1

A_j = {s ∈ S ; s ∈ A_j untuk paling sedikit satu j = 1, 2, . . . } (3)

(5)

Operasi Himpunan

Interseksi dari himpunan A_j, j = 1, 2, . . . , n, diberi notasi

A₁ ∩ A₂∩ · · · ∩ A_n or

n

\

j =1

A_j

didefinisikan sebagai

n

\

j =1

A_j = {s ∈ S ; s ∈ A_j untuk semua j = 1, 2, . . . , n} (4)

Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga, sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis

∞

\

j =1

A_j = {s ∈ S ; s ∈ A_j untuk semua j = 1, 2, . . . } (5)

Operasi Himpunan

Difference

dari A₁− A₂ didefinisikan sebagai

A₁− A₂ = {s ∈ S ; s ∈ A₁, s /∈ A₂} (6) Secara simetris,

A₂− A1 = {s ∈ S ; s ∈ A₂, s /∈ A1} (7)

(6)

Operasi Himpunan

Berikut ini berapa hal penting mengenai himpunan:

1 Himpunan yang tidak memuat satu elemenpun disebut himpunan kosong dan diberi notasi ∅.

2 Dua himpunan A₁, A₂ disebut disjoint atau saling asing bila A₁ ∩ A₂ = ∅.

3 Dua himpunan A₁, A₂, disebut sama, ditulis A₁ = A₂, bila A₁ ⊆ A2 dan A₂ ⊆ A1.

4 Himpunan A_j, j = 1, 2, . . . disebut sepasang-sepasang atau mutually disjoint jika A_i ∩ A_j = ∅ untuk semua i 6= j. Dalam hal ini, biasa ditulis

A₁+A₂, A₁+· · ·+A_n =

n

X

j =1

A_j, dan A₁+A₂+· · · =

∞

X

j =1

A_j sebagai pengganti

A₁∪ A₂,

n

[

j =1

A_j, dan

∞

[

j =1

A_j Dapat ditulis

[

j

A_j, X

j

A_j, \

j

A_j (atau [

j

A_j, X

j

A_j, \

j

A_j) .

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Sifat-Sifat Operasi Himpunan

1 S^c = ∅, ∅^c = S , (A^c)^c = A

2 S ∪ A = S , ∅ ∪ A = A, A ∪ A^c = S , A ∪ A = A

3 S ∩ A = A, ∅ ∩ A = ∅, A ∩ A^c = ∅, A ∩ A = A

4 ∅ ⊆ A untuk semua himpunan bagian A dari S .

5 A₁ ∪ (A2 ∪ A3) = (A₁ ∪ A2) ∪ A₃ A₁ ∩ (A₂ ∩ A₃) = (A₁ ∩ A₂) ∩ A₃ yang disebut hukum Assosiatif.

6 A₁ ∪ (A₂ ∩ A₃) = (A₁ ∪ A₂) ∩ (A₁ ∪ A₃) A₁ ∩ (A2 ∪ A3) = (A₁ ∩ A2) ∪ (A₁ ∩ A3) yang disebut hukum Distributif.

Perluasannya adalah A ∪ (Tn

i =1B_i) = Tn

i =1(A ∪ B_i) A ∩ (Sn

i =1B_i) = Sn

i =1(A ∩ B_i)

7 Hukum de Morgan (A₁∪ A₂)^c = A^c₁ ∩ A^c₂ (A₁∩ A₂)^c = A^c₁ ∪ A^c₂

Perluasan Hukum de Morgan (Sn

i =1A_i)^c = Tn i =1A^c_i (Tn

i =1A_i)^c = Sn i =1A^c_i

(7)

Contoh 1.1

Misalkan S adalah suatu himpunan dan misalkan A, B, C adalah himpunan-himpunan bagian dari S . Tunjukkan bahwa

A ∩ (B ∪ C ) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Bukti:

s ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ s ∈ A dan s ∈ B ∪ C

⇔ (s ∈ A) dan (s ∈ B atau s ∈ C )

⇔ (s ∈ A dan s ∈ B) atau (s ∈ A dan s ∈ C )

⇔ (s ∈ A ∩ B) atau (s ∈ A ∩ C )

⇔ (s ∈ A ∩ B) ∪ (s ∈ A ∩ C )

Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE

Bila E₁ adalah suatu eksperimen yang mempunyai n₁ hasil yang mungkin dan E₂ adalah suatu eksperimen yang memiliki n₂ hasil yang mungkin, maka eksperimen yang menghasilkan pasangan hasil E₁ dan E₂ adalah n₁.n₂ hasil yang mungkin.

Multiplication principle, bila E₁ adalah suatu eksperimen yang mempunyai n₁ hasil yang mungkin, E₂ adalah suatu eksperimen yang memiliki n₂ hasil yang mungkin, dan seterusnya E_r adalah suatu eksperimen yang memiliki n_r hasil yang mungkin, maka eksperimen yang menghasilkan pasangan hasil E₁, . . . , E_r adalah sebanyak

r

Y

i =1

n_i = n₁n₂n₃. . . n_r (8) Apabila n_i = N, untuk semua i maka

r

Y

i =1

n_i = NNN . . . N = N^r (9)

(8)

Permutasi dan Kombinasi

Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda = n!

Banyaknya permutasi r obyek diambil dari n obyek adalah P_rⁿ = n!

(n − r )! (10)

Banyaknya kombinasi r obyek diambil dari n obyek adalah n

r

!

= n!

r !(n − r )! (11)

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Permutasi dan Kombinasi

Teorema Binomial

Dari matematik dasar telah diketahui bahwa (x + y )² = x²+ 2xy + y²

= 2

0

!

x²+ 2 1

!

xy + 2 2

! y²

=

2

X

k=0

2 k

!

x^2−ky^k

(9)

Dengan cara yang sama

(x + y )³ = x³+ 3x²y + 3xy²+ y³

= 3

0

!

x³+ 3 1

!

x²y + 3 2

!

xy²+ 3 3

! y³

=

3

X

k=0

3 k

!

x^3−ky^k

Secara umum, dengan menggunakan argumen induksi, dapat ditunjukkan bahwa

(x + y )ⁿ =

n

X

k=0

n k

!

x^n−ky^k (12)

Hasil tersebut disebut Teorema Binomial. Koefisien n k

!

disebut koefisien Binomial. Berikut ini bukti combinatorial dari Teorema Binomial. Jika (x + y )ⁿ ditulis sebagai n kali faktor (x + y ), yaitu

(x + y )ⁿ = (x + y )(x + y )(x + y ) . . . (x + y ),

maka koefisien x^n−ky^k adalah n k

!

, yaitu banyaknya cara memilih k faktor yang menghasilkan y .

(10)

Sekarang, akan diselidiki sifat-sifat dari koefisien Binomial.

Teorema 2.1

Andaikan n ∈ N (himpunan bilangan Asli) dan r = 0, 1, 2, . . . , n.

Maka,

n r

=

n

n − r

(13)

Teorema 2.2

Untuk suatu bilangan bulat positif n dan r = 1, 2, . . . , n, maka

n r

=

n − 1 r

+

n − 1 r − 1

(14)

(11)

Minggu 3:PROBABILITAS

Misal dilakukan eksperimen yang hasilnya tidak dapat diprediksi sebelumnya. Namun demikian, hasil dari eksperimen dapat

diketahui dari kejadian yang mungkin, himpunan semua kejadian yang mungkin disebut ruang sampel, biasa diberi notasi S .

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Beberapa contoh eksperimen dan hasilnya adalah sebagai berikut:

1 Eksperimen melempar mata uang satu kali, maka ruang sampel adalah

S = {H, T }

dengan H berarti mendapatkan hasil lemparan sisi Head dan T adalah hasil lemparan sisi Tail.

2 Melempar sebuah dadu satu kali, maka ruang sampel adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3 Melempar dua mata uang dua kali, maka ruang sampel adalah S = {HH, HT , TH, TT }

Misal himpunan A adalah munculnya sisi Head, maka A = {HH, HT , TH}

Dari sini, A ⊆ S . Dengan demikian, himpunan A merupakan kejadian.

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Probabilitas

Definisi 3.1

Suatu eksperimen memberikan ruang sampel S . A, A₁, A₂, . . . merupakan kejadian. Fungsi himpunan berharga riil P(A) untuk setiap kejadian A disebut fungsi (himpunan) probabilitas dan P(A) disebut probabilitas dari A bila sifat-sifat di bawah ini dipenuhi

1 P(A) ≥ 0 untuk setiap kejadian A

2 P(S ) = 1

3 P (S∞

i =1A_i) = P∞

i =1P(A_i) untuk A_i kejadian saling asing.

(12)

Probabilitas

Teorema 3.2

Misal {A₁, A₂, . . . , A_n} adalah kumpulan berhingga dari n kejadian sedemikian hingga A_i ∩ E_j = ∅ untuk i 6= j . Maka

P

n

[

i =1

A_i

!

=

n

X

i =1

P(A_i) (15)

Definisi probabilitas

P(A) = n(A)

N (16)

memenuhi ketiga syarat probabilitas yaitu

1 P(A) = ^n(A)_N > 0

2 P(S ) = ^n(S)_N = ^N_N = 1

3 Untuk probabilitas union dua himpunan adalah sbb P(A ∪ B) = n(A ∪ B)

N

= n(A) + n(B) N

= n(A)

N + n(B) N

= P(A) + P(B)

(13)

Probabilitas

Sifat-sifat probabilitas

1 P(A) = 1 − P(A^c)

2 P(A) ≤ 1

3 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

4

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) −

P(A ∩ B) − P(A ∩ C ) − P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C )

Hint : A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C

5 Bila A ⊂ C =⇒ P(A) ≤ P(B)

6 P(A ∩ B^c) = P(A) − P(A ∩ B)

7 P(A ∪ B) = 1 − P(A^c ∩ B^c)

Teorema 3.3

Jika A adalah suatu kejadian pada suatu ruang sampel diskrit S , maka probabilitas dari A adalah jumlah probabilitas kejadian elementernya.

Teorema 3.4

Jika A₁ dan A₂ adalah dua kejadian sedemikian hingga A₁ ⊆ A2, maka

P(A₂\ A₁) = P(A₂) − P(A₁)

(14)

Probabilitas

Contoh 3.5

Sebuah mata uang dilempar sebanyak tiga kali. Berapa probablilitas

1 lemparan pertama sama dengan lemparan ketiga

2 lemparan pertama dan kedua berbeda

3 tidak ada sisi H

4 banyaknya sisi H lebih besar dari banyaknya sisi T

5 banyaknya sisi H sama dengan banyaknya sisi T

Contoh 3.6

Sebuah dadu dilempar sebanyak dua kali. Berapa probabilitas

1 lemparan pertama genap

2 lemparan pertama dan kedua ganjil

3 jumlah kedua lemparan 7

4 jumlah kedua lemparan genap

5 selisih kedua lemparan 3

Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT

Pandang eksperimen yang mempunyai ruang sampel S. Misal

B ∈ S . Dalam berbagai situasi, kita hanya memandang kejadian B tanpa memperhatikan S . Dalam hal ini, B dipandang sebagai ruang sampel. Misalkan S adalah ruang sampel berhingga yang tidak kosong dan B merupakan himpunan tidak kosong dari S . Dengan ruang sampel baru B, bagaimana mendefinisikan

probabilitas terjadinya kejadian A. Secara intuisi, seseorang akan mendefinisikan probabilitas A terhadap ruang sampel baru B sebagai berikut:

P(A dengan syarat B) = banyaknya elemen dalam A ∩ B banyaknya elemen dalam B dengan catatan: banyaknya elemen dalamB > 0.

Dengan demikian, probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat B dapat didefinisikan sebagai

P(A dengan syarat B) = P(A ∩ B

P(B) (17)

dengan syarat P(B) > 0

(15)

Definisi 4.1

Misal S merupakan ruang sampel dari suatu eksperimen random.

Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi, didefinisikan sebagai

P(|B) = P(A ∩ B)

P(B) (18)

dengan syarat P(B) > 0

P(.|B) merupakan probabilitas, yaitu memenuhi ketiga syarat sebagai probabilitas, yaitu

1 P(A|B) = ^P(A∩B)_P(B) > 0

2 P(S |B) = ^P(S∩B)_P(B) = ^P(B)_P(B) = 1

3 A₁, A₂, . . . saling asing maka P(∪^∞_{i =1}A_i|B) = P∞

i =1P(A_i|B) Dibuktikan pernyataan no 3

P(∪^∞_{i =1}B_i|A) = P((∪^∞_{i =1}B_i) ∩ A) P(A)

= P(∪^∞_{i =1}(B_i ∩ A)) P(A)

=

P∞

i =1 P(B_i ∩ A) P(A)

=

∞

X

i =1

P(B_i|A),

karena B_i ∩ A_i juga saling asing.

(16)

Contoh 4.2

Misalkan kartu bernomor 1 sampai 10 dikocok, diambil secara random. Jika dikatakan bahwa kartu terpilih bernomor paling sedikit 5. Berapa probabilitas bersyarat bahwa yang terambil adalah 10.

Penyelesaian :

Notasikan: E adalah pengambilan kartu 10 dan F adalah

pengambilan paling sedikit 5. Probabilitas yang diinginkan adalah P(E /F ).

P(E |F ) = P(E ∩ F ) P(F ) P(E |F ) =

1 10

6 10

= 1

6

E ∩ F = E karena banyaknya kartu bernomor 10 dan paling sedikit nomor 5 hanya ada 1 yaitu kartu bernomor 10.

Teorema 4.3

Hukum Probabilitas Total

Apabila B₁, . . . , B_n merupakan partisi dari ruang sampel S maka untuk sebarang kejadian A berlaku

P(A) =

k

X

i =1

P(B_i)P(A|B_i)

Bukti:

Karena kejadian B₁, . . . , B_n partisi dari S maka A_i saling asing maka kejadian dan ∪^k_{i =1}A_i = S , sehingga

A ∩ B₁, A ∩ B₂, . . . , A ∩ B_k juga saling asing.

Dengan demikian

P(A) = P(A ∩ S )

= P(A ∩ (∪^k_{i =1}B_i))

= P(∪^k_{i =1}(A ∩ B_i))

=

k

X

i =1

P(A ∩ B_i)

=

k

X

i =1

P(B_i)P(A|B_i)

Terbukti.

(17)

Teorema 4.4

Aturan Bayes

Apabila B₁, . . . , B_n koleksi kejadian yang saling asing, maka untuk setiap j = 1, 2, . . . , k berlaku

P(B_j|A) = P(B_j)P(A|B_j) Pk

i =1P(B_i)P(A|B_i) Bukti:

P(B_j|A) = P(A ∩ B_j) P(A)

= P(B_j)P(A|B_j) P(A)

= P(B_j)P(A|B_j) Pk

i =1P(B_j)P(A|B_j)

Contoh 4.5

Ada 3 buah kotak, kotak pertama berisi 2 bola merah, 3 bola putih.

Kotak kedua berisi 3 bola merah, 4 bola putih.

Kotak ketiga berisi 3 bola merah, 3 bola putih.

Dari kotak pertama diambil satu bola dimasukkan ke kotak kedua, sebut pengambilan I, selanjutnya dari kotak kedua diambil sebuah bola dimasukkan ke kotak ketiga, sebut pengambilan II, dan

selanjutnya dari kotak ke ketiga diambil sebuah bola sebut pengambilan III. Hitung probabilitas pengambilan ketiga menghasilkan bola berwarna merah.

(18)

Penyelesaian:

P(III_m) = P(I_m ∩ II_m ∩ III_m)

+P(I_m ∩ IIp ∩ IIIm) + P(I_p ∩ IIm ∩ IIIm) +P(I_p ∩ IIp ∩ IIIm)

= 2

5 4 8

4 7 + 2

5 4 8

3 7 + 3

5 3 8

4 7 + 3

5 5 8

3 7

= 32 + 24 + 36 + 45

280 = 137

280

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Independensi

Bila P(A|B) = P(A) atau P(B|A) = P(B) maka A&B disebut independen.

Dengan demikian, 2 kejadian A&B disebut independen bila a. P(A|B) = P(A) atau

b. (B|A) = P(B) atau c. P(A ∩ B) = P(A)P(B)

(19)

Independensi

Contoh 4.6

Dua buah dadu dilempar. A₁ adalah kejadian jumlah kedua

lemparan 6 dan B adalah kejadian dadu pertama muncul angka 4.

Apakah A₁ dan B independen?

Penyelesaian:

P(A₁∩ B) = P(4, 2) = 1 36 Sementara itu,

P(A₁)P(B) = 5 36

1

36 = 5 216

* Bila A&B independen buktikan A^c&B, A&B^c, A^c&B^c independen.

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Independensi

Definisi 4.7

n kejadian E₁, E₂, . . . E_n disebut independen atau mutually

independen bila ∀ j = 2, 3, . . . n dan setiap himpunan bagian indeks yang berbeda i₁, . . . , i_j, berlaku

P(E_i₁ ∩ E_i₁ ∩ . . . E_i_j) = P(E_i₁) . . . P(E_i_j)

(20)

Independensi

Contoh 4.8

Dalam menjawab pertanyaan pilihan ganda, seorang murid mungkin mengetahui dengan pasti jawaban yang benar atau dia menebak. p adalah probabilitas dia mengetahui jawaban yang benar dan 1 − p adalah probabilitas dia menebak.

Dianggap mahasiswa yang menebak mempunyai probabilitas menjawab benar 1/m, bila tersedia m alternatif jawaban.

Berapa probabilitas bersyarat mahasiswa yang tahu jawaban yang benar akan menjawab dengan benar?

Penyelesaian:

Misal C dan K adalah kejadian bahwa mahasiswa menjawab dengan benar dengan syarat dia memang mengetahui jawaban yang benar.

P(K |C ) = P(K ∩ C ) P(C )

= P(C |K )P(K )

P(C |K )P(K ) + P(C |K^c)P(K^c)

= p

p + (1/m)(1 − p)

= mp

1 + (m − 1)p

Jadi, untuk m = 5, p = 1/2, probabilitas seorang mahasiswa yang tahu jawaban yang benar akan menjawab benar adalah 5/6.

Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA

Hasil suatu eksperimen dapat berupa angka seperti melempar sebuah dadu satu kali, mengamati bola lampu mulai nyala sampai mati, namun sering kali hasil eksperimen tidak berupa angka

namun berupa pasangan angka atau bahkan pasangan huruf. Misal sebuah dadu dilempar tiga kali akan menghasilkan outcome tripel bilangan seperti (2, 3, 6), (1, 1, 1). Sebuah mata uang dilempar tiga kali akan menghasilkan outcome tripel huruf H dan T seperti (H, H, T ) atau (H, T , T ). Outcome nonnumeris ini perlu dijadikan outcome numeris supaya dapat dilakukan perhitungan perhitungan yang bermanfaat. Perkawanan outcome nonnumeris menjadi

outcome numeris disebut variabel random yang disajikan dalam definisi berikut¿

(21)

Definisi 5.1

Variabel random X adalah fungsi dengan domain S dan range subset bilangan riil 3 X (e) = x , dengan e ∈ S & x ∈ R

Definisi 5.2

Himpunan {x ∈ R|x = X (s), s ∈ S} adalah ruang dari variabel random X diberi simbol R_X.

Contoh 5.3

Diberikan beberpa contoh variabel random hasil eksperimen dibawah ini.

1 Sebuah dadu bersisi 4 dilempar 2 kali.

X : lemparan pertama Y : lemparan kedua

Z : jumlah lemparan 1 dan lemparan 2 T : selisih lemparan 1 dan lemparan 2 R_X = {1, 2, 3, 4}

R_Y = {1, 2, 3, 4}

R_Z = {2, 3, . . . , 8}

R_T = {0, 1, 2, 3}

2 Sebuah mata uang dilempar 3 kali.

X : banyaknya sisi H.

P(X = 2) = P((HHT ), (THH), (HTH))

= 3

8 Y : selisih banyaknya sisi H&T

P(Y = 0) = P(TTT ) = 1 8

P(Y = 1) = P((HTT ), (THT ), (TTH)) = 3 8 P(Y = 2) = P((HHT ), (HTH), (THH)) = 3 8 P(Y = 3) = P(HHH) = 1

8

3 Papan tembak

X : jarak titik yang terkena tembakan dengan titik pusat, dalam cm.

4 X : jarak tempuh lari maraton dalam km.

5 Y : usia bola lampu dalam jam.

(22)

Contoh 5.4

Pandang percobaan pelemparan sebuah koin. Konstruksikan variabel random X dari percobaan ini, lalu tentukan ruang dari variabel random tersebut!

Penyelesaian:

Ruang sampel dari percobaan ini adalah S = {Head , Tail }

Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi dari S ke dalam himpunan bilangan riil, yakni:

X (Head ) = 0 X (Tail ) = 1 Sehingga, ruang dari variabel random adalah

R_X = {0, 1}

Definisi 5.5

Jika ruang dari variabel random X adalah countable, maka X disebut variabel random diskrit.

Definisi 5.6

Jika ruang dari variabel random X adalah uncountable, maka X disebut variabel random kontinu.

(23)

Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit

Definisi 5.7

Misal R_X adalah ruang dari variabel random X . Fungsi f : R_X → R yang didefinsikan sebagai:

f (x ) = P(X = x )

disebut probability density function (pdf) dari X .

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit

Contoh 5.8

Sebuah kotak memuat 5 bola, yang terdiri dari 2 bola putih dan 3 bola merah. tiga buah bola diambil dari kotak tanpa

pengembalian. Jika variabel random X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka tentukan pdf dari X !

Penyelesaian:

Karena X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka X = 0, 1, 2, 3

P(X = 0) =

3 0

2 3

5 3

= 0, tidak mungkin mendapatkan 3 bola putih

P(X = 1) =

3 1

2 2

5 3

= 3

10

P(X = 2) =

3 2

2 1

5 3

= 6

10

P(X = 3) =

3 3

2 0

5 3

= 1

10

(24)

Teorema 5.9

Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang R_X dan pdf f (x ), maka

a. f (x ) ≥ 0 untuk semua x di R_X b. P

x ∈R_X f (x ) = 1

Contoh 5.10

Jika probabilitas dari variabel random X dengan R_X = {1, 2, 3, . . . , 12} diberikan oleh

f (x ) = k(2x − 1), maka, tentukan nilai dari konstanta k!

Penyelesaian:

1 = X

x ∈R_X

f (x )

= X

x ∈R_X

k(2x − 1) =

12

X

x =1

k(2x − 1)

= k

"

2

12

X

x =1

x − 12

#

= k

2(12)(13)

2 − 12

= k.144 Sehingga,

k = 1 144

Definisi 5.11

Fungsi distribusi kumulatif F (x ) dari variabel random X didefinisikan sebagai:

F (x ) = P(X ≤ x ) untuk semua bilangan riil X .

Definisi 5.12

Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang R_X, maka F (x ) = X

t≤x

f (t)

untuk x ∈ R_X.

(25)

Contoh 5.13

Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh 1

144(2x − 1), untuk x = 1, 2, 3, . . . , 12 Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari X

Penyelesaian: Ruang dari variabel random X adalah R_X = {1, 2, 3, . . . , 12}

Maka,

F (1) = X

t≤1

f (t) = f (1) = 1 144 F (2) = X

t≤2

f (t) = f (1) + f (2) = 1

144 + 3

144 = 4 144 F (3) = X

t≤3

f (t) = f (1) + f (2) + f (3) = 1

144 + 3

144 + 5

144 = 9 144 ...

F (12) = X

t≤12

f (t) = f (1) + f (2) + . . . + f (12) = 1

F (X ) menyatakan akumulasi dari f (t) dari t paling kecil sampai t = x .

Teorema 5.14

Misal X adalah suatu variabel random dengan fungsi distribusi kumulatif F (X ). Maka fungsi distribusi kumulatif memenuhi:

a. F (−∞) = 0, b. F (∞) = 1, dan

c. F (x ) adalah fungsi naik, yaitu, jika x < y , maka F (x ) ≤ F (y ) untuk semua bilangan riil x , y .

Teorema 5.15

Jika ruang R_X dari variabel random X diberikan oleh R_X = {x₁ < x₂ < x₃ < . . . < x_n}, maka

f (x₁) = F (x₁)

f (x₂) = F (x₂) − F (x₁) f (x₃) = F (x₃) − F (x₂)

...

f (x_n) = F (x_n) − F (x_n−1)

(26)

Contoh 5.16

Tentukan pdf dari variabel random X yang fungsi distribusi kumulatifnya diberikan oleh

F (x ) =











0, 00 jika x < −1, 0, 25 jika −1 ≤ x < 1, 0, 50 jika 1 ≤ x < 3, 0, 75 jika 3 ≤ x < 5, 1, 00 jika x ≥ 5.

Tentukan probabilitas dari P(X ≤ 3), P(X = 3), dan P(X < 3)!

Penyelesaian:

Ruang dari variabel random adalah

R_X = {−1, 1, 3, 5}

pdf dari X adalah

f (−1) = 0, 25

f (1) = 0, 50 − 0, 25 = 0, 25 f (3) = 0, 75 − 0, 50 = 0, 25 f (4) = 1, 00 − 0, 75 = 0, 25 Sehingga,

P(X ≤ 3) = F (3) = f (−1) + f (1) + f (3)

= 0, 75

P(X = 3) = F (3) − F (2) = 0, 75 − 0, 5

= 0, 25

P(X < 3) = P(X ≤ 2) = f (−1) + f (1)

= 0, 50

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

Definisi 5.17

Misal X adalah variabel random kontinu yang harganya merupakan anggota himpunan bilangan riil R. Suatu fungsi berharga riil

non-negatif, f : R ⇒ R, dikatakan pdf dari variabel random kontinu X jika memenuhi:

1 f (x ) ≥ 0

2 R∞

−∞f (x )dx = 1

Selanjunya jika A adalah suatu kejadian, maka P(A) =

Z

A

f (x )dx .

(27)

Contoh 5.18

Apakah fungsi f : R ⇒ R yang didefinisikan oleh f (x ) =

(2x⁻² jika 1 < x < 2, 0 yang lainnya, merupakan pdf dari variabel random X ?

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

Definisi 5.19

Misal f (x ) adalah pdf dari variabel random kontinu X . Fungsi distribusi kumulatif F (x ) dari X didefinisikan sebagai berikut

F (x ) = P(X ≤ x ) = Z x

−∞

f (t)dt (19)

Teorema 5.20

Jika F (x ) adalah fungsi distribusi kumulatif dari variabel random kontinu X , maka pdf f (x ) dari X adalah turunan dari F (x ), yaitu

d

dxF (x ) = f (x ) (20)

Contoh 5.21

Tentukan pdf dari variabel random yang mempunyai fungsi distribusi kumulatif:

F (x ) = 1

1 + e^−x, − ∞ < x < ∞ Penyelesaian:

f (x ) = d

dxF (X )

= d

dx

1

1 + e^−x

= d

dx 1 + e^−x−1

= (−1) 1 + e^−x−2 d

dx 1 + e^−x

= e^−x

(1 + e^−x)²

(28)

Teorema 5.22

Misalkan X adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi distribusi kumulatif (cdf) F (x ), maka akan memenuhi:

a. P(X ≤ x ) = F (x ), b. P(X > x ) = 1 − F (x ),

c. P(X = x ) = 0, dan

d. P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a).

e. P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a <

X < b)