4.1. Pengolahan Data
Pada sub bab ini akan dibahas perhitungan kasus kombinasi 5 job – 5 mesin, baik dengan metode heuristik Hamid maupun dengan metode MIP.
Adapun data waktu proses yang dibangkitkan sebanyak 30 data, dengan melakukan random data berdistribusi uniform [5,20], yang akan digunakan untuk setiap kombinasi job – mesin dapat dilihat lebih jelas pada lampiran 1. Sedangkan waktu proses untuk setiap kombinasi job – mesin dapat dilihat lebih jelas pada lampiran 2. Berikut adalah tabel data waktu proses untuk kombinasi 5 job – 5 mesin :
Tabel 4.1. Data Waktu Proses Kombinasi 5 job – 5 mesin M1 M2 M3 M4 M5
J1 6 8 6 11 18
J2 17 8 6 9 8
J3 5 6 19 5 6
J4 8 10 8 17 9
J5 8 12 10 5 14
4.1.1. Metode MIP (Mixed Integer Programming)
Berdasarkan contoh kasus kombinasi 5 job – 5 mesin yang ada di atas, maka berikut ini akan dijelaskan langkah pengerjaan metode MIP, dimana untuk mendapatkan hasil perhitungannya dilakukan penulisan formula MIP sebagai berikut :
1) Menentukan fungsi tujuannya :
→ Minimize Fmax
2) Menentukan kendalanya :
o Untuk menempatkan job dan menentukan posisi permutasi dari job – job yang ada :
→ Z11 + Z12 + Z13 + Z14 + Z15 = 1 Z21 + Z22 + Z23 + Z24 + Z25 = 1 Z31 + Z32 + Z33 + Z34 + Z35 = 1 Z41 + Z42 + Z43 + Z44 + Z45 = 1 Z51 + Z52 + Z53 + Z54 + Z55 = 1
→ Z11 + Z21 + Z31 + Z41 + Z51 = 1 Z12 + Z22 + Z32 + Z42 + Z52 = 1 Z13 + Z23 + Z33 + Z43 + Z53 = 1 Z14 + Z24 + Z34 + Z44 + Z54 = 1 Z15 + Z25 + Z35 + Z45 + Z55 = 1
o Memberikan perhitungan Gantt chart untuk semua pasangan mesin yang berdekatan dalam flowshop dengan m - mesin.
→ j = 1 , r = 1, ... ,4
• 6Z12 + 17Z22 + 5Z32 + 8Z42 + 8Z52 + Y21 + X21 - Y11 - 8Z11 - 8Z21 - 6Z31 - 10Z41 - 12Z51 - X22 = 0
• 8Z12 + 8Z22 + 6Z32 + 10Z42 + 12Z52 + Y22 + X22 - Y12 - 6Z11 - 6Z21 - 19Z31 - 8Z41 - 10Z51 - X23 = 0
• 6Z12 + 6Z22 + 19Z32 + 8Z42 + 10Z52 + Y23 + X23 - Y13 - 11Z11 - 9Z21 - 5Z31 - 17Z41 - 5Z51 - X24 = 0
• 11Z12 + 9Z22 + 5Z32 + 17Z42 + 5Z52 + Y24 + X24 - Y14 - 18Z11 - 8Z21 - 6Z31 - 9Z41 - 14Z51 - X25 = 0
→ j = 2 , r = 1, … ,4
• 6Z13 + 17Z23 + 5Z33 + 8Z43 + 8Z53 + Y31 + X31 - Y21 - 8Z12 - 8Z22 - 6Z32 - 10Z42 - 12Z52 - X32 = 0
• 8Z13 + 8Z23 + 6Z33 + 10Z43 + 12Z53 + Y32 + X32 - Y22 - 6Z12 - 6Z22 - 19Z32 - 8Z42 - 10Z52 - X33 = 0
• 6Z13 + 6Z23 + 19Z33 + 8Z43 + 10Z53 + Y33 + X33 - Y23 - 11Z12 - 9Z22 - 5Z32 - 17Z42 - 5Z52 - X34 = 0
• 11Z13 + 9Z23 + 5Z33 + 17Z43 + 5Z53 + Y34 + X34 - Y24 - 18Z12 - 8Z22 - 6Z32 - 9Z42 - 14Z52 - X35 = 0
→ j = 3 , r = 1, … ,4
• 6Z14 + 17Z24 + 5Z34 + 8Z44 + 8Z54 + Y41 + X41 - Y31 - 8Z13 - 8Z23 - 6Z33 - 10Z43 - 12Z53 - X42 = 0
• 8Z14 + 8Z24 + 6Z34 + 10Z44 + 12Z54 + Y42 + X42 - Y32 - 6Z13 - 6Z23 - 19Z33 - 8Z43 - 10Z53 - X43 = 0
• 6Z14 + 6Z24 + 19Z34 + 8Z44 + 10Z54 + Y43 + X43 - Y33 - 11Z13 - 9Z23 - 5Z33 - 17Z43 - 5Z53 - X44 = 0
• 11Z14 + 9Z24 + 5Z34 + 17Z44 + 5Z54 + Y44 + X44 - Y34 - 18Z13 - 8Z23 - 6Z33 - 9Z43 - 14Z53 - X45 = 0
→ j = 4 , r = 1, ... ,4
• 6Z15 + 17Z25 + 5Z35 + 8Z45 + 8Z55 + Y51 + X51 - Y41 - 8Z14 - 8Z24 - 6Z34 - 10Z44 - 12Z54 - X52 = 0
• 8Z15 + 8Z25 + 6Z35 + 10Z45 + 12Z55 + Y52 + X52 - Y42 - 6Z14 - 6Z24 - 19Z34 - 8Z44 - 10Z54 - X53 = 0
• 6Z15 + 6Z25 + 19Z35 + 8Z45 + 10Z55 + Y53 + X53 - Y43 - 11Z14 - 9Z24 - 5Z34 - 17Z44 - 5Z54 - X54 = 0
• 11Z15 + 9Z25 + 5Z35 + 17Z45 + 5Z55 + Y54 + X54 - Y44 - 18Z14 - 8Z24 - 6Z34 - 9Z44 - 14Z54 - X55 = 0
ο Untuk menghitung makespan dari keseluruhan urutan pekerjaan yang dilakukan.
→ 18Z11 + 8Z21 + 6Z31 + 9Z41 + 14Z51 + 18Z12 + 8Z22 + 6Z32 + 9Z42 + 14Z52 + 18Z13 + 8Z23 + 6Z33 + 9Z43 + 14Z53 + 18Z14 + 8Z24 + 6Z34 + 9Z44 + 14Z54 + 18Z15 + 8Z25 + 6Z35 + 9Z45 + 14Z55 + X15 + X25 + X35 + X45 + X55 - Fmax = 0
o Untuk menghitung idle time dari mesin urutan kedua dan mesin selanjutnya, sementara menunggu kedatangan job urutan pertama.
→ 6Z11 + 17Z21 + 5Z31 + 8Z41 + 8Z51 - X12 = 0 14Z11 + 25Z21 + 11Z31 + 18Z41 + 20Z51 - X13 = 0 20Z11 + 31Z21 + 30Z31 + 26Z41 + 30Z51 - X14 = 0 31Z11 + 40Z21 + 35Z31 + 43Z41 + 35Z51 - X15 = 0
o Memastikan bahwa job urutan pertama dari permutasi selalu dapat segera dikerjakan oleh mesin berikutnya.
→ Y11 = 0 Y12 = 0 Y13 = 0 Y14 = 0
Setelah dirunning dengan Lingo, maka didapatkan hasil sebagai berikut : Rows= 48 Vars= 72 No. integer vars= 25 ( all are linear)
Nonzeros= 336 Constraint nonz= 325( 120 are +- 1) Density=0.096 Smallest and largest elements in absolute value= 1.00000 43.0000 No. < : 0 No. =: 47 No. > : 0, Obj=MIN, GUBs <= 21
Single cols= 17
Optimal solution found at step: 218 Objective value: 86.00000 Branch count: 2
Variable Value Reduced Cost MS 86.00000 0.0000000 IDLE( 1, 1) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 1, 2) 6.000000 0.0000000 IDLE( 1, 3) 14.00000 0.0000000 IDLE( 1, 4) 20.00000 0.0000000 IDLE( 1, 5) 31.00000 0.0000000
IDLE( 2, 1) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 2, 2) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 2, 3) 6.000000 0.0000000 IDLE( 2, 4) 8.000000 0.0000000 IDLE( 2, 5) 0.0000000 1.000000 IDLE( 3, 1) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 3, 2) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 3, 3) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 3, 4) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 3, 5) 0.0000000 1.000000 IDLE( 4, 1) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 4, 2) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 4, 3) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 4, 4) 3.000000 0.0000000 IDLE( 4, 5) 0.0000000 1.000000 IDLE( 5, 1) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 5, 2) 2.000000 0.0000000 IDLE( 5, 3) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 5, 4) 0.0000000 0.0000000 IDLE( 5, 5) 0.0000000 1.000000 WAITING( 1, 1) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 1, 2) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 1, 3) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 1, 4) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 1, 5) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 2, 1) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 2, 2) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 2, 3) 3.000000 0.0000000 WAITING( 2, 4) 5.000000 0.0000000 WAITING( 2, 5) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 3, 1) 4.000000 0.0000000 WAITING( 3, 2) 0.0000000 0.0000000
WAITING( 3, 3) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 3, 4) 2.000000 0.0000000 WAITING( 3, 5) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 4, 1) 9.000000 0.0000000 WAITING( 4, 2) 2.000000 0.0000000 WAITING( 4, 3) 1.000000 0.0000000 WAITING( 4, 4) 3.000000 0.0000000 WAITING( 4, 5) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 5, 1) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 5, 2) 11.00000 0.0000000 WAITING( 5, 3) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 5, 4) 0.0000000 0.0000000 WAITING( 5, 5) 0.0000000 0.0000000 Z( 1, 1) 1.000000 49.00000 Z( 1, 2) 0.0000000 18.00000 Z( 1, 3) 0.0000000 18.00000 Z( 1, 4) 0.0000000 18.00000 Z( 1, 5) 0.0000000 18.00000 Z( 2, 1) 0.0000000 48.00000 Z( 2, 2) 0.0000000 8.000000 Z( 2, 3) 0.0000000 8.000000 Z( 2, 4) 0.0000000 8.000000 Z( 2, 5) 1.000000 8.000000 Z( 3, 1) 0.0000000 41.00000 Z( 3, 2) 0.0000000 6.000000 Z( 3, 3) 0.0000000 6.000000 Z( 3, 4) 1.000000 6.000000 Z( 3, 5) 0.0000000 6.000000 Z( 4, 1) 0.0000000 52.00000 Z( 4, 2) 0.0000000 9.000000 Z( 4, 3) 1.000000 9.000000 Z( 4, 4) 0.0000000 9.000000
Z( 4, 5) 0.0000000 9.000000 Z( 5, 1) 0.0000000 49.00000 Z( 5, 2) 1.000000 14.00000 Z( 5, 3) 0.0000000 14.00000 Z( 5, 4) 0.0000000 14.00000 Z( 5, 5) 0.0000000 14.00000 PROCESSTIME( 1, 1) 6.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 1, 2) 17.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 1, 3) 5.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 1, 4) 8.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 1, 5) 8.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 2, 1) 8.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 2, 2) 8.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 2, 3) 6.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 2, 4) 10.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 2, 5) 12.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 3, 1) 6.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 3, 2) 6.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 3, 3) 19.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 3, 4) 8.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 3, 5) 10.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 4, 1) 11.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 4, 2) 9.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 4, 3) 5.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 4, 4) 17.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 4, 5) 5.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 5, 1) 18.00000 0.0000000 PROCESSTIME( 5, 2) 8.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 5, 3) 6.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 5, 4) 9.000000 0.0000000 PROCESSTIME( 5, 5) 14.00000 0.0000000
Dari hasil running yang dilakukan dengan software Lingo, maka didapatkan hasil :
• Makespan = 86
• Urutan untuk job = J1 – J5 – J4 – J3 – J2
Gantt Chart metode MIP sebagai hasil simulasi dari software Lingo dapat dilihat pada lampiran 7.
4.1.2. Metode Heuristik Hamid
Berdasarkan contoh kasus kombinasi 5 job – 5 mesin yang ada di atas, maka berikut ini akan ditampilkan hasil output model, sedangkan langkah pengerjaan metode heuristik Hamid dan hasil perhitungannya dapat dilihat lebih jelas pada bab 2, sub bab 2.3 pada halaman 10 - 30 :
Gambar 4.1. Output Program Metode Heuristik Hamid
Metode Heuristik Hamid dengan kombinasi 5 job – 5 mesin di atas disimulasikan dengan menggunakan software Borland Pascal For Windows 7 dan didapatkan hasil running :
• Makespan = 88
• Urutan untuk job = J1 – J4 – J3 – J2 – J5
Gantt Chart metode hauristik Hamid sebagai hasil simulasi dari software Borland Pascal for Windows dapat dilihat pada lampiran 6.
Sedangkan untuk kombinasi job – mesin yang lainnya dapat dilihat pada tabel yang menyajikan perbandingan metode heuristik Hamid terhadap metode MIP.
4.1.3. Perbandingan Kombinasi Metode Heuristik Hamid terhadap Metode MIP Setelah dilakukan simulasi untuk kedua metode, maka hasil yang didapatkan yang berupa makespan dan sequence atau urutan akan dibandingkan dalam tabel perbandingan.
Dalam tabel ini akan diperlihatkan hasil - hasil perhitungan untuk tiap kombinasi job – mesin yang disimulasikan dengan software Lingo untuk metode MIP dan software Borland Pascal untuk metode heuristik Hamid.
Berikut ini adalah tabel yang menyajikan perbandingan kedua metode :
Tabel 4.2. Perbandingan Hasil Hamid terhadap MIP Kombinasi M I P Hamid
Job Mesin Makespan Sequence Job Makespan Sequence Job
5 5 86 1-5-4-3-2 88 1-4-3-2-5
10 165 1-3-4-2-5 169 4-2-3-1-5
15 217 4-1-2-5-3 217 4-1-2-5-3
20 331 4-5-3-1-2 333 4-1-5-2-3
25 341 3-1-2-5-4 346 3-1-5-2-4
6 5 120 1-4-3-5-6-2 123 1-4-3-2-5-6
10 209 5-3-2-4-1-6 213 5-3-4-2-1-6
15 251 2-4-5-1-6-3 254 2-1-4-5-6-3
20 319 3-4-2-6-1-5 325 3-4-6-2-1-5
25 401 6-2-5-4-1-3 401 2-6-5-4-1-3
7 5 142 7-2-3-4-5-6-1 145 7-6-2-3-4-1-5
10 203 7-6-1-4-3-2-5 205 6-7-1-4-3-2-5
15 257 2-4-1-3-5-7-6 266 1-4-5-3-2-7-6
20 318 6-4-2-1-3-5-7 334 7-5-4-1-2-3-6
25 332 7-5-2-1-6-3-4 345 1-5-2-3-4-6-7
Tabel 4.2. (sambungan)
Kombinasi M I P Hamid
Job Mesin Makespan Sequence Job Makespan Sequence Job
8 5 145 7-4-3-5-2-6-8-1 165 8-5-4-7-3-1-2-6
10 216 3-1-8-7-2-6-5-4 227 5-3-1-4-6-2-8-7
15 270 3-8-2-7-1-5-6-4 280 8-1-2-7-6-5-3-4
20 337 6-5-2-1-7-8-4-3 344 6-1-5-8-4-2-7-3
25 406 8-7-5-4-2-1-3-6 432 7-8-4-3-6-1-5-2
9 5 147 9-1-5-2-6-8-4-3-7 162 6-9-5-3-7-4-2-1-8
10 204 5-2-9-6-8-1-4-3-7 213 6-3-1-2-5-8-4-7-9
15 277 4-2-9-5-1-8-3-7-6 282 4-8-5-2-9-6-1-3-7
20 313 3-8-9-5-2-7-4-1-6 328 6-9-5-8-7-4-1-2-3
25 420 8-7-6-3-2-1-9-4-5 444 3-7-5-1-4-8-2-9-6
10 5 159 5-4-7-3-8-6-9-10-1-2 167 1-9-6-2-4-8-5-3-7-10 10 233 2-4-8-7-9-10-6-3-1-5 248 4-3-2-8-5-1-7-6-9-10 15 321 7-5-10-1-3-6-8-9-2-4 326 2-1-9-7-10-3-4-5-6-8 20 331 7-8-6-1-3-4-5-9-10-2 338 8-10-7-4-5-9-1-3-6-2 25 412 4-10-9-2-7-6-5-3-8-1 424 10-2-5-1-4-9-6-3-8-7
4.2. Analisa Data
Setelah dilakukan perhitungan untuk mendapatkan makespan dari kedua metode, maka akan dilakukan perhitungan performance dengan menggunakan efficiency index, relative error, dan perhitungan perbedaaan lama waktu penyelesaian masalah (elapsed runtime), seperti yang sudah dijelaskan pada bab 2, sub bab 2.5, pada halaman 32 – 33.
4.2.1. Efficiency Index (EI)
Sesuai dengan formula yang dijelaskan pada bab 2, maka berikut ini akan diberikan contoh perhitungan untuk menghitung EI dengan contoh kasus kombinasi 5 job – 5 mesin :
• Metode MIP : - Makespan = 86
- Urutan untuk job = J1 – J5 – J4 – J3 – J2
• Metode Hamid : - Makespan = 88
- Urutan untuk job = J1 – J4 – J3 – J2 – J5
•
Hamid MIP
F
EI = F = 88
86 = 0.9773
→ Hasil perhitungan menunjukkan bahwa EI < 1, maka metode Hamid memiliki performance yang kurang baik bila dibandingkan dengan metode MIP. Namun dapat dilihat juga bahwa nilai EI sudah mendekati nilai 1, yang berarti nilai metode Hamid sudah mendekati nilai optimal yang dihasilkan oleh metode MIP.
4.2.2. Relative Error (RE)
Sesuai dengan formula yang dijelaskan pada bab 2, maka berikut ini akan diberikan contoh perhitungan untuk menghitung RE dengan contoh kasus kombinasi 5 job – 5 mesin :
• Metode MIP : - Makespan = 86
- Urutan untuk job = J1 – J5 – J4 – J3 – J2
• Metode Hamid : - Makespan = 88
- Urutan untuk job = J1 – J4 – J3 – J2 – J5
• x100%
F F RE F
Hamid MIP Hamid −
= = 100%
88 86 88− x
= 2.27273 %
→ Hasil perhitungan menunjukkan bahwa nilai RE kecil, hal ini berarti bahwa metode Hamid mempunyai performance yang cukup baik, hal ini ditunjukkan dengan nilai RE yang merupakan besar perbedaan kedua metode kecil.
4.2.3. Perbedaan Lama Waktu Penyelesaian Masalah (Elapsed Runtime)
Sesuai dengan formula yang dijelaskan pada bab 2, maka berikut ini akan diberikan contoh perhitungan untuk menghitung perbedaan elapsed runtime dengan contoh kasus kombinasi 5 job – 5 mesin :
• Metode MIP : - Makespan = 86 - Waktu = 1 detik
• Metode Hamid : - Makespan = 88 - Waktu = 1 detik
• Perbedaan elapsed runtime = 1 detik – 1 detik = 0 detik
→ Dapat dilihat dari hasil perhitungan lama waktu penyelesaian masalah (elapsed runtime) untuk kasus dengan kombinasi job – mesin kecil tidak ada perbedaan waktu yang berarti, sedangkan untuk masalah kombinasi job – mesin besar menunjukkan bahwa metode MIP untuk mendapatkan hasil yang optimal membutuhkan waktu yang lebih lama daripada metode Hamid.
Berikut ini adalah tabel yang menyajikan performance kedua metode :
Tabel 4.3. Perhitungan Performance
Kombinasi MIP Hamid Efficiency Relative Perbedaan Job Mesin Fmax Runtime Fmax Runtime Index Error Runtime
5 5 86 00:00:01 88 00:00:01 0.977273 2.2727 0
10 165 00:00:01 169 00:00:01 0.976331 2.3669 0
15 217 00:00:01 217 00:00:01 1 0 0
20 331 00:00:01 333 00:00:01 0.993994 0.6006 0
25 341 00:00:01 346 00:00:01 0.985549 1.4451 0
6 5 120 00:00:01 123 00:00:01 0.97561 2.439 0
10 209 00:00:01 213 00:00:01 0.981221 1.8779 0
15 251 00:00:02 254 00:00:01 0.988189 1.1811 00:00:01 20 319 00:00:03 325 00:00:01 0.981538 1.8462 00:00:02
25 401 00:00:06 401 00:00:01 1 0 00:00:05
7 5 142 00:00:01 145 00:00:01 0.97931 2.069 0
10 203 00:00:02 205 00:00:01 0.990244 0.9756 00:00:01 15 257 00:00:03 266 00:00:01 0.966165 3.3835 00:00:02 20 318 00:00:15 334 00:00:01 0.952096 4.7904 00:00:14 25 332 00:00:20 345 00:00:01 0.962319 3.7681 00:00:19
Tabel 4.3. (sambungan)
Kombinasi MIP Hamid Efficiency Relative Perbedaan Job Mesin Fmax Runtime Fmax Runtime Index Error Runtime
8 5 145 00:00:01 165 00:00:01 0.878788 12.121 0
10 216 00:00:06 227 00:00:01 0.951542 4.8458 00:00:05 15 270 00:00:22 280 00:00:01 0.964286 3.5714 00:00:21 20 337 00:01:02 344 00:00:01 0.979651 2.0349 00:01:01 25 406 00:01:24 432 00:00:01 0.939815 6.0185 00:01:23
9 5 147 00:00:02 162 00:00:01 0.907407 9.2593 00:00:01
10 204 00:00:11 213 00:00:01 0.957746 4.2254 00:00:10 15 277 00:01:35 282 00:00:01 0.98227 1.773 00:01:34 20 313 00:17:24 328 00:00:01 0.954268 4.5732 00:17:23 25 420 00:27:02 444 00:00:01 0.945946 5.4054 00:27:01
10 5 159 00:00:01 167 00:00:01 0.952096 4.7904 0
10 233 00:01:09 248 00:00:01 0.939516 6.0484 00:01:08 15 321 00:37:52 326 00:00:01 0.984663 1.5337 00:37:51 20 331 00:47:57 338 00:00:01 0.97929 2.071 00:47:56 25 412 08:50:42 424 00:00:01 0.971698 2.8302 08:50:41
