Pemrograman Kuadratik
Pemrograman Kuadratik
Derajat (degree) dari adalah k
1+
k
2+ … + k
n.
Maka derajat dari adalah
3
Derajat dari x
1x
2adalah
2
Pemrograman kuadratik adalah
NLP yang memiliki kendala linier
dan fungsi objective yang
merupakan penjumlahan term
dengan bentuk (dengan setiap
term memiliki derajat 2, 1, atau 0)
Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan
masalah Pemrograman Kuadratik
adalah Metode Wolfe
Metode Wolfe
Metode Wolfe akan dijelaskan
dengan contoh berikut:
Min z =
s.t
Gunakan syarat Kuhn –Tucker dan
tambahkan kendala awalnya
Penyelesaian
Semua variable nonnegative
Empat persamaan terakhir adalah kondisi
complementary of slacness pada
pemrograman kuadratik
Untuk menemukan titik yang memenuhi
semua syarat K-T (kecuali kondisi
complementary of slackness), metode
wolfe mengaplikasikan modifikasi Phase I
pada metode simpleks dua phase
Pertama kita tambahkan artificial
variable pada setiap kendala pada syarat
K-T yang tidak memiliki basic variable
Untuk memastikan bahwa solusi optimal yang
didapat nantinya memenuhi kondisi
complementary of slackness maka metode
wolfe melakukan modisikasi metode simpleks
dalam hal pemilihan variabel yang akan
masuk sebagai basic variabel, yaitu:
1.
Jangan melakukan pivot yang akan
membuat
idan x
ikeduanya menjadi basic
variabel
2.
Jangan melakukan pivot yang akan
membuat s
i(atau e
i) dan
Ikeduanya
Untuk menyelesaikan masalah
dalam contoh kita harus
menyelesaikan LP berikut:
Min
1
1
Semua variabel nonnegative
Min
1
1
Semua variabel nonnegative
w x1 x2 L1 L2 MU1 MU2 s1 e2 a1 a2 a4 rhs rasio
1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0
0 1 -1 1 -2 -1 0 0 0 1 0 0 1
0 -1 2 1 -3 0 -1 0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3
w x1 x2 L1 L2 MU1 MU2 s1 e2 a1 a2 a4 rhs rasio
1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0
0 1 -1 1 -2 -1 0 0 0 1 0 0 1
0 -1 2 1 -3 0 -1 0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3
0 2 3 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 6
Agar a1, a2 dan a4 dapat menjadi basic variabel maka koefisien variabel tersebut pada baris nol harus sama dengan nol dengan cara dilakukan OBE
w x1 x2 L1 L2 MU1 MU2 s1 e2 a1 a2 a4 rhs rasio
1 2 4 2 -5 -1 -1 0 -1 0 0 0 0
0 1 -1 1 -2 -1 0 0 0 1 0 0 1
0 -1 2 1 -3 0 -1 0 0 0 1 0 1 0.50
0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 3
0 2 3 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 6 2
BV : a1 = 1; a2=1 ; s1 = 3 ; a4 =6
w x1 x2 L1 L2 MU1 MU2 s1 e2 a1 a2 a4 rhs rasio
1 4 0 0 1 -1 1 0 -1 0 -2 0 6
0 0.5 0 1.5 -3.5 -1 0.5 0- 0 1 0.5 0 1.5 3
0 -0.5 1 0.5 -1.5 0 0.5 0- 0 0 0.5 0 0.5
0 1.5 0 -0.5 1.5 0 0.5 1 0 0 -0.5 0 2.5 1.67
0 3.5 0 -1.5 4.5 0 1.5 0 -1 0 -1.5 1 4.5 1.29
Basic Variabel : a1 =1.5; x2 = 0.5; s1 = 2.5; a4 = 4.5
w x1 x2 L1 L2 MU1 MU2 s1 e2 a1 a2 a4 rhs rasio
1 0 0 1.71 4.14 -1 -0.7 0- 0.143 0 0.29- 1.14 0.86
-0 0 0 1.714 4.14 -1 -0.7 0- 0.143 1 0.714 0.14 0.86 6
-0 0 1 0.286 0.86 0 -0.3 0- 0.14 0- 0.286 0.14 1.14
0 0 0 0.143 0.43 0 -0.1 1- 0.429 0 0.143 0.43 0.57- 1.333
0 1 0 0.43- 1.286 0 0.43 0 0.29 0- 0.43- 0.286 1.29
Basic Variabel : a1 =0.86 x2 = 1.14; s1=0.57; x1 = 1.29
w x1 x2 L1 L2 MU1 MU2 s1 e2 a1 a2 a4 rhs rasio
1 0 0 1.667 -4 -1 -0.7 -0.33 0 0 -0.33 -1 0.67
0 0 0 1.667 -4 -1 -0.7 -0.33 0 1 0.67 0 0.67 0.402
0 0 1 0.333 -1 0 -0.3 0.33 0 0 0.33 0 1.33 3.99
0 0 0 0.333 -1 0 -0.3 2.333 1 0 0.33 -1 1.33 3.99
0 1 0 -0.33 1 0 0.33 0.67 0 0 -0.33 0 1.67
Basic Variabel : a1 =0.67 x2 = 1.33; e2=1.33; x1 = 1.67
w x1 x2 L1 L2 MU1 MU2 s1 e2 a1 a2 a4 rhs
1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0
0 0 0 1 -2.4 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.6 0.4 0 0.4 0 0 1 0 -0.2 0.2 -0.2 0.4 0 -0.2 0.2 0 1.2 0 0 0 0 -0.2 0.2 -0.2 2.4 1 -0.2 0.2 -1 1.2 0 1 0 0 0.2 -0.2 0.2 0.6 0 0.2 -0.2 0 1.8
Karena pada baris nol semua koefisien tidak ada yang positif maka tabel sudah optimal.
