Materi Teknik Optimasi

 Stochastic programming berkaitan

dengan situasi dimana beberapa atau semua parameter dari permasalahan adalah peubah acak.

 Ide dasar stochastic programming

adalah merubah masalah probabilistik menjadi situasi deterministik yang

 Stochastic programming berkaitan

dengan Chance-constrained

programming, yang didefinisikan sebagai

Subject to ,

i=1,2,…, m; untuk semua j

Diasumsikan bahwa semua aij dan bi adalah peubah acak

Terdapat tiga kasus yang

Pada ketiga kasus tersebut diasumsikan bahwa parameter menyebar normal

KASUS 1

 Setiap a_ij menyebar normal dengan

rata – rata E(aij), ragam Var(aij) dan

Cov(aij,ai’j’)

 Kendala ke-i

Tentukan

Maka hi menyebar normal dengan

Dimana

D_i = matriks covarian ke i =

 Sehingga

Dimana adalah norma baku dengan rata – rata nol dan ragam satu. Artinya

dimana F adalah CDF dari sebaran normal baku

 Misalkan adalah nilai normal baku

sedemikian hingga F()=1 - _i

Maka pernyataan P(h_i ≤ b_i) ≥ 1 - _I terjadi jika dan hanya jika ≥

Hal ini akan menghasilkan kendala nonlinier yang deterministik.



 untuk kasus khusus dimana sebaran normal

adalah bebas, maka cov{aij,ai’j’) = 0

 Dan kendala terakhir menjadi

 Kendala ini dapat dijadikan bentuk

pemrograman terpisah(separable programming dengan menggunakan substitusi untuk semua i

 Sehingga kendala yang asli menjadi

KASUS 2

 Hanya b_i yang menyebar normal

dengan rata –rata E{bi} dan ragam var

{bi}.

 Analisis yang dilakukan sama dengan

pada kasus 1.

 Hal ini dapat terjadi jika dan hanya jika

 Sehingga stochastic constraint menjadi

deterministic linear contraint

KASUS 3

 Pada kasus ini, semua a_ij dan b_i adalah peubah

acak normal.

 Kendala

dapat ditulis sebagai

Karena semua a_ij dan b_i adalah normal maka

juga normal. Hal ini menunjukkan bahwa chance constraint berubah ke situasi dalam kasus 1 dan diperlakukan dengan cara yang sama

CONTOH

 Pertimbangkan chance – constrained problem berikut

Max z = 5x1 +6x2+3x3

s.T P{a11x1 + a12x2 +a13x3 ≤ 8} ≥ 0.95

P{5x1 + x2 +6x3 ≤ b2} ≥ 0.10

x1, x2, x3 ≥ 0

Asumsikan bahwa aij adalah peubah acak yang bebas

dan menyebar normal dengan rata – rata dan ragam sebagai berikut:

E{a11} = 1, E{a12} = 3, E{a13} = 9

Parameter b2 menyebar normal dengan

rata - rata 7 dan ragam 9

Dari tabel normal baku didapatkan ,

Kedua kendala dirubah menjadi deterministik :

 Jika kita misalkan

 Maka permasalahannya menjadi

 Max z = 5x₁ +6x₂+3x₃

 s.t

Yang dapat diselesaikan menggunakan separable programming