Solikhin, Y .D. Sumanto, S usilo Hariyanto, A bdul A ziz 1,2,3,4
Departemen Matematika F S M Universitas Diponegoro J l. Prof Soedarto, S .H. T embalang-Semarang
solikhin@live.undip.ac.id 1
A bstract. In this paper we study Henstock- B ochner and Henstock-D unford integral on [ a,b] . W e discuss some properties of the integrable. F or every function which Henstock-B ochner integrable then it is Hentsock-D unford integrable. T he contrary is not true. F urther more, let for any
* *
x X and collecti on
(
)
* * *
x f x B X is Henstock-equi-integrable. W e will show that function : [ , ]
f a b X is Henstock-B ochner integrable on [a,b] if only if it i s Henstock-D unford integrable on [a,b].
K ey words : Hentsock-B ochner integral, Henstock- equi-integrable and Henstock-D unford integral
1. P E ND A H UL UA N
Integral Henstock didefinisikan atas partisi Perron
d
-fine pada interval tertutup[a b, ]. Integral Henstock merupakan generalisasi dari integral R iemann dan integral McShane [ 1,2].
K ajian integral Henstock dalam ruang dimensi satu R [ 2] telah digeneralisasi dalam ruang E uclide
n
R [ 3]. B ahkan untuk fungsi bernilai real [ 1,2] digeneralisasi ke dalam fungsi bernilai B anach [ 4] . Integral Henstock untuk fungsi bernilai vektor atau B anach dikenal dengan integral Henstock-B ochner [ 5].
K ajian integral Henstock telah banyak dikombinasikan dengan integral lain seperti integral Henstock-Stieltjes [ 6], Henstock-Pettis, Henstock-D unford untuk fungsi bernilai B anach [ 7].
Integral Henstock-Dunford merupakan hasil kombinasi integral Henstock dengan integral D unford. Integral D unford didefinisikan oleh fungsi terukur lemah pada ruang real R [ 8]. D iberikan X ruang
B anach dan
* * *
: linear kontinu
X x x X R ruang
dualnya (dual pertama) dengan
** ** ** *
: linear kontinu
X x x X R dual
kedua serta [a b, ] R. F ungsi terukur lemah f: [a b, ] X dikatakan terintegral
D unford pada [a b, ] jika untuk setiap
* *
x X fungsi bernilai real
*
: [ , ] x f a b R
terintegral L ebesgue pada [a b, ] dan untuk setiap himpunan terukur A[a b, ] terdapat vektor
( )
** **
, fA
x X sehingga
( )
(
)
(
)
(
)
** * * *
,
b A fA
A a
x x H x f H x fc
.Selanjutnya integral D unford kemudian diperluas ke dalam integral tipe R iemann, yaitu untuk setiap
* *
x X fungsi bernilai real
* : [ , ]
x f a b R terintegral Henstock. Integral ini dinamakan integral Henstock-D unford [ 7, 9].
T opik integral Henstock-D unford menjadi kajian oleh penulis. B eberapa kajian tentang integral Henstock-D unford antara lain perluasan Harnack dan sifat C auchy integral Henstock-D unford dalam ruang E uclide
n
R [ 10], beberapa sifat Small R iemann S ums fungsi terintegral Henstock-D unford pada [a b, ] [ 11, 12, 13], kekonvergenan barisan fungsi terintegral Henstock-D unford pada [a b, ] [ 14], karakteristik fungsi primitive integral Henstock-D unford pada [ a,b] [ 15], serta posisi integral Henstock-Dunford dan integral Henstock-B ochner pada [a b, ]
[ 16].
telah dihasilkan bahwa untuk setiap fungsi
f yang terintegral Henstock-B ochner maka fungsi f tersebut terintegral Henstock-D unford, akan tetapi sebaliknya belum tentu berlaku. J ika integral Henstock-B ochner diperlemah menj adi integral Henstock L emah maka diperoleh bahwa integral Henstock-Dunford ekuivalen dengan integral Henstock L emah [ 16]. B erdasarkan hasil ini, maka penulis akan mengkaji syarat apa yang harus ditambahkan supaya integral Henstock-B ochner ekuivalen dengan integral Henstock-D unford.
2. H A SI L DA N P E M B A H A SA N
B erikut diberikan definisi integral Henstock-B ochner , integral Henstock-B ochner serentak, integral Henstock serentak, dan integral Henstock-Dunford dari suatu fungsi bernilai vektor.
J ika A[c,d][a,b] maka simbol (A)
a dalam tulisan ini dimaksudkan sebagai
a
(A) d- c, panjang interval dikatakan terintegral Henstock-Bochner pada [a,b], ditulis singkat fH B a[ ,b],J ika fungsi f terintegral Henstock-B ochner pada [a,b] maka vektor L dalam Definisi 2.1 adalah tunggal dan ditulis
( ) . integral Henstock fungsi bernilai real juga
berlaku dalam integral Henstock-B ochner fungsi bernilai vektor.
47
x f terintegral Henstock.
T eor ema 2.4 [16] J ika fHB[a,b] maka untuk setiap bilangan
e
0 terdapat fungsi positifd
0 pada [a,b] dan untuk setiap dikatakan terintegral Henstock-D unford pada [a,b] jika untuk setiap* *
x X fungsi bernilai real
*
D apat ditunjukkan bahwa vektor
( ) bernilai real
*
x f terintegral Henstock pada [a,b].
B uk ti:
J elas menurut D efinisi 2.5. ■
Menurut T eorema 2.4 dan T eorema 2.6 diperoleh bahwa jika fungsi f terintegral
dengan D
(
D,x)
sebarang partisiterintegral Henstock-Bochner serentak pada [a,b] dengan
Oleh karena diketahui bahwa
: [ , ] ,
Oleh karena itu diperoleh
(
)
(
)
(
)
J adi jika untuk setiap0
merupakan barisan C auchy.
K arena X lengkap maka setiap barisan
Menurut Hipotesa, untuk setiap bilangan
0
e
terdapat fungsi positifd
pada [a b, ] sehingga untuk setiapk
Pilih K N sedemikian sehingga berlaku
(
)
49 f terintegral Henstock-B ochner maka untuk setiap
* *
x X fungsi
*
x f
terintegral Henstock, sebaliknya belum tentu berlaku. A rtinya jika untuk setiap Henstock-B ochner dan diperlihatkan contohnya [ 16]. T eorema berikut ini menyatakan keberlakuan sebaliknya dengan memberikan syarat bahwa untuk setiap
* *
x X fungsi bernilai real
*
x f
harus terintegral Henstock serentak.
L emma 2.9 Diberikan sebarang bilangan menunjukkan bukti syarat cukup dari teorema berikut ini.
T eor ema 2.10 F ungsi fHB a b[ , ] jika
untuk setiap bilangan
e
0 terdapat fungsi positifd
pada [a,b] dan jika D
(
D,x)
sehingga untuk setiap
(
)
* * * *
(
)
(
)
(
)
(
)
maka menurut L emma 2.9 diperoleh
(
)
(
)
(
)
(
)
definisi integral Henstock-B ochner serentak diperoleh teorema berikut.T eor ema 2.11 K oleksi
f f: [a b, ] X
H terintegral
Henstock-Bochner serentak pada [a b, ] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan e0
terdapat fungsi positif
d
pada [a b, ]berarti untuk setiap bilangan e0 terdapat fungsi positif
d
pada [a,b] sehingga fungsi yang terintegral Henstock-B ochner maka terintegral Henstock-D unford [ 16], akan tetapi sebaliknya belum tentu berlaku [ 16]. J ika ditambahkan syarat bahwa untuk setiap koleksi
(
)
* * *
51
sebaliknya akan berlaku seperti diuraikan dalam teorema berikut ini.
T eor ema 2.12 Diketahui koleksi fungsi f terintegral Henstock-B ochner pada A. J adi terdapat fungsi positif d K arena diketahui bahwa koleksi
(
)
B erdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa jika untuk setiap
* *
x X koleksi
(
)
* * *
x f x B X
terintegral Henstock serentak pada [a b, ]
maka fungsi f terintegral Henstock-B ochner pada [a b, ] j ika dan hanya jika f terintegral Henstock-D unford pada[a b, ]. 4. D A F T A R PUST A K A
[ 1] Gordon, R .A ., (1994), The Integral of lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Mathematical S ociety, US A . E uclide Berdimensi-n, D isertasi, Universitas Gadjah Mada, Y ogyakarta.
[ 4] C ao, S.C ., (1992), T he Henstock Integral for B anach-valued F unctions, Southeast Asian Bull. Math, 16(-): 35-40.
[ 5] C ao, S.C ., (1993), On T he Henstock-B ochner Integral, Southeast Asian Bull. Math. Special Issue, p. 1-3. [ 6] L im J .S, Y oon J .H, E un G.S . (1998),
On Henstock S tieltjes Integral, K angweon-K yungki Math. J our., 6(1): 87-96.
[ 7] Guoj u, Y e., T ianqing, A n. (2001), On Henstock-D unford and Henstock-Pettis Integrals, IJ MMS, 25(7): 467-478.
[ 8] Schwabik, S., Guoj u, Y e. ( 2005), Topics in Banach Space Integration, W orld Scientific, Singapore.
[ 9] Saifullah. (2003), Integral Henstock-Dunford pada Ruang E uclide
n
T esis, Universitas Gadjah Mada, Y ogyakarta.
[ 10] S olikhin. (2013), Perluasan Harnack dan S ifat C auchy Integral Henstock-D unford pada R uang E uclide
n R , J urnal Matematika, 16(1): 8-12. [ 11] S olikhin, Y .D. Sumanto dan Siti
K habibah. (2013), L ocally dan Globally Small R iemann Sums F ungsi T erintegral Henstock-D unford pada [a,b], Prosiding Seminar Nasional Matematika dan P endidikan Matematika, 9 November 2013, A .8 halaman 55-64, ISB N 978–979-16353-9-4.
[ 12] S olikhin, Y D. S umanto dan Siti K habibah. (2014), E ssentially S mall R iemann S ums F ungsi T erintegral Henstock-D unford pada [ a,b], J urnal Matematika, 17(2) : 55-61.
[ 13] Solikhin, Sumanto dan K habibah. (2012), F unctionally Small R iemann Sums F ungsi T erintegral Henstock-D unford pada [ a,b], J urnal Sains dan Matematika, 20(3) : 58-63.
[ 14] S olikhin, Heru T jahjana dan S olichin Z aki. (2016), K ekonvergenan B arisan F ungsi T erintegral Henstock-Dunford pada [a b, ], J urnal Matematika, 19(1): 29-39.
[ 15] Solikhin. (2017), K arakteristik F ungsi Primitive Integral Henstock-Dunford pada [a b, ], P rosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY , 25 F ebruari 2017, hal.107-115 ISB N 978–602-6100-0-0.
[ 16] S olikhin, Heru T jahjana dan S olichin Z aki. (2016), Posisi Integral Henstock-D unford dan Integral Henstock-B ochner pada [a b, ], Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY, 5 Nopember 2016, hal. MA 85-MA 92 ISB N 978–602-73403-1-2.
[ 17] Solikhin. (2011), Integral D unford-Henstock pada sel [ , ]
n
