matekpersamaan diferensial legendre

Persamaan diferensial Legendre

= 0

. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.

(2)

Substitusikan dan turunan-turunannya ke dalam (1) dan nyatakan konstanta ( + 1) dengan �, maka kita memperoleh

(1− 2) −1 � −2−2 � −1 +� � = 0

Yang jabarannya dituliskan

2.1�2 + 3.2�3 + 4.3�4 2+⋯+ + 2 + 1 � ₊₂ +⋯

−2.1�2 2− ⋯ − −1 � − ⋯

−2.1�1 −2.2�2 2− ⋯ −2 � − ⋯

��0+��1 +��2 2+⋯+�� +⋯= 0

Karena ini harus merupakan suatu identitas dalam apabila (2) merupakan penyelesaian dari (1), maka jumlah koefisien-koefisien dari setiap pangkat haruslah nol ; karena � = ( + 1), ini memberikan

(3a)

2.�2+ + 1 �0 = 0 � � � � � 0

6.�3+ −2 + + 1 �1 = 0 � � � � � 1

Dan umumnya, jika = 2, 3,… , (3b)

+ 2 + 1 � +2+ − −1 −2 + + 1 � = 0

Sekarang pernyataan dalam kurung [ ... ] dapat dituliskan menjadi

− −1 −2 + + 1 = − 2+ −2 + 2+ =− 2− + 2 +

=− + 1 + + 1 = − ( + + 1)

Sehingga dapat dituliskan menjadi

+ 2 + 1 � +2 + − + + 1 � = 0

+ 2 + 1 � +2 =− − + + 1 �

Jadi dari (3) diperoleh (4)

� +2 = −

− + + 1

Ini disebut hubungan rekursi (recurtion relation) atau rumus rekursi (recurtion formula). Rumus ini memberikan untuk setiap koefisien dinyatakan dalam koefisien kedua yang mendahuluinya, kecuali �0 dan �1 yang merupakan konstanta sebarang. Kita peroleh secara berurutan

�2 =− ( + 1)

Atau dapat dituliskan sebagai (5)

= �0 1 +�1 2( )

di mana (6)

1

= 1

−

+ 1

2!

2

₊

−

2

+ 1

+ 3

4!

4

₋

₊

_…

dan (7)

2 = − −1 + 2 3!

3₊ −3 −1 + 2 ( + 4)

5! �1

5_−+⋯

Deret ini konvergen untuk < 1. Karena (6) memuat hanya pangkat-pangkat genap dari sedangkan (7) hanya memuat pengkat-pangkat ganjil dari , maka hasil bagi 1

2

bukan suatu konstanta, sehingga ₁dan ₂tidak sebanding, jadi merupakan penyelesaian bebas linear. Sehingga (5) merupakan penyelesaian umum (1) pada selang −1 < < 1.

Polinom Legendre

Dalam banyak penerapan, parameter dalam persamaaan Legendre merupakan bilangan bulat tak negatif. Maka ruas kanan (4) adalah nol jika = , sehingga � +2 = 0,� +6 = 0,…

(8)

� =− + 2 ( + 1)

− ( + + 1)� +2 ( ≤ −2)

Kita dapat menyatakan semua koefisien-koefisien yang tak-dihilangkan dalam koefisien � dari pangkat yang paling tinggi pada polinom. Koefisien � mula-mula masih

Pengambilan � ini dilakukan agar semua polinom ini mempunyai nilai 1 jika = 1. (9*)

Dengan cara yang sama,

yaitu

� −4 =

2 −4 ! 2 2! −2 ! −4 !

Dengan cara yang sama pula

� −6 = −

Penyelesaian persamaan diferensial Legendre (1) yang dihasilkan disebut polinom Legendre berderajat dan dinyatakan oleh � ( ). Dan (10) diperoleh

dimana � = 2 � �

( −1)

2 , yang merupakan suatu bilangan bulat. Khususnya (Gambar 83).

(11‟)

�0 = 1

�2 = 1 3(3

2₋₁₎

�4 = 1 8(35

4₋₃₀ 2 _{+ 3)}

�1 =

�3 =1 2(5

3_{−3 )}

�5 =1 8(63

5₋₇₀ 3 _{+ 15 )}

dan seterusnya.

Contoh Soal:

Dengan menggunakan (11‟), akan dibuktikan dengan substitusi bahwa �0,…,�5 memenuhi persamaan Legendre

Penyelesaian: �0 = 0 = 1

�1 = 1 =

�2 = 2 = 1 3(3

2 ₋₁₎

�4 = 3 = 1 8(35

4₋₃₀ 2_{+ 3)}

�3 = 4 = 1 2(5

3_{−3 )}

�5 = 5 = 1 8(63

5 ₋₇₀ 3 _{+ 15 )}

Daftar Pustaka