SMKN 2 PROBOLINGGO VEKTOR PADA BIDANG

Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah

SK

:

KD :

Menerapkan konsep vektor pada bidang datar Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang TUJUAN PELATIHAN:

Peserta memiliki kemampuan untuk

mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan, menerapkan dan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan vektor.

Adaptif

Hal.: 4 VEKTOR

Applying vector concept in solving a problem

CS

:

BC :

Applying vector in a plane

Applying vector concept in polyhedral

THE PURPOSE OF LEARNING:

The students have ability to develop their skill in doing, applying, and solving daily life problem that connected with vector.

BESARAN

SKALAR

VEKTOR

Tidak memiliki arah

(panjang, masa,waktu,suhu dsb

)

Memiliki arah

(gaya, kecepatan,

Perpindahan dsb)

Adaptif

Hal.: 6 VEKTOR

MAATREGEL

SCALAR

VECTOR

Doesn’t have direction

(length, mass, time,

temperature, etc

)

Have direction

(force, speed,

Distance, etc)

 1. Berapa besar resultan gaya pada sebuah katrol

yang ditunjukan seperti pada gambar di bawah ini!

P₂= 4 KN 600

Adaptif

Hal.: 8 VEKTOR

 1. How big id the force resultant in a pulley that is

shown in the following picture.

P₂= 4 KN 600

4 KE KIRI

LAM-BANG:

SETIAP RUAS GARIS BERARAH MEWAKILI PERGESERAN YANG

SAMA: 2 KE ATAS

SETIAP RUAS GARIS BERARAH DI ATAS MEWAKILI SEBUAH VEKTOR

4 KE KIRI            



2

4

– 4 2 KE ATAS            



2

4

2 4 KE KIRI            



2

4

– 4 2 KE ATAS            



2

4

2 4 KE KIRI            



2

4

– 4 2 KE ATAS            



2

4

2 4 KE KIRI 2 KE ATAS            



2

4

2 – 4            



2

4

2 – 4

Adaptif

Hal.: 10 VEKTOR

4 TO LEFT

SYMBOL

EVERY DIRECTED LINE SEGMENT REPRESENT THE

SAME SHIFTING: 2 TO UPWARD

EVERY DIRECTED LINE SEGMENT ABOVE REPRESENT A VECTOR 4 KE KIRI            



2

4

– 4 2 KE ATAS            



2

4

2 4 KE KIRI            



2

4

– 4 2 KE ATAS            



2

4

2 4 KE KIRI            



2

4

– 4 2 KE ATAS            



2

4

2 1 To left 2 To upward            



2

4

2 – 4            



2

4

2 – 4

5 KE KIRI

LAM-BANG:

SETIAP RUAS GARIS BERARAH MEWAKILI PERGESERAN YANG

SAMA: 4 K E B A W A H

SETIAP RUAS GARIS BERARAH DI ATAS MEWAKILI SEBUAH VEKTOR

5 KE KIRI            



2

4

– 5 4 KE BAWAH            



2

4

–4 5 KE KIRI            



2

4

– 5 4 KE BAWAH            



2

4

–4 5 KE KIRI 4 KE BAWAH            



2

4

– 4 – 5            



2

4

– 4 – 5

Adaptif

Hal.: 12 VEKTOR

5 TO LEFT

SYMBOL

EVERY DIRECTED LINE SEGMENT REPRESENT THE

SAME SHIFTING: 4 D O W N W A R D

EVERY DIRECTED LINE SEGMENT ABOVE REPRESENT A VECTOR 5 KE KIRI            



2

4

– 5 4 KE BAWAH            



2

4

–4 5 KE KIRI            



2

4

– 5 4 KE BAWAH            



2

4

–4 5 TO LEFT 4 To downward            



2

4

– 4 – 5            



2

4

– 4 – 5

Soal

 Lukislah ruas garis melalui titik A yang sejajar dan

ruas garis melalui titik B yang tegak lurus ! PQ

A

B Q

P

Adaptif

Hal.: 14 VEKTOR

Exercise

 Draw a line segment through point A that parallel with

and a perpendicular line segment through point B.PQ

A

B Q

P

Penyelesaian:

PQ

AC

//

PQ

lurus

tegak

BE

atau

BD

B Q P 3 1 A 3 1 3 1 1 3 D C E

Adaptif Hal.: 16 VEKTOR Hal.: 16

Solution:

PQ

AC

//

PQ

to

lar

perpendicu

BE

or

BD

B Q P 3 1 A 3 1 3 1 1 3 D C E

        1 1 y x p OP

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang Kartesius maka vektor =

P (x₁,y₁ )

X₁

y₁

Jika koordinat titik P(x1, y1) maka vektor posisi dari titik P adalah:

      1 1 y x

disebut komponen vektor p

Adalah vektor yang panjangnya satu satuan

Vektor satuan dengan arah sumbu Y, disebut dengan

Vektor satuan dengan arah sumbu X, disebut dengan _

       0 1 i         1 0 j Vektor Satuan

Adaptif Hal.: 18 VEKTOR         1 1 y x p OP

If point P is a point in Cartesian plane, then vector =

P (x₁,y₁ )

X₁

y₁

If the coordinate of point P(x1, y1) then position vector from point P is:

      1 1 y x

Is called vector component of p

is a vector that have length one unit.

Unit vector with direction of X axis is called

Unit vector with direction of X axis is called _

       0 1 i         1 0 j Unit vector

Perhatikan vektor p pada gambar berikut:

P (x₁,y₁)

Bila titik P(x₁,y₁) maka OP = OQ + QP

X

Maka dapat dinyatakan dengan vektor basis: p = x₁ i + y₁ j

Adaptif

Hal.: 20 VEKTOR

Look at the vector p below:

P (x₁,y₁)

If point P(x₁,y₁) then OP = OQ + QP

X

It can be stated in basis vector: p = x₁ i + y₁ j

Besar atau panjang suatu vektor apabila digambarkan dengan garis berarah adalah panjang ruas garis berarah itu.

o

Q P(x₁,y₁)

OP

2 2

QP

OQ





p

Jadi bila _      

y

x

1 1



Maka panjang vektor

p

adalah

p

x

y

2 1 2 1







Adaptif

Hal.: 22 VEKTOR

The vector length is can be drawn by directed line. It is the length of directed line segment.

o

Q P(x₁,y₁)

OP

2 2

QP

OQ





p

So, if _      

y

x

1 1



Then, the vector length

p

is

p

x

y

2 1 2 1







2. Nyatakan vektor posisi titik A (3,2,- 4) sebagai vektor basis (kombinasi linier dari i, j dan k)

1. Nyatakan vektor posisi titik A (5,3) sebagai vektor basis (kombinasi linier dari i dan j)

Jawab: vektor a atau = 5OA i + 3 j

Jawab: vektor a atau = 3

_OA

i + 2 j – 4 k

AB

3. Nyatakan vektor sebagai vektor basis (kombinasi linier dari i dan j) jika titik A (5,-3) dan B (3,2)

Adaptif

Hal.: 24 VEKTOR

2. Stated the position vector of point A (3,2,- 4) as basis vector (linier combination of i, j and k)

1. Stated the position vector of point A (5,3) as basis vector (linier combination of i and j)

Answer : vector aOA or = 5 i + 3 j

Answer: vektor a

_OA

or = 3 i + 2 j – 4 k

AB

3. Stated vector as basis vector (linear

combination of i and j) if point A (5,-3) and B (3,2)

Answer

Penjumlahan Vektor

Jika vektor a dijumlahkan dengan vektor b menghasilkan vektor c di tulis _{  }   b c a Bagaimana caranya cara segitiga

Adaptif

Hal.: 26 VEKTOR

Vector Addition

If vector a is added with vector b, we will get vector c. it is

denoted by _{a } _{b } _c

How

Triangle way

cara segitiga

a

A B

B

C

Memindahkan vektor b sehingga Pangkalnya berhimpitan dengan ujung vektor a

AC = AB + BC

c = a + b

Adaptif Hal.: 28 VEKTOR

Triangle Way

a A B B C

Move vector b so the initial is joint with the end of vector a

AC = AB + BC

c = a + b

a

Memindahkan vektor b sehingga pangkalnya berhimpitan dengan pangkal vektor a

Adaptif

Hal.: 30 VEKTOR

a

Move vector b, so the initial is join with

the initial of vector a











DE

AD

AE

_















v

u

u

v

2

1

2

1

Bagaimana dengan vektor EF ?

Adaptif Hal.: 32 VEKTOR

EXERCISE

SAMPLE











DE

AD

AE

_















v

u

u

v

2

1

2

1

How about vector EF ?









U

V

2

1

2

1











CF

EC

EF

 v  u

A

_B

C

D

F

E

Adaptif Hal.: 34 VEKTOR









U

V

2

1

2

1











CF

EC

EF

 v  u

A

_B

C

D

F

E

Selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan

lawan vektor b a - b = a + ( -b) b a Q b a -b S _T R P a a – b = a + (-b) = (-b) +a = PS + ST = PT = RQ

Adaptif

Hal.: 36 VEKTOR

The rest of vector a and vector b is vector c that get from adding vector a with vector b

a - b = a + ( -b) b a Q b a -b S _T R P a a – b = a + (-b) = (-b) +a = PS + ST = PT = RQ

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah vektor yang panjangnya |k| kali panjang vektor a dan arahnya adalah:

sama dengan nol jika k = 0

sama dengan arah vektor a jika k > 0

Adaptif

Hal.: 38 VEKTOR

The multiplication result of real number k with vector a is vector that the length |k| is multiplied by the length of vector a and the direction is:

Equal to zero if k = 0

Equal to the direction of vector a if k > 0 opposite the direction of vector a if k < 0

















































 

4

2

2

1

2

2

,

2

1

a

maka

a



a

2



a

Jika vektor

Adaptif Hal.: 40 VEKTOR

















































 

4

2

2

1

2

2

,

2

1

a

then

a



a

2



a

If vector

                                   9 6 3 2 3 3 , 3 2 a maka a  a  a 3

Jika vektor

Adaptif Hal.: 42 VEKTOR







































































 

12

9

6

4

3

2

3

3

,

4

3

2

a

then

a

 a  a 3

If vector

In the form of line

segment

gambar

pada

tampak

v

dan

u





Tunjukkan dengan gambar vektor







v

u

2

 u  v  u 2  v    v u 2

Adaptif Hal.: 44 VEKTOR

picture

in

shown

v

and

u





Show in vector picture







v

u

2

 u  v  u 2  v    v u 2

VEKTOR . . . ?

Secara aljabar, vektor dalam dimensi dua (R2_{) adalah} pasangan terurut dari bilangan real [x, y], dengan x dan y

adalah komponen-komponen vektor tersebut dan dalam dimensi tiga (R3_{) vektor adalah pasangan terurut dari} bilangan real [x, y, z], dengan x, y dan z adalah komponen-komponen vektor tersebut.

Secara geometri, vektor merupakan himpunan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menandakan ukuran besarnya, sedangkan arah anak panah menunjukkan arah vektor yang bersangkutan

Adaptif

Hal.: 46 VEKTOR

VECTOR . . . ?

In algebra, vector in two dimensional (R2_{) is orderly pairs} of real numbers [x, y], x and y is the components of those vectors and in three dimensional (R3_{) vector is orderly} pairs of real number [x, y, z] x, y and z is the components of those vectors.

In geometric, vector is a set of directed line segment. The length of directed line segment shows the size,while the arrow direction shows the vector direction

          1 1 1 y x p OP Z Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang Kartesius maka vektor =

P (x₁,y₁ )

X₁

y₁

Jika koordinat titik P(x₁, y₁,Z₁) maka vektor posisi dari titik P adalah:

        1 1 1 y x Z

disebut komponen vektor p

Vektor satuan dengan arah sumbu X, disebut dengan _

         0 01 i

Adalah vektor yang panjangnya satu satuan Vektor Satuan

Adaptif

Hal.: 48 VEKTOR

Vektor satuan dengan arah sumbu Y, disebut dengan           0 10 j           1 0 0 k

Adaptif

Hal.: 50 VEKTOR

Unit vector with the direction of Y axis is called

          0 10 j           1 0 0 k

Unit vector that have the same direction with Z axis is called

Jadi bila              1 1 1

z

y

x

p

Maka panjang vektor

p

adalah

2 1 2 1 2 1

y

z

x

p









Jika diketahui dua titik yaitu A (x₁, y₁,z₁) dan B (x₂, y₂, z₂)

Didalam ruang maka panjang AB dirumuskan sebagai berikut :

2 1 2 2 1 2 2 1 2

)

(

)

(

)

(

X

X

Y

Y

Z

Z

AB













Adaptif Hal.: 52 VEKTOR So, if              1 1 1

z

y

x

p

Then, the vector length is

p

2 1 2 1 2 1

y

z

x

p









Known two points A (x₁, y₁,z₁) and B (x₂, y₂, z₂)

In polyhedral, the length of AB is formulated as follows :

2 1 2 2 1 2 2 1 2

)

(

)

(

)

(

X

X

Y

Y

Z

Z

AB













Dalam Bentuk Koordinat O a b A B P n m p

n

m

nx

mx

x

_P B A







n

m

ny

my

y

_P B A







n

m

nz

mz

z

_P B A







Jika titik P terletak pada ruas garis AB maka dapat dinyatakan:

RUMUS PEMBAGIAN

 Dalam Bentuk Vektor

n

m

a

n

b

m

p







Adaptif

Hal.: 54 VEKTOR

In the form of coordinate

O a b A B P n m p

n

m

nx

mx

x

_P B A







n

m

ny

my

y

_P B A







n

m

nz

mz

z

_P B A







If point P is in line segment AB then it can be stated:

Division formula

 In the form of vector

n

m

a

n

b

m

p







Perkalian skalar dari dua Vektor Jika            1 1 1 z y x a            2 2 2 z y x b  dan

Hasil kali skalar dua vektor dan adalah_a _b

 2 1 2 1 2 1

.

.

.

.

b

x

x

y

y

z

z

a











Adaptif

Hal.: 56 VEKTOR

Scalar multiplication from two vectors If            1 1 1 z y x a            2 2 2 z y x b  and

The multiplication result of two vectors and is_a _b

 2 1 2 1 2 1

.

.

.

.

b

x

x

y

y

z

z

a











Hasil kali skalar dua vektor a dan b jika keduanya membentuk sudut tertentu didefinisikan:

a.b = Cos 

dimana  :sudut yang diapit oleh kedua vektor a dan b

Besar sudut antara vektor a dan vektor b dapat ditentukan dengan:

a b

2

3

2

2

2

1

.

2

3

2

2

2

1

3

.

3

2

.

2

1

.

1

.

.

a

cos

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b



















Adaptif

Hal.: 58 VEKTOR

The multiplication result of two vectors a and b. If both of them make certain angle. It is defined:

a.b = Cos 

where  :the angle between vector a and b

The angle between vector a and b can be determined by:

a b

2

3

2

2

2

1

.

2

3

2

2

2

1

3

.

3

2

.

2

1

.

1

.

.

a

cos

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b



















Perkalian Silang Dua Vektor

Hasil perkalian silang dua vektor dan didefinisikan :

a



b

   a .b .sin b x a    

Bila Vektor dan Vektora  x₁i  y₁ j  z₁k b  x₂i  y₂ j  z₂k



Maka perkalian silang dua vektor dirumuskan sebagai berikut :

k y x y x j z x z x i z y z y b x a      ) ( ) ( ) ( _{1 2}  _{2 1}  _{2 1}  _{1 2}  _{1 2}  _{2 1} 

Perkalian silang dua matriks bisa juga diselesaikan menggunakan Determinan 3x3 dengan cara Sarrus

b

 axb

a bxa

Adaptif

Hal.: 60 VEKTOR

The cross product of two vectors

The cross product of vector and is defined:

a



b

   a .b .sin b x a    

If vector and Vectora  x₁i  y₁ j  z₁k b  x₂i  y₂ j  z₂k



Then the cross product of two vectors are formulated as follows:

k y x y x j z x z x i z y z y b x a      ) ( ) ( ) ( _{1 2}  _{2 1}  _{2 1}  _{1 2}  _{1 2}  _{2 1} 

Perkalian silang dua matriks bisa juga diselesaikan menggunakan Determinan 3x3 dengan cara Sarrus

b

 axb

a bxa