Penyelesaian Mixed Integer Programming Dengan Menggunakan Metode Branch And Bound.

PENYELESAtA.N

M

IXED

INTE{; ER PROGRAM

M

ING

DENGAN

F{ENCGUNAhAN

II{ETODE ERANCH

AND BO(JND

TESIS

Oleh:

MULYANI.A

06 21s 04?

)i .:.:

': i ii .." i, ..

?i :i

i,1:

tt'

i.. 1i,

(r

\T

P

ROG

EEA

El

PA

SCASARJAI{A

Penyelesaian Mixed Integer Programming

Dengan Menggunakan Metode Branch And Bound

Oleh: Mulyadi.A

(Dibawah bimbingan Dr.Muhafzan, M.Si, dan Haripamyu, M.Si)

RINGKASAN

Dalam permasalahan optimisasi selalu

dituntut untuk

memaksimalkan atau

meminimalkan sebuah besaran tertentu, yang disebut dengan fungsi tujuan objektif.

Fungsi

tujuan objektif

ini

bergantung pada sejumlah variabel masukan (entering

variabel),

melalui

satu atau lebih

kendala (atnstraints').

Model

trntuk merepresortasikan pennasalahan tersebut

di

atas dinamakan

dengan

program linier

(linear programming).

Integer programmir+g adalah bentuk lain dmi program

linier

dengan variabel

keputusan dibatasi integ,er,

mixed

integer

atau zero-one.

Dalam

menyelesaikan

masalatr integer

programmilg,

dapat digrrnakan beberapa metodg antara lain metode Branch and Baund, metode Cutting Plane dan metode Balas.

Tujuan dari penelitian

ini

adalah,

jika

diberikan masalah perencanaan linier

maksimumkan

z

=clrr+C2x2+.'.+CnNn

dengan kendala

4,,x,_{t] I}

aztxt

a

.x.

+ +

atzxz

Qzzxz

a

^x^

a.x

4znx,

ax

b1

b2

;_

+

Bagaimana menyelesaikan permasalahan

di

atas yang variabel keputusannya

merupakan mixed integer, dengan menggunakan metode Braru ch and Baund.

Untuk mencapai tujuan

im,

beberapa tinjauan pustaka yang berkaitan dengan

permasalahan perencarliuul linier mixed integer, seperti sistim persam:ran linier,sistem pertidaksamaan

linier,

matriks, eliminasi Gauss-Jordan, masalah perencaruum linier,

metode simpleks, masalah perencanffm lirner integer dan metode Branch and Bound .

Dalam metode Branclt and Baund

nilai

optimat sebuah fungsi tujuan

objektif

diperoleh melalui beberapa tahap, yaitu : Branching Bounding dwt Fathoming

Dari hasil penelitian diperoleh kesimpulan bahwa penyelesaian masalah mixed

integer prograrnming dapat dilakukan dengan menggunakan metode

Branch

and

Bound.

n1

FffiFIT"1

BAB

I

PENDAHULT]AN

1.1

Latar

Belakang Masalah

Dalam permasalahan optimisasi selalu

dituntut untuk

memaksimalkan atau

meminimalkan sebuah besaran terlentu, yang disebut dengan fungsi tujuan objektif.

Fungsi

tujuan objeldif

ini

bergantung pada sejumlah variabel masukan (entering variabel), melalui satu atau lebih kendala {constraints}. Model untuk

merepresentasi-kan

permasalahan

tersebut

di

atas

dinarnakan dengan

program

linier

(linear programming).

Dalam program

linier

variabel keputusan dan kendala dibatasi bilangan nyat4

rulmun seringkali suatu keputusan menginginkan variabel berupa bilangan bulat agar keputusan menjadi

realistih

misalnya

jika

variabel keputusan hasil produksi suatu

pabrik

berupa

sepatu alau makanan

kalurg.

Janggal rasanya kalau suatu keputusan

suatu produksi menghasilkan 20,7 pasang sepatu atau 40,3 makanan kaleng, tetapi akan

.lebih terasa realistik

jika

pabnk tersebut menghasilkan 21 pasang sepatu atau 40 kaleng

rnnkanan

kaleng.

Untuk

menyelesaikan permasalahan

ini

digunakan

integer

raErammingyang merupalcan bentuk lain dari program linier.

Integer programming dapat dipergunakan untuk menyelesaikan permasalahan

;ilrrk

Ee'

linear

programming

dan integey non-linear

pragramming.

Integer

linear

w":,zrswnins adalah integer prograrntning dengan fungsi tujuan dan kendala berupa gum'iafsarnaan

linier,

sedangkan

integer non-linear programming adalah integer

pnurrrrvning dengan fungsi tujuan dan kendala berupa pertidaksamaan non-linier.

Fs'm,realahan integer linear programmirtg mencakup permasalahansemua

mglo--

E::ed integer dar permasalahan zero-one. Permasalahan semua integer adatah

k€putusan berupa bilangan integer. Permasalahan mixed integer adalah permasalahan

nrcger

linear programming dengan kendala dibatasi bilangan

integer

dan sebagian

ruiab€l

keputusan berupa bilangan infeger. Sdangkan permasalahanz€ro-one adalah

permasalalmn integer linear programming dengan variabel keputusan safu dan nol.

Terdapat beberapan metode

untuk

menyelesaikan masalah

integer

linear programming, Dengan metode-metode

ini

nanti akan

dibuat

batasan-batasan khusus

1mg akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier untuk bergerak

ln rah

pemecahan

integer,

mixed integer atau zero-one yang diinginkan.

Metode-mode

rru adalatl metode Branch and Bound, metode Cutting Plane dan metode Balas.

Iba

metode-metode yang adq untuk menyelesaikan integer pragramming dengan

gdd

keputusan berupa integer dan mixed integer hanya dapat digunakan metode

lmm

ad

Boutld dan rnetode Cutting Plane.

Ddam

metode Branch ancl Bound penyelesaian tnteger

utw

mixed integer

fmH

dqan

melakukan pencabangan pada penyelesaian

yang

bukan integer

eLiEEr

_{did4atkan batas bawah atau batas atas yang optimal dari suatu permasalahan} integer. Sedangkan dalam metode CuttingPlane dlbuat kendalatambahan

ilg

tsrg

daerah penyelesaian _.vang layak dari masalah perenmnaan integel atail

-drqger.

sdringga dapat mengeliminasi penyelesaian yang bukan integer. Proses

[ren

pada daeratr penyelesaian

yang layak

ini

terus berlangsurg sehingga

{f"H

penr-elesaian _1'ang diinginkan.

,llk-r

Mesalah

l

rhui masalah perencanaim

linier

integer sebagai berikut

Errra

fimgsi objektrf

dengan kendala

arrxt

a^.x.

:

a

_mtl.x.

atzxz

a^^x^

i

Q*zXz

atrxo

a^x

:

a-oxo

+

+ +

+ +

+

Bagaimana menyelesaikan permasalahan

di

atas yang variabel keputusarmya

merupakan mixed integer, dengan menggunakan metode Branch ond Bound.

13 Tujuan

Penelitian

Tujuan

dari

penelitian

ini

adalah untuk menentukan

nilai

optimal

dari

suaiu fungsi objektif dalam progmm linieryang variabel keputusannyabemilai mised integer

dengan menggunakan metode Brsnch and Bound.

1.4 Manfaat Penelitian

Diharapkan penulisan

ini

dapat memberikan surnbangan pengetahuan baik

kepada

penulis sendiri

maupun

bagt

pembaca

dalam

menyelesaikan masalah

BAB

V

KESIMPULAN

DAN SARAN

5.1

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa metode Branch and

Bound

dapat digunahan

untuk

menentukan penyelesaian

optimal dalam

masalah

perencanaan

linir'r

mixed

integer.

Dengan menggunakan metode Branch and Bound

dapat ditelusuri proses pencabangan subpersoalan sehingga penyelesaian optimal dapat

ditentukan.

5.2

Saran

Adapun saran yang dikemukakan sehubungan dengan penelitian ini adalah :

Penggunaan metode Branch and Bound dalam menyelesaikan masalah perencanaan Iinier mixed integer membutuhkan waktu yang panjang maka diharapkan penelitian

selanjutnya

dapat

rnenggunakan

metode

lain

dalam

menyelesaikan masalah

perencanaan

linier

mixed integer

untuk

mengefisienkan

waktu

dalam menentukan

34

DAFTAR PUSTAKA

Anton,

H.

1987.

Elementary Linear

Algebra Fifth

Edition.

Anton Textbooks Inc.

New.York.

Aprilia,

S.

2005.

Aplikasi algontma Branch and Bound untuk menyelesaikan Integer Programming Lab

Ilmu

dan Rekayasa Komputasi. Departemen Teknik Informatika ITb.

Bronson, R. 1996. Teori dan Soal-soal Operations Research. Erlangg4 Jakarta

Dimyati,T.T.

Dimyati,A.

1994. Operation

Research

Model-model

Pengambilan Keputusan. Sinar Baru Algensindo. Bandung.

Friedberg,

S.H.

Insel.1986. lntroduction

to

Linear

Algebra

xith

Applicafions Prentice-Hall. Nen' Jersel .

Hillier,

F.

S.

Liebermen. 2001. Introduction To Operarion Research Serenth

E$n:'n

Mc

Gret-Hill Inc

\err

\-ork

Leon,

S.J.

1998

.{ljabar

Ltnrer

l::

\:.--.'..-:r'"'

Ei:s:

KaL:::l

Pens::

E.-"mgun

Jaloarta-Noble, B. 1988. AppireC

L,:e":

r.

.:::,

l_---:

::::n

Pmr;*i*ruL

\fih

.lssdir Pedregal,

P.

2m-+.

[ntrsJ;;t.::,:-

'-T.,-*-

.---

:i

srnrys-\snru

\sn

l

lrmn i!ilr

Ne*

YorL

Rao, S.S. 1995. Optrrruzation

The..T

::::

{::l-;.i:l;x'r*<

\*

-lge

tmrmm:nu

T-Publishers.

Ne*

Delhr

SimarmataA.

1985. Operations Research Sebuah Penganw

Tehnik-telrul

Crri.:::rx;

kuantatif dan Sistim-sistim Operasionai Gramedra Jak.afla

Strang,

G,

1976. Linear Algebra and Its Aplication. The Publisher. L SA

Supranto,

J.

20A6.

Riset

Operasi

Untuk

Pengambilan Keputusan-

Edisi

Rerisr.

Universitas Indonesia. Jaliarta.

Tahao

H.A.

2005.

Riset Operasi Suatu Pengantar. Edisi Jakarta

.

.::i'

:

;:1iPt;;p.ri:: i..,r*K

iqAl.i

-,,rj.lgy"g$S

r

Tii

_{#. Ai,r}

r*

_L