SOAL LATIHAN Pra-Test Olimpiade Matematika2007

(1)

SOAL LATIHAN

Pra-Test Olimpiade Matematika2007

Written by : N4S4

1. Diketahui T= √ - √√ √√ √√ √√, maka… a. T<1 b. T=1 c. 1<T<2 d. T>2 e. 3 √8√8 √7√7 √6√6 √5√5 √4

2. Jika P adalah hasil kali dari n bilangan yang membentuk barisan geometri, S merupakan jumlah

dari n bilangan tersebut dan S’ adalah jumlah dari kebalikan masing-masing bilangan, maka nilai P dinyatakan dalam S,S’ dan n adalah..

a. b. ! " c. d. e.

3. Dua orang melakukan olahraga pagi di track yang berbentuk lingkaran.Orang pertama berjalan

dengan kecepatan 5 m/s dan yang kedua 9 m/s.Mereka berangkat dari titik dan waktu yang sama,tetapi berbeda arah. Mereka berhenti setelah bertemu kembali dititik A,yaitu titik dimana mereka berangkat bersama.Berapa banyak mereka bertemu (tidak termasuk) pada saat

berangkat dan selesai?

a. 13

b. 25

c. 44

d. Tak hingga banyak

e. Tak ada yang benar

4. Misalkan # dan # dengan #$ # dan 3#_% &#_% ' untuk i = 1,2 .Nilai x1+x2 adalah..

a. ( b. ( c. ) d. 2b e. )

5. Sekelompok bilangan positif memuat bilangan 68 mempunyai rata-rata 56.Jika bilangan 68

dibuang,maka rata-rata bilangan menjadi 55.Tentukan bilangan tebesar yang dapat muncul dalam kelompok tersebut.

a. 520

b. 565

c. 594

d. 649

e. Tidak ada yang benar

6. Jika Z menyatakan himpunan bilangan bulat dan f:Z Z dengan sifat f(n)=n-3 untuk n>999 dan

f(n)=f(f(n+5)) jika n<1000. Tentukan f(84):

a. 997

b. 998

c. 999

d. 1000

7. Suatu ujian terdiri dari 30 soal pilihan ganda.Seorang peserta menjawab benar sebanyak m

pertanyaan, menjawab salah sebanyak n (tidak menjawab sebanyak 30-m-n) dan memperoleh nilai 30+4m-n.Seorang peserta memperoleh nilai N.Berdasarkan nilai N ini kita dapat

menentukan banyaknya berapa banyak peserta tersebut menjawab pertanyaan dengan hasil yang benar, tetapi hal ini tidak benar untuk untuk nilai M yang memenuhi 80<M<N. Tentukan nilai N

(2)

a. 117

b. 118

c. 119

d. 120

8. Berikut ini adalah bilangan real : x,y,z,w yang memenuhi : _"*"_"_"+"_"_"," _"_"-"_"=1 ,

untuk n=2,4,6,8 tentukan nilai x2+y2+z2+w2

a. 16

b. 25

c. 36

d. 49

9. Barisan bilangan bulat a1,a2,a3,…memenuhi an+2=an+1-an untuk n>0. Jumlah dari nilai suku

sebanyak 1492 adalah 1985, jumlah dari nilai suku sebanyak 1985 adalah 1492 tentukan jumlah dari 2005 suku:

a. -777

b. -888

c. -999

d. -1010

10. Bilangan bulat positif A,B,C,D memenuhi . /, 1 2 dan C=A+19,carilah D-B

a. 823

b. 759

c. 577

d. 757

11. Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang sisi 6√2. Garis EF sejajar dengan persegi dan

mempunyai panjang 12√2.Sisi BCF dan ADE merupakan segitiga sama sisi. Hitung volume dari

benda ABCDEF. a. 18√2 b. 72 c. 72√2 d. 288 e. 288√2

12. Hitung nilai minimum 5*_{* % *}"6%"*7dengan 0 : # : ;

a. 12

b. 13

c. 14

d. 15

13. Diketahui 5 bilangan a,b,c,d,dan e sehingga a+b+c+d+e=8 dan < ' = > ? 16

tentukan nilai terbesar yang mungkin e:

a. 16/5

b. 2

c. 8

d. 6/5

14. Tentukan nilai minimum |# A| |# 15| |# A 15| jika x memenuhi A B # B

15 dengan 0 < p < 15 :

a. 0

b. 15

c. -15

d. 30

(3)

15. Pada gambar (tak diskala), Benda I dan III adalah segitiga sama sisi dengan luas masing-masing

32√3 dan 8√3 =C_{. Benda II adalah persegi panjang dengan luas 32 cm}2

, Jika panjang AD

menyusut sebanyak 12

%, tetapi panjang AB dan CD tetap tidak berubah demikian pula

bentuknya.Berapa persen berkurangnya luas daerah persegi?

a. 12,5

b. 25

c. 50

d. 75

e. 87,5

16. Diketahui persegi ABCD dan CMN adalah segitiga sama sisi. Jika luas persegi adalah 1 cm2, maka

luas segitiga CMN adalah:

a. 2√3 3 b. 1 √ c. √ d. √ e. 4 2√3

17. Titik sudut segiempat ABCD terletak pada lingkaran dengan sisi AD sebagai garis tengah

lingkaran dan panjangnya 4, Panjang sisi AB dan BC adalah 1,maka sisi CD mempunyai panjang

a. b. √ c. √11 d. √13 e. 2√3 18. Nilai √7√ E7√ , adalah a. √ b. 1 c. √ d. e. ₅

19. Jika x menyatakan bilangan real dan 4F 4#F # 6 0 , maka nilai x yang mungkin agar y

merupakan bilangan real adalah

a. # B 2 atau # G 3

b. # B 2 atau # G 3

c. # B 3 atau # G 2

d. 3 B # B 2

e. 2 B # B 3

20. Misalkan m menyatakan bilangan bulat positif serta garis 13x+11y=700 dan y=mx-1

berpotongan dititik yang koordinatnya bilangan bulat.Tentukan banyaknya kemungkinan nilai m

a. Hanya ada 4 nilai

b. Hanya ada 5 nilai

c. Hanya ada 6 nilai

d. Hanya ada 7 nilai

(4)

21. Diketahui HIJ K

L

HIJ )

M

HIJ N

O log # dan # $ 1. Jika

)" KN #+,maka y =… a. M" L7O b. L7O_M c. 2q-p-r d. 2q-pr e. q2-pr 22. Misalkan m=10 32422 324 S 34 324 S 46 32458 324 dan n=4 32416 324 S 28 324 S 40 32452 324hitung m/n? a. 373 b. 337 c. 733 d. 573

23. Pada gambar, dua persegi berada di dalam suatu segitiga siku-siku.Luas persegi yang pertama

adalah 441 dan luas persegi yang kedua adalah 440, hitung jumlah dua sisi terpendek dari segitiga siku-siku

a. 2.3.72

b. 2.5.7.11

c. 2.3.7.11

d. 2.3.112

24. Diketahui bilangan real #, #, #, … , #_U yang semuanya berbeda.Pertama kita bandingkan x1

dan x2. Jika x2 < x1 maka kita tukar urutannya yang lebih kecil diletakkan didepan.Selanjutnya

bilangan kedua dan ketiga dibandingkan dan ditukar urutannya jika yang berikutnya lebih kecil

nilainya, demikian seterusnya sampai membandingkan x39 dan x40, kita tukar jika yang terakhir

lebih kecil. Jika barisan diatas disusun secara random, berapa peluang x20 akan berhenti sebagai

suku ke 30?

a. 1/31

b. 1/30

c. Tak ada yang benar

d. 1/900

e. 1/930

25. Diketahui persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik A’,B’,C’,D’ berada di sisi AB,BC,CD,DA

sehingga VVW VX XXW XY YYW YZ ZZW ZV

. Garis A’C dan AC’ serta BD’ dan B’D membentuk persegi

dengan luas . Tentukan n a. 31 b. 32 c. 33 d. 34

26. Tentukan nilai k terbesar sehingga 3 merupakan penjumlahan k bilangan positif berurutan

a. 2.34

b. 34

c. 35

d. 2.35

(5)

27. Berapa banyak bilangan di 1,2,3,…,1000 yang dapat dituliskan dalam bentuk [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ untuk suatu bilangan real x? Catatan[F\ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan y

a. 785

b. 790

c. 795

d. 800

28. Misalkan f(n) adalah nilai dari pembagi bersama terbesar dari bilangan 100 ] dan

100 ] 1_{untuk n=1,2,3,… Berapa nilai maksimum f(n)}

a. 41

b. 401

c. 104

d. 410

29. Seekor semut berjalan di sepanjang sisi bidang empat beraturanABCD dengan panjang sisi 1.

Semut mulai dari titik A dan setiap sampai di titik sudut, semut memilih secara acak. Dengan demikian semut mempunyai peluang 1/3 untuk kembali ke sisi semula dia datang dan juga mempunyai masing-masing peluang 1/3 untuk memilih salah satu sisi yang lain.Carilah peluang setelah ia berjalan sepanjang 7 satuan panjang ia akan kembali ke A kembali.

a. 61/243

b. 187/729

c. 542/2187

d. 1645/6561

30. Jari-jari lingkaran terkecil yang dapat memuat 3 persegi satuan yang telah disusun sehingga

mempunyai bentuk simetri (lihat gambar) adalah

a. √2

b. E1,25

c. 1,25

d. √

(6)

Kunci Jawaban:

1 Jawab : B T = √5√ √√ √√ √√ √√ b c 9 8 √9 √8 8 7 √8 √7 d 5 4 √5 √4 b c √9 √8 √8 √7 d √5 √4 b c √9 √4 3 2 1 2 Jawab : B

< <e <e_{d <e}KO!

O

f <. <e. <e_{… <e}_<_e

K KO KO" d _KO!gh _K1 _O_O" d _O!gh _Kij!h h_jk K. O O!O ! O KO!ghO ! O W KO ! O . <e. O O! <e f <_e!!gh_" _<_e!_" W ! " 3 Jawab : E

Misalkan keliling lingkaran adalah K maka: Jika t=0 : start

t 1= waktu saat bertemu ke-1

Maka l m

75

m

K 14.t1 (jadi bertemu ke 14 akan berada di tempat start)

4 Jawab :B 3#% &#% ' i = 1,2 i = 1 maka 3# &# ' 0 # (p√("7) ……….(1) i = 2 maka 3# &# ' 0 # (p√("7) …………..(2)

Dari persamaan (1) dan (2)

# # & p √&

_12'

6 & p √&

_12'

6

&_{6 p}√& 12'₆ &_{6 p}√& 12'₆

(7)

5 Jawab :D

56n = 55 (n-1)+68 56n = 55n – 55 +68 n= 13

i bilangan adalah 68 ii bilangan bisa jadi adalah 1

Maka maksimal 1 bilangan lagi adalah : 56.13 – 68 - 11 = 649

6 Jawab :A f (n) = n-3 ] G 1000 f (n) = f(f(n+5)) n < 1000 f (999) = f (f(1004)) = f (1001) =998 f (994) = f(f(999) = f(998) = f(f(1003)) =f(1000) =997 f (K.10+4) =f(84) ; q B r ; q B 100 Jadi f (84) = f (994) = 997 7 Jawab :C

Jika jawab yang benar adalah 30-k

Maka kemungkinan nilai adalah 30+4(30-k)-n=150-4k-n Dengan n = 0,1,2,…,k

Tetapi bilangan 118,117 muncul 2 kali jadi N = 119

8 Jawab : C

Kita ganti n dengan t maka:

*" s" + " s" , " s" -" s" 1

Samakan penyebutnya maka akan diperoleh :

#_{l 3}_{l 5}_{l 7}_F_{l 1}_{l 5}_{l 7}_t_{l 1}_{l 3}_{l 7}

u_{l 1}_{l 3}_{l 5}

Persamaan ini mempunyai akar 22,42,62,82 selanjutnya

l₁₃₅₇_#_F_t_u_l_d

Karena itu jumlah akar sama dengan:

2₄₆₈ ₁₃₅₇_#_F_t_u_dan #_F_t_u₂₄₆₈₁₃₅₇_{= 36} 9 Jawab : C an+2 = an+1-an an+1 = an - an-1 + an+2=-an-1 an+2 + an-1 = 0 an+3+an=0 S1492 = 1985 ba1+a4+a7+…+a1492 a4+a7+…+a1492=0 +a2+a5+…+a1490 0 +a3+a6+…+a1491 0 + 1985 v < 1985

(8)

S1985 = 1492 ba1+a4+a7+…+a1984 a1+0 +a2+a5+…+a1985 a2 +a3+a6+…+a1983 0 + 1492 v < < 1492 1985 < 1492 < 493 S2005 = a1+a4+…+a2005 0 +a2+a5+…+a2003 a2 +a3+a6+…+a2004 a3 + ? a3 = a2 - a1 v S2005 = a3 + a2 = a2 +a2 - a1 = 2.a2 - a1 =2.1492 - 1985 = 999 10 Jawab : D ._/ A = Xw Vw ; A bilangan kuadrat 1₂_sehingga₁ Z" Y" ; C Bilangan kuadrat 1 . 19 terjadi C=100 ; A = 81 ._/ ₂₌₁ 3_/ ₂₁₀ x yz _{|y _{D = 1000} } x ~z7 11 Jawab : D AB = BC = CD = DE = 6√2 ; EF = 12√2

Karena sisi BEF dan ADE sama sisi dengan panjang 6√2

Maka EH = GF = 12√2 6√2 3√2

Volume = V ABCDHG + VBCGF +VADHE

/ √/ _{1
√/}_/ 6√2 3√2 54 3√2 √72 18 √54 = √36 = 6 VABCDHG = . 6√2. 6.6√2 = 216 VBCGF = . /1. .. = . 6√2. 6. . 3√2 =36 VADHE = VBCGF = 36

Volume = V ABCDHG + VBCGF +VADHE

= 216+36+36 = 288

(9)

12 Jawab : A

# 5*"_*.6%*.6%"*7

*5 *75* N6 **".6%"* *7* I * *"_.6%"_*

0 9sin # # = ##_{. ]}_{# 4sin # # cos #}

9sin # # = ##_{. ]}_{#
4sin # # cos #}

#_{. ]}_# 5 # sin # # 5* *_*.6%*"7 5" " 7 " 5.w7 " 12 13 Jawab : A

a+b+c+d+e=8_{, maka a+b+c+d=8-e}

a2_+b2_+c2_+d2_=16-e2 <_'₌_>_{4 G < ' = >} 16 ?_{4 G 8 ?} 64-4?G64-16e+? 16eG5? ? B16₅ 14 Jawab : B |# A| |# 15| |# A 15|………….(1) b |# A| |# 15| |15 # A| B |# A # 15 15 # A| = |#|

Minimum terjadi saat x=p yakni |# A| 0

Jika terjadi saat (1) = |# 15| 15

Saat x=15 maka (1) = |15 15| 15 15

15 Jawab : D

I. Luas segitiga =

√3 32√3 (s1 adalah sisi segitiga 1)

64 dan 8√3

III. Luas segitiga = 8√3 . . 2√3 s3 adalah sisi segitiga 3

32 = sehingga 4√2 ; II √32 4√2

Maka AD = 16√2

Setelah dikurangi 12,5 % AD berubah menjadi 14√2

Panjang BC = 14√2 12√2 2√2 Jadi penyusutan : 100% - √ " √" = 100% - 25 % = 75 % 16 Jawab : A Perhatikan ∆ ANM , r 1 # 1 # = 2# 4# 2…………(1) ∆ NBC , r1 1 # = 1 # ……..(2) Karena NM = NC maka 2#_{4# 2
1 #} #_{4# 1
0}

(10)

#, p√ 2 p √3

# 2 √3 tidak mungkin karena x<1

# 2 √3 mungkin

Luas ∆ MNC = Luas ABCD-(Luas NBC+Luas DCM+Luas AMN)

= 1 # # 1 # = 1 # 1 2# # = 1 # = 2 √3 = 4 4√3 3 = {√y y 17 Jawab : A Layang-layang AOBC L AOBC = . e. .1 = . 2. .1 .1 …….(1) L AOBC = 2. . √15 = √15………….(2) L∆ AOB = 2 1 = . . √15 Dari (1) dan (2) AC = √15 .1 . 15 12_.2_.1 16 = 5 CD ~ { 18 Jawab : D √7√ E7√ < √2 √6 < E2 √3 √2 √6 < E2 √3 52 2√12 6 <E2 √3 58 4√3 <2 √3 5 2 √3 <2 √3 5 .7√7√ < < 5 b <

(11)

19 Jawab : A

4F_{4#F # 6
0 adalah persamaan kuadrat dalam y dengan a = 4; b=4x dan c=x+6. Agar}

y real haruslah 2 G 0 2 '_{4<= G 0} = 4# 44# 6 G 0 = 16# 16# 166 G 0 = # # 6 G 0 Pembuat nol (x-3)(x+2)=0 x= 3 x=-2 +++ --- +++ -2 3

Agar y real maka # B 2 atau # 3

20 Jawab : A

13x+11y=700 dan y=mx-1 berpotongan 13x+11(mx-1) = 700

13x+11mx-11 = 700

(13+11m) =

*

# ₇ karena x bilangan bulat maka 13+11m haruslah factor dari 711 711 9 S 79

Misalkan 13m+11 = 9 (tidak mungkin) 13+11m = 79

11m = 66 m = 6 dan x=9 Misalkan 13+11m = 711

11m = 689 vm tidak merupakan bilangan bulat

Kesimpulan hanya ada 1 solusi.

21 Jawab : C Log a = p log x Log b = q log x …….(1) Log c = r log x )" KN #+ log )_KN" log #+

Log b2-log ac =y log x

2 log b –log a-log c = y log x …………..(2) Subtitusikan persamaan 1 ke persamaan 2 2q log x-p log x-r log x = y log x

(2q-p-r)log x = y log x 2q –p-r =y 22 Jawab : A Misalkan m = 10 32422 324 S 34 324 S 46 32458 324 n= 4 32416 324 S 28 324 S 40 32452 324 Perhatikan : < 4'_<_4<_'_4'_4<_' <_2'_2<' <_{2<' 2'}_<_{2<' 2'}_{………….(1)} 324 4. 3_sehingga

(12)

<_{324
<}_{4. 3}

<_{2. 3}_{2. <. 3<}_{2. 3}_{2. <. 3}

<_{6< 18<}_{6< 18}

<< 6 18<< 6 18 ……..(2)

Dengan menguraikan setiap suku dari m dan n menurut (2) dan melakukan pembagian m/n, nanti akan ada suku-suku yang saling menghilangkan,dan menyisakan :

58.64 18

2.4 18 373010 373

23 Jawab : C

Dengan P,UQ,A,V menyatakan luas daerah

Karena A dengan luas P sebangun dengan A luas Q dan A dengan luas U sebangun dengan A

luas V maka : _U

Diketahui juga bahwa P+U+441 = Q+V+A +440

Misalkan L menyatakan luas seluruh segitiga, maka L = 441 A

Artinya sisi segitiga dengan luas A adalah dari sisi segitiga besar dengan luas L

Sisi miring dari segitiga besar adalah √440 S 21

Jika tinggi dari sisi miring itu dimisalkan t maka l s

√440

Jika dimisalkan panjang kedua sisi yang pendek dari segitiga besar masing-masing adalah a dan b maka : ab = √US " U 22 S 21 dan <_'_{440 S 21} < '_<_'_{2<' = 440.21}2 + 2.22.212 = 212(440+2.22) = 212.222 dan a + b = 21.22 = 3 x 7 x 2 x 11 24 Jawab : E

x20 dapat menempati posisi 30 atau lebih jika x20 adalah bilangan terbesar dari x1, x2, x3,…,x30.

Agar x20 tidak menempati posisi 31, maka haruslah x20 < x31. Probabilitas x31 merupakan yang

terbesar dari x1,…,x31 adalah

. Probabilitas x20 yang terbesar dari x1,…,x30 adalah

U

Sehingga probabilitas x20 menempati posisi 30 adalah : _U S _5U

25 Jawab : E AB=BC=CD=DA=1 VV VX XX XY YY YZ ZZ ZV Luas EFGH = AA’=BB’=CC’=DD’= . 1= EG=FA = A’A = Luas EFGH = .. _" 2]₂₁₁₃ ] 26 Jawab : D

Misalkan bilangan-bilangan itu adalah N+1,N+2,…,N+k sehingga

(N+1)+(N+2)+…+(N+k)=3 ………….(1)

Dapat ditunjukkan bahwa

(13)

Dari (1) dan (2) diperoleh : 77

3

Atau: 2r 1 2. 3 ………..(3)

Karena semua bilangan harus positif maka N>0 Diketahui k<(2N+k+1) ……….(4)

Dari (3) dan (4) diperoleh :

_{: 2. 3}

Atau : √2. 3

Dari (3) diketahui kalau k harus membagi 2. 3 …….(5)

Nilai k terbesar yang memenuhi (3) dan (5) adalah 2.35

27 Jawab : E

Kita lihat dari nilai yang terkecil:

0 : # B [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 0 B # : [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 1 B # : [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 2 B # : [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 4 B # : [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 5 B # : [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 6 # [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 10 : # : [2#\ [4#\ [6#\ 8# 2. # 4. # d 8. # =[1 2#\ [2 2#\ [3 3#\ [4 4#\ =10 [2#\ [3#\ [4#\

Jadi banyak bilangan = 600

28 Jawab : B

] A[100 ] 1_{. 100 ]}_\

Analisa 1 : fpk akan maksimum jika salah satu bilangan merupakan pembagi dari yang lain.

Misal : < 100 ] 1 b<a ' 100 ] Periksa apakah K ) UU7"₇₇ UU7" = 1 _UU77"

karena100 ] tidak mungkin membagi 2n+1 maka a/b tidak bulat.

Analisa B : pakai alogritma Euclide

100+] +2n+1 = (100 ] 2] 1 ]₁₀₀ 2] 1 100 Misalkan 100 0 maka ] 2] 1 100 n= 200 ] 2200 1 401 29 Jawab : E

Kita anggap titik-titik lain selain A adalah X, rute yang mungkin ditempuh adalah : XXXXXXA XXXXAXA XXXAXXA XXAXXXA XAXXXXA XXAXAXA XAXXAXA XAXAXXA

(14)

Untuk rute dimana hanya ada satu A : XXXXXXA . . . . . . 5 Rute 2A: . . . . . . Rute 3A : . . . . . . Jadi : 5 4. 3. = 5 5 5 5 5 30 Jawab :C

AC adalah diameter yang akan dicari

.1₂ 4 5 .1 Jari-jari = . 1,25

Soal dan solusi lathihan pra olimpiade matematika dikeluarkan oleh Lembaga Olimpiade pendidikan Indonesia tahun 2007

(15)