Ukuran Kemiringan dan Keruncingan Data Isna Nur Azizah B2A018009

Lembar Tugas Metode Statistika

Menghitung Ukuran Kemiringan dan

Keruncingan pada Data Tunggal dan Data

Kelompok

Disusun oleh :

Nama : Isna Nur Azizah

NIM

: B2A018009

PROGRAM STUDI S1 STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SEMARANG

1.

UKURAN KEMIRINGAN (SKEWNESS)



Ukuran kemiringan kurva merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data.Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data,yaitu :

A.

KOEFISIEN KEMIRINGAN PEARSON



Nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku.

RUMUS

:

1. Kurva positif,yaitu apabila rata-rata hitung (mean) > modus atau nilai tengahnya (median).

B.

KOEFISIEN KEMIRINGAN QUARTIL (BOWLEY)



Koefisien kemiringan bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi.

RUMUS

:

C.

KOEFISIEN KEMIRINGAN PERSENTIL (BOWLEY)



Koefisien kemiringan bowley berdasarkan pada hubungan persentil dari sebuah distribusi.

RUMUS

:

D.

KOEFISIEN KEMIRINGAN MOMEN

Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lain yang disebut dengan momen.

Momen juga dapat digunakan sebagai cara untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap distribusi dat dalam suatu variabel.Momen dapat ditulis “Mr (Momen ke-r)”.

2.

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA

Kriteria untuk mengetahui model distribusi

dari koefisien kemiringan :

1. Jika koefisien kemiringan < nol,maka bentuk

distribusinya negatif (ekor bagian kiri lebih panjang)

2. Jika koefisien kemiringan = nol,maka bentuk

distribusinya simetrik

RUMUS

:

3.

UKURAN KERUNCINGAN (KURTOSIS)



Ukuran keruncingan merupakan derajat kepuncakan dari suatu distribusi,biasanya siambil reelatif terhadap distribusi normal.

1. Jika

a₃

_{= 0,maka distribusi datanya simetris.}

2. Jika

a₃

_{< 0,maka distribusi datanya menceng ke}

kiri.

3.

Jika

a3

> 0,maka distribusi datanya menceng ke

kanan.

1. Jika kofisien kurtosis lebih dari 0,263 maka

distrbusinya adalah leptokurtis.

2. Jika kofisien kurtosis sama dengan 0,263 maka

distrbusinya adalah mesokurtis.

3.

Jika kofisien kurtosis kurang dari 0,263 maka

A.

KOEFISIEN KERUNCINGAN PERSENTIL



Koefisien keruncingan persetil dilambangkan dengan K (Kappa).Untuk distribusi nilai normal,nilai k = 0,263.

RUMUS

:

B.

KOEFISIEN KERUNCINGAN MOMEN

RUMUS

:

4.

DERAJAT KERUNCINGAN KURVA

SOAL !

1. Carilah data tunggal dan hitung ukuran serta derajat kemiringannya dan

ukuran serta derajat keruncingannya !

Tabel data tunggal :

Andil Inflasi Kabupaten Cilacap Bulan Januari Tahun

2017 dari Berbagai Sektor Unit

JAWAB :

I. Ukuran Kemiringan Data

A) Koefisien Kemiringan Pearson

:

Yang perlu dicari nilainya :

1. Mean

¿0,99+0,29+0,09+0,25+0,05+0,04+0,05+0,022

8

=

1,98

8

= 0,2475

Jadi,nilai rata-rata (mean) yang didapatkan sebesar 0,2475.

2. Modus

Berdasarkan tabel disamping,datum yang paling banyak muncul adalah 0,05.

Jadi,modus yang didapatkan sebesar 0,05.

3. Median

Untuk menentukan median,maka data pada tabel harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil,sehingga dapat diperoleh :

Karena data tunggal pada tersebut merupakan data genap,maka harus menggunakan rumus kedua,sehingga dapat diketahui bahwa nilai tengah (median) pada data tersebut yaitu :

Me =

X

(

4. Simpangan Baku

Karena nilai s2 sudah diketahui,yaitu sebesar 0,14935 ,maka :

s=

√

0,1481

= 0,3849

Jadi,nilai simpangan baku data tersebut sebesar 0,3849.

 Koefisien Kemiringan Pearson Pertama :

KK=x−Mo

s

¿0,2475−0,05

0,3849

¿0,1975

0,3849

= 0,513

Jadi koefisien kemiringan pearson pertama data tersebut adalah 0,513.

 Koefisien Kemiringan Pearson Kedua :

KK=3(x−Me)

s

¿3(0,2475−0,155)

0,3849

¿3(0,0925)

0,3849

= 0,721

Jadi koefisien kemiringan pearson kedua data tersebut adalah 0,721.

B) Koefisien Kemiringan Quartil (Bowley) :

Yang harus dicari :

Untuk menentukan nilai kuartil,maka data pada tabel harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil,sehingga dapat diperoleh :

1. Kuartil Bawah

Letak Q₁=1(8+1) Jadi,nilai kuartil bawah dari data tersebut sebesar 0,05.

2. Kuartil Tengah

Letak Q₂=2(8+1)

Jadi,nilai dari kuartil tengah data tersebut adalah 0,155.

3. Kuartil Atas

Letak Q₃=3(8+1) Jadi,nilai dari kuartil atas data tersebut adalah 0,28.

 Koefisien Kemiringan Bowley :

¿0,087

Jadi,koefisien kemiringan bowley data trsebut sebesar 0,087.

C) Koefisien Kemiringan Persentil

Yang harus dicari :

Untuk menentukan nilai kuartil,maka data pada tabel harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil,sehingga dapat diperoleh :

1. Persentil ke-90

Letak P₉₀=90(8+1) Jadi,persentil ke-90 data tersebut adalah 0,891

2. Persentil ke-50

Letak P₅₀=50(8+1) Jadi,persentil ke-50 data tersebut adalah 0,155.

3. Persentil ke-10

Jadi,persentil ke-10 data tersebut adalah 0,036.

 Koefisien Kemiringan Persentil :

KK=P90−2P50+P10

Jadi,koefisien kemiringan persentil dari data tersebut sebesar 0,785.

D)Koefisien Kemiringan Momen

Mr₃=1

Jadi,koefisien kemiringan momen teseebut sebesar -0,0001.



Karena koefisien kemiringan persentil (bowley) >

nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian kanan

lebih panjang).

II.

DERAJAT KEMIRINGAN KURVA

Jadi,derajat kemiringan kurva tersebut sebesar -0,00175.

III.

UKURAN KERUNCINGAN DATA

A) Koefisien Keruncingan Persentil

K=

Jadi,ukuran keruncingan data tersebut sebesar 0,135.



Karena

α3

< nol,maka distribusi datanya menceng ke

kiri.

B) Koefisien Keruncingan Momen

Mr

4=¿1

n(Xi−X)

4

¿

¿1

8(0,155−0,2475)

4

¿0,000073

8

¿0,000009

Jadi,koefisien keruncingan momen data tersebut sebesar 0,000009.

IV.

DERAJAT KERUNCINGAN KURVA

α=Mr4

S4

=

0,000009_0,3849

=0,0000234

Jadi,derajat keruncingan kurva tersebut sebesar 0,0000234.



Karena koefisien keruncingan momen < 0,263 ,maka

bentuk distribusinya adalah platikurtik.



Karena

α4

< 3,maka keruncingan distibusi data

2. Carilah data kelompok dan hitung ukuran serta derajat kemiringannya

dan ukuran serta derajat keruncingannya !

Tabel Data Kelompok :

Seorang Manajer Produksi ingin mengetahui distribusi data mengenai umur karyawannya di unit kerjanya.Data-data yang diperoleh oleh Manajer Produksi adalah sebagai berikut ini.

Sumber : https://teknikelektronika.com/cara-membuat-histogram-di-excel/

Sehingga,berdasarkan tabel tersebut dapat diperoleh tabel distribusi fekuensi sebagai berikut :

JAWAB :

I.

Ukuran Kemiringan Data

A)

Koefisien Kemiringan Pearson :

Yang perlu dicari nilainya :

1. Mean

Untuk menghitung rata-rata kelompok,harus menggunakan nilai tengah dengan menggunakan tabel penolong seperti berikut :

Sehingga nilai rata-rata (mean) data tersebut dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

X =

4392₁₀₀

= 43,92

Jadi,rata-rata (mean) umur karyawannya di pabrik tersebut adalah 43,92.

Untuk mencari letak modus,maka yang diambil adalah data dengan frekuensi terbesar/ terbanyak.Bagian tabel yang berwarna merah merupakan letak modus.

Mo=40,5+

(

3

3+6

)

6=40,5+

18

9

= 42,5

Jadi,nilai yang sering muncul (modus) dari data tersebut adalah 42,5.

3. Median

Untuk menghitung nilai tengah kelompok,harus menggunakan frekuensi komulatif dan titik bawah dengan menggunakan tabel penolong seperti berikut :

Untuk

mempermudah,tabel di samping yang berwarna merah merupakan data yang dibutuhkan untuk

Jadi,nilai tengah (median) umur karyawannya di pabrik tersebut adalah 43,07.

d₁=21−18=3

4. Simpangan Baku

Untuk menghitung standard deviasi,diperlukan tabel penolong seperti di bwah ini (nilai µ diperoleh dari perhitungan mean sebelumnya,sehingga µ = 43,92) :

σ=

√

12402,36

100

¿

√

124,0236

= 11,137

Jadi,simpangan baku umur karyawan di pabrik tersebut adalah 11,137.

 Koefisien Kemiringan Pearson Pertama :

KK=x−Mo

Jadi koefisien kemiringan pearson pertama data tersebut adalah 0,128.

 Koefisien Kemiringan Pearson Kedua :

KK=3(x−Me)

Jadi koefisien kemiringan pearson kedua data tersebut adalah 0,076.

B)

Koefisien Kemiringan Bowley

:

Yang harus dicari :

1. Kuartil Bawah Q₁

Q₁=34,5+

(

25−23

18

)

6=34,5+ 12

18

= 34,5 + 0,67 = 35,17

Jadi,nilai dari kuartil bawah data tersebut adalah 35,17.

2. Kuartil Tengah (Q¿¿2)¿

Sehingga,dapat diketahui bahwa nilai dari kuartil tengah (Q¿¿2)¿, yaitu :

Q₂=40,5+

(

50−41

21

)

6=40,5+ 54

21

= 40,5 + 2,57 = 43,07

Jadi,nilai dari kuartil tengah data tersebut adalah 43,07.

3. Kuartil Atas (Q¿¿3)¿

Sehingga,dapat diketahui bahwa nilai dari kuartil atas (Q¿¿3)¿, yaitu :

Q₃=46,5+

(

75−62

15

)

6=46,5+ 78

15

= 46,5 + 5,2 = 51,7

Jadi,nilai dari kuartil atas data tersebut adalah 51,7.

 Koefisien Kemiringan Bowley :

KK=Q3−2Q2+Q1

Jadi,koefisien kemiringan bowley data trsebut sebesar 0,044.

C)

Koefisien Kemiringan Persentil

Yang harus dicari :

1. Persentil ke-10

D₁₀=28,5+

(

10−7

16

)

6=28,5+ 18

16

= 28,5 + 1,125 = 29,625

Jadi,nilai dari persentil ke-10 data tersebut adalah 29,625.



Karena koefisien kemiringan quartil (bowley) >

nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian

kanan lebih panjang).

Letak P10=

10 100.100

2. Persentil ke-50

D₅₀=40,5+

(

50−41

21

)

6=40,5+ 9

21.6

= 40,5 + 2,57 = 43,07

Jadi,nilai dari persentil ke-50 data tersebut adalah 43,07.

3. Persentil ke-90

D₉₀=58,5+

(

90−87

9

)

6=58,5+ 18

9

= 58,5 + 2 = 60,5

Jadi,nilai dari persentil ke-94 data tersebut adalah 60,5.

 Koefisien Kemiringan Persentil :

KK=P90−2P50+P10

Jadi,koefisien kemiringan persentil dari data tersebut sebesar 0,13. Letak P₅₀= 50

100.100

¿50

Letak P90=₁₀₀90 .100

D)

Koefisien Kemiringan Momen

Mr₃=1

nfi

(

Xi−X

)

3

¿40351,696

100

¿403,51696

¿403,52

Jadi,koefisien kemiringan momen teseebut sebesar 403,52.

II.

DERAJAT KEMIRINGAN KURVA

α₃=Mr3

S3



Karena koefisien kemiringan persentil (bowley) >

nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian kanan

lebih panjang).

¿403,52 ¿ ¿

¿ 403,52

1381,35

¿0,292

Jadi,derajat kemiringan kurva tersebut sebesar 0,292.

III. UKURAN KERUNCINGAN DATA

A)

Koefisien Keruncingan Persentil

K=

1

2(Q3−Q1)

P₉₀−P₁₀

¿

1

2(51,7−35,17) 60,5−29,625

¿ 8,,265

30,875

¿0,268

Jadi,ukuran keruncingan data tersebut sebesar 0,268.

B)

Koefisien Keruncingan Momen



Karena

α3

> nol,maka distribusi datanya menceng ke

kanan.

Mr

4=¿1

nfi(Xi−X)

4

¿

¿3494686,181

100

¿34946,86181

¿34946,86

Jadi,koefisien keruncingan momen data tersebut sebesar 34946,86.

IV. DERAJAT KERUNCIINGAN KURVA

α₄=Mr4

S4

=

₍34946,86_11,137)4

=

34946,86_15384,13

=2,272

Jadi,derajat keruncingan kurva tersebut sebesar 2,272.



Karena koefisien keruncingan momen > 0,263 ,maka

bentuk distribusinya adalah leptokurtik.



Karena

α4

< 3,maka keruncingan distibusi data