UKURAN DATA STATISTIK
1. Konsep dasar statistika.
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan data, menyajikan data, mengolah data, menganalisis data, dan menarik kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan.
Data adalah catatan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu penelitian.
Cara menyajikan data antara lain dengan tabel, grafik: diagram batang, diagram lingkaran, histogram, poligon frekuensi, atau poligon frekuensi kumulatif (ogive).
2. Ukuran pemusatan data.
2.1. Mean (𝑥 )
= jumlah seluruh hasil kali frekuensi dan titik tengah
Untuk data berkelompok: 1
1 2 δ2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = panjang kelas modus
3. Ukuran letak data.
3.1. Kuartil
Q1: kuartil bawah
Q2: kuartil tengah atau median Q3: kuartil atas
Untuk data tunggal, letak kuartil dapat ditentukan dengan rumus: ( 1)
Jika letak urutan kuartil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung kuartil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika kuartil terletak pada nilai urutan antara k dan
1
k , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai kuartilnya adalah:
1
( )
k k k x
Q x d x x
Untuk data berkelompok: 4 i Q
F = jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas kuartil ke-i
fi = frekuensi kelas kuartil ke-i n = banyaknya data
c = panjang kelas i = 1, 2, atau 3
3.2. Desil
Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.
Untuk data tunggal, letak desil dapat ditentukan dengan rumus: ( 1)
k , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai desilnya adalah:
1
( )
k k k x
Untuk data berkelompok: 10 i
F = jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas desil ke-i
fi = frekuensi kelas desil ke-i n = banyaknya data
c = panjang kelas
i = 1, 2, 3, ..., 8, atau 9
3.3. Persentil
Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.
Untuk data tunggal, letak persentil dapat ditentukan dengan rumus: ( 1)
Jika letak urutan persentil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung persentil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika persentil terletak pada nilai urutan antara k dan k1, serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai persentilnya adalah:
1
( )
k k k x
P x d x x
Untuk data berkelompok: 100 i P
F = jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas persentil ke-i
fi = frekuensi kelas persentil ke-i n = banyaknya data
c = panjang kelas
i = 1, 2, 3, ..., 98, atau 99
4. Ukuran dispersi (penyebaran) data.
kuartil), variansi (ragam), dan deviasi standar (simpangan baku), kemencengan (skewness), dan keruncingan (kurtosis).
4.1. Range (jangkauan)
Range suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data terkecil.
max min Rx x
4.2. Deviasi mean (simpangan rata-rata)
Deviasi mean mengukur jumlat rata-rata dari nilai-nilai populasi (atau sampel) yang berbeda-beda dari rata-ratanya.
Deviasi mean didefinisikan sebagai rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi dengan rata-rata hitungnya.
Untuk data berkelompok:
1
n = banyaknya data (ukuran data)
4.3. Hamparan (jangkauan antarkuartil)
Hamparan didefinisikan sebagai selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah.
3 1
H Q Q
4.4. Deviasi kuartil (simpangan kuartil)
Deviasi kuartil suatu data didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan.
1 1
3 1
2 2( )
d
Q H Q Q
4.5. Variansi (ragam) dan deviasi standar (simpangan baku) untuk populasi
Variansi adalah rata-rata kuadrat jarak suatu data terhadap rataannya, sedangkan deviasi standar adalah akar dari variansi.
Untuk data tunggal: 2 2
Untuk data berkelompok: 2 2
Keterangan: 2 = variansi populasi
= deviasi standar populasi xi (untuk data tunggal) = nilai data ke-i
xi (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
= nilai rataan (mean) populasi fi = frekuensi kelas ke-i
r = banyaknya kelas
N = banyaknya data (ukuran data) pada populasi
4.6. Variansi (ragam) dan deviasi standar (simpangan baku) untuk sampel
Untuk data tunggal: 2 2
Untuk data berkelompok: 2 2
1
S = deviasi standar sampel xi (untuk data tunggal) = nilai data ke-i
xi (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
𝑥 = nilai rataan (mean) sampel fi = frekuensi kelas ke-i
r = banyaknya kelas
n = banyaknya data (ukuran data) sampel
4.7. Kemencengan (skewness)
Untuk menghitung kemencengan suatu data, salah satu caranya adalah dengan menggunakan koefisien kemencengan Pearson:
Keterangan: sk = koefisien kemencengan 𝑥 = nilai rataan (mean) sampel S = deviasi standar sampel
4.8. Keruncingan (kurtosis)
Keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari suatu distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal.
Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi normal dapat dibagi menjadi 3 macam: 1) LEPTOKURTIK, distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi
(nilai keruncingan > 3)
2) PLATIKURTIK, distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar (nilai keruncingan < 3)
3) MESOKURTIK, distribusi yang memiliki puncak sedang dan tidak mendatar (nilai keruncingan = 3)
Untuk menghitung keruncingan suatu distribusi data, digunakanlah koefisien kurtosis:
Untuk data tunggal: 4 4 4
1 1
( ) N
i i
x x
N S
Untuk data berkelompok: 4 4
4 1 1
( ) r
i i i
f x x
N S
Keterangan: 𝛼4 = nilai keruncingan S = deviasi standar sampel xi (untuk data tunggal) = nilai data ke-i
xi (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
𝑥 = nilai rataan (mean) sampel fi = frekuensi kelas ke-i
r = banyaknya kelas
L A T I H A N S O A L
1. Program Apollo berlangsung dari 1967 sampai 1972 dan terdiri dari 13 misi. Misinya berlangsung sedikitnya 7 jam hingga selama 301 jam. Lama setiap penerbangan adalah sebagai berikut.
9 195 241 301 216 260 7
244 192 147 10 295 142
a. Jelaskan mengapa data di atas merupakan suatu populasi. b. Tentukan rata-rata dan median dari waktu penerbangannya.
c. Tentukan simpangan rata-rata, simpangan kuartil, dan simpangan baku dari waktu penerbangan tersebut.
d. Hitunglah Q1, D6, dan P40.
e. Tentukan nilai skewness dari waktu penerbangan tersebut. Termasuk apakah jenis kemencengannya?
f. Tentukan nilai kurtosis dari waktu penerbangan tersebut. Termasuk apakah jenis kurva distribusi normalnya?
2. PT Komputer Jaya, penyedia layanan internet pada suatu daerah di Semarang, membuat distribusi frekuensi berikut mengenai usia dari pengguna internet yang diambil secara acak.
Usia (dalam tahun) Frekuensi
11 – 20 7
21 – 30 18
31 – 40 20
41 – 50 12
51 – 60 3
Hitunglah:
a. rata-rata, median, dan modus b. kuartil bawah dan kuartil atas c. desil ke-3 dan desil ke-8
d. persentil ke-33 dan persentil ke-88 e. variansi dan simpangan baku
f. simpangan rata-rata dan simpangan kuartil g. koefisien kemencengan Pearson
