STATISTIKA MATEMATIKA I

(1)

STATISTIKA MATEMATIKA I

Disusun Oleh :

Februl Defila

(10050051)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN PENDIDIKAN

(STKIP) PGRI SUMATERA BARAT

2012

(2)

1 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com

BAB I

PELUANG

1.1 Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah experience, disimbolkan “S”. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event. Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar. Contoh :

1. Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah :

S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel. 2. S = {1,2,3}

 

S 

 23 = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Dari pernyataan diatas diperoleh : {1}S

{1} 

 

S

{1}

 

S

Dimana 

 

S adalah power set atau himpunan bagian.

3. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau frekuensi kejadian sebagai berikut :

Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4 sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali. Tentukan banyaknya jumlah frekuensi jika :

a) Ada sebuah kejadian munculnya angka genap. b) Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil.

c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4. Jawab :

Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian peluang dapat diterjemahkan menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai :

) ( ) ( ) ( S f A f A fn 

(3)

2 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com 1 120 120 ) ( ) ( ) (    S f S f S f_n a) A = {2,4,6} maka f(A) = 19 + 21 + 25 = 65 120 65 ) ( ) ( ) (   S f A f A f_n b) B = {1,3,5} maka f(B) = 20 + 18 + 17 = 55 120 55 ) ( ) ( ) (   S f B f B f_n c) C = {1,2,3} maka f(C) = 20 + 19 + 18 = 57 120 57 ) ( ) ( ) (   S f C f C fn

 Dari contoh soal diatas, frekuensi relatif memiliki sifat :  fn(0)0

 fn(S)1

 f_n(AB) f_n

 

A  f_n

 

B jika AB

 Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.  Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {Si}, maka peluang

timbulnya kejadian dasar S = {Si} dengan i = 1,2,…,n adalah :

Pi = P[{Si}], i = 1,2,…,n dengan sifat :  Pi  0  1 1 



 i i P

 Jika A1,…,Ak adalah kejadian dalam S yang saling asing maka



         k i i k i i P P P 1 1



1.2 Peluang Klasik

Peluang Klasik adalah suatu kejadian yang mempunyai peluang yang sama, yaitu

N 1 . N i i N Pi , , 1,2,..., 1   

(4)

 

) ( ) ( S n A n A

P  , dengan sifat : P(A)0 ; P(S)1 ; P()0 dan P(AB)P(A)P(B) jika AB

Sifat – sifat lain dari peluang, dinyatakan dalam teorema berikut : Jika A,B suatu kejadian dalam S, maka :

1. P(AB)P(A)P(B)P(AB) 2. P(A)1P(A) AAS   A A 3. P(AB)P(A)P(AB) 4. P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+



A B C



P   Contoh :

Dua kartu diambil secara acak satu – persatu, tentukan peluang bahwa kartu yang terambil pertama adalah kartu Jack dan kartu yang terambil kedua adalah kartu Queen!

Jawab :

Peluang dari kejadian diatas adalah :

663 4 2652 16 51 4 52 4 _ _ _ 1.3 Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat suatu kejadian dengan syarat terjadinya peristiwa yang lain (sebelumnya) didefinisikan sebagai berikut :







_{ }



B P B A P B A P |   dengan P

 

B 0

(5)

4

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Secara umum, jika dua peristiwa A1 dan A2 saling asing



A₁A₂ 



, maka :







_{ }



B P B A A P B A A P   1 2  2 1 | =





 

B P B A B A P ₁  ₂





 



P

 

B



B A P B P B A P     1 2



A B

 

P A B



P ₁|  ₂ | 

Sifat – sifat lain dari peluang bersyarat adalah sebagai berikut : 1. P(A|B) = P



A|B



2. P



A₁A₂|B



= P



A₁|B

 

P A₂ |B

 

P A₁A₂ |B



3. 0P



A|B



1 Contoh :

1. Empat kartu diambil secara random satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut – turut adalah as waru hitam (AsWH), as waru merah (AsWM), as wajik (AsW), as semanggi (AsS)!

Jawab :



WH

 

WM WH

 

WJ WH WM



s WJ WM WH As As As P As P As As P As As As As P(    ) | | 



Ass AsWH AsWM AsWJ



P |   49 1 50 1 51 1 52 1     = 0,079

2. Kotak A berisi 10 bola merah (MA) dan 15 bola hijau (HA). Kotak B berisi 12 bola merah

(MB) dan 17 bola hijau (HB). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian

dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau!

(6)



H_A H_B



P

  

H_A P H_B H_A



P   | 36 , 0 30 18 . 25 15  

1.4 Hukum Total Probabilitas

Menurut teori himpunan, telah diuraikan bahwa jika kejadian B dan kejadian B saling asing, maka : 1. BB  2. BB S 3. A  4. A  A 5. ASA 6. ASS

Hukum diatas disebut dengan Hukum Identitas.

S A = A







A BB



= ABAB n



A



BB



= n



AB



n



AB



, sehingga

 

A P = P



A



BB



= P



AB



P



AB



Secara umum, jika B1,B2,..., Bk kejadian – kejadian saling asing, maka k B B B S  ₁  ₂ ... . Sehingga :



B B Bk



A B A B A Bk A S A   1 2 ...   1  2 ...  Teorema :

Jika B1,B2,...,Bk himpunan kejadian saling asing, maka untuk sebarang peristiwa A berlaku :

 

  

i



k i i P A B B P A P | 1



  Bukti : Karena A



AB1



...



ABk



(7)

 

A P



A B



P



A Bk



P   1 ...  = P

  

B1 .P A|B1



...P

  

Bk .P A|Bk



=

  

_i



k i i P A B B P . | 1



 Contoh :

a. Terdapat 3 dos berisi barang elektronik (lampu). Dos I berisi 25 lampu dan 5 diantaranya rusak. Dos II berisi 35 lampu dan 10 diantaranya rusak. Dos III berisi 40 lampu dan 5 diantaranya rusak. Sebuah dos dipilih secara random, tentukan probabilitas bahwa produk yang terambil rusak!

Jawab:

Misal : A = lampu yang rusak B1 = dos 1 B2 = dos 2 B3 = dos 3

 

A P



A B1

 

P A B2

 

P A B3



P       = P

  

B1 P A|B1

   

P B2 P A|B2

   

P B3 P A|B3



= 40 5 3 1 30 10 3 1 25 5 3 1_ _ _ _ _

Dari contoh di atas, dapat dikaitkan konsep aturan Bayes, sebagai berikut :

Jika diasumsikan seperti syarat pada teorema sebelumnya, maka untuk setiap j,j=1, 2, 3, ... , k berlaku :





  



  





  k j j j j j j B A P B P B A P B P A B P 1 | | |

(8)

7

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com

1.5 Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika tidak saling mempengaruhi. Secara statistik, A dan B dikatakan bebas / independent, jika :



A B



P  = P

   

A P B  Saling Bebas



A B



P   P

   

A P B  Tidak bebas / Saling tergantung Sehingga : P



A|B



P

 

A, jika A, B bebas

: P



A|B



P

 

B, jika B, A bebas Teorema :

Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika : 7. A danB, bebas 8. A dan B, bebas 9. A dan B, bebas Bukti : 10. P



AB



= P

  

A P AB



= P

     

A P AP B = P

 

A



1P

 

B



= P

 

B P

 

A

Secara umum, jika Ai, i, i1,2,...,k adalah peristiwa saling bebas, maka :

 

_       







k i k i i i P A A P 1 1 Contoh :

Jika dua dadu dilempar satu kali secara bersamaan, tunjukkan bahwa dua kejadian dibawah ini saling bebas !

Jawab :

A : Dua dadu berjumlah tujuh.

(9)

8 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Jawab :

           



1,6, 2,5, 3,4, 4,3, 5,2, 6,1



 A

           



1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, 6,6



 B

Sehingga dapat diketahui bahwa :

 

6 1  P B A P ,

   

36 1 6 1 6 1_ _  P B A P   B A , P



AB



0

Karena P



AB

    

P A P B , maka dua kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas.

(10)

9

BAB II

VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI DISTRIBUSI

2.1 Variabel Random

Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil pengamatan dan kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel random disimbolkan dengan huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh :

1. Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah : S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

2. Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya angka yang muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul, maka apa hubungan antara X dan Y?

Jawab : S X Y P(X) P(Y) AAA 3 0 8 1 8 1 AAG AGA 2 1 8 3 8 3 GAA AGG GAG 1 2 8 3 8 3 GGA GGG 0 3 8 1 8 1 Keterangan :

(11)

10

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Karena P

 

X  P

 

Y , dan X Y, maka X dan Y merupakan variabel acak identik. Selain itu, karena P



X Y



P

   

X PY X, Y independent.

Macam-macam variabel acak :

a. Variabel Acak Diskrit (Countable) b. Variabel Acak Continue (Measurable)

2.2 Variabel Acak Diskrit (pdf)

Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel random X dinamakan variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain variabel acak diskrit dinamakan fungsi densitas probabilitas diskrit. Disingkat dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa probabilitas.

Teorema :

Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat: 1. f (x) > 0

2.



f

 

x 1

3. Penulisan lain f (x)  f_X

 

x dengan x = nilai variabel random X Contoh :

Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), jelas bahwa f (x) =

P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semuanya 0 dan jumlahnya = 1

2.3 Fungsi Distributif Kumulatif (CDF)

CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :

 

x P



X x



F

 

x

F    _X

(12)

11

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Teorema :

Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai dari variabel acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka :

... 3 2 1  x  x  x

 

x1 F

 

x1 f  dan j , j>1 , berlaku f

 

xj = F

   

xj F xj1

Sedangkan untuk x < x_i, maka F(x) = 0 Sehingga

 



 

  x x j j x f x F Sifat-sifat CDF : a. lim

 

1   F x X b. lim

 

0   F x X c. F



x h



F

 

x h    0 lim d. abF

 

a  F

 

b Contoh :

Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali), bentuklah fungsi distribusinya! Jawab : 8 4 8 1 8 7 1 1 2 3

 

x F x

(13)

12

2.4 Variabel Acak Kontinu

Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x), sedemikian hingga

CDF-nya dapat dinyatakan sebagai :

CDF 

 



 

   x dt t f x F pdf 

 

F

 

x dx d x f 

Secara khusus, jika X variabel acak kontinu, maka :

a. P



a xb



 P



axb



P



axb



P



a xb



a. P



xk



0,dengan k = konstanta b.



 







 

b a dx x f b x a P Teorema :

Suatu fungsi f (x) adalah pdf untuk beberapa variabel acak kontinu X, jika memenuhi : 1. f

 

x 0, bilangan real X. 2.



 

1    dx x f Contoh :

Jika X merupakan variabel acak kontinu dengan pdf

 

          0 , 1 0 , 0 3 x x c x x f Tentukan CDF nya! Jawab :







    x dx c1 3 = 1





      ₀ 2 1 2 1 x c = 1 c = 2

(14)

13

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Maka, CDF nya adalah :

 

_

 

   x dt t f x F =

 

t dt x



    3 1 2

 

           0 , 1 1 0 , 0 2 x x x x F 2.5 Nilai Harapan

Apabila X adalah variabel acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari X didefinisikan sebagai :

 



 

  n X x xf x E 1 Contoh :

Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), didapat

 

2 3  x E .

 

2 3 8 1 . 0 8 3 . 1 8 3 . 2 8 1 . 3      x E

Jika X variabel acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan

 



 

    E x xf x dx  Contoh :

Dari contoh di atas (Jika X merupakan variabel acak kontinu), maka :

 

_



_







       0 3 1 1 2 . . 0 . dx x x dx x x E

Sifat – sifat umum nilai harapan

Teorema :

Jika X variabel random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real dari variabel random X, maka :

 







_

   

R x f x u x u E , X VAD

 



_

   

R dx x f x u x u E , X VAK

(15)

14

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu fungsi bernilai real dari variabel x, maka:

 



ag x bhx



aE



g

 

x



bE



h

 

x



E .   

Bukti :

Misalkan V variable acak kontinu, maka :

 



ag x bh x





ag

 

x bh

 

x

  

f x dx E R



   . . = ag

   

x f x dx bh

   

x f x dx R R



.  =a g

   

x f x dx b h

   

x f x dx R R



 =aE



g

 

x



bE



h

 

x



Secara khusus, E



axb



aE

   

x E b

 



_

 



_

 

 R R dx x f E dx x bf b E 1

2.6 Distribusi Campuran (Mixed Distribution)

Suatu distribusi probabilitas untuk variabel random X dinamakan campuran, jika CDF-nya dapat dinyatakan sebagai berikut :

 

x F

  

x

  

F x

F  d  1 c , dengan 0x1

Contoh :

Misal X adalah variabel random yang menyatakan waktu tunggu sebuah proses dengan CDF

 

x F

 

x F

 

x

F 0,4. _d 0,6. _c , dengan F_d

 

x 1 dan

 

x

c x e

F 1  , untuk x0. Tentukan bentuk CDF campuran tersebut!

Jawab :



x t



P  = F

 

x



x t



P  = 1F

 

x



0



0,4 0    P x x

(16)



1



0,636 6 , 0 4 , 0 5     x e x Jadi, P



xt|x0



=











0



0    x P t x danP x P =







0



0    x P t x P =

 



0



1 0    x F F t F =





4 , 0 1 1 6 , 0 4 , 0    t e = 1et

 



t



t e e dt d t F dt d t f   1    2.7 Varian

Varian dari variabel acak X didefinisikan sebagai Var(x) = V(x) =

 





2, 0,

2    

_x E x E x dengan E

 

x 

Atau Var

 

x 



x

  

2 f x , variabel acak diskrit Atau Var

  

x x

  

f x dx

R

2





  , variabel acak kontinu

Teorema :

Jika X variabel acak kontinu, maka v

 

x  E

 

x2 2

Bukti :

 

x V 





x

  

2f x dxE



x



2 R = E



x2 2x



2 = E

 

x2 2E

 

x E

 

2 =

 

2 2 . 2   x E

 

x V E

 

x 2 2

(17)

16

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Contoh :

Perhatikan contoh pelemparan koin sebelumnya, dengan mean = 2

3 _{. Tentukan varian dan} simpangan bakunya! Jawab : x = 0, 1, 2, 3 Var(x) = 



x

  

2 f x =



 











8 1 . 3 3 8 3 . 2 3 2 8 2 . 2 3 1 8 1 . 2 3 0 2   2   2   2 Var(x) = 0.75 Maka,   V

 

x  0,750,8661 Teorema :

Jika X variabel acak dan a, b suatu konstanta, maka :

V(ax+b)=V(ax) sehingga V(ax+b) = a2 V(x)

Bukti :



ax b



V  E



axb



E



axb



2

= E



axb



2 



E



axb



2

= a2v

 

x

Jika X,Y dua buah variabel random, maka berlaku :



x y



V

   

x V y Cov

 

x y

V    2 ,

Jika X, Y independen dan cov (x, y) = 0, maka berlaku : ) ( ) ( ) (x y v x v y v   

 

x y Cov , E



xx



yy



=E

     

xy E x.E y

Jika X, Y independen, maka :

 

xy E

   

x E y

E  .

(18)

 

x,y   korelasi (x, y) =

   

y V x V y x, ) cov(

Secara khusus, V(x)cov(x,x)

2.8 Momen

Momen ke-k di sekitar x=0 dari variabel random X didefinisikan sebagai :

 

k k E x



Momen ke k disekitar x =, didefinisikan : _k E



x



k

Jika k=1 ₁  E



x



E(x)0 k=22 E(x)2 2

Contoh :

Misalkan ada seorang pembalap mobil yang diasumsikan waktu berkendaranya antara 20 hingga 30 menit. Jika X adalah variable acak yang menyatakan waktu dalam menit, maka tentukan momen ke k dari variable tersebut!

Jawab :

 

x  110

f_X , 20x30

10 1

 , untuk yang lain.

Momen ke k dari variable acak tersebut adalah :

 

k k E X m  x dx k



30 2010

_

_

1 10 20 30 1 1      k k k , dimana k = 1, 2, 3, … Sehingga diperoleh :

   

 

25 2 10 20 302 2 1    m dan

   

_{ }

3 1 633 3 10 20 303 3 2    m

(19)

18

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Karena m₁ _X, sehingga diperoleh _X 25. Dan karena m₂ _X2 _X2 , maka diperoleh

3 1 8 2  X 

Batas – batas probabilitas

Jika X suatu variabel random dan xfungsi bernilai real non-negatif, maka untuk sembarang

konstanta positif c, berlaku :

 





c x E c p x    ) (

Dari teorema batas – batas probabilitas di atas, dapat diturunkan sebuah pertidaksamaan Chebychev, sebagai berikut :

Teorema :

Jika X variabel random dengan mean  dan varian 2, maka untuk sebarang k>0, berlaku :





1₂ k k x P     or





1 1₂ k k x p      Jika diambil  k k _





2 2        x P atau





₂ 2 1         x p

2.9 Aproksimasi Mean dan Varian

Jika suatu fungsi dari variabel random X dapat dinyatakan atau diekspansikan dengan Deret Taylor di sekitar x, maka mean dan variannya dapat ditentukan. Selanjutnya, misalkan turunan dari fungsi H'

   

x,H'' x,...., Hn

 

x dan H

 

x dapat diekspansikan menurut Deret Taylor di sekitar x, maka :

 

"

 

... ! 2 ! 1 2 ' '          H x H x H x H Sehingga :







 

 

   



 

....) ! 2 ) ( " 2 '      E H  x  H  x  H  x H E

(20)

19 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com =

  

   



 

... 2 " . 2 '           E x H E x H H =

 

2 0 0 ''   H H    Jadi,



 



 

"

 

2 2 2 1 2 1 __ _    e e H H x H E    

 



H x



V V



H

  

  x

  

H'  ...



=0V



x



H'

 

 =



H'

 





2v



x



=



H'

 





22 Jadi, V



H

 

x







H'

 





2r2 Contoh :

Jika X variabel random bernilai positif dengan pdf f

 

x lnx , maka tentukan E ln

 

x dan

 

x V ln Jawab :

 

x x H ln maka H

 

 lnx

 

x x H'  1

 

1₂ " x x H 

 

x



x



H

 

x E 2 '' 2 1 ln ln     =





_         2 2 1 2 1 ln    x = ₂ 2 2 1 ln   

(21)

 

x V ln 



H'

 





22 = 1₂2  = 2 2  

2.10 Momen Generation Function (MGF)

Jika X variabel random, maka MGF dari X didefinisikan sebagai berikut :

 

tx

x t E e

M  , hth , h0 Ekspektasi ini ada nilainya, jika :

X Variabel acak diskrit

 

₁

1 x f e e E t M i txi tx x



    

X Variabel acak kontinu M

 

t E

 

e e f

 

x dx

r tx tx

x  





Fungsi ini penting terutama dalam mendapatkan mean dan varian. Secara khusus, jika X variabel diskrit, maka berlaku :

 

i txi x t e f x M 



  

 

i txi x f xie t x M' 



  

 

i txi i e f x x t x M" 



2 : :

 

i txi r i r x t x e f x M( ) 



Jika t = 0, maka :

 

i

 

i x x f x M' 0 



= E

 

x 

 

i

 

i x x f x M'' 0 



2

(22)

21 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com =E

 

x2 2 r2

 

i r i i r x f x x f x M 



Jadi ,  M'

  

x 0

 



_'

 



2 '' 2 0 0 M x x M    Contoh :

Jika X variabel acak kontinu dengan f

 

x ex,x0, maka tentukan MGF! Jawab :

 

t e f

 

x dx M R tx x 



= etxexdx 



0 =



e t xdx   0 1 =  

 

t x d t et x 1 1 0 1  



  =  



  0 1 1 1 t x e t =  



    ₀ 1 1 1 _t_x e t =

 

0 1 1 1  t 1 , 1 1 _  t t

 

1 1 1 1 _ _    t t t Mx

 

1

   

1 2 1 '     t t M_x

(23)



1t



2

 

0 1 '  x M

 

2

   

1 3 1 "     t t M_x =2



1t



3

 

0 2 " _ x M Jadi, E

 

x 1

 

1 1 2 2 2      Contoh :

Jika X variabel acak diskrit dengan pdf

 

1 2 1         x x

f dengan x=0,1... Tentukan MGF-nya! Jawab :

 

i i txi x t e f x M



   0 = 1 0 2 1         



xi i txi e = i x i t e



       0 2 2 1 =



 0 2 1 i xi s =



1 ...



2 1   2  s s =     8 1 1 2 1 =   t e 2 1 deret konvergen Jadi, t 2 e 2 ln  t

(24)

23

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Sifat-sifat MGF :

1. Jika y = ax+b, maka MGF-nya adalah M

 

t e Mx

 

at

bt

y 

2. yxM_y

 

t etM_x

 

t

Teorema :

Jika MGF X ada, maka

 

 r

 

0

x r M x E  dengan

 



 

    1 ! 1 r r r x r t x E t M

(25)

24

BAB III

HUKUM – HUKUM PROBABILITAS

 Distribusi Probabilitas

Terdapat dua macam distribusi probabilitas, yaitu : 1. Variabel acak diskrit

2. Variabel acak kontinu

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak diskrit : 1. Distribusi Bernoulli

2. Distribusi Binomial 3. Distribusi Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson

5. Distribusi Uniform, dll.

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak kontinu : 1. Distribusi Uniform

2. Distribusi Gamma 3. Distribusi Eksponensial 4. Distribusi Weibull 5. Distribusi Normal, dll.

 VARIABEL ACAK DISKRIT

3.1 Distribusi Bernoulli

Suatu variabel acak X berdistribusi Bernoulli jika pdf-nya berbentuk : ,... 1 , 0 , ) (  1  x q p x f x x p = sukses, jika 0 < p < 1 q = gagal, jika (1 - p)

(26)

25

Jika X Bernoulli, maka :

p x E( ) pq x v( ) Contoh :

Buktikan teorema diatas dan cari MGF-nya! Jawab :



 ( ) ) (x xf x E E(x2)



x2f(x) =0.q1.p = 0.q1.p = p = p Sehingga, v(x)E(x2)(E(x))2 = p p2 = p(1 p) = pq ) ( ) (t pe q M_x  t  3.2 Distribusi Binomial Ciri-ciri :

a. Percobaan dilakukan n kali dan independen b. Peluang sukses (p) dan gagal (q)

Suatu variabel acak X berdistribusi Binomial, jika pdf-nya berbentuk : ,... 1 , 0 , ) ( _         x q p x n x f x n x ) , , ( ) (x b x n p f  =BIN(n,p)

(27)

26

Jika X BIN (n, p), maka :

np x E( ) npq x v( ) n t x t pe q M ( )(  ) Bukti : ) ( ) ( tx x t E e M  = txi _pxi_qn xi x n e _      



=



_       t x_i n x_i q p e x n ) ( = (pet q)n n b a ) (  = i n i n o i b a i n _ 



      ) 0 ( ' ) (x x E  2 )) 0 ( ' ( ) 0 ( ' ' ) (x x x v    Contoh : 0046 , 0 2 1 2 1 16 20 2 1 , 10 , 16 4 16                           b 3.3 Distribusi Hipergeometris

Suatu populasi akan berdistribusi Hipergeometris apabila memenuhi : a. Berukuran M, diantaranya bersifat a (tertentu).

b. Sampel diambil secara random berukuran n, x diantaranya bersifat a. c. Pengambilannya tanpa pengembalian.

(28)

27

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Definisi :

Variabel random X dikatakan berdistribusi Hipergeometris, jika pdf-nya berbentuk :

n x n N x n M N x M M N n x h( , , , ) , 0,1,2,...,                      Teorema :

Jika X distribusi Hipergeometris, maka :

N nM x E( )                 1 1 ) ( N M N N M N nM x v Bukti :



 ( ) ) (x xf x E



                     n N x n M N x M x                         



 1 1 1 1 0 n N n N x n M N x M x M x n x                         



 1 1 1 1 1 n N x n M N x M N nM n x Misal : 1   x y _{, maka}y x1_{, sehingga}x1,y0 Sehingga :

(29)



                           1 0 1 1 1 1 n x n N y n M N y M N nM N nM x E Jadi, ( )                     



n N x n M N x M x x E( 2) 2

Dengan cara yang sama, maka 2 2

)) ( ( ) ( ) (x E x E x v                   1 1 ) ( , n M N n M N nM x v Jadi Contoh :

Sepuluh produk diambil dari sebuah dos besar berisi 1000 produk, 400 diantaranya rusak. Sampel tersebut diambil secara random. Dari sepuluh yang diambil tadi, terdapat lima produk yang cacat.

Jawab : x= 5, n=10, N=1000, M=400 2013 , 0 10 1000 5 600 5 400 ) 400 , 1000 , 10 , 5 ( ) , , , (                     h M N n x h Teorema :

Jika X berdistribusi Hipergeometris dan x0,1,...,n,N,M , P N M _

(30)

29 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com x q x N _x p q n n N x n M N x M    _                          lim 3.4 Distribusi Poisson

Suatu variabel random X berdistribusi Poisson jika pdf-nya berbentuk : 0 ,..., 2 , 1 , 0 , ! ) ( ) , (         x x e x f x f x x Teorema :

Jika X berdistribusi Poisson, maka E(x),v(x),M_x(t)e(et1)

Bukti : ) ( ) ( ix x t E e M  =



  n x x tx x e e 0 !   = 



! x e e x tx  = 



! ) ( x e e x t  = x et e e  = e(et1) t e x t e e M' ( ) (t1)   ) 0 ( '_x M ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ' ' _x t e et et  et exet M        2 ) 0 ( n M 2 )) 0 ( ' ( ) 0 ( ) ( x x n M M x v   = 2 2 = 

(31)

30

Jika X BIN(n,p), maka untuk setiap nilai x = 0,1,2,…,n dan P0 dengan np

suatu konstanta, maka

! ) 1 ( lim x e p p x n x x n x n       _       , dengan  . Contoh :

Buktikan teorema diatas! Jawab : x n x x n x n n x n x n p p x n _                          1 )! ( ! ! ) 1 ( = x n x n n x x x x n n n n                       1 ) 1 )...( 2 )( 1 ( ) 1 )...( 2 )( 1 ( = x n x x n n n x x n n n n                       1 1 ! ) 1 )...( 2 )( 1 ( = x n x x _x _n _n n x n n n n                       1 1 ! ) 1 )...( 2 )( 1 ( = x n x n _n_n_n _n _x _n _n x n n n    _                         1 1 ! ... . . ) 1 )...( 1 ( lim = . .1 ! . 1  e x x = ! x e x    (Terbukti)

(32)

31

3.5 Distribusi Uniform Diskrit (Seragam)

Suatu variabel random X berdistribusi Uniform Diskrit, jika pdf-nya berbentuk :

N N

N, 1,2,...,

1



f(x) = Memiliki peluang yang sama

0, yang lain

Teorema :

Jika X DU(N), maka E x (N 1),dan

2 1 ) (   ( 1) 12 1 ) (x  N2  v Contoh :

Buktikan teorema diatas! Jawab :



  N x x xf x E 1 ) ( ) ( =



N x 1 =



N



N 12... 1 = N



a U_n



N 2  1 1 =





      _ 1 2 1 1 N N N =



1



2 1 _ N _(Terbukti)

 





2 2 ) ( ) (x 



x f x 



xf x v =









      _      2 2 2 2 1 4 1 ... 3 2 1 1 N N N

(33)

32 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com = ( 1) 12 1 2  N (Terbukti)

 VARIABEL ACAK KONTINU

3.6 Distribusi Uniform Kontinu

Suatu variabel acak X berdistribusi Uniform Kontinu pada interval (a,b), jika pdf-nya berbentuk : ) , ( ba UNIF x b x a a b b a x f pdf      ( , , ) 1 , = 0, yang lain a x , 0  F(x,a,b) CDF a x a b a x    , b x , 1 Teorema :

Jika X UNIF( ba, ), maka E x (b a),dan

2 1 ) (   ( )2 12 1 ) (x b a v   Contoh :



 b a dx x xf x E( ) ( ) =



 b a dx a b x 1

(34)

33 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com = _         b a x a b 2 2 1 1 =

   

      _  2 2 2 1 2 1 1 b a a b =



b a



b a



a b 2   1 1 = ( ) 2 1 a b (Terbukti)



        b a b a dx x xf dx x f x x v 2 2 ) ( ) ( ) ( =







      _   b a a b dx a b x2 2 4 1 1 = 3





2 4 1 3 1 1 a b b a x a b _         =



3 3

 

2 2



2 4 1 3 1 1 a ab b a b a b     =







2 2



2 2 4 1 2 1 4 1 3 1 1 a ab b a ab b a b a b       = 2 2 2 2 4 1 2 1 4 1 3 1 3 1 3 1 a ab b a ab b      = 2 2 12 1 6 1 12 1 a ab b   =



2 2



2 12 1 a ab b   =





2 12 1 a b (Terbukti)

(35)

34

3.7 Distribusi Gamma

Untuk memahami distribusi Gamma, perlu diketahui fungsi Gamma secara umum dan sifat-sifatnya. Secara umum, fungsi Gamma didefinisikan sebagai :

 

x t etdt  



  0 1  Sifat-sifatnya : 1. 

  

x  1

  

 x, 0 2. 

  

n  n1



!,nA 3. 

 

1 1 4.         2 1

X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi Gamma dengan parameter  positif dan

 negatif, jika pdf-nya berbentuk :



, ,



1

_{ }

, 0, 0, 0 : ) , ( 1         x e x x f GAM x x           

 dan merupakan parameter-parameter tertentu, merupakan parameter bentuk dan merupakan parameter skala. Karena  merupakan bentuk, maka bentuk kurva distribusi Gamma tergantung dari nilai  .

Teorema :

Jika X GAM(,), maka E(x),danv(x)2

Contoh :

 

xdx xf x E



  0 ) ( =

 

x x e dx x x       



_ 1 0 1

(36)

 

x e dx x x        



 ₀ 1 ) 1 ( 1 =

 

x





x e dx x      _ _         



 _  1 ) 1 ( 0 1 1 1 1 1 =





 





x e dx x                 



_    ( 1) 1 0 1 1 1 1 1 =

_{ }

 

.1      =  (Terbukti) Akibat khusus : CDF-nya : X GAM(,)



x



_{ }

t e dt F t    _      



_  1 0 1 , , Jika  2dan 2    , maka         2 , 2 ) ( 2   GAM GAM x x

Jika  1, maka GAM

 

,1 eksponensial

 

 3.8 Distribusi Eksponensial

X berdistribusi Eksponensial (X exp()), jika pdf-nya :



,



 1 , 0, 0  x e x f x     Jika    1 , maka : f

 

x, ex, 0,x0 CDF-nya berbentuk :   x e x F   1 ) , (

(37)

36

Jika X berdistribusi Eksponensial, maka E(x),danv(x)2

Secara khusus, distribusi Eksponensial merupakan distribusi yang sangat penting, khususnya di bidang teori (keandalan). Pada umumnya, pada distribusi eksponensial berlaku sifat no memory, seperti pada teorema berikut :

) exp(



X , jika hanya jika : P



xat|xa



 P



xt



,a o,t 0no memory

Bukti :







_



_





a x P a x danP t a x P a x t a x P         | = P



xat



=   a t a e e   ( ) = P



xt



(Terbukti) Contoh :

Masa usia sejenis komponen listrik berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 100 jam. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut dapat digunakan 50 jam lagi dari batas yang ditentukan perusahaan!

Jawab :

P = 0,6065

3.9 Distribusi Weibull

Seperti pembahasan sebelumnya, distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk mendapatkan keandalan sejenis komponen tertentu. Sama seperti distribusi Gamma maupun distribusi Eksponensial.

(38)

37

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Suatu variabel acak X wei



,



, 0, 0, maka :

0 , 1         x e x x      



x,,



 f 0, yang lain Jika  1, maka :





     e x x f , ,1 1 xexp() Jika  2, maka :





        2 2 2 , ,    x xe x f xRayleigh Bentuk CDF-nya :





            x e x F , , 1 Terorema :

Jika X wei(,), maka :

      _     1 1 ) (x E                            1 2 1 1 ) (x 2 2 v 3.10 Distribusi Normal

Distribusi ini dinamakan juga distribusi Gauss dan mempunyai 2 parameter. Selain kelebihan di atas, distribusi ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa kasus / persoalan yang terkait dengan distribusi hampiran (limited distribution). Salah satu teorema yang terkenal yang terkait dengan distribusi Normal adalah CLT (Central Limited Distribution).

Definisi :

Variabel X acak kontinu berdistribusi Normal dengan parameter  (mean) dan 

(39)





               x e x f N x x , 0 , , 2 1 , , ) , ( 2 2 1          

 

2 2 ) (        



R R dx x xf dx x f x x v = E



x



2 Sifat-sifat : 1. f



x,,



0 2.



f



x, ,



dx1 R   Contoh : Buktikan :



f



x, ,



dx1 R   Jawab : dx e x R 2 2 1 2 1        



    Ambil z x dz dx    1     = e z dz R 2 2 1 2 1 2



  Misal : dv v dz v z v z z v 2 1 2 2 2 1 . 2 2 2 2 1       = e v v 2dv 1 0 2 1 2 2 1 2   



_

(40)

39 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com = v evdv 



2 1 0 1  = v evdv  _



0 2 1 1  =

 

2 1 2 1 1 2 1 1 0 1                _

_

  _ _   dt t =   = 1

Selanjutnya, jika Z berdistribusi Normal baku dengan rata-rata  = 0 dan  = 1, yang dinotasikan z N(0,1), maka pdf-nya berbentuk :

 

    z e z pdf z , 2 1 2 2 1  

 

z

 

tdt CDF



      Sifat-sifat : 1. 

   

z  z  fungsigenap 2. N(0,1)simetris di z = 0 Teorema : Jika X N(,), maka F_x

 

x x P



x x



          Contoh :

Misalkan X variabel acak yang menyatakan masa pakai suatu komponen listrik dengan ukuran bulan. Jika variabel diasumsikan berdistribusi Normal dengan  = 60 dan 2 = 36

(41)

40

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com bulan. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut masa pakainya maksimal 4 tahun! Jawab :





         6 60 48 48  x P = 

 

2 = 

 

2 = 0,0228 Teorema : Jika X N(,), maka

 

2 2 2 1 t t x t e M    Bukti :

 

tx x t Ee M  Misal :     z x x z    

 

tx x t Ee M  = e f

 

z dz R t



2 = e e z dz R tz 2 2 1 2 1 



_ = e  z t e t dt R 2 2 2 1 2 1 2 1  



_ = e e  z t dz R t2 2 2 1 2 1 2 1  



_ = .1 2 2 1 t e Sehingga M_x

 

t M_₂__{ }_t

(42)

41 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com = t _z_{ }_t M e _ = 2 2 2 1 t t e e  = 2 2 2 1 t t e   (Terbukti) Teorema : Jika X N(,), maka :

 

x 'x

 

0 E 

 



 



2 0 ' 0 "_x _x x v   

(43)

42

BAB IV

JOIN DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

4.1 Join Distribusi (Distribusi Bersama)

Dalam analisis statistik, distribusi bersama umumnya distribusi yang terdiri dari k buah variabel random (berdimensi k) atau sering dinamakan vektor random.



X X X



vektoracak X  ₁, ₂,..., _k 

Definisi :

pdf bersama dari variabel acak diskrit berdimensi k (vektor random) didefinisikan sebagai

berikut :



X Xk



P



X x Xk xk



f 1,...,  1  1,..., 

= P



X1  x1...Xk  xk



Untuk semua nilai (x), X 



X1,X2,..., Xk



dari vektor random yang mungkin.

Contoh :

Sebuah dos berisi 1000 bolpen, 400 warna merah, 400 warna hitam, sisanya biru. Jika 10 bolpen diambil secara random sekaligus tanpa pengembalian, maka tentukan probabilitas banyaknya bolpen yang terambil berwarna merah, hitam, dan biru.

Jawab :





                           10 1000 200 400 400 , , 10 , 1000 X₁ X₂ X1 X2 n X1 X2 f , dengan X₁ X₂ X₃ n

Distribusi bersama biasanya terkait dengan distribusi multinomial (perluasan dari binomial).

4.2 Distribusi Multinomial

Misalkan terdapat k1_{kejadian yang terbatas dan saling asing, yakni}e1,e2,...,ek1 dengan e

(44)

43

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Misalkan Xi variabel acak menyatakan banyaknya kejadian Ei dari n eksperimen, maka

vektor random dikatakan berdistribusi multinomial, jika pdf-nya berbentuk :





1 1 1 1 1 1 1 , ... ! !... ! ,...,     Xk k X k k P P X X n X X f n i X n X k i i k  



    ,0 1 1



    k i i k P P 1 1 1



n P P Pk



mult X  , 1, 2,..., Teorema :

Suatu fungsi f



X₁,...,X_k



adalah pdf bersama untuk beberapa vektor random jika hanya jika berlaku : a. f



X1,..., Xk



0,i,i1,2,...,k b. ...



,...,



1 1 1 

 

X X k k X X f Contoh :

1. Sebuah bidang tetrahedron dilemparkan sebanyak 20 kali, masing-masing permukaaan mempunyai peluang yang sama, yakni 1/4. Tentukan probabilitas bahwa dari percobaan tersebut munculnya angka 1 adalah 4 kali, angka 2 adalah 6 kali, angka 3 dan 4 adalah 5 kali. Jawab : 20 5 5 6 4 4 1 ! 5 !. 5 !. 6 !. 4 ! 20 4 1 4 1 4 1 4 1 ! 5 !. 5 !. 6 !. 4 ! 20                                = 0,00890,9% 2. X mult



3;0,4;0,4



(45)

44 Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com X1/X2 0 1 2 3  0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216  f1(0) = P(X1=0) 1 0,048 0,192 0,192 0 0,432  f1(1) = P(X1=1) 2 0,096 0,192 0 0 0,288  f1(2) = P(X1=2) 3 0,064 0 0 0 0,064  f1(3) = P(X1=3)  0,216 0,432 0,288 0,064 1 Peluang :  harus 1  (0,4)0(0,4)0(0,2)3 = 0,008



x X



f

           

0,1 f 0,2 f 0,3 f 1,2 f 1,3 f 2,3 P        = 0,0480,0960,0640,19200 = 0,4 Definisi :

Jika pasangan variabel acak diskrit X1, X2 mempunyai pdf f



X1, X2



, maka pdf marginal

dari X1 dan X2 adalah :

 









 2 2 1 1 1 , X X X f X

f (X1 fixed and X2 variable)

 









 1 2 1 2 2 , X X X f X

f (X2 fixed and X1 variable)

CDF bersama dari k variabel acak (vector random) adalah suatu fungsi yang didefinisikan

sebagai berikut :



X Xk



F



X x Xk xk



F ₁,...,  ₁  ₁,..., 

Teorema :

Suatu fungsi F



X₁, X₂



adalah CDF bivarian jika hanya jika berlaku : 1. lim



₁, ₂





, ₂



0, ₂ 1 X X F X X F X     2. lim



₁, ₂





₁,



0, ₁ 2 X X F X X F X     