ANALISIS NILAI RATA-RATA DARI SUATU MODEL JARINGAN ANTRIAN TERTUTUP

(1)

JETri,

Volume 2, Nomor 2, Februari 2003, Halaman 29-36, ISSN 1412-0372

ANALISIS NILAI RATA-RATA DARI SUATU

MODEL JARINGAN ANTRIAN

TERTUTUP

Cecilia Susilawati

Dosen Jurusan Teknik Eelektro-FTI, Universitas Trisakti Abstract

In a closed queueing network model it will use mean value analysis to determine the network throughput for different value of p, to find the value of p that gives maximum network throughput and to indicate the network bottleneck. For certain chosen values of parameters involved in this model, it found that the maximum network throughput is 288.1 for p=0.67. The network bottleneck is the fast server. For p>0.67 the fast server is also the network bottleneck, but when p<0.67, the network bottleneck is the slow server.

Keywords: throughput, server, job

1. Pendahuluan

Suatu jaringan antrian umumnya terdiri dari beberapa

interconnected server yang terbatas, sedangkan job yang ada dirotasi dari

satu server ke server yang lain untuk memuaskan kebutuhan pelayanan. Masing-masing server tidak saling bergantungan.

Jika sejumlah job yang dirotasi didalam jaringan ini konstan dan bernilai K, maka dalam hal ini terbentuklah suatu jaringan antrian tertutup. Keberangkatan dari satu server menjadi kedatangan pada server yang lain. Haruslah diingat bahwa jaringan antrian tertutup mempunyai sifat stabil dan jumlah job maksimum disetiap server adalah K.

Pada Gambar 1. halaman berikut ini terlihat bahwa jaringan antrian tertutup yang digunakan terdiri dari 5 server. Jalur job dirotasi mulai dari titik A (server 1) dan berakhir pada titik B (server 4). Waktu pelayanan dari titik A dan B berbentuk distribusi eksponensial. Job dari titik A ke titik B melalui server 2 (fast server) mempunyai probabilitas p, sedangkan yang melalui server 3 (slow server) mempunyai probabilitas 1-p. Job dari titik B ke titik A melalui server 5. Server 5 ini dapat diasumsikan sebagai sebuah server yang tidak terbatas, hal ini disebabkan karena pada server 5 tidak terdapat waktu tunggu untuk job-job yang datang ke server ini. Pada tulisan

(2)

JETri,

Tahun Volume 2, Nomor 2, Februari 2003, Halaman 29-36, ISSN 1412-0372

ini akan dihitung throughput jaringan model antrian tertutup untuk berbagai nilai p, nilai p yang menyebabkan throughput jaringan mempunyai harga maksimum serta mengindikasi bottleneck jaringan.

m

₁

m

₂

m

_A

m

_B

1 1-p

p

₂

3

4

5

(3)

Cecilia Susilawati, Analisis Nilai Rata-Rata Dari Suatu Model Jaringan Antrian Tertutup

2. Notasi

Notasi yang digunakan dalam penulisan adalah sebagai berikut: K : umlah pekerjaan yang tetap

Si : waktu pelayanan dalam antrian

Vi : jumlah yang datang untuk antri sepanjang i

Di = Vi E(Si) : periode diantara 2 kedatangan yang sukses dari antrian Ni : jumlah pekerjaan di dalam antrian i

Wi : waktu tunggu dalam antrian i Ri : waktu respon per halaman

i : utilisasi dari server i

pij : probabilitas pergerakan dari antrian i ke antrian j

3.Analisa Nilai Rata-rata

Pada jaringan antrian, cara tradisional untuk mendapatkan solusi adalah dengan menggunakan karakteristik dari continuous time markov

chain untuk menghitung sistem dari keseimbangan persamaan untuk

distribusi probabilitas gabungan dari sistem.

Solusi dari persamaan keseimbangan, untuk beberapa jenis jaringan, seperti jaringan Jackson dan jaringan Gordon Newell adalah suatu bentuk dari simple terms.

Pada umumnya, probabilitas gabungan tidak terlalu mudah dan kadang-kadang tidak efisien. Jika kita hanya tertarik pada penghitungan rata-rata, seperti waktu tunggu rata-rata, waktu respon rata-rata atau

throughput jaringan tidak membutuhkan probabilitas steady state untuk

panjangnya antrian distribusi.

Pada bagian ini, digunakan pendekatan yang dinamakan analisa nilai rata-rata. Algoritma untuk pendekatan ini akan menghitung langsung pada statistik yang diinginkan dan telah dikembangkan serta diterapkan pada analisa antrian jaringan.

Analisa nilai rata-rata berdasarkan pada hubungan antara probabilitas distribusi steady state dari job saat dimana switch dari antrian yang satu pada server ke yang lain dan probabilitas distribusi steady state dari job-job dengan satu jobless.

(4)

JETri,





M i

K

Ni

E

K

1

)]

(

[

Hubungan ini dikenal sebagai teorema kedatangan untuk jaringan antrian tertutup. Pada jaringan antrian tertutup, bottleneck adalah antrian dengan permintaan service per halaman tertinggi (Haverkort, 1994: 5).

Dengan menggunakan teorema kedatangan, jika job bergerak dari antrian i ke antrian j pada jaringan antrian tertutup dengan jumlah job sebanyak K, akan didapat job rata-rata E[Nj(K-1)] .

Dengan hasil ini dan menganggap bahwa suatu job dilayani dengan sistem yang pertama datang adalah yang pertama dilayani, maka hubungan antara perhitungan rata-rata pada jaringan dengan K pekerjaan dan K-1 pekerjaan dapat dihitung secara rekursif.

Waktu tunggu rata-rata pada jaringan antrian tertutup dan waktu respon rata-rata tiap kedatangan dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

E[Wi(K)] = E[Ni(K-1)]E(Si) (1)

E[ri(K)] = {E[Ni(K-1)]+1}E(Si) (2)

Respon waktu rata-rata per halaman ditentukan dengan mengalikan (2) dengan rasio kedatangan Vi

E[Ri(K)] = {E[Ni(K-1)]+1}E[Si] Vi = {E[Ni(K-1)]+1}Di (3)

Angka harapan dari job pada antrian i diberikan dengan menggunakan little

formula [3] sebagai berikut:

E[Ni(k)] = (K)E[Ri(K)] (4)

Jumlah total pekerjaan pada jaringan antrian tertutup, K didapat dengan menjumlah persamaan (4) ke seluruh server. Pada akhirnya, hasilnya adalah persamaan (6).

(5)

 







 M i

K

Ri

E

K

1

)

(



)]

(

[

)

(

K

E

R

K





)]

(

[

)

(

K

R

E

K





=

(6) 4. Analisa perhitungan

Misalkan terdapat 100 job di antara titik A dan B. Waktu pelayanan di titik A dan B berupa distribusi eksponensial dengan kecepatan 300 pekerjaan per satuan waktu.

Kecepatan pelayan pada server 2,3 dan 5 adalah 200 job, 100 job, 100 job per satuan waktu. Akan dihitung throughput jaringan untuk berbagai nilai p. Nilai p yang menghasilkan throughput jaringan yang maksimum. Juga akan dicari dimana terletak bottleneck jaringan.

Berdasarkan persamaan (1) sampai dengan persamaan (6) akan dihitung throughput jaringan secara recursive untuk berbagai nilai p.

Selain itu untuk mencari bottleneck jaringan, permintaan service untuk masing-masing server dihitung untuk berbagai nilai p.

Hasil perhitungan dapat dilihat pada tabel 1 dan gambar 2 pada halaman berikut.

Throughput jaringan diperoleh untuk p = 0,67. Untuk p  0,67

bottleneck jaringan terdapat pada fast server yaitu server 2, karena pada

server 2 ini terdapat paling banyak permintaan service.

Bottleneck jaringan untuk nilai p  0,67 ada pada server 3 yang merupakan slow server. Bila p = 0,67 tetapi kecepatan service pada titik A dan B dikurangi menjadi 200 job per satuan waktu, maka throughput jaringan berkurang menjadi 98,89 dan titik A dan B menjadi bottleneck jaringan (Buitenhek, 1995: 2).

(6)

JETri,

Tabel 1. Nilai dari throutghput jaringan dan permintaan service untuk berbagai nilai p

p (100) D1 D2 D3 D4

0.05 105.26 3.33E-03 2.50E-04 9.50E-03 3.33E-03 0.1 111.11 3.33E-03 5.00E-04 9.00E-03 3.33E-03 0.15 117.65 3.33E-03 7.50E-04 8.50E-03 3.33E-03 0.2 125 3.33E-03 1.00E-03 8.00E-03 3.33E-03 0.25 133.33 3.33E-03 1.25E-03 7.50E-03 3.33E-03 0.3 142.86 3.33E-03 1.50E-03 7.00E-03 3.33E-03 0.35 153.85 3.33E-03 1.75E-03 6.50E-03 3.33E-03 0.4 166.67 3.33E-03 2.00E-03 6.00E-03 3.33E-03 0.45 181.8 3.33E-03 2.25E-03 5.50E-03 3.33E-03 0.5 200 3.33E-03 2.50E-03 5.00E-03 3.33E-03 0.55 222.22 3.33E-03 2.75E-03 4.50E-03 3.33E-03 0.6 250 3.33E-03 3.00E-03 4.00E-03 3.33E-03 0.65 282.75 3.33E-03 3.25E-03 3.50E-03 3.33E-03 0.67 288.10 3.33E-03 3.35E-03 3.30E-03 3.33E-03 0.7 283.52 3.33E-03 3.50E-03 3.00E-03 3.33E-03 0.75 266.6 3.33E-03 3.75E-03 2.50E-03 3.33E-03 0.8 250 3.33E-03 4.00E-03 2.00E-03 3.33E-03

(7)

p (100) D1 D2 D3 D4

0.85 253.29 3.33E-03 4.25E-03 1.50E-03 3.33E-03 0.9 222.22 3.33E-03 4.50E-03 1.00E-03 3.33E-03 0.95 210.53 3.33E-03 4.75E-03 5.00E-04 3.33E-03

0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p n et w o rk th ro ug h pu t

Gambar 2. Hubungan antara p dan througput jaringan

5. Kesimpulan

Berdasarkan pada contoh perhitungan pada model jaringan antrian tertutup, dapat disimpulkan bahwa jaringan tersebut akan maksimal untuk nilai p = 0.67 dengan fast servernya adalah jaringan bottleneck. Jika service rate di titik A dan B dikurangi dengan 200 job per satuan waktu, maka jaringan

bottleneck bukan lagi fast server, melainkan bottleneck jaringan berada di

titik A dan B (Wolff, 1989: 4). Perubahan yang muncul di servis rate dapat mengakibatkan perubahan-perubahan pada jaringan bottleneck karena jaringan tersebut adalah server dengan permintaan servis tertinggi.

(8)

JETri,

Daftar Pustaka

1. Buitenhek, R. et.al. 1995. An Evaluation of Approximate Mean Value

Analysis Algoritms for Closed Queueing Networks with Multiple Part Types, Working Paper, Department of Mechanical Engineering

University of Twente.

2. Haverkort, B.R. 1994 Simple Queueing Network Model, Internal Memoranda, University of Twente, The Netherlands.

3. Wolff, R.W. 1989. Stochastic, Modeling and Theory of Queue, Prentice Hall