MINGGU KE- V:
UKURAN PENYEBARAN
Tujuan Instruksional Umum :
1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan ukuran penyebaran
2. Mahasiswa mampu memahami berbagai pengukuran untuk mencari nilai ukuran penyebaran
3. Mahasiswa mampu memahami kegunaan atau fungsi dari nilai penyebaran
4. Mahasiswa mampu membedakan menghitung ukuran penyebaran untuk data yang dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan
Tujuan Instruksional Umum :
1. Mahasiswa mampu menghitung range untuk data yang dikelompokkan dan untuk data yang tidak dikelompokkan
2. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai deviasi kuartil untuk data yang dikelompokkan dan untuk data yang tidak dikelompokkan
3. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai dari deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan
4. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai deviasi standar untuk data yang dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan
5. Mahasiswa mampu menghitung kemencengan dan keruncingan untuk data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan
6. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai koefisien range, koefisien standar deviasi dan koefisien variasi.
7. mahasiswa mampu untuk menginterpretasikan arti nilai ukuran penyebaran
8. Mahasiswa mampu menggunakan aplikasi computer untuk mnghitung ukuran penyebaran.
PENGERTIAN
Yang dimaksud dengan ukuran penyebaran adalah persebaran data terhadap rata-ratanya. Semakin kecil nilai penyebarannya maka akan semakin dekat nilai datanya dengan rata-ratanya. Atau dikatakan datanya semakin homogen.
JENIS UKURAN PENYEBARAN A. Range
Range adalah selisih dari nilai tertinggi dengan nilai terendah. a. Untuk Data tidak berkelompok
Range = L – S L : Nilai tertinggi S : Nilai terendah
b. Untuk Data berkelompok
1. Batas Kelas tertinggi – Batas kelas terendah 2. Nilai tengah tertinggi – Nilai tengah terendah B. Deviasi Kuartil
Deviasi Kuartil dalam suatu rangkaian data adalah jarak antara kuartil I dengan kuartil III. Rumus Deviasi Kuartil untuk data yang tidak dikelompokkan dan data yang dikelompokkan adalah sama, selama nilai Kuartil I dan nilai kuartil III sudah diketahui. 2 1 3 K K QD C. Deviasi Rata-rata
Deviasi rta-rata adalah jumlah selisih mutlak setiap data terhadap rata-ratanya. a. Untuk Data tidak berkelompok
N X X AD
Dimana ; X : Data : X Rata-rata N : Jumlah datab. Untuk Data dikelompokkan N X X f AD
Dimana : f : Frekuensi kelas X : Data X Rata-rata : N : Jumlah data Contoh : Gaji karyawan Jumlah Karyawan Nilai Tengah X X f X X 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 8 12 9 7 4 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 30,6 20,6 10,6 0,6 9,4 19,4 29,4 122,4 123,6 84,8 7,2 84,6 135,8 117,6 676Diketahui dari perhitungan sebelumnya; 1 , 65 X Maka; 13,52 50 676 AD D. Deviasi Standard
Deviasi Standar adalah akar pangkat dua dari total selisih dengan nilai rata- ratanya.
N X X SD
( ) Dimana; X : nilai data X : Rata-rata N : Jumlah Datab. Untuk data yang dikelompokkan
2 2
N fX N fX SD Dimana ; f : frekuensi X : Nilai Tengah N: Jumlah data Contoh ; Gaji karyawan Jumlah Karyawan Nilai Tengah fX 2 X fX 2 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 8 12 9 7 4 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 138 267 436 774 670,5 591,5 378 1190,25 1980,25 2970,25 4160,25 5550,25 7140,25 8930,25 4761 11881,5 23762 49923 49952 49981,75 35721
fX 3255
fX2 225982,5 78 , 16 50 3255 50 5 , 22598 2 UKURAN PENYEBARAN RELATIF A. Koefisien Range S L S L KR L : Nilai tertinggi S : Nilai Terendah
B. Koefisien Deviasi Kuartil
1 3 1 3 K K K K QD K3: Kuartil 3 K1: Kuartil 1
C. Koefisien Deviasi Rata-rata
X AD QR
AD : Deviasi rata-rata
X : Rata-rata
D. Koefisien Deviasi Variasi
Koefisien Deviasi Standar disebut juga Koefisien Variasi, yang mempunyai peranan sangat penting guna membandingkan variasi dari sekelompok data dengan sekelompok data yang lain. Semakin kecil koefisien variasinya, maka datanya semakin homogen, semakin beesar koefisien variasinya maka data semakin heterogen. % 100 X V Dimana; : Deviasi Standar
X : Nilai rata-rata
Sedangkan koefisien variasi untuk sampel adalah : % 100 X S kv Dimana;
S : Deviasi stándar sampel
X : rata-rata sampel
E. Ukuran Kemencengan (Skewness) dan keruncingan (Kurtosis) 1. Skewness
Skewness menandakan kurva yang tidak simetris. Apabila kurva menceng ke kiri maka X Med Mod, apabila kurva menceng ke kanan maka
X Med Mod .
Ukuran tingkat Kemencengan atau Skew adalah :
S Mod X Tk Atau S Med X TK 3( ) Dimana ; X : rata-rata hitung Mod: modus S : Simpangan Baku
Med: median atau nilai tengah
2. Kurtosis
Dilihat dari tingkat keruncingannya, kurva distribusi normal di bagi menjadi tiga bagian yaitu :
a. leptokurtic (kurva sangat runcing) b. Platycurtic (kurva agak datar)
c. Mezokurtic (puncak tidak begitu runcing)
Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva dihitung : Untuk data yang tidak dikelompokkan:
4 1 4 4 4 4 ) ( 1 S X X n S M n i i
Untuk data yang dikelompokkan :
4 1 4 4 4 4 ) ( 1 S X M f n S M k i i i
Dimana; iX : nilai pada data ke-i X : Rata-rata
i
f : frekuensi
i
QUIZ I
1. Berikut ini adalah hasil nilai ujian 50 mahasiswa UIEU untuk mata kuliah statistika : 68 84 75 82 68 90 75 80 76 82
73 79 88 73 60 93 66 54 90 96 61 65 75 87 74 62 63 88 72 56 66 78 82 75 94 77 80 76 65 82 96 78 89 61 75 95 90 82 79 80
a. Susunlah distribusi frekuensi dari data tersebut b. Gambarkan grafik polygon dan histogramnya c. Gambarkan kurva ogive nya
2. Tabel di bawah ini adalah data yang menggambarkan harga sewa kos per bulan di daerah tanjung duren, dari 65 tempat kos yang ada
Harga Sewa Jumlah Tempat Kos
80 – 99 100 – 119 120 – 139 140 – 159 160 – 179 180 - 199 14 20 15 10 5 3
a. Hitunglah rata-rata dari harga sewa kos b. Hitunglah median dari harga sewa kos c. Hitunglah modus dari harga sewa kos
d. Berapa persentase dari rumah kos yang memiliki sewa kos lebih Rp. 119.500 per bulan
3. Data berikut ini adalah data gaji per minggu karyawan di PT Senang Selalu :
Gaji Jumlah Karyawan
40 – 59 60 – 79 80 – 99 100 – 119 120 – 139 140 – 159 160 – 179 2 6 22 27 23 15 5
a. Hitunglah gaji tertinggi dari 25% yang memiliki gaji terendah
c. Hitunglah nilai dari Desil 7 dan Desil 3
4. Dengan data yang sama dengan data di no. 3, hitunglah : a. Skewness, dan aapa artinya
MINGGU KE- VI & VII:
DASAR – DASAR
PROBABILITA
Tujuan Instruksional Umum :1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan probabilita
2. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan sample space, event dan peristiwa
3. Mahasiswa mampu memahami mengenai azas-azas probabilita
4. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan theorema bayes
Tujuan Instruksional Khusus :
1. Mahasiswa mampu menghitung probabilita dari suatu kejadian
2. Mahasiswa mampu menghitung Joint Probabilita, conditional Probabita dan Maginal Prbabilita
3. Mahasiswa mampu untuk menghitung menggunakan teorema bayes
4. Mahasiswa mampu untuk mengaplikasikan probabilita dengan bebbagai contoh kasus yang ada
PENGERTIAN
Probabilita adalah rasio dari kejadian yang menguntungkan dengan seluruh kejadian atau persitwa apabila setiap kejadian memiliki kesempatan yang sama.
Contoh:
a. Peristiwa dari pelemparan mata uang logam
Mata uang memiliki dua sisi, yaitu gambar dan angka. Apabila mata uang dilemparkan, maka probabilita keluar sisi gambar adalah :
P (sisi gambar) atau P (G) = ½ = 0,5 = 50%
Selain sisi gambar, probabilita keluar sisi angka adalah : P (sisi angka) atau P (A) = ½ = 0,5 = 50%
b. Peristiwa dari pelemparan dadu yang memiliki 6 sisi
Setiap dadu yang berbentuk kubus memiliki enam sisi, yang masing-masing sisi memiliki nilai yang berbeda, yaitu 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Apabila dadu tersebut dilempar, maka probabilita keluar sisi dadu bernilai 2 adalah:
P (sisi 2) = 1/6
Sedangkan probabilita keluar mata dadu bernilai genap : P (sisi 2, sisi 4 dan sisi 6) = 3/6 = ½
c. Perstiwa dari pengambilan kartu bridge
Kartu bridge terdiri dari 52 kartu yang terdiri dari 4 jenis gambar yaitu Jantung, Diamond, Sekop, Cengkeh. Setiap satu jenis terdiri dari 13 kartu yang bernomor As, 2 – 9, Jack, Queen, dan King. Apabila kartu bridge dikocok, maka probabilita terpilihnya kartu As adalah ;
P (As) = 4/52 = 1/13
Probabilita terpilihnya kartu Jantung (Heart) adalah : P (Jantung) = 13/52 = ¼
Probabilita terpilihnya kartu berwarna merah ; P (merah) = 26/52 = 1/2
RUANG SAMPEL/SAMPLE SPACE
Ruang sample adalah himpunan yang mempunyai unsur seluruh peristiwa atau kejadian. Contoh :
a. Pelemparan mata uang
i. Pelemparan satu mata uang
Apabila satu mata uang dilempar, maka ada dua kemungkinan hasilnya, apakah akan keluar sisi gambar atau akan keluar sisi angka. Sehingga yang masuk sebagai ruang sample ada dua, yaitu sisi gambar dan sisi angka ii. Pelemparan dua mata uang secara bersama-sama
Apabila dua mata uang dilempar secara bersamaan, maka ada beberapa kemungkinan hasil yang akan keluar, yaitu ;
(Angka, Gambar) (gambar, Angka) (Gamba, Gambar)
Dengan demikian keempat kemungkinan tersebut adalah bagian dari ruang sample.
b. Pelemparan dadu
Seluruh sisi yang mungkin keluar dalam pelemparan dadu akan masuk kedalam ruang sample. Namun dapat dilakukan sub ruang sample, apabila ingin dibedakan antara dadu bersisi ganjil dengan dadu yang bersisi genap.
EVENT ATAU PERISTIWA
Peristiwa atau event adalah kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari suatu percobaan. Misal:
Probabilita terjadi A atau disebut sebagai probabilita kejadian A, dituliskan : P (A) = m n , dimana ; A : Peristiwa A n: banyaknya peristiwa A
m: Jumlah seluruh peristiwa
Kemudian probabilita kejadian bukan A, dirumuskan sebagai berikut :
m n A
P( ) 1
ASAS-ASAS MENGHITUNG PROBABILITA
1. Range Nilai Probabilita
2. Complements - Probability of not A – Probabilita kejadian bukan A
1 ) ( 0 P A
)
(
1
)
(
A
P
A
P
3. Intersection - Probability Kejadian A dan B ( Persitiwa saling meniadakan)
4. Union - Probability kejadian A atau B (Peristiwa mutually exlusive, tidak saling
meniadakan)
Contoh Kasus :
a. Dari 52 kartu bridge, berapa probabilita terpilihnya kartu As atau Heart ? Persitiwa terambilnya kartu As = P(A) = 4/52
Persitiwa terambilnya kartu Heart = P (H) = 13/52
Peristiwa terambilnya kartu As yang juga Heart = P (A dan H) = 1/52 Maka; P (A Atau H) = 4/52 + 13/52 -1/52 = 16/52 = 4/13
b. Berikut ini data sekelompok mahasiswa Jurusan Manajemen UIEU Kelompok Jenis Kelamin Usia
I II III IV V Laki – laki Laki – laki Laki – laki Wanita Wanita 25 tahun 19 tahun 20 tahun 21 tahun 18 tahun
Berapa probabilita terpilihnya mahasiswa yang memiliki usia lebih dari 20 tahun : Probabilita terpilihnya karyawan wanita = P (W) = 2/5
Probabilita terpilihnya karyawan yang berusia lebih dari 20 tahun = P( U) = 2/5
Probabilita terpilihnya karyawan wanita yang berusia lebih dari 20 tahun = 1/5 P (A atau B ) = 2/5 + 2/5 – 1/5 = 3/5 ) ( ) ( ) ( S n B A n B A P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( P A P B P A B S n B A n B A P
5. Marginal Probability
Marginal probability adalah persitiwa tanpa syarat, dimana peristiwa yang lain tidak ada hubungannya dengan persitwa yang lainnya.
Probabilita terjadinya peristiwa A = P(A) Probabilita terjadinya peristiwa B = P (B)
6. Joint Event
Joint event adalah terjadinya dua peristiwa secara bersama-sama atau secara berurutan. Dimana P (AB) = P (BA) = P (A) P(B) tetapi aturan ini hanya dapat diterapkan apabila peristiwa tersebut independen
Selain itu, apabila joint event mengikuti aturan yang diterapkan di Conditional Probability maka akan menjadi atau apabila peristiwa tersebut tidak independent, maka:
) ( ) ( ) (XY P X P XY P 2. Conditional Probability
Conditional Probability adalah dimana suatu peristiwa terjadinya didahului oleh peristiwa lainnya sebagai syarat .
Aturan dari Conditional Probability :
) ( ) ( ) ( X P XY P X Y P Contoh kasus :
Dalam satu kotak terdapat 10 buah bola, dimana 2 bola merah bergaris, 3 bola merah kotak, 4 bola biru bergaris dan 1 bola biru kotak-kotak.
Pertanyaan:
a. Berapa probabilita terambilnya bola bergaris dengan syarat merah?
4 , 0 5 2 10 5 10 2 ) ( ) ( ) ( M P GM P M G P
b. Berapa proabilita terambilnya bola kotak-kotak dengan syarat merah?
6 , 0 10 5 10 3 ) ( ) ( ) ( M P KM P M K P
8 , 0 10 5 10 4 ) ( ) ( ) ( B P GB P B G P
d. Berapa probabilita terambilnya bola kotak-kotak dengan syarat biru?
2 , 0 10 5 10 1 ) ( ) ( ) ( B P KB P B K P BAYES’ THEOREM
Theorema Bayes pada dasarnya hamper sama dengan Conditional Probability, dan aturan pada Bayes juga diturunkan dari aturan yang ada pada Conditional Probability.
Pada aturan Conditional Probability :
) ( ) ( ) ( X P YX P X Y P Diketahui bahwa P(YX)P(Y)P(Y X)
Sehingga aturan bayes menjadi ;
) ( ) ( ) ( ) ( X P X Y P Y P X Y P
