PROGRAM LINEAR. Fattaku Rohman, S.Pd. Kelas XII SMA Titian Teras Jambi

(1)

Fattaku Rohman, S.Pd

Kelas XII SMA Titian Teras Jambi

PROGRAM

(2)

Apersepsi

Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar

Materi

(3)

Apersepsi

Setiap orang atau perusahaan pasti menginginkan keuntungan atau laba sebesar–besarnya dengan alokasi sumber yang terbatas. Sebagai contoh, sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal pesiar. Model I membutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam untuk menyelesaikannya. Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotong dan merakit serta 30 jam untuk menyelesaikannya. Waktu yang tersedia 360 jam untuk memotong dan merakit serta 300 jam untuk menyelesaikannya. Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar Rp4.500.000,00 dan model II sebesar Rp6.000.000,00. Apakah Anda dapat menentukan berapa banyak kapal pesiar model I dan model II yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum?

Kasus di atas adalah salah satu contoh permasalahan program linear.

Masalah semacam itu sering kita jumpai dalam dunia usaha, ekonomi, ilmiah, dan sebagainya. Masalah program linear adalah masalah yang berhubungan dengan penentuan maksimum atau minimum suatu fungsi linear dengan kendala–kendala berupa sistem pertidaksamaan linear.

(4)

Standar Kompetensi

Standar Kompetensi :

Menyelesaikan masalah program linear.

Kompetensi Dasar :

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel Merancang model matematika dari masalah program linear

(5)

Sebelum membahas pengertian sistem pertidaksamaan

linear dua variabel, perlu diingat kembali tentang

pertidaksamaan linear.

Bentuk-bentuk pertidaksamaan linear : ax + by > c, ax

+ by < c, ax + by  c dan ax + by  c, a, b, c dan d

adalah konstanta dan x,y adalah variabel.

Daerah penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan

linear adalah daerah yang memuat nilai-nilai (x,y) yang

memenuhi pertidaksamaan tersebut.

(6)

Perhatikan garis 3x + 5y = 15 di samping.

Nampak bahwa daerah pada diagram kartesius terbagi menjadi 2, yaitu daerah di atas garis dan daerah di bawah garis.

X Y

3

5

Jika kita substitusikan sembarang titik di bawah garis 3x + 5y = 15 ke ruas kiri persamaan tersebut (yaitu 3x + 5y), maka ternyata hasilnya kurang dari 15.

Contoh diambil titik O(0,0). O(0,0)  3.0 + 5.0 = 0 < 15

Ini berarti, daerah di bawah garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah

penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y < 15 dan sebaliknya daerah di atas garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y  15.

(7)

Sistem Pertidaksamaan Linear … .

Cara singkat :

Misal terdapat garis ax + by = c

Jika b > 0 (positif)

• Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di atas garis • Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di bawah garis

Jika b < 0 (negatif)

• Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di bawah garis • Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di atas garis

(8)

Sistem Pertidaksamaan Linear

Contoh :

Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x + 3y  6 sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!

Jawab : X Y 2 Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (3, 0) dan (0, 2) 2x + 3y = 6 X 0 3 y 2 0 (0, 2) (3, 0) 3 Daerah Himpunan Penyelesaian

(9)

Sistem Pertidaksamaan Linear

Contoh :

Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x - 3y  6 sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!

Jawab : X Y -2 Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (3, 0) dan (0, -2) 2x - 3y = 6 X 0 3 y -2 0 (0, -2) (3, 0) 3 Daerah Himpunan Penyelesaian

(10)

Sistem Pertidaksamaan Linear

Sistem pertidaksamaan linear yaitu sebuah sistem yang terdiri dari dua buah pertidaksamaan linear atau lebih.

Daerah himpunan penyelesaian dari sebuah sistem pertidaksamaan

linear merupakan irisan dari daerah penyelesaian tiap pertidaksamaan yang membangunnya.

Contoh :

Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear

x + y  6; x  2; y > 1 Jawab : 6 6 X Y 2 1 x + y = 6 x 0 6 Y 6 0 (0, 6) (6, 0) HP

(11)

Sistem Pertidaksamaan Linear

4 3 3 4 X Y Contoh :

Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 4x + 3y  12; 3x + 4y  12; x  0; y  0

Garis 4x + 3y = 12 melalui titik (3, 0) dan (0, 4)

Jawab :

Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan (0, 3)

(12)

Model Matematika

Contoh

Susi ingin membeli dua jenis jeruk, jeruk A dengan harga Rp 6.000,00 per kg dan jeruk B dengan harga Rp 4.000,00 per kg. Ia hanya menyediakan uang Rp 50.000,00, sedangkan kapasitas keranjang yang ia bawa hanya 10 kg. Buatlah model matematika dari masalah ini!

Jawab :

6.000 x + 4.000 y < 50.000 atau 3x + 2y < 25 x + y < 10

x > 0; y > 0

Model matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa persamaan,

pertidaksamaan maupun fungsi) yang diperoleh dari penafsiran seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah sehari-hari (masalah program linear) ke dalam bahasa matematika.

(13)

Model Matematika

Jawab :

Contoh:

Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis A dan B masing-masing hanya mampu mengangkut 4 orang dan 6 orang.

Tentukan model matematika untuk masalah ini.

x + y < 100

4x + 6y < 500

x > 0, y > 0.

(14)

Fungsi Obyektif

Fungsi obyektif atau fungsi sasaran atau fungsi tujuan adalah fungsi yang berbentuk f(x,y) = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya (nilai maksimum atau nilai minimum) untuk (x,y) yang memenuhi syarat tertentu.

Contoh :

Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal Rp 15.000,00 dan harga sepasang sepatu Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang sandal dan sepatu. Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp 5.000,00

dengan keadaan ini pedagang tersebut ingin mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Tentukan model matematika permasalahan tersebut

lengkap dengan fungsi obyektif yang menyatakan keuntungan pedagang tersebut!

(15)

Fungsi Obyektif

Jawab :

Misal : banyaknya pasangan sandal = x banyaknya pasangan sepatu = y Model matematika :

15.000x + 30.000y < 600.000 atau x + 2y < 40 x + y < 30

x > 0, y > 0

Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y

(Perhatikan bahwa fungsi f(x,y) = 4.000x + 5.000y menyatakan besar

keuntungan yang diperoleh pedagang, yang nilainya tergantung dari banyak sandal dan sepatu yang ia jual)

(16)

Fungsi Obyektif …

Contoh :

Seorang pasien diharuskan mengkonsumsi vitamin A paling sedikit 1000 mg dan vitamin C paling sedikit 1250 mg tiap hari. Tersedia 2 jenis kapsul, kapsul jenis I mengandung 50 mg vitamin A dan 75 mg vitamin C. Kapsul jenis II mengandung 60 mg vitamin A dan 50 mg vitamin C. Jika harga 1 butir kapsul jenis I dan jenis II masing-masing adalag Rp 8.000,00 dan Rp 6.000,00 maka tentukan model matematika dari masalah ini!

Jawab :

Misal banyak kapsul jenis I = x dan banyak kapsul jenis II = y Maka model matematika dari masalah ini adalah

50x + 60y > 1.000 atau 5x + 6y > 100 75x + 50y > 1250 atau 3x + 2y > 50 x > 0; y > 0

Fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y

(Perhatikan bahwa fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y menyatakan besar pengeluaran pasien tiap hari, yang tergantung dari banyak kedua kapsul yang ia konsumsi)

(17)

Nilai Optimum Fungsi Obyektif

Untuk menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi obyektif, cara yang biasa digunakan adalah dengan uji titik pojok atau

dengan garis selidik.

1). Uji Titik Pojok

Menentukan nilai optimum fungsi obyektif f(x, y) = ax + by dengan uji titik pojok dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi tersebut untuk setiap titik pojok (x, y) dari daerah himpunan penyelesaian.

2). Garis Selidik

Apabila suatu persoalan program linear dengan fungsi obyektif f(x, y) = ax + by akan diselesaikan menggunkan garis selidik, maka persamaan umum garis selidik tersebut adalah ax + by = k. Dengan menggeser-geser garis ini melintasi semua daerah himpunan penyelesaian menjauhi dan mendekati titik O(0, 0) akan diperoleh nilai-nilai k yang berbeda.

Nilai maksimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling jauh dari titik O

Nilai minimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling dekat dari titik O

(18)

Nilai Optimum Fungsi Obyektif

Contoh :

Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal Rp 15.000,00 dan harga sepasang sepatu Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang sandal dan sepatu. Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp 5.000,00 maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Jawab :

Model matematika x + 2y < 40

x + y < 30 x > 0, y > 0

Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y

X Y

30

20

40

30 HP

(20, 10)

Titik (x, y) f(x, y)= 4.000x + 5.000y

(0, 0) 0

(30, 0) 120.000

(20, 10) 130.000

(0, 20) 100.000

(19)

Nilai Optimum Fungsi Obyektif

Contoh :

Tentukan nilai minimum fungsi z = 5x + 3y dengan syarat x + y > 4, x + 3y > 6, x > 0, y > 0.

Jawab :

Uji titik pojok

Titik (x,y) f(x,y)

(6, 0) 30

(3, 1) 18

(0, 4) 12

Jadi nilai minimum fungsi z = 5x + 3y adalah 12, yang dicapai di titik (0, 4).

(20)

Nilai Optimum Fungsi Obyektif

Contoh :

Tentukan nilai maksimum dari Z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut Garis selidik x + 3y = 0 melalui titik (0, 0) dan (3, -1)

x + y = 7

7x + 2y = 14

2x - 5y = 0

y = x + 1

X

Y

Maksimum y = x + 1 x + y = 7 Diperoleh x = 3 dan y = 4 Sehingga nilai maksimum

(21)

Berikut ini disediakan 5 (lima) butir soal untuk menguji kompetensi dari materi yang telah Kalian pelajari.

(22)

Uji Kompetensi

Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan A B C D

2 ≤ y ≤ 4; x + y ≤ 5; y ≥ 0

2 ≤ x ≤ 4; x + y ≤ 5; x ≥ 0

2 ≤ y ≤ 4; x + y ≥ 5; y ≥ 5

2 ≤ x ≤ 4; x + y ≤ 5

2 ≤ y ≤ 4; x + y ≤ 5; x ≥ 0

5 X Y 5 2 4 E

(23)

Luas suatu tempat parkir 200 m2_{. Untuk memarkirkan mobil rata-rata}

diperlukan tempat seluas 10 m2 _{dan untuk bus rata-rata 20 m}2_{. Tempat parkir} tersebut tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika di tempat parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, maka x dan y harus memenuhi syarat .... A B C D

x + y ≤ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0

x + y ≥ 12; x + 2y ≥ 20; x ≤ 0; y ≤ 0

x + y ≤12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0

x + y ≤ 12; x – 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0

x + y ≥ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0

E

Uji Kompetensi

(24)

Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis A dan B masing-masing hanya mampu mengang-kut 4 orang dan 6 orang.

Model matematika untuk masalah ini adalah...

A B C D x  0, y  0, x + y  100, 2x + 3y  250 x  0, y  0, x + y  100, 2x + 3y  250 x  0, y  0, x + y  120, 2x + 3y  500 x  0, y  0, x + y  500, 3x + 2y  100 x  0, y  0, x + y  500, 2x + 3y  100 E

Uji Kompetensi

(25)

Nilai minimum fungsi z = 2x + 5y dengan syarat x + 2y  6, 2x + y  6, x  0, y  0 adalah... A B C D 4 7 10 12 14 E

Uji Kompetensi

(26)

Sebuah pesawat mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang tiap penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. Jika harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp 100.000,00. Agar diperoleh pendapatan maksimum, maka banyak penumpang kelas utama adalah … .

A B C D 4 7 10 12 14 E

Uji Kompetensi

(27)