PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH RAHMA NUR CAHYANI

(1)

commit to user

i

PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE

(STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH

oleh

RAHMA NUR CAHYANI

M0105059

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

(2)

commit to user

ii

ABSTRAK

Rahma Nur Cahyani, 2010. PEMODELAN

SMOOTH TRANSITION

AUTOREGRESSIVE (STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP

RUPIAH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas

Maret

Runtun waktu finansial dan perekonomian suatu negara, termasuk kurs

mempunyai kecenderungan nonlinier sehingga diperlukan suatu uji nonlinieritas. Jika

asumsi nonlinier dipenuhi maka diperlukan model yang nonlinier untuk memodelkan

runtun waktu tersebut. Runtun waktu nonlinier dapat dimodelkan menggunakan

model Smooth Transition Autoregressive (STAR). Terdapat dua tipe model STAR,

yaitu Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth

Transition Autoregressive (ESTAR).

Tujuan skripsi ini adalah menentukan model runtun waktu nonlinier yang

sesuai untuk kurs thai bath terhadap rupiah kemudian menggunakan model tersebut

untuk meramalkan kurs dolar thai bath terhadap rupiah pada satu periode ke depan.

Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi kasus. Data yang digunakan

adalah kurs thai bath terhadap rupiah periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010

sebagai in-sample dan periode 12 April 2010 sampai 9 Juli 2010 sebagai out-of

sample.

Hasil pemodelan nonlinier yang diperoleh adalah model LSTAR (2,2).

Berdasarkan nilai standar deviasi dan Akaike Info Criterion (AIC) pada pembentukan

model data in-sample, model LSTAR (2,2) berhasil memodelkan kenonlinearan

runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah dengan cukup baik. Akan tetapi

berdasarkan mean squared error (MSE) dan mean percentage error (MAPE),

evaluasi peramalan pada out-of sample menunjukkan bahwa hasil ramalan model

LSTAR (2,2) kurang akurat.

(3)

commit to user

iii

ABSTRACT

Rahma Nur Cahyani, 2010. SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE

(STAR) MODELLING IN THAI BATH EXCHANGE RATE OF THAILAND

TO THE INDONESIAN RUPIAH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences.

Sebelas Maret University

During the past years investigators have found evidence indicating that

financial and economic time series, such as exchange rate may be nonlinear. In this

final project it is assumed that the time series is nonlinear, then it can be adequately

described by a Smooth Transition Autoregressive (STAR) model. The STAR-type

nonlinearities are Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) and

Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR).

The purpose of this final project is to determine nonlinear time series model

that appropriate for thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah and

then use the model to forecast the thai bath exchange rate of Thailand to the

Indonesian rupiah in one period to the future. The method applied in this final project

is case study. Data applied for modelling this nonlinear time series is thai bath

exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah between 1 Januari 2005 to 9 April

2010 periods as in-sample and 12 April 2010 to 9 July 2010 as out-of sample.

The result of modelling nonlinearity is LSTAR (2,2) model. Based on the

value of standarized deviation and Akaike Info Criterion (AIC), the model described

the nonlinearity of thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah

succesfully. Nevertheless, forecast evaluation to the out-of sample showed less

forecast accuracy.

(4)

commit to user

iv

MOTO

“… dan tiada sehelai daun pun yang gugur melainkan Dia mengetahuinya (pula)....” (Al-An’aam: 59)

”Aku sesuai dengan prasangka hambaKu kepadaKu, maka Berprasangkalah ia kepadaKu sesukanya.”

(5)

commit to user

v

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

♥ Orang tuaku tercinta

Yang selalu melimpahkan kasih sayang, mendidik, mendoakan, dan memberikan dukungan. Terima kasih untuk semuanya.

♥ Kakak dan adikku tersayang

Yang selalu memberikan kebahagiaan, keceriaan, dan semangat. Kalian membuat hariku lebih berwarna.

♥ Sahabat-sahabatku

Untuk setiap waktu, semangat, dukungan, dan perhatian kalian. Tetaplah menjadi sahabat-sahabat terbaikku.

(6)

commit to user

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirohmanirrohim. Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur penulis

panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini banyak pihak yang

telah membantu. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada

1. Drs. Sugiyanto, M.Si., sebagai Pembimbing I yang telah dengan sabar dan

teliti memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

2. Supriyadi Wibowo, M.Si., sebagai Pembimbing II yang telah dengan sabar

dan teliti memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

3. Winita Sulandari, M.Si., selaku pembimbing akademik yang dengan sabar

membimbing dan memotivasi penulis.

4. Bapak dan ibu, atas doa, dukungan, kasih sayang, perhatian, dan pengorbanan

yang diberikan selama ini.

5. Kakak dan adikku, atas keceriaan yang diberikan, kalian membuat hariku

lebih berwarna.

6. Sahabat-sahabatku, untuk setiap waktu, semangat, dukungan, dan perhatian

kalian.

7. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi seluruh

pembaca.

Surakarta,

Juli

2010

(7)

commit to user

vii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ………....

i

HALAMAN PENGESAHAN ………..

ii

ABSTRAK………... iii

ABSTRACT………... iv

MOTO……… v

PERSEMBAHAN………. vi

KATA PENGANTAR ………...

vii

DAFTAR ISI ……….

viii

DAFTAR GAMBAR..………..

x

DAFTAR TABEL….……….

xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL………...

xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang……….……….…………

1.2 Perumusan Masalah………..………....

1.3 Batasan Masalah………..……….

1.4 Tujuan Penelitian………..………

1.5 Manfaat……….………..…………..

1

2

3 BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka……….

2.1.1 Return………...………..

2.1.2 Stasioneritas Proses Autoregresif Linear ………

2.1.3 Estimasi Parameter AR Linear………

2.1.4 Model Smooth Transition Autoregressive (STAR) …..……..…

2.1.5 Uji Nonlinearitas………..

2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi…………..………..

4

7

9

11

14

(8)

commit to user

viii

2.1.7 Pemilihan Fungsi Transisi……….………..

2.1.8 Estimasi Parameter Model STAR………

2.1.9 Pemeriksaan diagnostik………...………

2.1.10 Kriteria Pemilihan Model………

2.1.11 Peramalan………

2.1.12 Evaluasi Hasil Peramalan………

2.2 Kerangka Pemikiran……….………...

BAB III METODE PENELITIAN……….………

14

17

19

20

21

22 BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi Data………

4.2 Stasioneritas Data……….………

4.3 Identifikasi Model AR LInear………..………

4.4 Estimasi dan Evaluasi Model AR Linear……..………...

4.5 Uji Nonlinearitas………...………

4.6 Identifikasi Model STAR……….

4.7 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR (2,1) ………

4.8 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR (2,2).………

4.8.1 Uji Autokorelasi Residu………..…..

4.8.2 Uji Efek Heteroskedastisitas……...………...

4.8.3 Distribusi Residu……….………..

4.9 Peramalan dan Evaluasi………...……….………

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan………..……….……

5.2 Saran……….…………

DAFTAR PUSTAKA………..………

LAMPIRAN………

23

24

25

27

29

31

32

33

34

35

38

39

40

(9)

commit to user

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Plot Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai

9 April 2010………..…

23 Gambar 4.2 Plot Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari

2005 sampai 9 April 2010………...……….…………

24 Gambar 4.3 Plot ACF dan PACF Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah

Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010……….…...………

25 Gambar 4.4 Plot Log Return, Hasil Estimasi, dan Residu Model LSTAR (2,2) ….

32 Gambar 4.5 Histogram dan Ringkasan Statistik Residu Model LSTAR (2,2) …… 34

Halaman

(10)

commit to user

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1

Ringkasan Statistik Data Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1

Januari 2005 sampai 9 April 2010………..

23 Tabel 4.2

Hasil Estimasi Model AR(2) Tanpa Konstanta pada Data Log

Return……….……….…………

26 Tabel 4.3

Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu Model AR(2)……

26 Tabel 4.4

Uji Nonlinearitas pada Data Log Return ………...…… 27

Tabel 4.5

Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi

X

t−1

pada Uji

Nonlinearitas pada Data Log Return……….……….

28 Tabel 4.6

Hasil Estimasi Model LSTAR (2,1) ……….………. 29

Tabel 4.7

Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,1) …... 30

Tabel 4.8

Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi

X

_t₋₂

pada Uji

Nonlinearitas pada Data Log Return………..……

31 Tabel 4.9

Hasil Estimasi Model LSTAR (2,2)………..…………. 31

Tabel 4.10

Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,2) …... 33

Tabel 4.11

Uji Lagrange Multiplier sampai lag-1 untuk Residu Model LSTAR

(2,2) ………

34 Tabel 4.12

Evaluasi Peramalan Model LSTAR (2,2) dan AR (2)……… 37

Halaman

(11)

commit to user

xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

t

X

:

log return pada waktu t

T

: jumlah

observasi

( )

E

: harga

harapan

k

γ

: autokovariansi

pada

lag-k

k

c

:

estimasi autokovariansi pada lag-k

k

ρ

_:

_{autokorelasi pada lag-k}

k

r

: estimasi

autokorelasi

pada

lag-k

kk

φ

:

autokorelasi parsial pada lag-k

k

φ

ˆ

_:

_{estimator autokorelasi parsial pada lag-k}

B

: operator

Backward Shift

φ

: parameter

autoregresif

θ

: parameter

STAR

φ

ˆ

: estimasi

parameter

autoregresif

θ

ˆ

_:

_{estimasi parameter STAR}

p

_:

_{order parameter autoregresif}

µ

_{: rata-rata}

2

σ

: variansi

*

SSR

:

jumlah kuadrat residu

2

R

: koefisien

determinasi

t

ε

: residu

model

autoregresif pada waktu t

{ }

ε

t

: deret

white noise

t

Ω

:

himpunan semua informasi

X pada saat sampai di waktu t

_t

(12)

commit to user

xii

c

:

parameter lokasi pada STAR

d t

X

₋

:

variable transisi pada STAR

d

:

delay

)

,

(

c

X

_t _e

G

γ

₋

: fungsi

transisi

)

,

(

c

X

t d

R

_•

γ

₋

: fungsi

remainder

)

,

(

c

X

t d

T

_•

γ

₋

: pendekatan

Taylor

untuk fungsi transisi

Xˆ

: estimasi

log

return

β

:

parameter regresi bantu

e

:

residu model regresi bantu

b

:

estimasi parameter regresi bantu

r

: jumlah

observasi

out-of sample

(

Xt h t

)

E ₊ Ω

:

harga harapan bersyarat dari

X

t+h

diberikan

Ω

t

( )

D

: turunan

pertama

l

: fungsi

log

likelihood

2

χ

: statistik

uji

Breusch-Godfrey

M

: jumlah

parameter

n

: jumlah

rasidu

*

ξ

: statistik

uji

Lagrange Multiplier

2

p

χ

: distribusi

Chi-Squared dengan derajat bebas p

(13)

commit to user

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Globalisasi dalam bidang ekonomi menyebabkan berkembangnya sistem perekonomian dan perdagangan ke arah yang lebih terbuka antar negara. Hal ini membawa suatu dampak ekonomis terjadinya perdagangan internasional antar negara-negara di dunia. Perbedaan mata uang yang digunakan oleh negara-negara yang bersangkutan baik negara pengekspor maupun pengimpor menimbulkan suatu perbedaan nilai tukar mata uang (kurs). Perubahan nilai tukar disebut fluktuasi nilai tukar, dengan adanya perbedaan nilai tukar ini memberikan kesempatan bagi pihak-pihak tertentu untuk mengambil keuntungan. Kurs juga dapat dijadikan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara.

Mata uang Thailand (thai bath) dianggap sebagai salah satu mata uang regional yang mempengaruhi perekonomian Asia. Krisis ekonomi yang terjadi di kawasan Asia, termasuk Indonesia pada tahun 1997 berawal dari devaluasi nilai thai bath (www.wikipedia.com). Mengingat besarnya dampak dari fluktuasi kurs terhadap perekonomian maka diperlukan suatu manajemen kurs yang baik. Fluktuasi dapat diprediksi menggunakan analisis runtun waktu finansial karena deretan observasi dari variabel random kurs thai bath terhadap rupiah dapat dinyatakan sebagai data runtun waktu.

Dalam analisis runtun waktu, nilai masa kini dipengaruhi oleh nilai sejenis di masa lalu. Jika hanya nilai data masa lalu yang berpengaruh maka proses yang terjadi dinamakan proses autoregresif. Dengan metode Box-Jenkins dapat disusun model autoregresif untuk proses tersebut. Model yang dihasilkan dalam metode ini adalah model-model linear, sementara tidak semua runtun waktu finansial adalah linear (Tsay, 2002). Menurut Derek (2007), kurs termasuk runtun waktu finansial yang memiliki kecenderungan nonlinear. Jika uji nonlinearitas menunjukkan bahwa asumsi nonlinearitas dipenuhi maka kurang sesuai jika digunakan model linear konvensional seperti metode Box-Jenkins. Oleh karena itu, diperlukan model baru yang nonlinear terhadap data tersebut. Model Smooth

(14)

commit to user

2

Transition Autoregressive (STAR) merupakan model nonlinear yang sesuai untuk

pemodelan kurs (Derek, 2007). Model STAR terbagi menjadi model Logistic

Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR).

Sejak adanya artikel dari Terasvirta dan Anderson (1992) dan Terasvirta (1994), model STAR telah menjadi pemodelan nonlinear yang populer dalam terapan bidang ekonomi modern. Model STAR telah diterapkan dalam pemodelan dinamik dari berbagai macam runtun waktu finansial dan ekonomi, seperti produksi industri oleh Terasvirta dan Anderson (1992), suku bunga oleh Van Dijk dan Franses (2000), nilai tukar mata uang oleh Taylor, Peel, dan Sarno (2001), dan tingkat pengangguran oleh Skalin dan Terasvirta (2002). Oleh karena itu, pada penelitian ini akan diterapkan pemodelan STAR pada kurs thai bath terhadap rupiah.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

1. bagaimana model kurs thai bath terhadap rupiah menggunakan model STAR, 2. bagaimana ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada periode selanjutnya

menggunakan model STAR.

1.3 Batasan Masalah

Peramalan dalam penelitian ini dibatasi hanya pada ramalan untuk satu periode selanjutnya.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan yang akan dicapai dalam penelitian ini adalah

1. menentukan model yang sesuai untuk kurs thai bath terhadap rupiah menggunakan model STAR,

2. menentukan ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada periode selanjutnya dengan menggunakan model STAR.

(15)

commit to user

1.5 Manfaat

Manfaat yang dapat diperoleh adalah

1. mengetahui lebih mendalam tentang penerapan model STAR sebagai salah

satu model alternatif nonlinear dalam runtun waktu finansial,

2. mendapatkan informasi tentang hasil ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada satu periode selanjutnya.

(16)

commit to user

4

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka

Untuk mencapai tujuan penulisan skripsi, diperlukan beberapa pengertian dan teori yang relevan dengan pembahasan yang akan dilakukan. Oleh karena itu pada sub bab ini akan disajikan beberapa teori yang berhubungan dengan pembahasan.

2.1.1 Return

Sebagian besar studi mengenai ekonomi dan finansial lebih menitikberatkan pada return daripada nilai sebenarnya. Hal ini disebabkan karena untuk data finansial, yang menjadi pusat perhatian adalah fluktuasi harga yang terjadi. Pendekatan untuk fluktuasi harga adalah perubahan relatif atau return yang sering didefinisikan sebagai log return. Menurut Tsay (2002), log return dirumuskan sebagai 1 ln − = t t t P P X ,

dengan P adalah observasi pada waktu t. _t

2.1.2 Stasioneritas Proses Autoregresif (AR) Linear

Menurut Box dan Jenkins (1976), data runtun waktu adalah himpunan observasi yang terurut terhadap dimensi waktu. Observasi pada waktu t dapat

dituliskan sebagai P . Barisan T observasi runtun waktu dapat dinyatakan dengan _t

T

P P P

P₁, ₂, ₃,..., . Menurut Tsay (2002), apabila suatu log return diperlakukan

sebagai kumpulan dari variabel random terhadap waktu t , maka terdapat runtun waktu

{ }

P . _t

Pola stasioner terjadi jika data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata konstan, data runtun waktu seperti ini adalah stasioner terhadap nilai rata-ratanya (Makridakis dkk, 1995).

(17)

commit to user

Autocorrelation Function (ACF)

Kovariansi antara observasi pada saat t yaitu X , dengan observasi pada _t

saat t+ yaitu k X_t₊_k, didefinisikan sebagai

(

)

[

(

µ

)(

µ

)

]

γ_k =cov X ,_t X_t₊_k =E X_t − X_t₊_k − , yang diestimasi oleh

( )

_T

(

X

)(

X

)

k , , , ... K ck = 1

∑

_tk₌₁ t−µ t+k −µ , =0 1 2 ,

dengan k adalah nilai lag.

Autokorelasi antara X dengan _t X_t₊_k didefinisikan sebagai

( ) (

t t k

)

k t t k X X X X + + = var var ) , cov( ρ .

Karena var

( )

X_t =var

(

X_t₊_k

)

, maka

(

)(

)

[

]

( )

0 var γ γ µ µ ρ k t k t t k _X X X E − − ₌ = + _.

Autokorelasi antara X dengan _t X_t₊_k diestimasi oleh

(

)(

)

(

)

∑

= + = + − − − = _T t t T k t t t k k X X X X X X 1 2 1 ˆ ρ , k =0,1,2,...,K,

dengan X adalah observasi dari suatu runtun waktu pada waktu t dan X adalah _t

rata-rata dari deret runtun waktu. Himpunan dari ρ_k,

{

ρ_k;k=1,2,...

}

untuk berbagai lag k disebut Autocorrelation Function (ACF) (Wei, 1990).

Menurut Pankratz (1983), jika suatu runtun waktu dengan rata-rata stasioner maka estimasi nilai dari ACF turun secara cepat mendekati nol dengan semakin bertambahnya lag, tetapi jika rata-ratanya tidak stasioner maka estimasi nilai dari ACF turun secara perlahan mendekati nol.

Partial Autocorrelation Function (PACF)

Autokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai korelasi antara observasi X dan _t X_t₊_k setelah menghilangkan hubungan dari X_t₊₁,X_t₊₂,...,X_t₊_k₋₁ (Wei, 1990).

(18)

commit to user

6

Autokorelasi parsial dari

{ }

X pada lag k didefinisikan sebagai _t

1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 2 2 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ K M M K K K M M K K − − − − − − − − − − − − = k k k k k k k k k k k k k kk .

Himpunan dari φ_kk,

{

φ_kk;k =1,2,...

}

, disebut sebagai Partial Autocorrelation

Function (PACF). Fungsi φkk menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial

antara observasi X dan _t X_t₊_k dalam analisis runtun waktu. Fungsi φ_kk akan

bernilai nol untuk lag k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR, yakni pada model autoregresif berlaku ACF akan meluruh secara eksponensial menuju nol sedangkan nilai PACF φ_kk = ,0 k > p (Wei, 1990).

Proses White Noise

Proses

{ }

ε_t dikatakan White Noise dengan rata-rata nol dan variansi σ2 dapat ditulis ε_t~_WN(0,σ2)_{jika dan hanya jika mempunyai mean nol dan fungsi} autokovariansi ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = , 0 jika , 0 0 jika , 2 k k k σ γ fungsi autokorelasi ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = , 0 jika , 0 0 jika , 1 k k k ρ

dan fungsi autokorelasi parsial

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = . 0 jika , 0 0 jika , 1 k k kk φ

Menurut definisi di atas, suatu proses

{ }

ε_t disebut White Noise jika proses tersebut merupakan variabel random yang tidak berkorelasi dari suatu distribusi

(19)

commit to user

tertentu dengan mean konstan E

( )

ε_t =µ biasanya diasumsikan nol, variansi σ2 , dan γ

( )

k =Cov

(

ε_t,ε_t_+k

)

=0 untuk setiap k ≠0 (Wei, 1990).

Proses Autoregresif Orde p

Menurut Wei (1990), proses AR(p) dapat didefinisikan sebagai

t p t p t t t X X X X =φ₁ ₋₁+φ₂ ₋₂+...+φ ₋ +ε ,

dengan AR(p) adalah proses autoregresif sampai lag ke-p dan ε_t adalah nilai

residu sampai waktu ke-t dari model AR(p), atau dapat ditulis dalam bentuk

( )

B Xt εt

φ = ,

di mana

φ

( )

B =1−

φ

₁B−

φ

₂B2−...−

φ

_pBp dan operator backward-shift (lag operator) didefinisikan sebagai

(

BjX

)

_t = X_t−_j, j,t∈Z.

2.1.3 Estimasi Parameter AR Linear

Menurut Cryer (1983), estimasi dari parameter model dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least square method), yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu (sum squared error) berikut

(

)

2 2 2 2 1 1 2 ...

∑

= − − − − − − − = = T t p t p t t t t SSE X φX φ X φ X ε .

Jumlah kuadrat residu pada persamaan (2.1) di atas akan minimum jika turunan parsial pertama terhadap φ₁,φ₂,...,φ_p sama dengan nol.

Misal dipunyai model AR(1) sebagai berikut

t t

t X

X =φ ₋₁+ε ,

dengan t=1, 2, ...,T dan ε_t~_WN(0,σ2)_{. Nilai estimasi dari}φ_{dapat diperoleh} dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu berikut

(

)

2 2 1 2

∑

= − − = = T t t t t SSE X φX ε .

Jumlah kuadrat residu pada persamaan (2.3) di atas akan minimum jika turunan parsial terhadap φ sama dengan nol,

(2.3) (2.2) (2.1)

(20)

commit to user

8

(

)

. 0 0 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1

∑

= − = − = − = − = − − = ⇔ = − ⇔ = − − = ∂ ∂ T t t T t t t T t t T t t t T t t t t X X X X X X X X X SSE φ φ φ φ

Estimasi dari φ dapat dinyatakan sebagai

∑

= − = − = _T t t T t t t X X X 2 2 1 2 1 ˆ φ .

Untuk model AR(p)

t p t p t t t X X X X =

φ

₁ ₋₁+

φ

₂ ₋₂+...+

φ

₋ +

ε

,

dengan t=1,...,T, φ₁,φ₂,...,φ_p∈R, dan ε_t~WN(0,σ2) diperoleh sistem persamaan linear dengan p parameter sebagai berikut

(

...

)

0 2 2 2 2 1 1 1 1 = − − − − − = ∂ ∂

_∑

= − − − − T t p t p t t t t X X X X X SSE _φ _φ _φ φ

(

)

(

...

)

0. 2 0 ... 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 = − − − − − = ∂ ∂ = − − − − − = ∂ ∂

∑

= − − − − = − − − − T t p t p t t t p t p T t p t p t t t t X X X X X SSE X X X X X SSE φ φ φ φ φ φ φ φ M

Dari persamaan (2.4) diperoleh

∑

= − = − = − − − = − = − = − − = − − = − = − = − − = − − = −

=

+

=

+

=

+

T t t p t T t p t p T t t p t p t T t t T t t t T t p t t p T t t t T t t T t t t T t p t t p T t t t T t t

X

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1

...

φ

M

(2.5) (2.4)

(21)

commit to user

Jika direpresentasikan ke dalam bentuk matriks maka persamaan (2.5) dapat disederhanakan menjadi ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

∑

= − = − = − = − = − − = − − = − − = − = − − = − − = − − = − T t t p t T t t t T t t t p T t p t T t t p t T t t p t T t p t t T t t T t t t T t p t t T t t t T t t X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 M M L M O M M L L φ φ φ

atau dapat dituliskan menjadi

= x'xφ x'X, dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 1 t t t p t t t p n t p n t p n t n X X X X X X X X X − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x L L M M O M L , 1 2 t t nt X X X ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_⎢ _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ X M , dan 1 2 p φ φ φ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ M φ .

Estimasi parameter dari ˆφ dalam bentuk vektor menjadi sebagai berikut

( )

-1

= x'x x'X

)

φ .

2.1.4 Model Smooth Transition Autoregressive (STAR)

Model STAR merupakan pemodelan nonlinear perluasan dari model autoregresif di mana dalam modelnya terdapat dua rezim dan nilai dari parameternya dimuluskan dengan pemulusan transisi.

Menurut Terasvirta (1994), model STAR(p,d) untuk runtun waktu univariat yang diobservasi pada saat t=1,…,T-1,T dimodelkan sebagai

(

)

(

)

(

)

1' 1 , , 2' , , t t t d t t d t X =φ X −G γ c X₋ +φ XG γ c X ₋ +ε , dengan

STAR(p,d) : model STAR dengan orde p dan variabel transisi X_t₋_d,

( )

'

' 1,

t = t

X X% di mana X%t =

(

Xt−1,Xt−2,,...,Xt p−

)

' : log return saat periode ke-t, '

1= ⎣⎡φ φ φ1,0, 1,1, 1,2,...,φ1,p⎤⎦

φ : parameter pada rezim 1,

(22)

commit to user

10

' 2= ⎣⎡φ φ φ2,0, 2,1, 2,2,...,φ2,p⎤⎦

φ : parameter pada rezim 2,

d t

X − : variabel transisi di mana 1≤d ≤ p,

(

c Xt d

)

G γ, , − : fungsi transisi bernilai [0,1], c : parameter lokasi,

γ : slope, dan

t

ε : nilai residu sampai waktu ke-t dari model STAR (p,d).

Persamaan (2.6) di atas dapat dijabarkan sebagai

(

)

(

)

(

)

(

, ,

)

, ... , , 1 ... ₁_, ₂_,₀ ₂_,₁ ₁ ₂_, 1 1 , 1 0 , 1 t d t p t p t d t p t p t t X c G X X X c G X X X ε γ φ φ φ γ φ φ φ + + + + + − + + + = − − − − − −

atau dapat dituliskan menjadi

(

)

(

)

(

t d

)

t p j j t j d t p j j t j t X G c X X G c X X φ φ γ φ φ _⎟⎟ γ +ε ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − = − − = −

∑

1 , , , , 1 , 2 0 , 2 1 , 1 0 , 1 .

Fungsi transisi G

(

γ,c,X_t−_d

)

bergantung pada nilai variabel transisi (Xt−d),

slope (γ), dan parameter lokasi (c). Besarnya parameter slope (γ) menentukan kemulusan antar rezim, sedangkan nilai dari parameter lokasi (c) mengindikasikan lokasi transisi.

Menurut Terasvirta (1994), model STAR terbagi dalam dua tipe berdasarkan fungsi transisinya, yaitu logistik dan eksponensial. Jika fungsi transisi pada persamaan (2.6) berupa fungsi logistik

(

)

₍

₎

, 0 exp 1 1 , , > − − + = − − _γ γ γ c X X c G d t d t

maka disebut model Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR). Jika fungsi transisi pada persamaan (2.6) berupa fungsi eksponensial

(

γ,c,X −

)

=1−exp

(

−γ

(

X − −c

)

2

)

, γ >0

G t d t d

maka disebut model Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). Sifat dari fungsi transisi logistik dan eksponensial yaitu pada saat parameter slope

0

(23)

commit to user

2.1.5 Uji Nonlinearitas

Diketahui model STAR dari persamaan (2.6) sebagai berikut

(

)

(

)

(

)

1' 1 , , 2' , ,

t t t d t t d t

X =φ X −G γ c X− +φ XG γ c X− +ε .

Hipotesis nol dari nonlinearitas dapat diekspresikan sebagai persamaan dari parameter AR dalam dua rezim sebagai berikut

0: 1 2

H φ =φ (model linear),

1: 1,i 2,i,

H φ ≠φ untuk minimalsatu i∈

{

0,1,...p

}

(model nonlinear).

Menurut Van Dijk (1999), pada masalah uji nonlinearitas untuk alternatif dari tipe STAR dianjurkan sejumlah solusi untuk mengganti fungsi transisi

(

c Xt d

)

G γ, , − dengan pendekatan Taylor yang sesuai. Nonlinearitas dapat diuji

dengan statistik Lagrange Multiplier (LM), di mana statistik uji ini memiliki distribusi asimtotis standar Chi-Squared

( )

χ2 di bawah H . ₀

Uji terhadap LSTAR

Model STAR pada persamaan (2.6) dapat ditulis dalam bentuk

(

)

'

(

)

'

1 2 1 , ,

t t t t d t

X =φ X + φ −φ XG γ c X₋ +ε .

Menurut Van Dijk (1999), fungsi transisi G

(

γ,c,X_t−_d

)

diganti dengan pendekatan Taylor orde tiga di sekitar γ =0,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

₍

₎

(

)

(

)

(

, ,

)

, 48 1 4 1 2 1 , , , , 6 1 , , 2 1 , , , 0 , , , 3 3 3 3 0 3 3 3 0 2 2 2 0 3 c X R c X c X c X R c X G c X G c X G c X G c X T d t d t d t d t d t d t d t d t d t γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ − − − − = − = − = − − − + − + − + = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + =

di mana R₃

(

X_t₋_d,γ,c

)

merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan

(

X c

)

T3 t−d,γ, dalam persamaan (2.8) pada G

(

γ,c,Xt−d

)

dalam persamaam (2.7)

didapatkan model bantuan,

2 3 0,0 0 1 2 3 ' ' ' ' t t t t d t t d t t d t X =β +β X% +β X% X− +β X% X− +β X% X − +e, (2.7) (2.9) (2.8)

(24)

commit to user

12

di mana e_t = +ε_t

(

φ₂−φ₁

)

'X_tR X₃

(

_{t d}₋ , ,γ c

)

, dan β ,₀ β di mana i=1,2,3 _i merupakan fungsi parameter dari φ φ₁, , ₂ γ , dan c.

Uji hipotesisnya menunjukkan H'0:γ =0 berhubungan dengan

''

0: 1 2 3 0

H β = β = β = , yang dapat diuji menggunakan uji LM. Uji statistik tersebut

disebut sebagai LM , di bawah hipotesis nol linear dan memiliki distribusi ₃

asimtotis Chi-Squared dengan derajat bebas 3p (χ_{3 p}2 ) (Van Dijk, 1999).

Uji terhadap ESTAR

Menurut Van Dijk (1999), nonlinearitas dapat diuji melalui alternatif ESTAR yang diberikan oleh persamaan (2.7) dengan mengganti fungsi transisi

eksponensial dengan pendekatan Taylor orde pertama di sekitar γ =0,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

, ,

)

, , , 0 exp 1 , , exp exp 1 , , , , , 0 , , , 1 2 1 2 1 2 2 1 0 1 c X R c X c X R c X c X R c X c X c X c X R c X G c X G c X T d t d t d t d t d t d t d t d t d t d t d t d t

γ

γ − − − − − − − − − = − − − + − = + − + − = + − − − + − − − = + ∂ ∂ + =

di mana R₁

(

X_t₋_d,γ,c

)

merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan

(

)

1 t d, ,

T X− γ c dalam persamaan (2.10) pada G

(

γ,c,Xt−d

)

dalam persamaan (2.7)

didapatkan model bantuan,

2

0,0 0 1 2

' ' '

t t t t d t t d t

X =

β

+β X% +β X% X ₋ +β X% X ₋ +e ,

di mana e_t = +ε_t

(

φ φ₂− ₁

)

'X_tR X₁

(

_{t d}₋ , ,γ c

)

, dan β , ₀ β di mana i=1,2,3 _i merupakan fungsi parameter dari φ φ₁, , ₂ γ , dan c. Ekspresi dari β₀_,₀ dan

, 1, 2, 3

i i=

β menunjukkan bahwa pembatasan γ =0 berhubungan dengan

1= 2 =0

β β dalam persamaan (2.11). Uji statistik untuk hipotesis nol ini adalah

2

LM dengan distribusi asimtotis 2 2 p

χ .

Pada penentuan tipe fungsi transisi model STAR digunakan prosedur dari

Terasvirta yaitu melalui uji LM . Meskipun ₃ LM dikembangkan untuk uji ₃

(2.11) (2.10)

(25)

commit to user

alternatif LSTAR, namun uji ini memiliki kemampuan yang sama untuk alternatif ESTAR. Cara intuitif untuk memahami hal ini adalah dengan membandingkan persamaan (2.9) dan (2.11) yang digunakan untuk menghitung statistik statistik

2

LM dan LM . Terlihat bahwa semua regreser bantuan dalam persamaan (2.11) 3

terkandung dalam persamaan (2.9). Oleh karena itu, statistik LM diduga ₃

memiliki kemampuan yang sama baiknya terhadap ESTAR (Van Dijk, 1999).

Statistik LM berdasarkan persamaan (2.9) dapat diperoleh dengan cara ₃

1. meregresikan X terhadap _t X~_t, menghitung residual εˆ , dan jumlah kuadrat _t residual

∑

= = T i t SSR 1 2 0 ε , ˆ

2. menduga regresi bantuan (auxiliary regression) εˆ terhadap _t

( )

1,X%t dan

, 1, 2,3 i tXt d− i= X% , 2 3 0,0 0 1 2 3 ˆ_t β ' _t ' _tX_{t d} ' _tX_{t d} ' _tX_{t d} e_t ε = +β X% +β X% − +β X% − +β X% − + , kemudian menghitung jumlah residual kuadrat

∑

= = T i t e SSR 1 2 1 ˆ , 3. dengan hipotesis 0 ... ... ... : ₁_,₁ ₁_, ₂_,₁ ₂_, ₃_,₁ ₃_, 0 = p = = p = = p = H β β β β β β (model linear), nol dengan sama tidak yang satu ada minimal : 1

β

H (model nonlinear),

statistik uji LM dapat dihitung berdasarkan ₃

(

)

0 1 0 3 _SSR SSR SSR T LM = − ,

di mana distribusinya mengikuti distribusi 2

3 p

χ .

2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi

Variabel transisi dapat ditentukan lebih dahulu tanpa menspesifikasikan

bentuk alternatif dari fungsi transisi. Dengan menghitung statistik uji LM untuk ₃

(26)

commit to user

14

terkecil atau statistik uji LM terbesar. Dasar pemikiran di balik prosedur ini ₃

adalah bahwa uji harus memiliki kekuatan maksimum dalam hal model alternatif telah dispesifikasikan dengan benar.

2.1.7 Pemilihan Fungsi Transisi

Jika uji nonlinearitas ditolak, dan variabel transisi yang tepat telah dipilih maka langkah selanjutnya adalah memilih bentuk dari fungsi transisi G

(

γ,c,X_t−_d

)

berdasarkan statistik uji LM (Van Dijk, 1999). ₃

Berdasarkan model regresi bantuan pada persamaan (2.9) ,

2 3

0,0 0 1 2 3

' ' ' '

t t t t d t t d t t d t

X =β +β X% +β X% X₋ +β X% X₋ +β X% X ₋ +e, uji hipotesisnya adalah

linear), (model 0 ... ... ... : ₁_,₁ ₁_, ₂_,₁ ₂_, ₃_,₁ ₃_, 0 = p = = p = = p = H

β

0 dengan sama tidak yang satu ada minimal : 1

β

H (nonlinear).

Pemilihan fungsi transisi G

(

γ,c,X_t−_d

)

dilakukan dengan menguji urutan hipotesis nol berikut

( )

0,3 3 0,2 2 3 0,1 1 3 2 i : 0 , ii : 0 0, iii : 0 0, H H H = = = = = = β β β β β β yaitu

(i) jikaβ₃≠0 maka model adalah LSTAR,

(ii) jika β₃=0, tetapi β₂≠0 maka model adalah ESTAR,

(iii) jika β₃=0 dan β₂ =0, tetapi β₁≠0 maka model adalah LSTAR dan jika 1=0,

β maka model adalah ESTAR.

2.1.8 Estimasi Parameter Model STAR

Van Dijk (1999) menggunakan metode nonlinear least square (NLS) untuk mengestimasi parameter dari model STAR(p,d). Estimasi parameter pada

(27)

commit to user

metode NLS ditentukan dengan memiminimumkan jumlah kuadrat residu yang didefinisikan sebagai

( )

(

)

2

1

ˆ _{arg min} _{arg min} T _,

T t t t Q X F X = = =

∑

− θ θ θ , dengan

(

)

1,0 1,

(

)

2,0 2,

(

)

1 1 , 1 , , , , , p p t j t j t d j t j t d j j F X φ φ X− G γ c X− φ φ X − G γ c X− = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_⎜ + _⎟ − +_⎜ + _⎟ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ θ di mana

(

)

₍

₎

, 0 exp 1 1 , , > − − + = − − _γ γ γ c X X c G d t d

t untuk model LSTAR, dan

(

γ,c,X ₋

)

=1−exp

(

−γ

(

X ₋ −c

)

2

)

, γ >0

G t d t d untuk model ESTAR.

Proses pencarian nilai parameter pada metode NLS ini dilakukan dengan menggunakan metode numerik untuk melakukan estimasi secara iterasi.

Metode Gauss-Newton

Metode Gauss-Newton merupakan suatu algoritma untuk meminimumkan jumlah kuadrat residu. Konsep yang mendasari teknik tersebut adalah uraian deret

Taylor yang digunakan untuk menyatakan persamaan nonlinear semula dalam

suatu bentuk pendekatan yang linear. Dengan demikian, teori NLS dapat digunakan untuk memperoleh estimator-estimator baru dari parameter yang bergerak ke arah yang meminimumkan jumlah kuadrat residu tersebut.

Secara umum iterasi Gaus-Newton dinyatakan sebagai

( ) ( )

( )

( ) '

( )

( ) 1

( )

( ) '

₍

₎

1 , i i i i i t t D D D X F X − + ₌ ₋⎡ ⎤ _⎡ ₋ _⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ θ θ θ θ θ θ , dengan ( )

( )

( 1, ( ))_, ( 2, ( ))_, _, ( , ( )) ' i i i i F X F X F XT D _{= ⎢}⎡∂ ∂ ∂ ⎤_⎥ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ θ θ θ θ θ θ L θ .

Misal dipunyai model STAR(p,d) sedemikian hingga

(

)

(

)

(

t d

)

t p j j t j d t p j j t j t X G c X X G c X X φ φ γ φ φ _⎟⎟ γ +ε ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − = − − = −

∑

1 , , , , 1 , 2 0 , 2 1 , 1 0 , 1 ,

(28)

commit to user

16 dengan

(

)

₍

₎

, 0 exp 1 1 , , > − − + = − − _γ γ γ c X X c G d t d

t untuk model LSTAR,

(

γ,c,X ₋

)

=1−exp

(

−γ

(

X ₋ −c

)

2

)

, γ >0

G t d t d untuk model ESTAR, dan

t

ε adalah nilai residu dari model.

Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter θ sebagai

(

)

'

1,0

,...,

1,p

,

2,0

,...,

2,p

, ,

c

φ

φ φ

φ

γ

=

θ

.

Menurut Nainggolan (2010), langkah awal algoritma Gauss-Newton

adalah menentukan nilai awal dan kemudian didekati dengan F

(

X_t,θ

)

untuk T

pengamatan oleh bentuk linear menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar nilai awal g , yaitu ( )0

(

)

(

( )0

)

(

)

(

( )0

)

, ˆ , , t t t F X F X ≈F X _{+ ⎢}⎡∂ ⎤_⎥ ∂ ⎣ ⎦θ=g θ θ g θ - g θ , dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 0 0 1 k g g g ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦

g K adalah vektor dari parameter nilai awal.

Dengan penyederhanaan notasi

( )0

(

( )0

)

, t t F =F X g , ( )0 _{( )} 0 = − β θ g , ( )

(

)

( )0 ( )0 0 ˆ , t t F X D = ⎡∂ ⎤ = ⎢ _∂ ⎥ ⎣ ⎦θ g θ θ ,

pendekatan pada persamaan (2.12) dapat ditulis menjadi

(

)

( )0 ( ) ( )0 0 ,

t t t

F X θ ≈F +D β .

Oleh karena itu, diperoleh pendekatan model nonlinear X_t =F X

(

_t,θ

)

+ε_t

sebagai

( )0 ( ) ( )0 0

t t t t

X ≈F +D β +ε .

(29)

commit to user

Karena ( )0 ( )0 t t t X F X ≈ − , maka diperoleh pendekatan model regresi linear

( )0 ( ) ( )0 0

t t t

X ≈D β +ε ,

atau dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut

( )0 _≈ ( ) ( )0 0 ₊ X D β ε , dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 0 1 1 , 2 2 , , T T X F X F X F ⎡ ⎤ =_⎣ − − − _⎦ X K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1,0 1, 2,0 2, 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 1,0 1, 2,0 2, 0 0 0 0 0 0 1,0 1, 2,0 2, p p p p T T T T T T p p

F

c

F

c

F

c

φ

γ

φ

γ

φ

γ

⎡

_∂

⎤

⎢

_∂

⎥

⎢

⎥

⎢

_∂

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

= ∂

∂

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

_∂

⎥

⎢

⎥

⎢

∂

⎥

⎣

⎦

D

L

M

L

( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 0 0 , 1 , , k β β β ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ β K .

Parameter β dapat di taksir dari persamaan normal pada model regresi ( )0

linear sederhana dan diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' ' i ⎡ ⎤− = _{− ⎣} _⎦ b θ D D D X ,

di mana b adalah vektor dari koefisien regresi kuadrat terkecil yang ditaksir ( )0 dan dapat digunakan untuk memperoleh taksiran parameter regresi berikutnya dengan koefisien regresi

( )1 ₌ ( )0 ₊ ( )0

(30)

commit to user

18

2.1.9 Pemeriksaan Diagnostik

Model yang diperoleh perlu diperiksa lebih lanjut untuk mengetahui ada tidaknya autokorelasi di dalam residu yang dihasilkan, efek heteroskedastisitas, dan distribusi residu (Terasvirta, 1994). Model stasioner yang baik akan memenuhi asumsi bahwa tidak ada autokorelasi dan efek heteroskedastisitas di dalam residu yang dihasilkan serta residu yang berdistribusi normal.

Bentuk Distribusi Residu

Bentuk distribusi residu dari model dapat dilihat melalui nilai kurtosis dan

skewness yang dimiliki. Pada distribusi normal, kurtosis bernilai 0 dan skewness

bernilai 3.

Uji Autokorelasi Residu

Salah satu uji yang dapat digunakan untuk menguji autokorelasi adalah uji

Breusch-Godfrey. Langkah-langkah uji Breusch-Godfrey adalah

1. meregresikan suatu model, sehingga diperoleh nilai residunya ε_t,

2. meregresikan ε_t terhadap seluruh variabel independen dalam model, ditambah

dengan ε_t₋₁_,ε_t₋₂_,_K,ε_t₋_p, yaitu q t q p p p t p t t =λ X − + +λ X − +λ +ε + +λ + ε − ε 1 1 ... 1 K ,

dengan p adalah orde model dan q adalah lag yang diinginkan, kemudian dihitung koefisien nilai determinasi _{R nya.}2

3. menguji hipotesis

H0: tidak terdapat autokorelasi dalam residu model H1: terdapat autokorelasi dalam residu model,

4. menghitung statistik uji Breusch-Godfrey. Statistik uji yang digunakan adalah

Chi-Squared dengan derajat bebas p yaitu 2 2 =_nR

χ ,

dengan n adalah banyaknya residu, dan _{R adalah koefisien determinasi,}2

5. H0 ditolak jika 2 2

p

(31)

commit to user

Uji Efek Heteroskedastisitas

Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan menggunakan uji Lagrange

Multiplier dengan langkah-langkah sebagai berikut

1. menentukan persamaan yang paling sesuai untuk data runtun waktu, dari persamaan tersebut diperoleh residu kuadrat (ε_t2),

2. meregresikan

ε

_t2pada konstanta dan q lag-nya sendiri,

2 2 2

0 1 1

t t q t q

ε =α α ε+ ₋ + +_K α ε ₋ , kemudian dihitung koefisien nilai determinasi R nya, 2 3. menguji hipotesis dengan

H0 : α α₁= ₂=_K=α_q= 0 (tidak ada efek ARCH sampai lag m) H1 : paling sedikit terdapat satu α_k ≠0, k=1, 2,_K,q,

4. menggunakan asumsi normalitas, statistik uji yang digunakan adalah 2

* ₌_nR

ξ ,

dengan n adalah banyaknya residu dan _{R adalah koefisien determinasi,}2

5. H0 ditolak jika * 2

q

ξ >χ .

2.1.10 Kriteria Pemilihan Model

Model terbaik dapat dipilih berdasarkan nilai Akaike Info Criterion (AIC) (Wei, 1990). AIC dirumuskan sebagai

AIC = −2l 2+ M,

dengan l adalah fungsi log likelihood, dan M adalah jumlah parameter yang diestimasi.

2.1.11 Peramalan

Misal Xˆ_t₊_h_t merupakan peramalan dari X_t₊_h pada waktu t, dengan

prediksi residu sebagai berikut

h t h t t h t X X e+ = + − ˆ + .

(32)

commit to user

20

Peramalan Xˆ_t₊_h_t meminimumkan prediksi residu kuadrat berikut

[ ]

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ _Ω = + ₊ +ht t h t ht t t E X X e E 2 _ˆ 2 _,

di mana Ω merupakan himpunan semua informasi dari waktu lampau sampai _t

waktu t. Peramalan yang meminimumkan persamaan (2.13) merupakan ekspektasi bersyarat dari X_t₊_h pada waktu t,

[

t h t

]

t h

t E X

Xˆ + = + Ω . Jika terdapat model AR(1) sebagai berikut

t t

t X

X =φ1 −1+ε , maka peramalannya adalah

[

t h t h t

]

t h t t h t E X X Xˆ ₁ ₁ ₁ˆ ₁ − + + − + + = φ +ε Ω =φ , dengan Xˆ_t_{+ 1}_h₋ _t = X_t, untuk h=1.

Model umum AR nonlinear untuk orde 1 adalah

(

1,

)

t t t

X =F X − θ +ε . Jika terdapat model STAR (1,1) sedemikian hingga

(

t1,

)

(

1,0 1,1 t 1

)

(

1

(

, , t1

)

(

2,0 2,1 t 1

)

(

, , t1

)

F X ₋ θ = φ +φ X ₋ −G γ c X₋ + φ +φ X ₋ G γ c X₋ , dengan asumsi E

[

ε_t₊₁Ω_t

]

=0, maka peramalan satu langkah ke depan X dapat _t₊₁ diperoleh sebagai

(

)

1 1 ˆ _; t t t t t X ₊ =E X⎡_⎣ ₊ Ω =⎤_⎦ F X θ .

Pada peramalan lebih dari satu periode ke depan (multi-step forecast) berlaku

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 1 ˆ ˆ _, t t t t t t t t t t X₊ =E X⎡_⎣ ₊ Ω =_⎦⎤ E F X⎡_⎣ ₊ Ω _⎦⎤≠F E X⎡_⎣ ₊ Ω ⎤_⎦=F X ₊ θ

sehingga perhitungannya akan lebih rumit.

2.1.11 Evaluasi Hasil Peramalan

Evaluasi hasil peramalan bertujun untuk mengevaluasi kualitas dari hasil peramalan model runtun waktu. Hasil peramalan relatif dapat juga digunakan

(33)

commit to user

sebagai kriteria pemilihan model, sebagai alternatif atau pelengkap perbandingan dalam sampel (in-sampel) dari model yang berbeda (Van Dijk, 1999). Ukuran yang digunakan untuk evaluasi hasil peramalan adalah

1. Mean Squared Error (MSE)

(

)

∑

= − = n t t t P P r MSE 1 2 ˆ 1 dengan t

P :data asli kurs thai bath terhadap rupiah periode ke-t,

t

Pˆ : ramalan kurs thai bath terhadap rupiah periode ke-t, r : jumlah ramalan.

2. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

∑

= × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = n t t t t P P P r MAPE 1 100 ˆ 1 .

Model dengan MSE dan atau MAPE yang lebih kecil memiliki hasil peramalan yang lebih baik (Van Dijk, 1999).

2.2 Kerangka Pemikiran

Banyak kasus runtun waktu seperti runtun waktu finansial dan perekonomian suatu negara, termasuk kurs mempunyai kecenderungan nonlinear sehingga diperlukan suatu uji nonlinearitas. Jika asumsi nonlinear dipenuhi maka kurang sesuai jika digunakan model linear konvensional. Oleh karena itu, diperlukan model baru yang nonlinear terhadap runtun waktu tersebut. Pada penelitian ini, akan digunakan model STAR sebagai salah satu alternatif model nonlinear untuk diterapkan pada runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah guna mencari model dan ramalan yang paling tepat untuk satu periode selanjutnya.

(34)

commit to user

22

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi kasus. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah dalam frekuensi harian dari 1 Januari 2005 sampai 9 Juli 2010. Data periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebanyak 1285 observasi sebagai in-sample dan data selanjutnya sebanyak 63 observasi sebagai

out-of-sample. Analisis data dilakukan dengan bantuan software Eviews.

Langkah-langkah yang ditempuh untuk mencapai tujuan penelitian ini adalah

1. Memodelkan data dengan proses AR.

a. Membuat plot runtun waktu untuk data asli (menggunakan data in-sample) untuk melihat pola data dan stasioneritasnya.

b. Data yang belum stasioner diubah ke dalam bentuk log-return untuk menstasionerkan data terhadap rata-rata.

c. Menentukan model AR(p) yang sesuai berdasarkan plot ACF dan PACF. d. Melakukan estimasi parameter AR(p).

e. Melakukan uji autokorelasi residu model AR yang diperoleh. Orde model AR yang terbentuk akan digunakan dalam pengujian nonlinearitas pada model STAR.

2. Memodelkan data dengan STAR. a. Memeriksa kelinearan data.

b. Jika data terbukti nonlinear, maka dipilih variabel transisi dan bentuk fungsi transisi yang tepat.

c. Melakukan estimasi parameter model STAR.

3. Melakukan pemeriksaan diagnostik tehadap model STAR yang terbentuk dan evaluasi berdasarkan nilai AIC dan standar deviasinya.

4. Modifikasi model jika diperlukan.

5. Menentukan ramalan untuk satu periode berikutnya. 6. Evaluasi peramalan berdasarkan nilai MSE dan MAPE.

(35)

commit to user

BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data

Dalam skripsi ini digunakan data runtun waktu finansial berupa nilai tukar mata uang atau kurs yang bersumber dari data Bank Indonesia, yaitu kurs mata uang Thailand (thai bath) terhadap rupiah pada periode 1 Januari 2005 sampai 9 Juli 2010. Data periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebanyak 1285 observasi digunakan untuk spesifikasi model (in-sample) dan data selanjutnya digunakan untuk evaluasi dalam peramalan (out-of-sample). Plot data dapat dilihat pada Gambar 4.1 dan ringkasan statistiknya dapat dilihat pada Tabel 4.1.

200 220 240 260 280 300 320 340 250 500 750 1000 1250 DATA_ASLI

Gambar 4.1 Plot Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010

Dari plot data terlihat bahwa kurs thai bath terhadap rupiah berfluktuasi dari waktu ke waktu.

Tabel 4.1 Ringkasan Statistik Data Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010

Estimasi Nilai Rata-rata Median Maksimum Minimum Standar Deviasi 254,62 253,29 337,49 217,52 26,81733

(36)

commit to user

24

Dalam rentang waktu 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010, kurs terendah berada di titik 217,52 yang merupakan data pada tanggal 12 Mei 2006, dan kurs tertinggi berada di titik 337,49 yang merupakan data pada tanggal 25 November 2008. Rata-rata kurs thai bath terhadap rupiah dalam periode tersebut adalah 254,62 dengan median 253,29 dan standar deviasi 26,81733.

4.2 Stasioneritas Data

Pada penelitian ini data kurs thai bath terhadap rupiah diubah ke dalam bentuk log return. Perubahan data ke dalam fungsi log return menyebabkan jumlah observasi berubah menjadi T-1 = 1284 observasi. Perubahan data ke dalam bentuk log return bertujuan untuk menjadikan data lebih stasioner dengan nilai yang mendekati nol. Hal ini dapat dilihat pada plot log return yang tersaji pada Gambar 4.2. -.15 -.10 -.05 .00 .05 .10 .15 250 500 750 1000 1250 RETURN

Gambar 4.2 Plot Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010

4.3 Identifikasi Model AR Linear

Spesifikasi model STAR diawali dengan identifikasi proses AR linear. Identifikasi awal dalam mencari model AR yang sesuai untuk data log return yang stasioner dapat dilihat dari nilai ACF dan PACF. Pada Gambar 4.3 tampak bahwa nilai ACF meluruh menuju nol dan nilai PACF terpotong menuju nol setelah lag-2 sehingga dapat dikatakan terjadi proses AR(2) dalam data.