Dosen Safitri Jaya
Modul 9 (Sembilan)
Topik Distribusi Normal
Sub Topik Distribusi Normal (lanjutan…)
Materi
1. Penggunaan Kurva Normal Standar
2. Hubungan antara distribusi normal dengan distribusi binomial
3. Z-skor untuk pengujian hipotesis 4. Uji Normalitas
Tujuan
1. Memahami penggunaan kurva normal standar 2. Memahami hubungan antara distribusi normal dan
distribusi binomial
3. Memahami dan menjelaskan z-skor untuk pengujian hipotesis
4. Memahami uji normalitas
DISTRIBUSI NORMAL (lanjutan…)
Untuk menentukan luas daerah di bawah kurva normal standar, telah dibuat daftar distribusi normal standar, yaitu tabel luas kurva normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu. Dengan daftar tersebut bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari. Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap µ = 0, luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0.5 dan diartikan P(Z > 0) = 0.5. Luas daerah di bawah kurva normal pada interval tertentu dituliskan P(0 < Z < b).
Contoh :
Akan dihitung nilai P(0 < Z < 2.13) Jawab :
a. 2.13 = 2.1 + 0.03
b. Dengan tabel luas kurva normal standar dicari 2.1 pada kolom Z (kolom paling kiri) dan 0.03 pada baris pertama (baris paling atas)
c. Diperoleh pertemuan nilai dari P(0 < Z < 2.13) = 0.4834
Untuk menentukan luas daerah kurva normal yang bukan baku, dilakukan transformasi dengan menggunakan nilai Z, dengan cara sebagai berikut ;
1. Menghitung nilai Z sampai dua desimal 2. Menggambar kurva normal standarnya
3. Meletakkan nilai Z pada sumbu X, kemudian menarik garis vertikal yang memotong kurva
4. Nilai yang terdapat dalam daftar merupakan luas daerah antara garis tersebut dengan garis vertikal di titik nol
5. Dalam daftar distribusi normal standar, pencarian tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya sampai satu desimal dan pencarian desimal keduanya pada baris paling atas
6. Dari Z di kolom kiri maju ke kanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah sehingga didapat bilangan yang merupakan luas daerah yang dicari. Untuk mencari nilai Z, apabila luas kurva diketahui, dilakukan langkah sebaliknya
Contoh :
a. Berapa persen lampu yang ketahanannya antara 800 dan 860 jam
b. Berapa banyak lampu yang tahan lebih dari 950 jam jika diproduksi 5000 lampu
Jawab :
a. Diketahui µ = 825 jam dan δ = 45 jam P(800 < Z < 860)
z1 = (800 – 825) / 45 = - 0.55 dan z2 = (860 – 825) / 45 = 0.78 diperoleh P(- 0.55 < Z < 0.78) = P(- 0.55 < Z < 0) + P(0 < Z < 0.78) = 0.2088 + 0.2823 = 0.4911
Sehingga diperoleh 49,11% lampu yang ketahanannya antara 800 dan 860 jam
b. X > 950 jam
Z = (950 – 825) / 45 = 2.78
Diperoleh P(Z > 2.78) = P(Z > 0) – P(0 < Z < 2.78) = 0.5 – 0.4973 = 0.0027
Jadi terdapat 0.0027 x 5000 lampu = 13.5 atau 14 lampu yang tahan lebih dari 950 jam
9.2 Hubungan antara Distribusi Normal dan Distribusi Binomial
Distribusi binomial akan mendekati distribusi normal jika nilai p sama dengan ½ dan nilai n lebih besar. Namun dalam prakteknya, distribusi normal (kurva normal) dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial (probabilitas binomial), sekalipun p tidak sama dengan ½ dan n relatif kecil. Seperti diketahui, distribusi binomial bervariabel diskret, sedangkan distribusi normal (kurva normal) bervariabel kontinu (Lungan, 2006).
Oleh karena itu, penggunaan distribusi normal untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan aturan (penyesuaian), yaitu faktor koreksi. Caranya adalah dengan menambah atau mengurangi variabel X-nya dengan 0.5 :
Dengan demikian, rumus Z menjadi
sebuah uang logam yang setimbang memiliki permukaan angka (A) dan gambar (G), dilemparkan ke atas sebanyak 15 kali. Tentukan probabilitas untuk mendapatkan 10 kali permukaan gambar. Gunakan distribusi binomial dan kurva normal
Jawab :
Perbedaan hasil antara rumus binomial dan kurva normal sebesar 0.0001, sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
Penelitian kuantitatif pada umumnya dimaksudkan untuk menguji hipotesis yang dikembangkan. Jenis statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis ini adalah statistik inferensial, yang mungkin dimaksudkan untuk menguji hubungan atau perbedaan. Hipotesis merupakan sesuatu yang melekat pada penelitian kuantitatif, walaupun tidak semua penelitian kuantitatif membutuhkan hipotesis, terutama untuk yang bersifat deskriptif. Hipotesis itulah yang dijadikan dasar sebagai langkah kerja penelitian, mulai dari pembuatan instrumer, pengumpulan data, analisa data dan akhirnya penarikan penyimpulan dari suatu penelitian.
Hipotesis merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya masih harus dibuktikan melalui bukti-bukti empiris kerja penelitian. Hipotesis tidak dapat muncul begitu saja, melainkan harus dibangun berdasarkan teori yang dikembangkan. Jika pengembangan teori itu menyarankan tidak adanya hubungan yang signifikan antara suatu variabel, misalnya variabel kemampuan penalaran dengan variabel yang lain, seperti kemampuan berbahasa siswa, hipotesis yang diajukan adalah nol. Sebaliknya jika berdasarkan pengembangan teori itu disarankan adanya hubungan yang signifikan, hipotesis yang diajukan adalah hipotesis alternatif atau hipotesis kerja (Gunawan, 2007).
Sebagaimana dikemukakan di atas, kemungkinan munculnya suatu gejala tersebut biasanya ditandai dengan huruf P yang dinyatakan dalam suatu persentase. Maka untuk menunjukkan kemungkinan diterima atau ditolaknya hipotesis biasanya digunakan kode P, yaitu P = 0.05 atau tariff signifikansi 5% yang menunjuk pada pengertian bahwa gejala itu akan muncul sebanyak 5 kali dalam 100 kejadian.
Penentuan batas penerimaan atau penolakan hipotesis dengan P = 0.05 tersebut sebenarnya menggunakan logika wilayah z-skor pada daerah kurva normal. Secara teoritis, z-skor mempunyai luas wilayah dalam daerah kurva normal yang dihitung berdasarkan simpangan baku dari rata-rata hitung, baik daerah yang berada di atas maupun di bawahnya. Luas wilayah untuk tiap z-skor dapat dilihat pada tabel daerah kurva normal. Sebagaimana dikemukakan dalam daerah pembicaraan daerah kurva normal di atas, semakin besar nilai z-skor yaitu yang dicerminkan oleh simpangan ±1s, ±5s dst, akan semakin besar daerah yang dimilikinya.
Oleh karena besar kecilnya nilai z-skor yang diperoleh dapat digunakan untuk menentukan taraf signifikansi angka indeks hasil uji coba statistik. Misalnya uji korelasi atau anova, pengujian hipotesis penelitian juga dapat dilakukan dengan menghitung nilai Z tersebut. Hal itu merupakan alternatif lain sebab paada umumnya uji signifikansi dilakukan dengan mengkonsultasikan pada nilai-nilai kritis yang telah ditabelkan. Uji signifikansi menggunakan tabel jauh lebih mudah dan cepat daripada menghitung nilai z.
9.4 Uji Normalitas
Dengan kata lain, keadaan data berdistribusi normal merupakan sebuah persyaratan yang harus dipenuhi. Sebuah data yang tidak berdistribusi normal, sebagai konsekuensinya, tidak dapat digarap dengan rumus statistik tersebut. Dengan demikian, sebelum dikenai rumus statistik tertentu, normalitas sebaran suatu data haruslah sudah diketahui. Jadi, uji normalitas data tersebut haruslah sudah dilakukan sebelum penerapan suatu rumus statistik untuk pengujian hipotesis. Namun, perlu juga dicatat bahwa ada rumus statistik yang tidak begitu peka terhadap penyimpangan asumsi normalitas data. Misalnya rumus uji-t atau t-student diketahui tidak begitu sensitif terhadap penyimpangan yang wajar dari asumsi distribusi normal.
Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk melakukan uji normalitas data. Cara yang dimaksud adalah dengan menggunakan rumus model khi-kuadrat dan Lilliefors. Uji normalitas menggunakan model khi-kuadrat dapat ditempuh dengan dua cara yang berbeda dalam penghitungan frekuensi harapan (E,
expected) :
1. Dengan penghitungan luas daerah z-skor 2. Dengan penghitungan persentase
Rumus 9.2
X2 = (O – E1)2 + (O – E2)2 + ….. + (O – En)2 E1 E2 En
Sebagai contoh, data berikut menyajikan hasil pengukuran kemampuan statistic 55 orang mahasiswa yang telah ditampilkan dalam bentuk tabel distribusi bergolong. Kelas interval yang dibutuhkan adalah 7. Hipotesis yang diajukan adalah hipotesis nol dengan taraf signifikan 5%
Langkah-langkah untuk menguji normalitas sebaran data tersebut adalah sebagai berikut :
a. Menentukan batas-batas kelas interval untuk menghitung luas daerah kurva normal. Batas kelas interval pertama adalah 84.5 dan 79.5, kedua 74.5 dan 69.5, dan seterusnya.
b. Mentransformasikan batas kelas tersebut ke dalam bilangan z-skor. Batas kelas 84.5 dan 79.5 mempunyai z-skor 2.41 dan 1.74, dan seterusnya (menggunakan rumus 8.2)
c. Menghitung luas daerah tiap kelas interval berdasarkan tabel daerah kurva normal. Luas daerah kelas interval pertama dengan z-skor 2.41 dan 1.74 adalah 0.4920 dan 0.4591, sehingga luas kelas interval itu 0.4920 – 0.4591 = 0.0329. Dengan cara yang sama dapat ditemukan luas daerah kelas-kelas interval berikutnya.
d. Menghitung frekuensi teoritis (frekuensi harapan, E) dengan cara luas daerah kelas interval dikalikan 55 (jumlah kasus). Untuk kelas interval pertama di atas adalah 0.0329 x 55 = 1.81. Dengan cara yang sama dapat ditemukan frekuensi teoritis (E) kelas-kelas interval berikutnya.
Berikut adalah hasil penghitungan untuk semua data :
No Skor Frekuensi
1 80 – 84 2
2 75 – 79 7
3 70 – 74 10
4 65 – 69 14
5 60 – 64 12
6 55 – 59 7
No Batas
Untuk menguji harga X2 tersebut digunakan taraf signifikansi 5% (P = 0.05)
dengan derajat kebebasan (db) k – 3 dan dalam contoh di atas db: 7 – 3 = 4. Tabel nilai-nilai kritis khi-kuadrat dengan db 4 pada taraf signifikansi 5% menunjukkan bilangan sebesar 9.488. Bilangan khi kuadrat yang diperoleh di atas jauh di bawah taraf signifikansi 5%. Dengan demikian hipotesis di tolak. Artinya, data yang diuji distribusinya terbukti berdistribusi normal sehingga dapat diterapkan pada teknik statistik yang mempersyaratkan distribusi normal.
Tugas 6
1. Variabel acak X mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 18 dan standar deviasi 2.5, hitunglah :
2. Dari pengiriman sebanyak 1000 rim kertas koran dengan berat 60 gr, diketahui bahwa rata-rata tiap rimnya berisi 450 lembar dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut berdistribusi normal, berapa persen dari rim kertas itu yang berisi 455 lembar atau lebih
3. Nilai ujian statistik sebagian besar mahasiswa mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 34 dan standar deviasi 4. Jika X menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai x0 agar 10% dari kelompok nilai terendah berada di bawah x0
4. Sebuah uang logam yang setimbang dilemparkan sebanyak 10 kali. Dengan menggunakan pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial, tentukanlah probabilitas untuk memperoleh antara 3 sampai dengan 6 sisi muka
5. Tentukanlah nilai probabilitas variabel acak Z berikut : a. P(0 < Z ≤ 1.25)
