PRINSIP INDUKSI KUAT DAN BENTUK INDUKSI SECARA
UMUM
MAKALAH
Oleh:
Wahyu Dwi Lesmono
064112012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGENTAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PAKUAN
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr.Wb.
Puji dan syukur saya ucapkan kepada Allah SWT, karena berkat rahmat
dan keridhoan-Nya makalah ini dapat terselesaikan. Terima kasih saya ucapkan
kepada dosen pengajar untuk mata kuliah Matematika Diskrit, ibu Embay
Rohaeti, M.Si, yang selama ini telah banyak memberi arahan dan bimbingan
kepada saya.
Makalah ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah
Matematika Diskrit dan membahas tentang prinsip induksi kuat dan bentuk
induksi secara umum berserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Akhir kata, tiada gading yang tak retak. Sama halnya dengan makalah ini
yang masih jauh dari kata sempurna. Untuk itu saya menerima dengan sepenuh
hati saran maupun kritik yang konstruktif agar kedepannya saya dapat
memperbaiki dan membuat makalah lain yang lebih baik.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Bogor, 20 Oktober 2013
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... i
DAFTAR ISI ... ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 2
1.3 Ruang Lingkup ... 2
1.4 Manfaat ... 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Prinsip Induksi Kuat ... 3
2.2 Bentuk Induksi Secara Umum ... 4
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Contoh Soal dan Pembahasan Soal Prinsip Induksi Kuat ... 6
3.2 Contoh Soal dan Pembahasan Soal Bentuk Induksi Secara Umum .... 9
BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan ... 12
4.2 Saran ... 12
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu pola bilangan atau rumus matematika diperlukan pembuktian
berdasarkan definisi, teorema, maupun hukum-hukum yang sudah pernah
dibuktikan. Hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak terbentuk begitu
saja sehingga diragukan kebenarannya. Ada banyak cara untuk membuktikan
suatu teorema dan kadang suatu teorema dapat dibuktikan dengan beberapa cara
yang berbeda, yaitu dengan metode pembuktian langsung dan metode pembuktian
tidak langsung. Saat akan membuktikan teorema terdapat banyak kesulitan, bagi
yang tidak terbiasa melakukan pembuktian maka kesulitan muncul pada langkah
pertama yaitu pada menentukan darimana pembuktian harus dimulai.
Teknik pembuktian yang baku dalam matematika pada bilangan bulat
adalah induksi matematika. Pembuktian dengan induksi matematika berguna
untuk mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat
termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah
terbatas. Prinsip sederhana dalam membuktikan suatu pernyataan atau proposisi
dengan menggunakan teknik induksi matematika yaitu menunjukkan kebenaran
P(1) untuk n = 1 sebagai langkah dasar, menganggap untuk n = k, P(k) benar sebagai langkah induksi, dan harus ditunjukkan pula bahwaP(k + 1)adalah benar. Sehingga ketika langkah basis dan langkah induksi telah tertunjuk benar maka
kesimpulan dari pernyataan atau proposisi yang diberikan tersebut adalah benar.
Selain prinsip sederhana, untuk membuktikan suatu pernyataan P(n)
adalah benar pada semua bilangan bulatn lebih besar atau sama dengann0, dapat
menggunakan prinsip sederhana induksi matematika yang dirampatkan. Untuk
membuktikan pernyataan tersebut, hanya perlu menunjukkan bahwa P(n0) benar
dan jikaP(n)benar makaP(n + 1) benar untuk setiapn≥ n0, sehinggaP(n)benar
Pada pembuktian induksi matematika tingkat lanjut, diperlukan banyak
pengandaian agar tercapai sebuah bukti yang diinginkan sehingga induksi
matematika tidak dapat digunakan untuk menemukan rumus atau teorema tetapi
hanya sekedar untuk melakukan pembuktian.
1.2 Tujuan
Makalah ini bertujuan untuk mengetahui dan mempelajari induksi
matematika dengan menggunakan prinsip induksi kuat dan bentuk induksi umum.
1.3 Ruang Lingkup
Ruang lingkup makalah ini dibatasi pada induksi kuat dan bentuk induksi
umum dengan beberapa pengantar mengenai teknik terurut dengan baik.
1.4 Manfaat
Manfaat yang diharapkan dalam makalah ini menjadi suatu pembelajaran
untuk memahami konsep penyelesaian dalam membuktikan suatu pernyataan
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Prinsip Induksi Kuat
Menurut Rosen (2012), induksi matematika kuat merupakan teknik
pembuktian matematika yang serupa dengan induksi matematika biasa, yaitu
suatu teknik untuk menetapkan kebenaran dari urutan pernyataan tentang bilangan
bulat dan terdiri dari langkah basis, langkah induktif, dan kesimpulan. Oleh
karena itu, langkah basis boleh mengandung pembuktian untuk beberapa nilai
awal, dan pada langkah induktif kebenaran P(n) diasumsikan tidak hanya satu nilai n tapi untuk semua nilai menuju k, dan setelah itu kebenaran P(k + 1)
terbukti.
Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulatn, dan misala danbmerupakan bilangan bulat tetap dengan a≤b. Anggap dua pernyataan berikut adalah benar:
1. P(a),P(a + 1), ..., danP(b)adalah benar (langkah basis)
2. Untuk setiap bilangan bulat k ≥ b, jika P(i) benar untuk semua bilangan bulatidariamenujuk, makaP(k + 1)adalah benar (langkah induktif)
Maka pernyataan untuk semua bilangan bulatn≥a,P(n)adalah benar.
Anggapan bahwa P(i) adalah benar untuk semua bilangan bulat i dari a
menuju kdisebut hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menjelaskan bahwaP(a),P(a + 1), ...,P(k)semuanya benar.
hal ini, beberapa ahli matematika selalu menggunakan induksi kuat dibandingkan
induksi matematika, bahkan ketika pembuktian dengan induksi matematika
mudah untuk dicari.
Induksi matematika dengan induksi kuat adalah ekivalen. Artinya,
masing-masing dapat ditunjukkan menjadi teknik pembuktian yang sah. Secara khusus,
setiap pembuktian menggunakan induksi matematika juga dapat dianggap sebagai
pembuktian dengan induksi kuat karena hipotesis induksi pada induksi
matematika merupakan bagian dari hipotesis induksi pada induksi kuat. Artinya,
jika dapat menyelesaikan langkah induktif pada suatu pembuktian menggunakan
induksi matematika dengan menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti dari P(k)
untuk setiap bilangan bulat positif k, maka mengikuti juga bahwa P(k + 1)
mengikuti dari semua pernyataanP(1), P(2), ..., P(k), karena hal ini diasumsikan bahwa tidak hanya P(k) benar, namun melainkan juga bahwa suatu k – 1
pernyataan P(1), P(2), ..., P(k – 1) adalah benar. Oleh karena itu, sangat aneh untuk mengubah suatu pembuktian dengan induksi kuat ke dalam suatu
pembuktian dengan prinsip induksi matematika.
Induksi kuat kadang disebut dengan prinsip kedua pada induksi
matematika atau induksi lengkap. Apabila terdapat istilah induksi lengkap, maka
terdapat pula induksi tidak lengkap yang kadang disebut dengan prinsip induksi
matematika.
2.3 Bentuk Induksi Secara Umum
Menurut Munir (2005), bentuk induksi secara umum adalah mungkin
membuat bentuk umum metode induksi sehingga dapat diterapkan tidak hanya
untuk pembuktian proposisi yang menyangkut himpunan bilangan bulat positif,
tetapi juga pembuktian yang menyangkut himpunan objek yang lebih umum.
Syaratnya, himpunan objek tersebut harus mempunyai keterurutan dan
mempunyai elemen kecil.
i. Diberikanx, y, z X, jikax < y, dany < z, makay > z.
ii. Diberikan x, y X. Salah satu dari kemungkinan ini benar: x y atau x
y ataux = y.
iii. Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X, terdapat elemen X
x sedemikian sehingga x ≤ y untuk semua y A. Dengan kata lain, setiap himpunan bagian kosong dariXmengandung “elemen terkecil”.
Himpunan bilangan real tak-negatif tidak terurut dengan baik oleh relasi
“<”, himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari 1, yaitu {x | x adalah bilangan real dan x > 1}, tidak mengandung elemen terkecil.
Himpunan pasangan terurut bilangan bulat tidak negatif terurut dengan
baik oleh relasi “<”, dengan kata lain “<” didefinisikan oleh (n1, n2) (n3< n4) jika
dan hanya jika (n1 < n2) atau (n1 = n3 dan n2 < n4). Properti (i), (ii), dan (iii)
dimiliki oleh himpunan ini.
Misalkan X merupakan sebuah himpunan terurut dengan baik oleh relasi “<” dan P(x) merupakan sebuah pernyataan mengenai suatu elemen x pada X. Untuk membuktikan bahwa P(x) adalah benar untuk semua xX , hal tersebut mencukupi untuk membuktikan dengan: (Anonim, 20/10/2013)
i. P(x0)adalah benar, denganx0merupakan elemen terkecil padaX.
ii. Untuk semua x X sedemikian sehingga x0 < x, jika P(y) adalah benar
untuk semuay < x, makaP(x)juga benar.
Jika X adalah suatu himpunan pada bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan untuk beberapa x0 dan “<” untuk relasi urutan biasa pada bilangan
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Contoh Soal dan Pembahasan Prinsip Induksi Kuat
Untuk memahami dengan baik prinsip induksi kuat, dapat diambil salah
satu contoh dalam penerapan kehidupan sehari-hari. Salah satunya yaitu anak
tangga. Dalam prinsip induksi kuat dapat dijelaskan bahwa seseorang dapat
mencapai semua anak tangga apabila:
i. dapat mencapai anak tangga pertama, dan
ii. untuk bilangan bulatk, jika seseorang dapat mencapai semua anak tangga k
pertama, maka seseorang tersebut mencapai anak tangga ke-(k + 1)
Hal ini dapat dijelaskan bahwa P(n) merupakan pernyataan bahwa seseorang dapat mencapai anak tangga ke-n pada suatu tangga, dengan induksi matematika dapat diketahui bahwa P(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n, karena pernyataan (i) mengatakan bahwa P(1) adalah benar, maka langkah basis terselesaikan dan karena pernyataan (ii) mengatakan bahwa jika
P(k) ... P(2)
P(1) maka P(k1), maka langkah induktif terselesaikan.
Berikut ini merupakan bentuk soal berserta pembahasan mengenai anak tangga
dengan menggunakan induksi kuat.
Contoh soal 1:
Anggaplah seseorang dapat mencapai anak tangga pertama dan kedua pada suatu
tangga tak terbatas, dan seseorang tersebut tahu bahwa jika seseorang dapat
mencapai suatu anak tangga, maka seseorang tersebut dapat mencapai dua anak
tangga selanjutnya. Dapatkah hal tersebut dibuktikan bahwa seseorang dapat
mencapai setiap anak tangga menggunakan prinsip induksi matematika? Dapatkah
hal tersebut dibuktikan bahwa seseorang dapat mencapai setiap anak tangga
Pembahasan soal 1:
Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, maka langkah-langkah untuk
menghasilkan suatu pembuktian yaitu:
Langkah Basis: Seseorang dapat mencapai anak tangga pertama.
Langkah Induktif: Hipotesis induktifnya ialah sebuah pernyataan bahwa
seseorang dapat mencapai anak tangga ke-k pada sebuah tangga. Untuk melengkapi langkah induktif, diperlukan menunjukkan bahwa hal tersebut
diasumsikan pada hipotesis induktif untuk bilangan positif k, jika diasumsikan bahwa seseorang dapat mencapai anak tangga ke-k pada sebuah tangga, maka dapat ditunjukkan bahwa seseorang dapat mencapai anak tangga ke-(k + 1)pada sebuah tangga. Oleh karena itu, tidak ada langkah yang jelas untuk melengkapi
langkah induktif ini karena tidak diketahui dari informasi yang didapat bahwa
seseorang dapat mencapai anak tangga ke-(k + 1) dari anak tangga ke-k. Dalam hal ini, hanya dapat diketahui bahwa jika seseorang mencapai suatu anak tangga
seseorang dapat mencapai dua anak tangga lebih tinggi.
Dengan menggunakan prinsip induksi kuat, maka langkah-langkah untuk
menghasilkan suatu pembuktian yaitu:
Langkah Basis: Seseorang dapat mencapai anak tangga pertama.
Langkah Induktif: Hipotesis induktif menyatakan bahwa seseorang dapat
mencapai masing-masing k anak tangga pertama. Untuk menyelesaikan langkah induktif, perlu ditunjukkan bahwa jika hal tersebut diasumsikan bahwa hipotesis
induktif adalah benar, artinya jika seseorang dapat mencapai masing-masing k
anak tangga pertama, maka seseorang dapat mencapat anak tangga ke-(k + 1). Telah diketahui bahwa seseorang dapat mencapai anak tangga kedua. Hal tersebut
dapat melengkapi langkah induktif dengan mencatat bahwa sepanjang k ≥ 2, seseorang dapat mencapai anak tangga ke-(k + 1) dari anak tangga ke-(k – 1)
tangga yang telah dicapainya, dan karena k – 1 ≤ k, dengan hipotesis induktif seseorang dapat mencapai anak tangga ke-(k –1). Hal ini langkah induktif sudah lengkap dan pembuktian dengan prinsip induksi kuat terselesaikan.
Berikut ini adalah contoh soal pembuktian lainnya yang menggunakan
prinsip induksi kuat mengenai membuktikan suatu properti pada suatu barisan.
Contoh soal 2:
Didefinisikan sebuah barisan U0, U1, U2, .... dengan U0 = 0, U1 = 4,
2 -k 1 k
k 6U 5U
U untuk semua bilangan bulat k ≥ 2. Untuk masing-masing
bilangan bulat n ≥ 0, suku ke-n dari barisan tersebut memiliki nilai yang sama dengan rumus5n–1. Dengan kata lain, dikatakan bahwa semua suku pada barisan itu memenuhi persamaanUn= 5n–1. Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar!
Pembahasan soal 2:
Cara menggunakan prinsip induksi kuat untuk menunjukkan bahwa setiap suku
pada suatu barisan memenuhi persamaan tersebut, langkah basis harus
ditunjukkan bahwa suku kedua pertama memenuhi persamaan tersebut. Hal ini
sangat penting karena sesuai dengan definisi barisan bahwa untuk menghitung
suku selanjutnya diperlukan dua suku sebelumnya yang telah diketahui. Jadi, jika
langkah basis hanya menunjukkan suku pertama yang memenuhi persamaan
tersebut, maka tidak mungkin menggunakan langkah induktif untuk
menyimpulkan bahwa suku kedua memenuhi persamaan tersebut. Anggaplah
pada langkah induktif dipilih sembarang bilangan positif k ≥ 1, semua suku pada barisan dari U0 hingga Uk memenuhi persamaan yang diberikan dan selanjutnya
dapat disimpulkan bahwaUk + 1juga harus memenuhi persamaan tersebut.
Misalkan sebuah barisanU0,U1,U2, .... denganU0= 0,U1= 4,Uk 6ak15k-2
untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, dan misalkan sebuah properti P(n)merupakan suatu rumus Un = 5n – 1. Dibuktikan untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 0,
Langkah Basis: untuk membuktikan P(0) dan P(1), harus ditunjukkan bahwa
Langkah Induktif: Misalkan k merupakan bilangan bulat dengan k ≥ 1 dan anggap bahwa hipotesis induktifnya Ui 5i 1 untuk semua bilangan bulat i
Karena langkah basis dan langkah induktif telah dibuktikan dan menghasilkan
benar, dapat disimpulkan bahwa pernyataan yang diberikan tersebut adalah benar.
3.2. Contoh Soal dan Pembahasan Bentuk Induksi Umum
Berikut ini adalah contoh soal berserta pembahasannya mengenai teknik
Contoh soal 3:
Tinjau barisan bilangan yang didefinisikan sebagai berikut:
Buktikanlah dengan induksi matematika bahwa untuk pasangan tidak negatif m
dann, Sm,n mn.
n 1) (m
Sm1,n sehingga Sm,n Sm1,n1(m1)n1mn
Kasus 2: Jika n0, maka dari definisi Sm,n Sm,n11. Karena (m,n-1)(m,n),
maka dari hipotesis induksi,
1) (n m
Sm,n1 sehingga Sm,n Sm,n11m(n1)1mn
Karena langkah basis dan langkah induktif sudah diperlihatkan benar, maka
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Penggunaan teknik pembuktian dengan prinsip induksi kuat lebih luas
pengandaiannya dibandingkan teknik pembuktian dengan induksi matematika.
Prinsip induksi kuat digunakan ketika ada suatu pernyataan yang tidak bisa
diselesaikan dengan pembuktian induksi matematika. Walaupun prinsip induksi
kuat sama dengan induksi matematika, namun prinsip induksi kuat lebih fleksibel
teknik pembuktiannya karena lebih banyak dan luas pengandaiannya. Oleh karena
itu, prinsip induksi kuat sering digunakan untuk membuktikan suatu hasil bukti
dari suatu pernyataan.
Prinsip bentuk induksi secara umum identik dengan prinsip induksi kuat.
Bentuk induksi secara umum digunakan ketika membuktikan suatu pernyataan
atau proposisi yang menyangkut himpunan bilangan bulat positif dan
menyangkut himpunan objek yang lebih umum dengan syarat himpunan objek
tersebut harus mempunyai keterurutan dan mempunyai elemen kecil.
4.2 Saran
Cara memahami kasus maupun soal pada suatu pernyataan yang harus
dibuktikan, diperlukan analisis, penguasaan, dan pemahaman pada pernyataan
yang diberikan agar dapat dibuktikan dengan teknik prinsip induksi kuat dan
prinsip bentuk induksi secara umum. Namun, untuk menguasai teknik prinsip
induksi kuat dan prinsip bentuk induksi secara umum diperlukan penguasaan dan
pemahaman pada induksi matematika yang sederhana dan dirampatkan karena
kedua teknik tersebut merupakan dasar-dasar dalam membuktikan suatu
pernyataan yang ingin dibuktikan kebenarannya. Apabila hal tersebut telah
dikuasai, maka pembuktian suatu pernyataan yang rumit dapat dibuktikan
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 2013.IV.7. www.dartmouth.edu [20/10/2013]
Munir, R. 2005. Buku Teks Ilmu Komputer Matematika Diskrit. Edisi Ke-3. Bandung: Penerbit Informatika Bandung.
Rosen, KH. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications. Edisi ke-7. New York: Mc.Graw-Hill.
