Peluang & Aturan Bayes. MA 2081 STATISTIKA DASAR, 6 FEBRUARI 2012 Utriweni Mukhaiyar

(1)

Peluang & Aturan Bayes

MA 2081 STATISTIKA DASAR, 6 FEBRUARI 2012

(2)

Ek

i

Eksperimen

Ci i i i k i k (St ti tik)

Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik):

 Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri

maupun orang lain

Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik):

 Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri

maupun orang lain maupun orang lain.

 Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari

hasil-hasil sebelumnya maupun orang lain.

 Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari

hasil-hasil sebelumnya hasil-hasil sebelumnya.

 Bisa diukur (diamati).

 Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

hasil-hasil sebelumnya.

 Bisa diukur (diamati).

 Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya  Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

galat/error.

 Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

(3)

R

g S

l

Ruang Sampel

Ruang sampel

g

p

S

,

yaitu himpunan

y

p

dari

semua kemungkinan

hasil dari suatu

percobaan acak (statistik)

(4)

R

g S

l Di k it

Ruang Sampel Diskrit

Di k i

b

k

(

b

) l

d

S

t b

A.

Diskrit:

banyaknya (number) elemen pada

S

tsb

dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil

pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak

berhingga.

Contoh 1.S pada (percobaan) pengecekan bola lampu di Toko Listrik AAA Setiap bola lampu dipilih (secara

Contoh 1.S pada (percobaan) pengecekan bola lampu di Toko Listrik AAA Setiap bola lampu dipilih (secara di Toko Listrik AAA. Setiap bola lampu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai bola lampu rusak atau tidak .

di Toko Listrik AAA. Setiap bola lampu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai bola lampu rusak atau tidak .

(5)

Ruang Sampel Kontinu

K i l l d S b d l h b

B. Kontinu: elemen-elemen dari S tsb adalah bagian

dari suatu interval.

Contoh 2. S pada percobaan pengukuran tinggi pasang maksimum setiap hari di suatu selat (satuan pasang maksimum setiap hari di suatu selat (satuan m), misalnya S = {x: 2 < x < 4}.

Jika kita pilih hari-hari secara acak, maka mungkin

d k h h d

ditemukan hari-hari dengan tinggi pasang 2,1 m atau 3,5 m atau 2,75 m atau nilai lainnya yang berkisar

(6)

Kejadian (Event)



Himpunan bagian

(subset)

dari suatu ruang

sampel S

sampel S .



Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf

kapital misal A B dan lain lain Jika kejadiannya

kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya

banyak, bisa ditulis sebagai barisan, misal

E

₁

,

E

₂

,

dst

...dst.

(7)

Ruang Sampel dan Kejadian

R l di t ik

_S

R l di t ik

_S

 Ruang sampel, dinotasikan

S

 Ruang sampel, dinotasikan

S

Ruang Sampel Diskritg p Ruang Sampel Kontinu

S

= { , , ... , }

 Event (kejadian)

(8)

Populasi dan sampel



Pada Contoh 1: Semua bola lampu yang ada di Toko



Pada Contoh 1: Semua bola lampu yang ada di Toko

Listrik AAA disebut

populasi

, sedangkan beberapa

bola lampus yang diambil disebut

sampel

. Ruang

bola lampus yang diambil disebut

sampel

. Ruang

sampel pada contoh ini adalah semua keadaan bola

lampu yang mungkin, yaitu {rusak, tidak rusak}

p y g

g

y

{

}

dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya

elemen pada S ini dapat dihitung, yaitu ada 2 buah,

(9)

Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian

 Dua pasien diberi obat untuk satu minggu. Sukses p gg

atau tidaknya pengobatan untuk tiap pasien dicatat setelah 1 minggu. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya

berilah contoh kejadian/eventnya.

 Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS ST TS TT}  Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT},

dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal)

 Contoh kejadian, mis kejadian Co to ejad a , s ejad a E₁₁ dimana kedua d a a edua

pasien pengobatannya sukses, maka E₁ ={SS}; dan

(10)

Contoh 4



Dilakukan survey dan pencatatan tingkat

y

p

g

curah hujan setiap hari yang terjadi di

suatu daerah pegunungan.



Jawab

: Misalkan X : tingkat curah hujan (mm),



Jawab

J

: Misalkan X : tingkat curah hujan (mm),

g

j (

),

ruang sampel

S

= { x | 0



x



600, x



R} dan E

₂

adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200

mm maka

J

g

j (

),

ruang sampel

S

= { x | 0



x



600, x



R} dan E

₂

adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200

mm maka

mm, maka

E

₂

= {x | 200 < x



600, x



R}

Perhatikan bahwa E

₂



S

mm, maka

E

₂

= {x | 200 < x



600, x



R}

Perhatikan bahwa E

e at a ba wa

₂₂₂



S

(11)

G b g

Gabungan

U i d i i E d E di li E E d l h

 Union dua peristiwa E₁ dan E₂ ditulis E₁E₂, adalah

himpunan semua elemen yang ada di dalam E₁ atau di d l E (t k di d l k d jik d )

dalam E₂ (termasuk di dalam keduanya jika ada).

 Contoh. Perhatikan Contoh 3.

Misal E₁ adalah kejadian salah seorang pasien sembuh,

Misal E₁₁ adalah kejadian salah seorang pasien sembuh, j g p dan E₂ adalah kejadian tidak ada pasien yang sembuh.



1 j g p

dan E₂ adalah kejadian tidak ada pasien yang sembuh.

(12)

I i

Irisan

I i d i i E d E di li E ∩E d l h

 Irisan dua peristiwa E₁ dan E₂, ditulis E₁∩E₂, adalah

himpunan semua elemen yang ada di dalam E₁ dan di d l E

dalam E₂.

 C t h P h tik C t h 2  C t h P h tik C t h 2  Contoh. Perhatikan Contoh 2.

Misalkan E₁: himpunan tinggi pasang maksimum lebih dari 2 65 m dan E himpunan tinggi pasang

dari 2,65 m, dan E₂: himpunan tinggi pasang

maksimum kurang dari 3,70 m. Maka E₁∩ E₂ = {x |

2,65 < x < 3,70}.

dari 2,65 m, dan E₂: himpunan tinggi pasang

maksimum kurang dari 3,70 m. Maka E₁∩ E₂ = {x |

(13)

K

l

Komplemen

 Komplemen suatu peristiwa E₁, ditulis E₁c, adalah

himpunan semua elemen yang tidak di dalam E₁.

 C t h P h tik C t h 4  C t h P h tik C t h 4  Contoh. Perhatikan Contoh 4.

E₂c_{= {0 ≤ IP ≤ 3}, yaitu himpunan nilai IP dari 0}

i d 3

E₂c_{= {0 ≤ IP ≤ 3}, yaitu himpunan nilai IP dari 0}

i d 3 sampai dengan 3. sampai dengan 3.

(14)

Peluang Suatu Kejadian

 P i i d f k i l tif  Prinsip dasar : frekuensi relatif

 Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S ) elemen, dan

suatu event E mempunyai n(E) elemen maka suatu event E mempunyai n(E) elemen, maka probabilitas E adalah: ( ) ( ) ( ) n E P E n S  ( ) n S

(15)

C t h 5

Contoh 5

 Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling g p g g Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap

anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama gg y g y waktu izin (dalam hari). Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?

Jawab: _n₍S_{) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn).}Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan Mar Jawab: _n₍S_{) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn).}Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan Mar bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}

bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}

(16)

Ak i

P l

g

Aksioma Peluang

1 0 ≤ P(E) ≤ 1 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1.

2. P(S) = 1.

3. Jika E₁ dan E₂ adalah dua kejadian yang saling

lepas,maka berlaku:

P(E₁E₂ ) = P(E₁) + P(E₂)

4. Jika J E₁₁, E, ₂₂,…,E, , _n_n adalah kejadian yang saling lepas j y g g p mutual, maka berlaku :

P(E E  E ) = P(E ) + P(E ) + + P(E )

(17)

Peluang Bersyarat



Peluang bersyarat (conditional probability)

dikatakan bersyarat karena eventnya sudah

y

dibatasi.



Jika event pembatas itu A dan event yang



Jika event pembatas itu A dan event yang

probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka

peluang bersyaratnya adalah:

( )

P A B

(18)

Peluang Bersyarat



Dalam

P

(

B

|

A

), event

A

adalah kejadian yang

terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih

dulu, baru kemudian

B.



Jika

A

dan

B

adalah dua kejadian yang saling

bebas maka



Jika

A

dan

B

adalah dua kejadian yang saling

bebas maka

bebas, maka

P

(

B

|

A

) =

P

(

B

)

bebas, maka

(19)

Contoh

6 Contoh

6

Jenis Rambut Warna

Hit Tid k Hit Hitam Tidak Hitam

Lurus 2 0 Ik l 2 4 Ikal 2 4 Keriting 1 2 P(Lurus Hitam) 2 5 2 P(Lurus | Hitam) =   : 

(20)

K j di

S li

B b

d

S li

L

Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas

 D k j di E d F dik t k li b b  D k j di E d F dik t k li b b  Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas

(independent) jika berlaku:

 Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas

(independent) jika berlaku:

(

)

( ). ( )

P EF



P E P F

 Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika

berlaku:

 Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika

berlaku:

(

) 0

P EF

(

) 0



(21)

Contoh 7

Contoh

7-- Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai kartu

bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian terpilih gambar h i T j kk b h E d F li b b A k h E d hati. Tunjukkan bahwa E dan F saling bebas. Apakah E dan

(22)

Contoh 7

--Contoh 7

( ) 1/ 52 P EF  Jawab:

( ) 4 / 52

P E

karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.

( ) 4 / 52

P E





karena terdapat 4 As dalam kartu bridge

( ) 13 / 52

P F 

p g



karena terdapat 13 kartu bergambar hati

4 13 52 1

( ). ( ) . ( )

52 52 52 52 52

P E P F     P EF

karena terdapat 13 kartu bergambar hati

(23)

Peluang Bersyarat

Banyak kejadian Banyak kejadian A B₅ B₁ A  B₅ A  B B₄ A  B 5 A  B₁ A  B A  B₄

(24)

Peluang Bersyarat

Banyak kejadian

(25)

Aturan Bayes

(26)

Contoh 8

(27)

Solusi

(28)

Referensi

 Dekking F.M., et.al., g A Modern Introduction to Probability and y

Statistics, London : Springer, 2005.

 Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and

Analysis of Data USA: Duxbury Press 1997

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan

Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: P bit ITB 1995

Penerbit ITB, 1995.

 Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering,

8th Ed., 2007.

 Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course

in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.