Deret Taylor dan Analisis Galat

Deret Taylor

dan Analisis Galat

2

Definisi :

Andaikata f dan semua turunannya, f^’,f^’’,f^’’’,…

menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan :

x_oє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar x_o dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret

Taylor :

...

)

! ( ) .... (

)

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( )

( ^{'' ( )}

2 0

'      

 

 _o ^{o o} _o ^{o m} f ^m x_o

m x x x

x f x x

x f x x

f x

f

Deret Taylor

Jika (x-x_o)=h, maka :

Contoh :

Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar x_o=1.

Penyelesaian :

f(x) = sin(x) f^’’’(x) = - cos(x) f^’(x) = cos(x) f⁽⁴⁾(x) = sin(x)

f^’’(x) = - sin(x) dst.

...

)

! ( ....

)

! ( ) 2

! ( ) 1

( )

( ^{'' ( )}

2 0

'    



 _{o o} ^m f ^m x_o

m x h

h f x

h f x

f x

f

maka :

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar x_o=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.

Contoh-1 :

f(x)= sin(x) dimana x_o = 0

...

) 1 24sin(

) 1 6 cos(

) 1 2 sin(

) 1 cos(

) 1 sin(

) sin(

) (

4 3

2   







 h h h

h x

x f

...

0351 ,

0 0901

, 0 4208

, 0 5403

, 0 8415 ,

0 )

(x   h  h²  h³  h⁴ 

f

Penyelesaian :

Contoh-2 : f(x)=e^x dimana x_o=0 Penyelesaian :

) 0 6 cos(

) 0 2 sin(

) 0 cos(

) 0 sin(

) sin(

) (

3

2 h

h h x

x

f     

120 ) 6

sin(

) (

5

3 x

x x x

x

f    

! ...

4 ) 0 (

! 3

) 0 (

! 2

) 0 (

! 1

) 0 ) (

( ⁰

4 3

0 2 0

0         



 x x e

x e x e

e e

x

f ^x

! ...

4

! 3

! 1 2

) (

4 3

0

2   







 x x

x e x e

x

f ^x

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor

dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor

terpotong yg dinyatakan:

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

) ( )

! ( ) .... (

)

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( )

( ^{'' ( )}

2 0

' f x R x

n x x x

x f x x

x f x x

f x

f ⁿ _{o n}

n o o

o o

o  



 

 





) (

/

);

)! ( 1 (

) ) (

( f ^{( 1)} c x c x disebut galat sisa residu n

x x x

R_n ^{o n} _o 



  ^

) ( )

( )

(x P x R x

f  _n  _n

dimana :

Contoh : f(x)=sin(x); x_o=1; utk deret Taylor orde

ke-n Penyelesaian :

)

! ( ) ) (

(

1

o k

n

k

k o

n f x

k x x x

P





 

) )! (

1 (

) ) (

( ^{( 1)}

) 1 (

c n f

x x x

R ⁿ

n o n

 



 

) 1

! sin(

4 ) 1 ) (

1

! cos(

3 ) 1 ) (

1

! sin(

2 ) 1 ) (

1

! cos(

1 ) 1 ) (

1 sin(

) (

4 3

2 4

 

 

 

 

 x x x x

x P

)

! cos(

5 ) 1 ) (

)! ( 1 4 (

) 1 ) (

(

5 )

1 4 ( ) 1 4 (

4 x c

c x f

x R

Galat  



 

 ^{ }

• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.

Semakin kecil galatnya, semakin teliti

solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu :

a. Bagaimana menghitung galat b. Bagaimana galat timbul

Analisis Galat

Misalkan :

Contoh :

: ,

^

maka a

sejati nilai

terhadap hampiran

nilai adalah

a

galat disebut

a a

 ^

 

45 , 10 10,5;

^  a 

a   10,45 10,5  0,05

^

a a

Mutlak

Galat    

% 100

: x

relatif a

Galat _R  

% 100

: _^ x

a hampiran

relatif

Galat _RA  

• Contoh :

Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat !

(b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif !

(d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian :

(a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333

= 10.000/3000 – 9999/3000

= 1/3000 = 0,000333

(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333 (c).

(d).

Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng- gunakan pendekatan lelaran (iteration), є_RA dihitung dengan

cara :

dimana : a_r+1 = nilai hampiran lelaran sekarang a_r = nilai hampiran lelaran sebelumnya

0,01%

100%

(10/3) x 0,000333 100%

x :

relatif

Galat   

R a

 

999 100% 1

3,333 x 0,000333 100%

x :

hampiran relatif

Galat  _^  

a

RA

 

1 1



 



r

r r

RA a

a

 a

• Proses lelaran dihentikan bila :

|є_RA| < є_S

є_S = Toleransi galat yang dispesifikasikan Semakin kecil є_S, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya

• Contoh :

Diketahui : X_r+1=(-X_r+1³ + 3)/6; r =0,1,2,3 X_o= 0,5; є_s= 0,00001

Hitung : є_RA !

Penyelesaian : X_o = 0,5

X₁ = 0,4791667;

X₂ = 0,4816638;

X₃ = 0,4813757;

X₄ = 0,4814091;

X₅ = 0,4814052;

s

RA 

   

 0,043478

X

) X X

(

1 o 1

s

RA 

    0,0051843 X

) X X

(

2 1 2

s

RA 

    0,0005984 X

) X X

(

3 2 3

s

RA 

    0,0000693 X

) X X

(

4 3 4

! ,

0000081 ,

X 0

) X X

(

5 4

5 _s berhenti

RA 

    

• Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu :

1. Galat pemotongan (truncation error) 2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu :

1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman

SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK

(1). Galat Pemotongan (truncation error).

Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matema- tika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana.

Tipe galat pemotongan bergantung pd metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang di- sebut juga galat metode.

Misalkan: turunan pertama f(x₁), dihampiri dengan formula :

dimana : h = lebar absis x_i+1

Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !

Penyelesaian :

f(x) = cos(x) f⁽⁴⁾(x) = sin(x) f^’(x) = - sin(x)

f^’’(x) = - cos(x)

h

x f x

x f ^{i i}

f

^{'( 1)  ( 1)  ( )}

Maka :

Galat pemotongan :

...

! 10

! 8

! 6

! 4

! 1 2

) cos(

) (

10 8

6 4

2     





 x x x x x

x x

f

Nilai hampiran Galat pemotongan

) )! (

1 (

) ) (

( ^{( 1)}

) 1 (

c n f

x x x

R ⁿ

n o n

 



 

)

! cos(

) 7 )! (

1 6

(

) 0 ) (

(

7 )

1 6 ( ) 1 6 (

6 x c

c x f

x

R 



  ^{ }

Nilai R_n yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c

sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari

|R_n| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :

)!

1 (

) x - x (x

) ( )

(

) 1 ( ) o

1 (

 ^  ^



 f c n

x R

n n

x c x

n

Maks

o

• Contoh-1 :

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x_o=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri- kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !

Penyelesaian :

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f’(x) = 1/x f^’(1) = 1

f’’(x) = -1/x² f^’(1) = -1

f’’’(x) = 2/x³ f’’’^’(1) = 2

f⁽⁴⁾(x) = - 6/x⁴ f⁽⁴⁾(1) = -6

f⁽⁵⁾(x) = 24/x⁵ f⁽⁵⁾(c) = 24/c⁵

Deret Taylor :

Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo- tongan < 0,0000034.

) 4 (

) 1 (

3 ) 1 (

2 ) 1 ) (

1 (

)

ln( ₄

4 3

2

x x R

x x x

x         

) 4 (

) 1 , 0 ( 3

) 1 , 0 ( 2

) 1 , 0 1 (

, 0 )

9 , 0

ln( ₄

4 3

2

x

 R

 

 

 





) ( 1053583

, 0 )

9 , 0

ln(    R₄ x

0000034 ,

5! 0 (-0,1) c x

) 24 9 , 0 (

5 5

1 9 , 0

5  



Maks

 c

R

Contoh-2 :

Hampiri nilai secara numerik,yaitu : dengan deret Maclaurin orde 8 !

Penyelesaian :

Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

dx e^x

¹

0

2

) 2

(x e^x f 

) 2

(x e^x

f 

! 4

! 3

! 1 2

8 6

4

2 2 x x x

x

e^x     

x dx x

x x dx

e^x )

! 4

! 3

! 1 2

(

8 1 6

0

1

0

4

2 2















4617724 ,

216 1 1 42

1 10

1 3

1 1 0 1 216

42 10

3

9 7

5

3      



 







 x

x x x

x x x

• Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.

Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena

semua bilangan riil tdk dapat disajikan

secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat

pembulatan.

GALAT PEMBULATAN

• Contoh :

1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033.

Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :

(a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

(b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0,6238 x 10³ atau 0,6238E+03

0,1714 x 10^-13 atau 0,1714E-13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena”

(significant figure).

• Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti.

• Contoh :

43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)

278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

ANGKA BENA

Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat

pembulatan.

Contoh :

9800667 ,

24 0 ) 2 , 0 ( 2

) 2 , 0 1 (

) 2 , 0 (

4

2  



 Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan

GALAT TOTAL

• Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul

karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.

• Di dalam metode numerik, fungsi f(x)

sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkap- kan tingkat ketelitian penghampiran itu

adalah dengan menggunakan notasi : O-Besar (Big-Oh).

ORDE PENGHAMPIRAN

• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).

Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hⁿ|, yg dlm hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(hⁿ) dan ditulis dgn :

f(h) = p(h) + O(hⁿ)

O(hⁿ) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.

• Metode yg berorde O(h²) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h²), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka

galatnya menjadi seperempat kali galat semula.

Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan :

x_i+1 = x_i + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(x_i+1) dengan deret Taylor di sekitar x_i adalah :

Dalam hal ini :

Jadi, kita dapat menuliskan :

) ( )

! ( ) .... (

)

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( )

( ^{'' 1 ( )} ₁

2 ' 1

1

1    

  _i  ⁱ  ⁱ _i  ⁱ  ⁱ _i   ⁱ  ^{i n n} _i  _{n i}

i f x R x

n x x x

x f x x

x f x x

f x

f

) (

)

! ( ....

)

! ( ) 2

! ( ) 1

( )

( ^{'' ( )} ₁

2 '

1 

  _i  _i  _i   ^{n n} _i  _{n i}

i f x R x

n x h

h f x

h f x

f x

f

1 1

) 1 ( )

1 (

1 ( ) ( );

)!

1 ) (

( ^{ } _



   

 ^{n n n} _{i i}

i

n f t O h x t x

n x h

R





  ⁿ  

k

n i

k k

i f x O h

k x h

f

0

1

1 ( ) ( )

) ! (

Contoh :

)

! ( 4

! 3

! 1 2

)

( ⁵

4 3

2

h h O

h h h

e x

f  ^x      

) 4 (

4 3

) 2 ln(

)

( ⁵

5 4

3 2

h x O

x x

x x x

x

f       

)

! ( 5

! ) 3

sin(

)

( ⁷

5 3

h h O

h h h

x

f     

)

! ( 6

! 6

! 1 4

) cos(

)

( ⁸

6 4

2

h h O

h h h

x

f      

BILANG TITIK AMBANG

Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-ambang

Bilangan titik-ambang a ditulis sebagai

a = ± m × B p = ± 0.d1d2d3d4d5d6 ...dn × Bp

m = mantis/mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dn adalah digit mantis.

B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dsb) p = pangkat(berupabilanganbulat), dari–Pmin sampai+Pmaks

Contoh: 245.7654 = 0.2457654 × 10³

BILANG TITIK AMBANG

Bilangan Titik-ambang Ternormalisasi Syarat: digit yang pertama tidak boleh 0 a = ± m × B^p = ± 0.d₁d₂d₃d₄d₅d₆... d_n× B^p 1 ≤ d₁ ≤ B -1 dan 0 ≤ d_k ≤ B-1 untuk k > 1.

Pada sistem desimal, 1 ≤ d₁ ≤ 9 dan 0 ≤ d_k ≤ 9, Pada sistem desimal, 1

≤ d₁ ≤ 9 dan 0 ≤ d_k ≤ 9,

Sedangkan pada sistem biner, d₁ =1dan 0 ≤ d_k ≤ 1.

Contoh: 0.0563 × 10^-3  0.563 × 10^-4,

0.00023270 × 10⁶  0.23270 × 10³

BILANG TITIK AMBANG

Pembulatan pada Bilangan Titik-ambang

Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas.

Bilangan titik-ambang yang tidak dapat mencocoki satu dari nilai-nilai di dalam rentang nilai yang tersedia, dibulatkan kesalah satu nilai di

dalam rentang

Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat pembulatan.

Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu pemenggalan (chopping) dan pembulatan ke digit terdekat (in-

rounding).

PEMENGGALAN (CHOPPING)

Pemenggalan (chopping) Misalkan a = ±0.

d₁d₂d₃ ... d_nd_n+1 ... × 10^p

fl_chop(a) = ±0. d₁d₂d₃ ... D_n-1d_n × 10^p Contoh: π = 0.314159265358... × 100^p

fl_chop(π) = 0.3141592 × 100^p ( 7 digit mantis)

Galat= 0.000000065...

PEMBULATAN

Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding) Misalkan a = ±0. d₁d₂d₃ ... d_nd_n+1 ... × 10^p

fl_round(a) = ±0. d₁d₂d₃ ... d_n × 10^p

PEMBULATAN

Contoh: a = 0.5682785715287 × 10^-4 : Di dalamkomputer 7 digit dibulatkan menjadi

fl_round(a) = 0.5682786 × 10^-4

Di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi?

Di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi Didalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi?

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG

Kasus1: Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan yang sangat kecil ke (atau dari) bilangan yang lebih besar

menyebabkan timbulnya galat pembulatan.

Contoh: Misalkan digunakan komputer dengan 4 digit (basis 10). Hitunglah:

1.557 + 0.04381 = 0.1557 × 10¹ + 0.4381 × 10^-1. Cari Galat dari penyelesaian penjumlahan aritmetika

terhadap bilangan pendekatan yang didapat dengan pemotongan dan pembulatan!

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG

Kasus2: Pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar (nearly equal).

Bila dua bilangan titik-ambang dikurangkan, hasilnya mungkin mengandung nol pada posisi digit mantis yang

paling berarti (posisi digit paling kiri).

Keadaan ini dinamakan kehilangan angka signifikan (loss of significance). Baik pemenggalan maupun pembulatan ke

digit terdekat menghasilkan jawaban yang sama

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG

Contoh:

Kurangi 0.56780 × 10⁵ dengan 0.56430 ×

10⁵ (5 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan!

Kurangi 3.1415926536 dengan 3.1415957341 (11 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari

pembulatan dan pemenggalan!

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG

Contoh:

Diberikan. hitunglah f(500)

dengan menggunakan 6 angka bena dan pembulatan ke digit terdekat!

Penyelesaian:

(Solusi eksak adalah: 11.174755300747198…)! Kenapa hasil tidak akurat? Apakah ada cara penyelesaian yang

lebih baik?

) 1

( )

(x x x x

f   

15 . 11

223 .

0

* 500

) 3607 .

22 3830

. 22 ( 500

) 500 501

( 500 )

500 (











 f

44

Perambatan Galat

• Pada suatu proses komputasi yang memiliki error akan menyebabkan penumpukkan error apabila proses tersebut dilakukan secara beruntun.

• Menyebabkan hasil yang menyimpang dari

sebenarnya  kondisi tidak stabil (ketidakstabilan numerik)

• Kondisi Stabil : error pada hasil antara memiliki pengaruh yang sedikit pada hasil akhir.

• Ketidakstabilan matematik : kondisi yang timbul karena hasil perhitungan sangat peka terhadap perubahan kecil data.

45

Ketidakstabilan

• Dikatakan tidak stabil jika hasil tidak teliti sebagai akibat metode komputasi yang dipilih.

• Contoh :

– F(x) =x (√(x+1)- √ x), hitung f(500) sampai 6 angka penting, solusi asli =11.174755300747198…

– F(x) = √(x+1)- √ x, hitung f(12345) sampai 6 angka penting , solusi asli = 0.00450003262627751

– Cari akar-akar polinom x² – 40x + 2 = 0 sampai 4 angka penting

– F(x) = (e^x -1- x) / x² hitung f(0.01) sampai angka 6 penting

46

Kondisi Buruk

• Persoalan dikatakan berkondisi buruk bila jawabannya sangat peka terhadap

perubahan kecil data atau error pembulatan.

• Contoh :

– x² -4x + 3.999 = 0  akar-akar x₁ = 2.032 dan x₂

= 1.968

– x² -4x + 4.000 = 0  akar-akar x₁ = x₂ = 2.000 – x² -4x + 4.001 = 0  akar-akarnya imajiner

47

Bilangan Kondisi

• Bilangan kondisi didefinisikan sebagai :

• Bilangan Kondisi = |ε_RA [f(â)]/ ε_RA (â)| = |â f’(a)/f(â)|

• Arti bilangan kondisi :

– Bilangan kondisi = 1, galat relatif hampiran fungsi sama dengan galat relatif x

– Bilangan kondisi >1, galat relatif hampiran fungsi besar – Bilangan kondisi <1, galat relatif hampiran fungsi kecil

• Kondisi buruk  bilangan kondisi besar

• Kondisi baik  bilangan kondisi kecil