21. Modul Persamaan Lingkaran Pak Sukani

PERSAMAAN LINGKARAN

a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R x2 + y2 = R2 atau R x2 y2

Contoh : 1

Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan : a. Berjari-jari 6 b. Melalui tiik (6, 8) Jawab :

a. Berjari-jari r = 6 b. Melalui titik (6, 8)

x2 + y2 = 62  x2 + y2 = 36 R = 62 82 = 3664 = 100 = 10 x2 + y2 = 102  x2 + y2 = 100

b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R

A (x, y) PA = R

R (xa)2 (yb)2 R atau : 

P (a, b) (x – a)2 + (y – b)2 = R2

Contoh : 2

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut :

a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 c. x2 + (y – 5)2 = 36 c. x2 + y2 = 64 Jawab :

a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25

Pusat = (4, -2) dan R = 49 = 7 Pusat = (-3, 0) dan R = 25 = 5 c. x2 + (y – 5)2 = 36 d. x2 + y2 = 64

Pusat = (0, 5) dan R = 36 = 6 Pusat = (0, 0) dan R = 64 = 8 Contoh 3 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan :

a. Pusat (2, 5) dan R = 7 b. Pusat (3, -1) dan menyinggung sumbu y Jawab :

a. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 b. Karena menyinggung sumbu y, maka R = 3 (x – 2)2 + (y – 5) = 72 (x – 3)2 + (y – (-1))2 = 32

Contoh 4 :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 3) dan menyinggung garis 3x + 4y + 1 = 0.

Jawab : 3x + 4y + 1 = 0 2 2 1 1 B A C By Ax R    

(4, 3) R =

2 2 4 3 1 ) 3 . 4 ( ) 4 . 3 (    R = 25 1 12 12 

= 5 25

= 5 Persamaan lingkaran :

(x – 4)2 + (y – 3) = 52 (x – 4)2 + (y – 3) = 25

c. Persamaan Umum Lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Dengan pusat lingkaran P { 2 1  A ,

2 1

 B} dan jari-jari R = A2  B2 C 4

1 4

1

Contoh 5 :

Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari R = 5 Jawab :

Pusat = (3, 1) dan R = 5 (x – 3)2 + (y – 1)2 = 52

x2– 6x + 9 + y2– 2y + 1 = 25 x2 + y2– 6x – 2y + 9 + 1 – 25 = 0 x2 + y2– 6x – 2y – 15 = 0

Contoh 6 :

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran : a. x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0 b. x2 + y2– 2x + 10y – 23 = 0 Jawab :

a. Pusat = ( 2 1  . A ,

2 1

 . B) = ( 2 1  . 8 ,

2 1

 . (-6) = (-4, 3)

Jari-jari R = A2  B2 C 4

1 4

1

= ( 6) 9

4 1 8 4

1 2   2 

= 1699 = 16 = 4

b. Pusat = ( 2 1  . A ,

2 1

 . B) = ( 2 1

 . (-2) , 2 1

 . 10) = (1, -5)

Jari-jari R = A2  B2 C 4

1 4

1

= (10) ( 23)

4 1 ) 2 ( 4

1 2 2

  



Soal laihan :

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari :

a. Pusat = (3, -2) dan R = 4 b. Pusat (0, 0) dan R = 10 Jawab :

……… ……… 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran :

a. (x + 5)2 + (y – 3)2 = 9 b. x2 + (y + 1)2 = 25 Jawab :

……….. ……….. 3. Tentukan persamaan lingkaran yang perpusat di titik (4, -2) dan menyinggung :

a. sumbu x b. sumbu y

Jawab :

……….. ……….. 4. Tentukan persamaan umum lingkaran jika :

a. Pusat = (1, 3) dan R = 4 b. Pusat (-4, 1) dan R = 6 Jawab :

……….. ……….. 5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran :

a. x2 + y2– 4x + 8y – 5 = 0 b. x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 Jawab :

……….. ………..

E. Persamaan Garis Singgung

a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = R2 di titik (x1, y1) adalah : x1 x + y1 y = r2

Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 52 di titik (4, 6) Jawab :

x1 x + y1 y = r2  x1 = 4 dan y1 = 6 4x + 6y = 52

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang ordinatnya 4. Jawab :

x1 x + y1 y = r2  y1 = 4

x2 + 42 = 25  x2 = 25 – 16 = 9 x = 3

b. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 dan melalui titik (x1, y1) adalah :

(x1– a) (x – a) + (y1– b ) (y – b) = R2 Contoh 3 :

Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 yang melalui titik (4, 2).

Jawab :

Persamaan garis yang melalui titik (4, 2) : (x1 + 2) (x + 2) + (y1– 3 ) (y – 3) = 25 (4 + 2) (x + 2) + (2 – 3) (y – 3) = 25 6x + 12 – y + 3 – 25 = 0

6x – y – 10 = 0

c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y1) adalah : x1x +y1y +

2 1

Ax1 +

2 1

Ax +

2 1

By1 +

2 1

By + C = 0

Contoh : 4

Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 4 = 0 melaui titik (3, 5).

Jawab : x1x +y1y +

2 1

(-4)x1 +

2 1

(-4)x +

2 1

(8)y1 +

2 1

(8)y + 4 = 0 x1x +y1y – 2x1– 2x + 4y1 + 4y + 4 = 0

3x + 5y – 2 (3) – 2x + 4 (5) + 4y + 4 = 0 x + 9y – 6 + 20 + 4 = 0

x + 9y + 18 = 0 Soal latihan

1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 40 di titik dengan absis = 2.

Jawab :

……….. 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 65 di titik (7, -4).

Jawab :

……….. 3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik

(2, 0). Jawab :

……….. 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan menyinggung lingkaran (x

– 4)2 + (y + 1)2– 32 = 0. Jawab :

……….. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 di titik

(4, -1) Jawab :

EVALUASI 7

A. Pilihlah jawaban yang paling benar !

1. Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0, 0) dan melaui titik (3, 5) adalah …. a. x2 + y2 = 4 c. x2 + y2 = 8 e. x2 + y2 = 34 b. x2 + y2 = 34 d. x2 + y2 = 16

2. Persamaan lingkarran yang pusatnya (4, 3) dan menyinggung sumbu x adalah ….

a. x2 + y2 = 9 c. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9 e. (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 b. x2 + y2 = 16 d. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 16

3. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, -1) dan menyinggung sumbu y adalah …. a. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 c. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 1 e. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4 b. (x2– 2)2 + (y + 1)2 = 1 d. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 4

4. Pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y –11 = 0 adalah ….

a. P (3, 4) dan R = 6 c. P (3, -4) dan R = 6 e. P (4, -3) dan R = 6 b. P (-3, 4) dan R = 6 d. P (-3, -4) dan R = 6

5. Bentuk baku dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y –12 = 0 adalah ….

a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 c. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 25 e. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 b. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 d. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25

6. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jarai-jari 7 adalah …. a. x2 + y2 + 6x – 4y + 36 = 0 d. x2 + y2– 6x + 4y – 36 = 0

b. x2 + y2– 6x + 4y + 36 = 0 e. x2 + y2– 6x – 4y – 36 = 0 c. x2 + y2 + 6x + 4y + 36 = 0

7. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 20 di titik (4, -2) adalah …. a. 4x – 2y – 20 = 0 c. 2x – 4y – 20 = 0 e. 4x + 2y + 20 = 0 b. 4x + 2y - 20 = 0 d. 4x – 2y + 20 = 0

8. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 45 pada titik dengan ordinat = 6 adalah ….

a. 6x2 + 3y2 = 45 c. 6x2– 3y2 = 45 e. –3x2– 6y2 = 45 b. 3x2– 6y2 = 45 d. –3x2 + 6y2 = 45

9. Persamaan garis yang menyingung lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (5, 7) adalah ….

a. 4x + 3y + 43 = 0 c. 4x + 3y + 43 = 0 e. 3x + 4y – 43 = 0 b. 4x – 3y + 43 = 0 d. 3x + 4y – 43 = 0

10. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) adalah ….

a. 4x + 3y – 19 = 0 c. 3x + 4y – 19 = 0 e. 3x – 4y + 19 = 0 b. 4x – 3y – 19 = 0 d. 3x + 4y + 19 = 0

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.

1. Tentukan bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (-5, 2) dan jari-jari = 4. Jawab :

………...

2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x2 + y2– 10x + 2y + 17 = 0. Jawab :

………..

3. Ubah bentuk baku persamaan lingkaran (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 ke bentuk umum. Jawab :

4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16 di titik (1, 1).

Jawab :

………..

5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2– 4x – 2y – 20 = 0 di titik (7, 1).

Jawab :