YAYASAN KOMPUTASI RIAU
YAYASAN KOMPUTASI RIAU
BAHAN AJAR
BAHAN AJAR
METODE N
METODE NUMERIK
UMERIK
Oleh :
Oleh :
Prof. DR. H. Dadang Iskandar, M.Sc
Prof. DR. H. Dadang Iskandar, M.Sc
Pekanbaru,
Pekanbaru, September
September 2014
2014
STMIK AMIK RIAU
STMIK AMIK RIAU
METODE NUMERIK METODE NUMERIK Matakuliah
Matakuliah : : Metode Metode NumerikNumerik Bobot
Bobot SKS SKS : : 3 3 SKSSKS Prodi
Prodi : : S-1 S-1 Teknik Teknik InformatikaInformatika Pra
Pra Syarat Syarat : : Kalkulus, Kalkulus, Algoritma Algoritma & & Bahasa Bahasa PemrogramanPemrograman Kegiatan Kuliah :
Kegiatan Kuliah : a.
a. Tatap Tatap Muka Muka : : ± ± 18 18 x x PertemuanPertemuan b.
b. PR PR : : 1 1 x x Per Per MingguMinggu c.
c. Praktikum Praktikum : : 1 1 x x Per Per MingguMinggu d.
d. Tugas (Proyek), membuat program.Tugas (Proyek), membuat program. Evaluasi
Evaluasi
Nilai Semester diambil dari : Nilai Semester diambil dari :
-- PRPR
-- Nilai Praktikum Nilai Praktikum -- Nilai Poryek Nilai Poryek -- MID SemesterMID Semester -- UASUAS
Buku Pegangan : Buku Pegangan :
“Metode Numerik”, oleh Rinaldi Munir,
“Metode Numerik”, oleh Rinaldi Munir, Informatika, Bandung.Informatika, Bandung. Modul Praktikum :
Modul Praktikum :
Modul yang disusun oleh Tim STMIK-AMIK RIAU. Modul yang disusun oleh Tim STMIK-AMIK RIAU. Refrensi :
Refrensi :
-- Perpustakaan STMIK-AMIK RIAU.Perpustakaan STMIK-AMIK RIAU. -- Internet.Internet.
BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN I.1.
I.1. DefinisiDefinisi
Metode Numerik adalah teknik penyelesaian persoalan matematik dengan Metode Numerik adalah teknik penyelesaian persoalan matematik dengan komputer. Persoalan dalam bidang sain, teknologi, ekonomi dapat dirumuskan dalam komputer. Persoalan dalam bidang sain, teknologi, ekonomi dapat dirumuskan dalam bentuk
bentuk persamaan persamaan matematik. matematik. Tapi Tapi kadang-kadang kadang-kadang bentuknya bentuknya rumit, rumit, tidak tidak dapatdapat diselesaikan secara analitik (menggunakan rumus-rumus yang ada). Untuk mengatasi diselesaikan secara analitik (menggunakan rumus-rumus yang ada). Untuk mengatasi kesulitan tersebut, digunakan metode numerik, yaitu cara perhitungan dengan kesulitan tersebut, digunakan metode numerik, yaitu cara perhitungan dengan menggunakan operasi-operasi dasar (tambah, kurang, kali, bagi). Jumlah operasi ini menggunakan operasi-operasi dasar (tambah, kurang, kali, bagi). Jumlah operasi ini sangat banyak dan berulang-ulang, maka penggunaan komputer akan sangat sangat banyak dan berulang-ulang, maka penggunaan komputer akan sangat membantu.
membantu. I.2.
I.2. Tahapan-tahapan Memecahkan Persoalan Secara NumerikTahapan-tahapan Memecahkan Persoalan Secara Numerik
Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu :
dengan metode numerik, yaitu : 1.
1. Permodelan.Permodelan.
Tahapan ini merupakan tahapan pertama dalam meneyelaikan persoalan Tahapan ini merupakan tahapan pertama dalam meneyelaikan persoalan numerik, dimana pada tahapan ini persoalan nyata akan dimodelkan ke dalam numerik, dimana pada tahapan ini persoalan nyata akan dimodelkan ke dalam persamaan matematik.
persamaan matematik. 2.
2. Penyederhanaan ModelPenyederhanaan Model
Model matematik yang dihasilkan pada tahap 1 mungkin saja terlalu Model matematik yang dihasilkan pada tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variabel) atau parameter. kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variabel) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.
diabaikan. 3.
3. Formulasi Numerik.Formulasi Numerik.
Setelah memperoleh model matematika yang sederhana, tahap Setelah memperoleh model matematika yang sederhana, tahap selanjutnya adalah memfromulasikannya secara numerik, antara lain :
selanjutnya adalah memfromulasikannya secara numerik, antara lain : a.
a. Menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama denganMenentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya).
-- Apakah metode tersebut teliti ?Apakah metode tersebut teliti ?
-- Apakah metode tersebut mudah diprogram dan wApakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannyaaktu pelaksanaannya cepat ?
cepat ?
-- Apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yangApakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup teliti ?
cukup teliti ? b.
b. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. 4.
4. Pemrograman.Pemrograman.
Tahap berikutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program Tahap berikutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai. Dalam modul ini akan dipandu menggunakan
dikuasai. Dalam modul ini akan dipandu menggunakan bahasbahasa pea pemrmr ogramanograman delphi.
delphi.
5.
5. OperasionalOperasional
Tahapan inni merupakan tahapan untuk menjalankan program komputer Tahapan inni merupakan tahapan untuk menjalankan program komputer yang telah dibuat dengan data uji coba sebelum data sebenarnya.
yang telah dibuat dengan data uji coba sebelum data sebenarnya. 6.
6. Evaluasi.Evaluasi.
Pada tahapan ini akan dilakukan evaluasi terhadap hasil yang diberikan Pada tahapan ini akan dilakukan evaluasi terhadap hasil yang diberikan oleh program tersebut.
oleh program tersebut.
Dari enam tahap tersebut, tidak seluruhnya dikerjakan oleh ahli Informatika. Dari enam tahap tersebut, tidak seluruhnya dikerjakan oleh ahli Informatika. Ahli informatika akan bekerja mulai dari tahapan ke 3,4 dan 5, sedangkan tahapan 1 Ahli informatika akan bekerja mulai dari tahapan ke 3,4 dan 5, sedangkan tahapan 1 dan 2 akan dikerjakan oleh ahli masing-masing bidang, dan untuk tahapan ke 6, akan dan 2 akan dikerjakan oleh ahli masing-masing bidang, dan untuk tahapan ke 6, akan dikerjakan bersama-sama antara ahli masing-masing bidang dan ahli informatika. dikerjakan bersama-sama antara ahli masing-masing bidang dan ahli informatika. Tetapi agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya ahli informatika Tetapi agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya ahli informatika juga
juga ikut ikut dilibatkan dilibatkan dalam dalam memodelkan, memodelkan, namun namun perannya perannya hanyalah hanyalah sebagaisebagai pendengar.
pendengar. I.3.
I.3. Topik-topik yang dilalui :Topik-topik yang dilalui : a.
a. Solusi Persamaan Nirlanajar (Non Linier).Solusi Persamaan Nirlanajar (Non Linier). b.
b. Solusi Sistem Persamaan Lanjar (SPL).Solusi Sistem Persamaan Lanjar (SPL). c.
c. Interpolasi Polinom.Interpolasi Polinom. d.
d. Integrasi Numerik.Integrasi Numerik. e.
BAB II BAB II
SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (NONLINIER) SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (NONLINIER) Persamaan
Persamaan f(x) = f(x) = 0 dikatakan0 dikatakan lanjar (linier)lanjar (linier) apabila pangkat dari apabila pangkat dari
sama dengan 1.sama dengan 1. Contoh :Contoh :
= 0= 0
= 2= 2
+2 +2 = 0, = 0, dsb.dsb.Sebaliknya bila pangkat dari
Sebaliknya bila pangkat dari x x tidak sama dengan 1 (satu),tidak sama dengan 1 (satu), f(x) f(x) disebut disebut nirlanjar nirlanjar (nonlinier). Misal : (nonlinier). Misal :
Setiap persamaan seperti tersebut di atas mempunyai akar-akar persamaan, yaitu Setiap persamaan seperti tersebut di atas mempunyai akar-akar persamaan, yaitu harga-harga
harga x x yang memenuhi persamaanyang memenuhi persamaan f(x)=0 f(x)=0. Misalnya akar persamaan dari persamaan. Misalnya akar persamaan dari persamaan
Adalah
Adalah S S , maka berlaku, maka berlaku
.. Secara Simbolik:Secara Simbolik: Bentuk ekspresi
Bentuk ekspresi
secara simbolik kita tulis dengan secara simbolik kita tulis dengan f(x) f(x) maka: maka:
dapat ditulis dengan
dapat ditulis dengan f(x)=0 f(x)=0. Selanjutnya bila. Selanjutnya bila S S adalah akar persamaan adalah akar persamaan f(x)=0 f(x)=0, maka berlaku, maka berlaku f(S)=0.
f(S)=0.
Menentukan akar-akar persamaan aljabar
Menentukan akar-akar persamaan aljabar seperti dua contoh pseperti dua contoh pertama di atas ertama di atas tidak sulit.tidak sulit. Namun menentukan akar-akar
Namun menentukan akar-akar persamaan transendental persamaan transendental sangat sulit sangat sulit dilakukan secara dilakukan secara analitis.analitis.
Persamaan Aljabar Persamaan Aljabar
Persamaann Transedental Persamaann Transedental
Kesulitan tersebut dapat diatasi dengan
Kesulitan tersebut dapat diatasi dengan Metode Metode NumerikNumerik dengan menggunakan komputer.dengan menggunakan komputer. Ada beberapa metode untuk menentukan akar-akar persamaan secara numeri
Ada beberapa metode untuk menentukan akar-akar persamaan secara numeri k, antara lain :k, antara lain : II.1.
II.1. Metode Iterasi (Lelaran)Metode Iterasi (Lelaran) Dengan metode ini bentuk
Dengan metode ini bentuk f(x)=0 f(x)=0 dirubah menjadi dirubah menjadi x=g(x). x=g(x). Masukkan harga dugaan awal
Masukkan harga dugaan awal
kedalamkedalam g(x) g(x), sehingga diperoleh, sehingga diperoleh
atauatau selanjutnya masukkanselanjutnya masukkan x x11 kedalam kedalam g(x) g(x) untuk memperoleh untuk memperoleh x x22 atau atau
== g(x g(x11 ) ) dst.dst.
== g(x g(x22 ) )
== g(x g(x33 ) )
=g =g
Secara
Secara Umum Umum : : Rumus Rumus IterasiIterasi Bila harga-harga x
Bila harga-harga x00, x, x11, , xx22, ... x, ... xii mendekati mendekati hargaharga
̅̅
(akar persamaan yang (akar persamaan yangdicari) maka proses iterasi dikatakan konvergen. Sebaliknya bila harga x
dicari) maka proses iterasi dikatakan konvergen. Sebaliknya bila harga x00, x, x11, x, x22, ... x, ... xii
menjauhi harga akar
menjauhi harga akar
̅̅
, persamaannya dikatakan divergen., persamaannya dikatakan divergen.Untuk proses iterasi yang konvergen, akar persamaan yang dicari adalah x Untuk proses iterasi yang konvergen, akar persamaan yang dicari adalah xi+1i+1
bila
bila
atau atau||
||
, dimana, dimana ϵϵ bilangan real yang kita kehendaki. bilangan real yang kita kehendaki.Contoh 1
Contoh 1 .. Carilah Carilah akar akar persamaanpersamaan f(x) = f(x) =
..Jawab
Jawab .. Secara analitis akar persamaan tersebut adalahSecara analitis akar persamaan tersebut adalah
̅̅
11 = 2.618. = 2.618.̅̅
22= 0.382.= 0.382. Dengan Iterasi : Dengan Iterasi : f(x) f(x) ==
x = x = g(x)g(x) x = x =
Misalkan dugaan awalMisalkan dugaan awal x x00 =1.=1.
= 1= 1
== g(x g(x00 ) )
== g g
==
0.4810.481
==
==
.. .. .. MenujuMenuju
̅̅
22 = = 0.382 0.382 (Konvergen).(Konvergen).Ditentukan
Ditentukan
atau atau
.. Bila harga dugaan awal dipilihBila harga dugaan awal dipilih
,, diperoleh : diperoleh :
= = 33
= 3.333 = 3.333
= 4.037 = 4.037
= 5.766 = 5.766
= = 11.41511.415 MenjauhiMenjauhi
̅̅
11 = 2.618, jadi iterasinya divergen. = 2.618, jadi iterasinya divergen.Contoh 2.
Contoh 2. Tentukan akar persamaanTentukan akar persamaan f(x) = f(x) =
..Pe
Penyelenyelessaian aian ::
a.
a. Secara analitisSecara analitis
̅̅
11 = 0.62 = 0.62̅̅
22 = 1.51 = 1.51b.
b. Dengan IterasiDengan Iterasi f(x) =
f(x) =
x = g(x) =x = g(x) =
PilihPilih dugaan dugaan awal awal xx00 = 0. = 0.
= 0= 0
== g g
==
= 0.333 = 0.333
== g g
==
= 0.465 = 0.465
== g g
==
= 0.567 = 0.567 .. .. .. Menuju Menuju̅̅
= 0.62 .= 0.62 .Iterasinya konvergen. Iterasi dihentikan bila harga
Iterasinya konvergen. Iterasi dihentikan bila harga
atauatau||
||
..Untuk mendapatkan
Untuk mendapatkan
̅̅
= 1.51, kita coba dugaan awal= 1.51, kita coba dugaan awal
= 2, maka uji coba yang = 2, maka uji coba yang sama diperoleh :sama diperoleh :
= 2.46= 2.46
= = 3.913.91
= 16.7, menjauhi= 16.7, menjauhi̅̅
= 1.51. Jadi iterasinya divergen.= 1.51. Jadi iterasinya divergen. Kriteria Konvergen.Kriteria Konvergen.
Agar proses iterasi konvergen, gunakan kriteria konvergen sebagai berikut : Agar proses iterasi konvergen, gunakan kriteria konvergen sebagai berikut :
untuk harga-harga
untuk harga-harga x x yang terletak dalam interval yang mangandung harga akaryang terletak dalam interval yang mangandung harga akar
̅̅
..Contoh. Contoh. f(x) f(x) ==
x x = g(x) = g(x) ==
g(x) g(x) ==
|| g‟ g‟
| < 1, untuk harga-harga| < 1, untuk harga-harga x x yang terletak dalam interval. yang terletak dalam interval.
̅̅
11 = -1, terletak dalam interval ini, maka untuk mencari = -1, terletak dalam interval ini, maka untuk mencari̅̅
11 = -1, dapat memberi dugaan = -1, dapat memberi dugaanawal
awal x x00 = = 1, misalnya.1, misalnya.
Catatan : Catatan : 1.
1. BilaBila g‟(x) g‟(x) dekat dekat dengan dengan harga harga 0 0 untuk untuk semua semua hargaharga x x dalam dalam interval interval tersebut,tersebut, maka proses iterasinya cepat.
maka proses iterasinya cepat.
|| g‟
g‟
||
< 1< 1
̅ ̅
= = -4-4 Contoh Algoritma untuk metoda iterasi. Contoh Algoritma untuk metoda iterasi. Untuk Untuk f(x) = f(x) =
x x == g(x) g(x) x x ==
Rumus iterasi Rumus iterasi
= g = g
==
Soal. Soal.
Tentukan akar-akar persamaan
Tentukan akar-akar persamaan f(x) f(x) ==
, dengan, dengan ϵϵ = 0.000001, = 0.000001, gunakakan beberapa kemungkinan bentukgunakakan beberapa kemungkinan bentuk x x = = g(x), g(x), perhatikan hasilnya. perhatikan hasilnya. II.2.
II.2. Metode Newton (Newton-Raphson)Metode Newton (Newton-Raphson) Rumus Iterasinya : Rumus Iterasinya : Contoh 1. Contoh 1. f f
==
f „ f „
Dugaan awal Dugaan awal
..
′′
Lebih Cepat Lebih CepatContoh 2. Contoh 2. f f
f „ f „
Dugaan awal Dugaan awal
..
1.5435 1.5435
II.3.II.3. Metode Regula FalsiMetode Regula Falsi
Perhatikan kurva
Perhatikan kurva f f
. . f f
terjadi pada titik yang merupakan titik potong terjadi pada titik yang merupakan titik potong ff
dengan sumbudengan sumbu
. Harga. Harga
titik ini adalah akar titik ini adalah akar f f
yang akan dicari. yang akan dicari.Pr
Pr ososeedurdur nya snya seebagabagai berii beri kuku t :t :
Diperlukan dua harga
Diperlukan dua harga
yang merupakan dugaan awal. Misalkan yang merupakan dugaan awal. Misalkan
(titik sebelah (titik sebelah kirikiri
̅̅
) dan) dan
(titik sebelah kanan (titik sebelah kanan̅̅
). Karena). Karena
berada pada sebelah kiri berada pada sebelah kiri̅̅
, maka, maka tentu1.
1. Sekarang tarik garis lurus antara A dan B, yaitu antara titik (Sekarang tarik garis lurus antara A dan B, yaitu antara titik (
,,
) dan) dan titik (titik (
,,
). Titik potong garis tersebut dengan sumbu). Titik potong garis tersebut dengan sumbu
kita namakan kita namakan
dan harga dan harga f f
untuk untuk
adalah adalah f f
.. 2.2. Teliti letak titikTeliti letak titik
.. a.a. BilaBila
,,̅̅
berada antara berada antara
dan dan
. Ganti . Ganti
dengan dengan
lakukan kembali prosedur 1.lakukan kembali prosedur 1. b.
b. BilaBila
, ganti, ganti
dengan dengan
. Lakukan kembali prosedur 1.. Lakukan kembali prosedur 1. Demikian seterusnya hingga diperoleh hargaDemikian seterusnya hingga diperoleh harga
atau atau
harganya harganya sama dengan harga sebelumnya.sama dengan harga sebelumnya. 3.
3. Rumus iterasinya.Rumus iterasinya.
II.4.
II.4. Metode Interval Tengah (Bisection Method)Metode Interval Tengah (Bisection Method)
Sama dengan metode Regula Falsi, namun pada metode interval tengah Sama dengan metode Regula Falsi, namun pada metode interval tengah
dipilih sebagai titik tengah antaradipilih sebagai titik tengah antara
dan dan
. Jari rumus iterasinya sebagai berikut :. Jari rumus iterasinya sebagai berikut : Metode ini lebih mudah daripada metode Regula Falsi.Metode ini lebih mudah daripada metode Regula Falsi.
BAB III BAB III
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR (LINIER)(LINIER)
3.1.
3.1. Sistem Persamaan Lanjar (SPL)Sistem Persamaan Lanjar (SPL) Bentuk persamaan :
Bentuk persamaan :
Secara bersamaan membentuk sistem persamaan lanjar yang terdiri dari 3 buah Secara bersamaan membentuk sistem persamaan lanjar yang terdiri dari 3 buah persamaan
persamaan dengan dengan tiga tiga buah buah variabelvariabel
yang yang tidak di tidak di ketahui. ketahui. Solusi SPLSolusi SPL adalah harga-hargaadalah harga-harga
yang me yang memenuhi ke-3 persamaan tersebut secara bersamaan (simultan). menuhi ke-3 persamaan tersebut secara bersamaan (simultan). Bentuk SPL yang lebih umum :
Bentuk SPL yang lebih umum :
Persamaan (2) adalah SPL yang terdiri dari
Persamaan (2) adalah SPL yang terdiri dari
buah persamaan dengan buah persamaan dengan
buah buah variabelvariabel
yang tidak diketahui koefisien yang tidak diketahui koefisien
dan dan
diketahui berupa bilangan. Biladiketahui berupa bilangan. Bila
semuanya sama dengan nol, SPL-nya semuanya sama dengan nol, SPL-nya disebut SPL homogen. Bila tidak semuanya sama dengan nol, SPL-nya disebut SPL disebut SPL homogen. Bila tidak semuanya sama dengan nol, SPL-nya disebut SPL non homogen.non homogen. 3.2.
3.2. Persamaan MatriksPersamaan Matriks
Persamaan (2) diatas dapat ditulis menjadi : Persamaan (2) diatas dapat ditulis menjadi :
= =
atauatau
̅ ̅
, yang disebut, yang disebut persamaan matriks persamaan matriks..... ... ... (2)(2) ... ... ... (3)(3) ... ... ... (1)(1)
Baris Baris Matriks Matriks Kolom Kolom Matriks Matriks Baris Baris Perhatikan SPL berikut : Perhatikan SPL berikut :
Persamaan matriksnya : Persamaan matriksnya :
= =
Koofesien persamaan (4) terdiri dari bilangan-bilangan Koofesien persamaan (4) terdiri dari bilangan-bilangan
yang disusun berdasarkan baris dan kolom. yang disusun berdasarkan baris dan kolom.
Susunan bilangan seperti di atas dapat diperlakukan sebagai matriks atau Susunan bilangan seperti di atas dapat diperlakukan sebagai matriks atau determinan. Bila diperlakukan sebagai matriks ditulis :
determinan. Bila diperlakukan sebagai matriks ditulis :
dan bila diperlakukan sebagai determinan, ditulis dan bila diperlakukan sebagai determinan, ditulis
Secara umum matriks yang terdiri dari
Secara umum matriks yang terdiri dari
baris dan baris dan
kolom, bentuknya : kolom, bentuknya :
Matriks yang terdiri dari
Matriks yang terdiri dari
baris dan baris dan
kolom disebut matriks dimensi kolom disebut matriks dimensi mm xx nn.. BilaBila
, matriksnya disebut, matriksnya disebut matriks bujur sangkar matriks bujur sangkar . Matriks. Matriks mm xx 11 disebut matriks disebut matriks kolom, dan matrikskolom, dan matriks 11 x x nn disebut matriks baris. disebut matriks baris.
... ... .. (4)(4) ... ... .. (5)(5) Kolom KolomUntuk memudahkan penulisan suatu matriks diberi simbol dengan suatu huruf Untuk memudahkan penulisan suatu matriks diberi simbol dengan suatu huruf besar
besar yang yang diletakkan diletakkan dalam dalam dua dua kurung kurung tegak. tegak. MisalnyaMisalnya
,,
, dan sebagainya., dan sebagainya. Bilangan penyusunan suatu matriks disebut elemen. Elemen suatu matriks diberi Bilangan penyusunan suatu matriks disebut elemen. Elemen suatu matriks diberi simbol dengan huruf kecil yang diberi dua buah indeks. Indeks pertama menyatakan simbol dengan huruf kecil yang diberi dua buah indeks. Indeks pertama menyatakan baris dan indeks kedua menybaris dan indeks kedua menyatakan kolom.atakan kolom. Contohnya, elemen matriks
Contohnya, elemen matriks
dapat ditulis dengan dapat ditulis dengan
, yang menyatakan, yang menyatakan elemenelemen
yang terletak pada baris yang terletak pada baris ke-ike-i dan kolom dan kolom ke-jke-j.. 3.3.3.3. Sifat-sifat MatriksSifat-sifat Matriks 1.
1. Kesamaan MatriksKesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila
Dua buah matriks dikatakan sama apabila dimensinya sama dan elemennyadimensinya sama dan elemennya juga sama
juga sama. Jadi,. Jadi,
bila bila
untuk semua ii dan untuk semua dan j j, serta dimensi, serta dimensi
sama dengan dimensisama dengan dimensi
.. 2.2. Jumlah/ Selisih dua buah matriks.Jumlah/ Selisih dua buah matriks.
, dan dimensi, dan dimensi
sama dengan dimensi sama dengan dimensi
..Contoh. Contoh.
3.
3. Perkalian dua buah matriks.Perkalian dua buah matriks.
Dua buah matriks dapat dikalikan bila jumlah kolom matriks pertama sama Dua buah matriks dapat dikalikan bila jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks ke dua. Misal:
dengan jumlah baris matriks ke dua. Misal:
dimensinya dimensinya mm x x nn
dimensinya n dimensinyan x x p p
, dimana :, dimana :
==
Contoh. Contoh.
**
++
= =**
++
4.4. Matriks DiagonalMatriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya = 0, kecuali elemen Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya = 0, kecuali elemen pada diagonal utamanya.
pada diagonal utamanya.
Contoh. Contoh.
5.
5. Matriks IdentitasMatriks Identitas
Matriks identitas atau matriks satuan
Matriks identitas atau matriks satuan
adalah matriks diagonal yang semua adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama dengan 1.elemennya sama dengan 1.
Contoh. Contoh.
**
++
6.
6. Matriks segi tiga atas/ bawah.Matriks segi tiga atas/ bawah.
Matriks segi tiga atas/ bawah adalah matriks yang elemen-elemennya di Matriks segi tiga atas/ bawah adalah matriks yang elemen-elemennya di bawah/ atas diagonal utamanya sama dengan 0 (nol).
bawah/ atas diagonal utamanya sama dengan 0 (nol).
Contoh. Contoh.
Segi
Segi tiga tiga Bawah Bawah Segi Segi tiga tiga AtasAtas
7.
7. Matriks TransposeMatriks Transpose
Matriks Transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan Matriks Transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom. Misalnya :
baris dan kolom. Misalnya :
adalah adalah matriksmatriks transpose dari transpose dari
.. 3.4. 3.4. Solusi SPLSolusi SPL Perhatikan SPL berikut : Perhatikan SPL berikut :
Persamaan (4-1) dapat ditulis menjadi : Persamaan (4-1) dapat ditulis menjadi :
Atau : Atau :
Bila elemen matriks kolom
Bila elemen matriks kolom
dimasukkan menjadi kolom ke dimasukkan menjadi kolom ke
matriks matriks
,, makamaka diperoleh diperoleh matriks matriks ::
yang
yang disebut mdisebut matriks augatriks augmented.mented.
Ada beberapa metode untuk mencari solusi (4-1) antara lain : Ada beberapa metode untuk mencari solusi (4-1) antara lain : 1.
1. Metode Eliminasi Gauss.Metode Eliminasi Gauss. 2.
2. Metode Eliminasi Gaus Jordan.Metode Eliminasi Gaus Jordan. 3.
3. Metode Lelaran (iterasi) Jacobi.Metode Lelaran (iterasi) Jacobi. 4.
4. Metode Lelaran Gaus Seidal, Dan lain-lain.Metode Lelaran Gaus Seidal, Dan lain-lain.
...
... .... (4-1)(4-1)
...
3.4.1.
3.4.1. Metode Eliminasi Gauss.Metode Eliminasi Gauss.
Metode eliminasi gauss terdiri dari dua tahap.
Metode eliminasi gauss terdiri dari dua tahap. Tahap pertamaTahap pertama :: Menjadikan matriks koefisien
Menjadikan matriks koefisien
menjadi matriks segi tiga atas. menjadi matriks segi tiga atas.[[
]]
Tahap kedua
Tahap kedua, proses penyulihan mundur (, proses penyulihan mundur (backward substitut backward substitut ionion), dimulai dari :), dimulai dari :
, ,dan seterusnya sampai diperoleh harga
dan seterusnya sampai diperoleh harga
dengan rumus : dengan rumus : ,, k=nk=n-1,-1, nn-2, ..., 1 dan-2, ..., 1 dan
≠ 0.≠ 0.Dalam tahap pertama harus diselidiki apakah elemen diagonalnya sama Dalam tahap pertama harus diselidiki apakah elemen diagonalnya sama dengan 0, atau tidak. Bila sama dengan 0 (nol), susunan letak persamaan dengan 0, atau tidak. Bila sama dengan 0 (nol), susunan letak persamaan harus diubah sedemikian, sehingga semua elemen diagonalnya tidak ada yang harus diubah sedemikian, sehingga semua elemen diagonalnya tidak ada yang sama dengan nol.
sama dengan nol.
Contoh. Contoh.
Perhatikan SPL berikut ini. Perhatikan SPL berikut ini.
(1)(1)
(2)(2)
(3)(3) Dalam SPL diatasDalam SPL diatas
. Maka urutan letak persamaan harus diubah.. Maka urutan letak persamaan harus diubah. Misal persamaan (1) dan (2) dipertukarkan sehingga SPL-nya menjadi.Misal persamaan (1) dan (2) dipertukarkan sehingga SPL-nya menjadi.
Ket : Ket : * : harga elemen-elemen * : harga elemen-elemen tersebut telah berubah. tersebut telah berubah.
==
Matriks augmented-nya : Matriks augmented-nya :
Tah
Tah ap ap peperr tamatama ::Triangularisasi.Triangularisasi. a.
a. Meng-nol-kan elemen kolom pertama dibawah elemen diagonalnya.Meng-nol-kan elemen kolom pertama dibawah elemen diagonalnya. -- PilihPilih
sebagai pivot. sebagai pivot.--
, tidak perlu diproses., tidak perlu diproses. -- Kalikan baris 1 denganKalikan baris 1 dengan
,,
kurangkan baris ke-3 dengankurangkan baris ke-3 dengan
x (barisx (baris pertama). Baris ke-3 menjadi :pertama). Baris ke-3 menjadi :
, atau, atau
.. Matriksnya menjadi :Matriksnya menjadi :
b.
b. Meng-nol-kan elemen kolom kedua dibawahMeng-nol-kan elemen kolom kedua dibawah
.. -- PilihPilih
sebagai pivot. sebagai pivot.-- Kalikan baris kedua denganKalikan baris kedua dengan
..
-- Hasilnya kurangkan dari baris ketiga.Hasilnya kurangkan dari baris ketiga. -- Baris ketiga menjadi :Baris ketiga menjadi :
(()(
)()(
)()
)
Menjadi Menjadi : : 0 0 0 0 6 6 33 Matriksnya menjadi : Matriksnya menjadi :
Tah
Tah ap keap keduadua ::Substitusi Mundur (Pengalian mundur).Substitusi Mundur (Pengalian mundur). a. a.
b. b.
c. c.
(())
Proses triangularisasi secara lebih umum, diketahui matriks : Proses triangularisasi secara lebih umum, diketahui matriks :
[[
]]
Dibuat semua elemen dibawah diagonal utama = 0. Dibuat semua elemen dibawah diagonal utama = 0.
L
L angkaangkah 1 h 1 .. Semua elemen kolom 1 dibuat 0 kecuali Semua elemen kolom 1 dibuat 0 kecuali
.. a.a. Kalikan baris pertama denganKalikan baris pertama dengan
, hasilnya kurangkan dari baris kedua., hasilnya kurangkan dari baris kedua. Baris kedua menjadi :Baris kedua menjadi :
b.
b. Kalikan baris pertama denganKalikan baris pertama dengan
. Hasil dikurangkan dari baris ketiga. . Hasil dikurangkan dari baris ketiga. Baris ketiga menjadi :Baris ketiga menjadi :
0
0
0
c.
c. Dengan cara yang sama untuk baris keempat sampai ke-n. AkhirnyaDengan cara yang sama untuk baris keempat sampai ke-n. Akhirnya diperoleh determinan matriks.
diperoleh determinan matriks.
[[
]]
dalam proses membuat 0 (nol) pada kolom 1
dalam proses membuat 0 (nol) pada kolom 1
disebut kumpulan disebut kumpulan (“pivot”). Proses menjadikan 0 (nol) pada kolom 1,(“pivot”). Proses menjadikan 0 (nol) pada kolom 1, disebut reduksidisebut reduksi pivotal.
pivotal.
L
L angkaangkah 2 h 2 .. Meng-Nol-kan elemen kolom kedua dibawah diagonal dengan Meng-Nol-kan elemen kolom kedua dibawah diagonal dengan
sebagai pivot. sebagai pivot. a.a. Baris kedua dikalikan denganBaris kedua dikalikan dengan
, hasilnya dikurangkan dari baris ketiga. , hasilnya dikurangkan dari baris ketiga. Baris ketiga akan menjadi :Baris ketiga akan menjadi :
b.
b. Dengan cara yang sama kalikan baris kedua denganDengan cara yang sama kalikan baris kedua dengan
. dan hasilnya. dan hasilnya dikurangkan dari baris keempat, dan seterusnya.dikurangkan dari baris keempat, dan seterusnya. Diperoleh : Diperoleh :
[[
]]
Langkah 3Langkah 3 .. Melakukan reduksi pivotal untuk kolom ketiga dengan Melakukan reduksi pivotal untuk kolom ketiga dengan
sebagai pivot.sebagai pivot. a.
a. Kalikan baris ke-3 denganKalikan baris ke-3 dengan
. Hasilnya kurangkan dari baris ke-4, . Hasilnya kurangkan dari baris ke-4, demikian seterusnya sampai kolom ke-3 elemennya dibawahdemikian seterusnya sampai kolom ke-3 elemennya dibawah
menjadi 0 (nol).menjadi 0 (nol). 0
Al
Al gorigori tma dari tma dari memetode tode ElEl imim inin asasi i GausGauss ds dapaapat dint din yatayatakan sekan sebagbagai beai berr ikik ut :ut :
Input
Input : : Matriks Matriks A(augmented A(augmented matriks)matriks)
Output :Output :
For k = 1,...,n-1, do: For k = 1,...,n-1, do: If
If
= 0 untuk semua j >= k = 0 untuk semua j >= kthen output ‘ Tidak ada penyelesaian ‘. then output ‘ Tidak ada penyelesaian ‘.
Stop. Stop.
Else (tukar baris bila perlu) Else (tukar baris bila perlu)
For j = k+1,..., n do: For j = k+1,..., n do:
For p = k+1,..., n+1, do: For p = k+1,..., n+1, do:
End End End End End End IfIf
then output “ tidak ada penyelesaian “then output “ tidak ada penyelesaian “Stop Stop Else Else
(mulai substitusi mundur) (mulai substitusi mundur) For i = n-1,..., 1 do: For i = n-1,..., 1 do:
⁄⁄
( (
)) End End OutputOutput
. Stop. Stop End GaussEnd Gauss
Solusi
Solusi SPL SPL dengan mdengan metode etode lelaran lelaran ( Ite( Iterasi )rasi ).. Perhatikan S
Perhatikan SPL PL berikut ini berikut ini ::
Dengan syarat
Dengan syarat
untuk untuk
. Kemudian SPL di atas diubah menjadi:. Kemudian SPL di atas diubah menjadi:
(1) (1) (2) (2)selanjutnya
selanjutnya rumus (2) rumus (2) dilelar sampai dilelar sampai hargaharga
sama dengan harga sama dengan harga
yang dihasikan iterasi sebelumnya.yang dihasikan iterasi sebelumnya.
Ada dua metode untuk melelar persamaan (2). Ada dua metode untuk melelar persamaan (2). 1.
1. Metode lelaran Jacobi, yang rumus lelarannya sebagai berikut :Metode lelaran Jacobi, yang rumus lelarannya sebagai berikut :
lelaran dimulai dengan memasukkan tebakan awal
lelaran dimulai dengan memasukkan tebakan awal
. Lelaran. Lelaran berhenti bila :berhenti bila :
untuk untuk
.. Rumus umum lelaran Jacobi.Rumus umum lelaran Jacobi.
Contoh. Contoh.
Tentukan solusi SPL berikut : Tentukan solusi SPL berikut :
Dengan nilai tebakan awal :
Dengan nilai tebakan awal :
==
≠≠
Jawab. Jawab. Rumus lelaran. Rumus lelaran.
Lelaran pertama Lelaran pertama
..
Dan seterusnya. Dan seterusnya.
Nilai Sejati : Nilai Sejati :
2.2. Metode Lelaran Gauss-SeidalMetode Lelaran Gauss-Seidal
Pada lelaran gauss seidal, harga
Pada lelaran gauss seidal, harga
