BAB 9
TEORI GEOMETRI NON-EUCLIDEAN RIEMANN
Beliau lahir di perkumpulan pedagang di Saint Petersburg, Rusia. Georg adalah anak tertua dari 6 bersaudara, Ia juga berbalkat seni. Garis keturunan Cantor dari ayahnya bermula dari Copenhagen. Ayah Cantor, Georg Woldemar Cantor, yang dulunya bersekolah di Saint Peterburg adalah seorang anggota “ Saint Peterburg Stock Exchange”. Ketika dia sakit, keluarganya pindah ke Jerman pada tahun 1856, di Wiesbaden lalu Frankfurt. Ayahnya meninggal pada tahun 1863.
Penelitian Cantor di,mulai dari keahliannya di matematika terutama dalam hal Geometri oleh karena itu pada tahun 1862, Cantor memmutuskan untuk bersekolah di Institut pokiteknik Federal di Zurich, ETH Zurich. Pada tahun 1863, dia menghabiskan waktu belajar di Universitas Berlin dan di tahun 1866 di Universitas Gottingen. Tahun 1867 dia menyelesaikan tesisnya di Berlin dengan mengambil sebuah penelitian tentang teori bilangan.
Teorema Cantor menyatakan secara tidak langsung yaitu bilangan terhingga dari tak terhingga. Teori Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( 3 Maret 1845 – 6 Januari 1918) adalah seorang matema tikawan Jerman. Dia pencetus teori himpunan terkemuka. Cantor mencetuskan teori tentang kores pondensi satu–satu, penjelasan tentang himpunan bilangan tak hingga dan urutan himpunan, pembuktian bahwa bilangan real lebih banyak dari pada bilangan asli.
tentang bilanagn ini mendapat banyak perlawanan dari teman sebayanya yaitu Leopold Kronecker, Henri Poincare,hermann Weyl dan L. E. J. Brouwer sedang Ludwig Wittgenstein mengembangakan pilosofinya. Beberapa Tologian Kristiani melihat Teori Cantor seperti ketidakterbatasan mutlak dalam kekuasaan Tuhan, yang hampir sama dengan Panteisme. Namun di lain pihak Poincare justru mengangap bahwa teori tersebut merupakan ancaman bagi matematika dan Kronecker secara pribadi da golongan menyebut Cantor sebagai Dukun Ilmuwan. Wakaupun medapat perlawana dari beberapa pihak, Cantor tidak pernah putus asa, Dia terus maju dan berkembang sampai akhirnya dia mendapat penghargaan dari dunia Internasional p[ada tahun 1904, yaitu dari Royal society of London. Dia memdapatkan mendali perak dan honor yang tinggi.
Ketika Bolyai dan Lobachevsky berhasil menantang postulat kesejajaran Euclid, matematikawan terdorong membangun teori geometri non-Euclide lain. Yang pertama dan yang sangat terkenal dirancang oleh Riemann ada tahun 1854. Toeri Riemann bertentangan dengan postulat kesejajaran Euclid dengan mengasumsikan prinsip-prinsip berikut:
Postulat Kesejajaran Riemann. Tidak terdapat garis
sejajar
Teori Riemann tidak hanya meninggalkan postulat kesejajaran Euclid tetapi juga meninggalkan postulat lain. Sebagaimana yang telah kita lihat bahwa garis sejajar itu ada, tanpa mengasumsikan sebarang postulat kesejajaran, (bab 2, teorema 2, corollary 3); selanjutnya keberadaan garis sejajar itu merupakan
teorema pada geometri netral. Dengan kata lain postulat Riemann, yang menyatakan tidak terdapat garis sejajar, tidak konsisten dengan postulat geometri netral. Akibatnya, kita harus menemukan postulat-postulat geometri netral yang mana yang berkenaan dengan adanya garis sejajar, lalu menghapusnya dari daftar kita.
Prosedur utama untuk melaksanakannya adalah menganalisa bukti keberadaan garis sejajar untuk melihat pada sifat-sifat mana bukti tersebut bergantung. Dengan meninjau sekilas pada pembuktian, kita lihat bahwa bukti tersebut mengikuti secara langsung sifat berikut:
(A) Dua garis saling tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar (bab 2, teorema 2, corollary 1).
Sifat (A) merupakan konsekuensi langsung dari teorema sudut eksterior, jadi kita harus menentukan teorema sudut eksterior bergantung pada postulat mana. Tetapi pembuktian teorema sudut eksterior kompleks dan melibatkan penerimaan secara tersirat akan sifat-sifat grafik dari suatu diagram. Akibatnya sangat sulit menentukan sifat-sifat penting mana yang dimaksud. Akan tetapi, terdapat alternatif pembuktian sifat (A) yang sederhana dan tidak memerlukan teorema sudut eksterior. Kita menyajikannya dan menganalisanya untuk memperoleh sifat-sifat yang penting tersebut.
Teorema 8.1
Dua garis yang saling tegak lurus pada garis yang
Diberikan. Dua garis berbeda L dan M yang saling tegak lurus pada garis N (gambar 4.14(a)).
Buktikan: L sejajar dengan M.
Bukti:
Andaikan L sejajar dengan M merupakan pernyataan yang salah. Maka L dan M akan berpotongan pada titik C Misalkan L, M memotong N masing-masing di A, B. Pernyataan Alasan Perpanjang CA melalui A hingga C‟ dengan CA = AC‟
Panjang ruas garis dapat digandakan
Tarik garis C‟B Dua titik menentukan suatu garis ' ABC ABC s, sd, s ' ABC ABC
Bagian-bagian yang
ber-sesuaian
Dengan demikian ABC' merupakan sudut
siku-siku karena ABC merupakan sudut siku-siku; dan BC dan BC‟ saling tegak lurus dengan AB
BC dan BC‟ garis yang sama
Hanya terdapat satu garis tegak lurus terhadap suatu garis yang diberikan melalui
A B N L M A B C’ C N L M
titik pada garis yang diberikan tersebut
Dengan demikian C dan C‟ adalah titik persekutuan AC dan BC atau L dan M.
Karena itu L dan M yang sama
Dua titik menentukan suatu garis
Hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa L dan M merupakan garis yang berbeda. Dengan demikian pengandaian kita salah dan teorema berlaku.
Jika postulat kesejajaran Riemann dipertahankan, teorema ini harus diabaikan begitu saja. Dengan demikian kita harus membuang (selain postulat kesejajaran Euclid) satu dari prinsip yang digunakan dalam pembuktian. Tentu saja kita ingin mempertahankan sifat-sifat yang berkenaan dengan segitiga yang konruen dan garis tegak lurus – kita akan bermain-main dengan sifat ini. Kita akan menganalisis pembuktian dengan sifat-sifat ini dalam benak kita. Titik kritisnya kelihatan ada pada langkah 6, yakni L dan M adalah garis yang sama karena memiliki dua titik persekutuan yang berbeda. Langkah ini (juga pembuktian) akan gagal jika C dan C‟ dua titik yang sama (berimpit). Bagaimana mungkin kedua titik itu berimpit? Sama saja dengan menanyakan bagaimana kita tahu kalau kedua titik itu berbeda. Titik kritis dalam pembuktian ini tidak dibuktikan secara formal, tetapi kelihatannya ditentukan melalui gambar. Dapatkah kita menentukan prinsip geometri yang membenarkan pernyataan tersebut?
Untuk menjawab ini, ingat bahwa Euclid secara tersirat mengasumsikan bahwa setiap garis membagi bidang menjadi dua bagian yang berbeda. Lebih tepat dinyatakan sebagai berikut: Jika diberikan garis L,
titik-titik pada bidang yang tidak terletak pada garis L membentuk dua bangun atau himpunan
titik, disebut tepi/sisi garis. Sisi-sisi ini tidak mempunyai titik persekutuan, dan memiliki sifat bahwa setiap garis yang suatu titik pada satu sisi dengan titik pada sisi yang lain memotong L. Dengan memandang sifat “membagi” ini, konstruksi pada langkah 1 dari pembuktian (memperpanjang CA melalui A hingga C‟ , dengan CA = AC”) menjamin bahwa C dan C‟ berada pada sisi yang berlainan dari N, dan dengan demikian merupakan titik yang berbeda. Tanpa sifat membagi ini tidak ada yang membenarkan bahwa C berbeda dengan C‟, dan pembuktian gagal. Ini menunjukkan bahwa kita dapat menyusun teori geometri Riemann dengan menghilangkan postulat yang berbunyi setiap garis membagi bidang.
Jika anda merasa bahwa membuang prinsip membagi itu terlalu berat, kita dapat atur untuk mempertahankannya asal saja kita membayarnya dengan mengorbankan sesuatu yang lain. Jika prinsip membagi diterima, C dan C‟ haruslah titik-titik yang berbeda. Tetapi kita masih dapat menghindari kontradiksi pada langkah 6, jika kita membuang prinsip yang menyatakan bahwa dua titik menntukan sebuah garis, dan mengijinkan dua garis berpotongan di dua titik. Pada pandangan awal ini mungkin terlihat sebagai bayaran yang berlebihan, tetapi mengarahkan kepada teori geometri yang menarik dan lebih sederhana.
Ada dua teori geometri yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann. Yang pertama, setiap garis berpotongan tepat di satu titik, tetapi tidak ada garis yang membagi bidang. Yang kedua, dua garis berpotongan tepat di dua titik, dan setiap garis membagi bidang. Teori-teori ini masing-masing disebut, geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik
ganda. (Istilah „tunggal‟ dan „ganda‟ menunjukkan sifat
titik potong dari dua garis pada geometri tersebut; dan istilah „eliptik‟ digunakan untuk menghaluskan sesuai dengan pengklasifikasian yang didasarkan pada bangunan geometri dimana geometri Euclid dan Lobacevsky disebut parabolik dan hiperbolik).
Tidak berarti bahwa Riemann memperkenalkan teori geometri yang benar-benar berbeda yang membangun sifat-sifat ruang secara luas dengan meneliti sifat jarak antara titik yang berdekatan. Teori ini disebut geometri Riemann, berguna dalam matematika terapan dan fisika, dan merupakan dasar matematis dari teori umum relativitas Einstein.
A. Garis Sebagai Gambar Tertutup
Dalam dua geometri eliptik ini sifat lain yang familiar dan penting yang juga dibuang, yaitu bahwa suatu garis merupakan gambar terbuka yang tak terbatas yang dibagi menjadi dua bagian (sinar atau setengah garis) oleh setiap titiknya.
Pertama-tama perhatikan geometri eliptik tunggal. Dengan menguji situasi yang ditunjukkan oleh gambar 4.14(b) dalam pembuktian teorema yakni, bahwa dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar, kita lihat bahwa jika teori dari geometri eliptik tunggal berlaku secara keseluruhan,
titik C‟ harus berimpit dengan titik C. Sehingga dengan memperpanjang CA sepanjang dirinya sendiri ke C‟ kita akan kembali ke titik C. Dengan kata lain, kita telah melalui keseluruhan garis CA yang terdiri dari ruas garis CA dan perpanjangannya. Akibatnya, suatu garis dipandang sebagai suatu bangun yang tertutup. Hal ini sesuai dengan sifat bahwa satu titik tidak dapat membagi garis menjadi dua bagian, tetapi dua titik dalam suatu garis membagi garis tersebut menjadi dua ruas garis, dan dengan demikian dua titik menentukan dua ruas garis, bukan satu ruas garis, sehingga kedua titik itu merupakan titik akhir persekutuan.
Konsepsi dari garis ini dapat digunakan dalam geometri eliptik ganda dengan cara berikut. Misal diberikan garis L dan misal A titik di L Misal M tegak lurus garis L di A. Kemudian L dan M bertemu di titik lain sebut B. Apapun konsep kita tentang garis, maka A dan B haruslah menjadi titik akhir dari suatu ruas garis, paling sedikit yang dimuat oleh garis L. Misal S sebuah ruas gari yang menghubungkan A dan B, dimuat dalam L. Karena M membagi bidang dan M memotong L tepat di dua titik, S haruslah (selain titik akhir) semuanya berada pada salah satu sisi M.
Selanjutnya kita ingin menunjukkan bahwa setiap titik di L pada sisi M yang diberikan terletak pada S. Konsep garis kita menuntut bahwa setiap titik di L yang tidak terletak pada ruas garis S harus terletak pada perpanjangan S melewati satu dari titik akhir A atau B.
A B
S L
Tetapi jika S diperpanjang melewati A atau B, garis L akan memotong M, dan memasuki sisi M berseberangan dengan S. Dengan demikian sebarang titik yang terletak di garis L pada sisi M yang sama dengan S, pasti terletak pada garis S, dan kita simpulkan bahwa S merupakan bagian L pada sisi M yang ditentukan.
Kita mungkin akan memberi pendapat bahwa ada ruas garis S‟ yang bersesuaian, yang termuat dalam garis L, serta menggabungkan A dan B pada sisi lain dari M dan merupakan bagian L pada sisi M yang lain itu. Untuk ini, ingat kembali ide pokok dari geometri bidang Euclid (lebih tepat lagi dalam geometri netral) yakni bahwa sebarang bangun F dapat dicermainkan (secara tegak lurus) terhadap suatu garis tertentu untuk menghasilkan bangun F‟ yang simetris. Kita ingin teori kesimetrian ini dipertahankan dalam geometri eliptik ganda. Jadi akan ada suatu bangun S‟ yang simetris dengan ruas garis S, yang menghubungkan A dan B pada sisi M yang berseberangan dengan S. Karena S adalah ruas garis, maka S‟ juga merupakan ruas garis. Karena S tegak lurus terhadap M di titik A maka S‟ juga tegak lurus dengan garis M di titik yang sama. Karena S dan S‟ merupakan ruas garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama pada titik yang sama, maka kedua garis tersebut harus terletak pada satu garis, dengan kata lain, S‟ termuat di L. Dengan argumen pada paragraf terakhir maka sebarang titik di L pada sisi M yang sama dengan S‟ pasti terletak pada S‟. Kita simpulkan bahwa L dibentuk oleh ruas garis S dan S‟. Dengan demikian kita dapat menerima bahwa garis
merupakan bangun yang tertutup, seperti dalam geometri eliptik tunggal.
B. Representatif Pada Bola Euclide
Pada kesan pertama geometri eliptik mungkin terlihat sebagai teori geometri yang aneh, tetapi kita dapat menyajikannya dengan tepat menggunakan konsep Euclid. Penyajian ini meliputi geometri bola Euclide dan secara khusus sederhana untuk geometri eliptik ganda. Berikut daftar tabel beberapa konsep dasar geometri eliptik ganda dan representasi yang bersesuaian pada bola Euclide.
Geometri Eliptik Ganda
Representasi Euclide
Titik Titik pada bola S
Garis Lingkaran besar pada S
Bidang Bola S
Ruas garis Busur dari lingkaran besar pada S
Jarak antara dua titik
Panjang busur terpendek lingkaran besar pada S yang menghubungkan dua titik Sudut (dibentuk
oleh dua garis)
Sudut pada bola (dibentuk oleh dua lingkaran besar) Besar sudut Besar sudut pada bola
Perhatikan bahwa postulat kesejajaran Riemann dipenuhi dengan representasi ini: setiap dua garis (lingkaran besar) berpotongan, dan sesuai fakta tepat di dua titik. Lebih lanjut, postulat membagi juga dipenuhi, karena setiap lingkaran besar membagi bola menjadi dua belahan setengah bola. Contoh, equator membagi globe menjadi belahan utara dan selatan setingga setiap busur dari lingkaran besar yang menghubungkan sebuah titik pada satu belahan dengan titik pada belahan lain memotong equator. Akhirnya perhatikan bahwa setiap garis merupakan bangun tertutup.
Hati-hati terperangkap dalam pemikiran bahwa geometri eliptik ganda Riemann adalah geomteri bola Euclide dengan nama baru, sehingga kita hanya menyebut lingkaran besar sebagai garis, sebuah busur dari lingkaran besar sebagai ruas garis. Sangat berlawanan. Riemann telah menyediakan teori abstrak yang baru tentang bagaimana sifat-sifat garis. Kita mungkin berkata, teori baru tentang garis lurus bertentangan dengan teori Euclid dalam beberapa hal. Sebagai akibatnya, garis Riemann tidak dapat disajikan dengan tepat sebagai garis pada bidang Euclid, dan sungguh tapat kalau garis Riemann disajikan dengan sebagai lingkaran besar pada bola Euclid.
A B
B’ A’
Representatif dari geometri eliptik tunggal diturunkan dari geometri ganda dengan alat yang lebih pintar. Lingkaran besar pada bola tidak mewakili dengan tepat garis pada geometri eliptik tunggal, karena dua lingkaran besar selalu berpotongan di dua titik yang berseberangan menurut diameternya. Untuk mengatasi kesulitan ini, misalkan kita memandang bahwa dua titik yang berseberangan pada bola adalah sama. Atau kita dapat mengatakan, ditentukan bahwa sebarang titik dengan titik yang berseberangan dengannya adalah sama. Maka kita dapat mempresentasikan geometri eliptik tunggal sama seperti kita mempresentasikan geometri eliptik ganda. Dengan demikian garis pada geometri eliptik tunggal disajikan dengan lingkaran besar (dengan kesepakatan bahwa titik yang berseberangan sama). Sebuah ruas garis disajikan dengan busur minor dari lingkaran besar (karena busur mayor atau setengah lingkaran sudah mewakili garis). Untuk menentukan jarak antara dua titik yang diwakili oleh A dan B, ingat bahwa A dan A‟ yang berseberangan dengannya mewakili titik yang sama, begitu juga halnya dengan B dan B‟ (gambar 4.17). Dengan begitu jarak yang dimaksud adalah panjang dari busur minor terkecil antara busur AB, busurAB‟ (atau equivalent dengan busur minor busur A‟B, busur A‟B‟). Sudut dan besar sudut disajikan seperti dalam geometri eliptik ganda.
Perhatikan bahwa dalam penyejian ini, sebagaimana dalam penyajian terdahulu, garis adalah bangun tertutup dan postulat kesejajaran Riemann dipenuhi. Tetapi sekarang, karena titik yang berseberangan telah ditentukan sama, dua garis berpotongan hanya di satu titik. Demikian juga
ternyata postulat, dua titik menentukan sebuah garis, dipenuhi. Lebih lagi, tidak sulit melihat bahwa postulat membagi gagal (tidak dipenuhi).
C. Kritik
Anda mungkin merasa bahwa dasar dari penyajian geometri eliptik tunggal menentukan bahwa sebuah titik sama dengan titik di seberangnya – tak kokoh. Anda boleh berargumen: Jika memang identik tidak perlu menetapkannya demikian, jika berbeda maka tidak mungkin untuk menetapkannya demikian. Kelihatannya tidak mungkin untuk menjawab pendapati ini. Tanpa mencoba untuk menjawabnya, mari kita periksa masalah penyajian geometri eliptik tunggal dan melihat apa yang mengarahkan kita untuk memperkenalkan ide penetapan tersebut. Titik pada eliptik tunggal tidak disajikan dengan satu titik unik pada bola, seperti titik pada eliptik ganda. Kita harus membayangkan bahwa titik itu diwakili sama baiknya oleh salah satu dari pasangan titik yang berseberangan menurut diameternya. Tetapkita menginginkan setiap titik pada eliptik tunggal memiliki penyajian yang unik. Inilah yang mendorong kita untuk menyetujui bahwa pasangan titik yang berseberangan pada bola itu ditetapkan sama, dan dengan demikian memasukkan kita dalam keulitan di atas. Dapatkah kita menentukan penyajian yang unik untuk titik pada geometri eliptik tunggal? Sangat mudah, asalkan kita tidak menggunakan ide bahwa titik pada geometri eliptik tunggal harus disajikan dengan titik pada bola. Kita hanya menyajikan titik dari geometri eliptik tunggal dengan satu pasangan titik, yang terdiri atas dua titik yang berseberangan pada bola. Tentu saja
penyajian dari garis, bidang, ruas garis harus dimodifikasi agar sesuai. Sebagai contoh, sebuah garis disajikan dengan himpunan dari pasangan titik yang berseberangan yang dimuat dalam lingkaran besar. Akibatnya, ini membenarkan yang sebelumnya, secara intuitif penyajian yang lebih sederhana dengan menempatkannya pada dasar yang tidak dapat disangkal secara logis. Perhatikan bahwa saat kita mengambil dua titik berseberangan A dan A‟ dan membentuk pasangan (A, A‟), kita telah mengkonstruksi satu kesatuan tunggal dari dua unsur, yang mungkin diuraikan dalam pengertian tertentu, sebagai proses menentukan dua titik sama.
D. Penyajian Dari System Matematika
Sebelumnya kita melanjutkan pembahasan mengenai geometri eliptik kita akan menyediakan beberapa garis-garis terhadap ide umum tentang penyajian system matematika. Penyajian geometri eliptik dalam geometri Euclide mungkin kelihatan sepele atau sesuatu yang terisolasi, seperti membuat foto dengan lensa yang menyimpang, tetapi pandangan ini belum dibenarkan. Kita harus memperkenalkan penyajian ini agar geometri eliptik yang lebih diterima dan memberikan gambar grafik dalam terminologi yang lebih dikenal dari teori yang tidak dikenal (dan yang diuraikannya tidak lengkap). Tetapi dugaan atas penyajian dari sebuah system matematika ke dalam bentuk lain adalah ide intrinsic yang penting dari matematika modern. Dengan mempertimbangkan bahwa geometri eliptik ganda dan geometri Euclides adalah teori yang bertentangan, mengejutkan bahwa setiap sifat dari geometri eliptik
ganda selalu dapat digambarkan dengan sifat yang berkorespondensi dari geometri bola Euclide. Ini mengindikasikan hubungan timbal-balik yang dlam antara geometri eliptik ganda dan geometri Euclid, yang mungkin kelihatannya tidak mungkin. Perlu dicatat bahwa geometri Lobachevski juga selalu dapat disajikan dalam geometri Euclidian.
Sekali kita telah menetapkan penyajian dari sebuah system matematika dalam bentuk yang lain, kita dapat menginterpretasi dalil-dalil dalam bentuk sebelumnya dengan menggunakan dalil yang berkorespondensi pada bentuk yang kedua dan dengan demikian menghasilkan cara pandang yang lebih mendalam ke dalam masing-masing sistem daripada yang dapat diperoleh dengan mempelajarinya secara terpisah. Proses mempelajari suatu sistem melalui representasinya ini bukanlah sesuatu yang benar-benar tidak dikenal. Belajar tentang geometri analitik (Euclidean) didasarkan pada penyajian geometri Euclidean dalam sistem bilangan real yang menggambarkan sifat-sifat titik dan garis dalam geometri dengan sifat-sifat aljabar yang berkorespondensi mengenai pasangan berurutan bilangan real (x, y) dan persamaan linear ax + by + c = 0.
Dalam bab 5 kita akan menghadapi masalah konsistensi dari geometri non Euclidean, menggunakan penyajian mereka dalam geometri Euclidean.
E. Kesulitan-Kesulitan Yang Terdapat Dalam Perlakuan Formal Teori Riemann
Merupakan keberuntungan jika kita dapat menampilkan suatu perlakuan formal dari teori Riemann dibandingkan dengan perlakuan formal yang telah dibuat untuk teori Bolyai dan Labachevsky. Namun hal itu tidak mungkin. Terdapat banyak kesulitan yang membuat perlakuan pengenalan dasar tidak memungkinkan. Ingat bahwa semua hasil yang dikenal pada geometri netral dapat digunakan sebagai dasar pada geometri Lobanchevsky. Kekongruenan Euclid yang terkenal, sifat grafis dan sifat membagi tetap dipertahankan, dan hanya postulat kesejajaran yang diubah. Pada teori Riemann titik dan garis sangat berbeda dibanding dengan geometri netral. Seperti yang telah kita lihat (bagian 10) sebuah garis merupakan bangun tertutup dan dua titik pada garis itu membagi garis menjadi dua ruas garis. Sulit untuk mendefinisikan sudut, karena kita tidak mempunyai pengertian tentang sinar dan setengah garis seperti pada geometri Netral. Bahkan pertanyaan tentang rumusan definisi segitiga yang sesuai juga merupakan masalah. Sebaai contoh misal A, B, C adalah tiga titik tidak segaris dan misalkan AXC,AYC adalah dua ruas garis dari garis AC yang ditentukan oleh titik A dan C (gambar 4.18). Kemudian jika AB,BC, dan AXC membentuk segitiga, apakah kita juga dapat memandang AB,BC, AYC sebagai segitiga? Jika bisa, apakah prinsip sisi-sudut-sisi tetap valid? Dalam geometri Euclid atau Lobachevski kesulitan seperti ini tidak muncul, karena segitiga-segitiga yang berbeda tidak mungkin memiliki titik sudut yang sama. Dalam geometri eliptik tunggal kemungkinan yang membingungkan lainnya juga ada. Karena sebuah
garis tidak membagi bidang, apakah segitiga membagi bidang? Apakah mungkin segitiga memiliki titik interior?
Kesulitan-kesulitan ini dapat dipecahkan. Faktanya, dengan adanya representasi bola dari geometri eliptik memberikan sebuah petunjuk penting untuk memecahkan kesulitan-kesulitan itu. Akan tetapi diskusi kita menunjukkan bahwa perlakuan formal dari geometri eliptik memerlukan studi pendahuluan yang cermat mengenai sifat-sifat grafis dari titik dan garis, dan hakekat dari sudut dan segitiga. Kajian tersebut sepertinya diluar dari pembahasan buku ini, dan kita akan menyimpulkan bahwa pengantar teori Riemann di sini dengan suatu diskusi informal mengenai beberapa sifat-sifat penting.
F. Sifat-Sifat Kutub Dalam Geometri Eliptik Bidang
Dalam geometri bidang eliptik (seperti dalam geometri bidang Euclid dan Lobachevskian) hanya terdapat satu garis tegak lurus terhadap suatu garis tertentu melalui satu titik yang diketahui, jika titik tersebut berada pada garis. Akan tetapi jika titik itu tidak berada pada garis, maka sifat ini mungkin tidak berlaku, karena setiap dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama harus berpotongan. Sifat tersebut gagal dengan cara yang agak menarik, merupakan
A Y X C B
kekhasan dari geometri eliptik, yakni: untuk setiap garis L terdapat sebuah titik kutub P sedemikian hingga semua garis yang melalui P tegak lurus terhadap L, sebagaimana halnya semua lingkaran besar pada globe yang melalui kutub utara tegak lurus terhadap equator.
Untuk melihat mengapa ini terjadi, pikirkanlah suatu geometri bidang eliptik (untuk setiap jenis). Misal L sebarang garis dan misalkan garis M dan N tegak lurus terhadap L pada titik yang berbeda A dan B (gambar 4.19). Berdasarkan postulat kesejajaran Riemann M dan N bertemu pada titik P, sehingga segitiga PAB adalah segitiga yang dibentuk dari sisi
, , PB
PA dan AB , karena PAB memiliki dua sudut yang sama maka segitiga tersebut samakaki, sehingga
PB
PA . Andai C adalah titik tengah dari ruas garis AB. Maka, seperti pada geometri Netral, diperoleh segitiga yang kongruen yaitu PAC dan PBC dengan
PB
PA, adalah sisi yang bersesuaian dan rsu garis PC sebagai sisi persekutuan. Akibatnya garis PC tegak lurus terhadap AB. Dengan argumen ini PAC dan
PBC
adalah segitiga samakaki, sehingga PC
PB PA
Jelaslah, argumen tersebut dapat diulangi dengan membagi dua sisi ketiga dari PAC (atau PBC) dan dapat ditemukan titik pada L sebanyak yang diinginkan yang dihubungkan dengan P oleh ruas garis yang sama panjang dan tegak lurus dengan L. Dengan demikian muncullah sifat berikut:
Sifat Kutub
Misal L sebarang garis. Maka terdapat sebuah titik P yang disebut kutub L, sehingga:
(a) setia ruas garis yang menghubungkan P dengan titik pada L, tegak lurus terhadap L
(b) P berjarak sama pada semua titik di L
Kita mempertimbangkan beberapa akibat dari sifat kutub. Pertama, perlu diperhatikan bahwa karena dua titik dihubungkan oleh lebih dari satu ruas garis, maka jarak dari 2 titik tersebut adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik itu.
Berikut kita tinjau bahwa jika P adalah kutub garis L, tiap garis yang tegak lurus terhadap L melewati P. Andaikan M tegak lurus terhadap L pada titik Q. Pasti ada titik M‟ yang melalui P dan Q. Dengan menggunakan sifat kutub, maka M‟ tegak lurus terhadap L pada titik Q. Karena L memiliki garis tegak lurus yang tunggal di Q, M dan M‟ berimpit dan M haruslah melalui P.
Sekarang kita perkenalkan istilah jarak polar, untuk menunjukkan jarak konstan dari P ke titik pada L. Misal garis M menghubungkan P ke sebuah titik Q di L. Kita tunjukkan bahwa ada ruas garis M yang menghubungkan P dan Q yang panjangnya sama dengan jarak polar P dari L. Dengan sifat polar, M tegak lurus terhadap L di Q dan satu-satunya garis
A N C P B M L P M M L Q
yang menghubungkan P dan Q, karena hanya ada satu garis tegak lurus L yang melalui Q. Sehingga hanya ada dua ruas garis yang menghubungkan P dan Q. Jarak P dan Q adalah yang terpendek antara dua ruas garis ini yang merupakan jarak polar dari P ke L.
Sekarang kita lihat suatu konstruksi yang menyebutkan bahwa satu garis mempunyai dua kutub. Misal P adalah kutub L dan Q adalah titik di L.
PQ adalah ruas garis polar, yaitu ruas garis yang menghubungkan P dan Q yang panjangnya adalah jarak polar dari P ke L. Perpanjang PQ sepanjang dirinya sendiri melalui Q ke P‟. Dengan sifat simetris P‟ juga kutub dari L, dan jarak polar L dari P dan P‟ adalah sama. Kita pegang ini sebagai jaminan. Selanjutnya dapatkah kita menyimpulkan bahwa setiap garis mempunyai setidaknya dua kutub? Tidak karena kita tidak mempunyai ijin untuk mengasumsikan dari gambar bahwa P‟ dan P adalah titik yang berbeda.
Periksa situasi tersebut dengan lebih rinci, pertama kita pertimbangkan kasus geometri eliptik
P M Q P’ L
tunggal. Andaikan P dan P‟ tidak berimpit, maka berdasarkan sifat kutub (seperti kita lihat di atas) bahwa dua garis yang tegak lurus terhadap L akan berpotongan di titik yang berbeda P dan P‟. Karena ini tidak mungkin P dan P‟ harus berimpit. Dengan demikian dengan memperpanjang PQ sepanjang dirinya sendiri sampai ke P‟, kita telah melalui keseluruhan garis PQ dan terlihat bahwa panjang garis PQ dua kali jarak polar dari P ke L.
Sekarang kita perhatikan untuk kasus eliptik ganda. Dengan mengingat bahwa L membagi bidang, kita tahu bahwa P dan P‟ berada pada sisi yang berseberangan dari garis L dan tak mungkin berimpit. Dengan demikian setiap garis memiliki sedikitnya dua kutub. Sebagaimana yang telah kita lihat satu garis tidak mungkin mempunyai lebih dari dua kutub, karena semua garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut melalui kutubnya.
Selanjutnya kita periksa struktur dari garis PQ. Pada saat memperpanjang PQ sepanjang dirinya sendiri ke P‟ kita telah membentuk ruas garis P'Q yang simetris terhadap PQ memuat garis L. PQ dan
Q
P' hanya mempunyai titik persekutuan Q dan merupakan suatu ruas garis PQP' dengan panjang dua
kali jarak polar dari P ke L.
Ini memaksa hubungan dari kutub P dan P‟ terhadap L dan Q. Tetapi L memotong garis PQ di titik kedua Q‟ (gambar 4.22). Bagaimana Q‟ dihubungkan terhadap P, Q dan Q‟? pertama kita perhatikan bahwa Q‟ tidak berada pada PQP', jika demikian adanya jarak
Dengan demikian P dan P‟ membagi garis PQ menjadi ruas garis PQP'dan ruas garis PQ' P' yang memuat Q‟.
Misal PQ' dan P'Q' adalah ruas garis yang dibagi oleh
Q‟ dari PQ' P'. Kita menyatakan bahwa PQ' adalah
ruas garis polar, pada garis PQ yang menghubungkan P dan Q‟ tidak mungkin menjadi ruas garis yang berkomplemen terhadap PQ', karena yang terakhir
memuat PQ dan dengan demikian mempunyai panjang yang lebih dari jarak polar. Dengan cara yang sama P'Q' adalah ruas garis polar. Dengan demikian
garis PQ dibagi oleh P, Q, P‟, Q‟ menjadi 4 garis polar dan panjangnya 4 kali jarak polar dari P ke L. Akhirnya dapat kita katakan bahwa dalam geometri eliptik untuk kedua jenis jarak polar adalah tetap demikian dengan panjang satu garis.
G. Uraian Lebih Lanjut Mengenai Geometri Eliptik
Pada geometri eliptik jumlah sudut dari suatu segitiga lebih besar dari 1800. Hal ini dibuktikan dengan keberadaan segitiga dengan dua sudut siku-siku yang telah kita diskusikan di atas. Itu berarti bahwa jumlah sudut dari suatu segiempat adalah lebih besar dari 3600. Kemudian teori tentang similaritas diturunkan seperti dalam geometri Lobachevski. Sehingga kita dapat membuktikan sudut-sudut-sudut,
L P
Q
P’ Q’
yaitu dua segitiga itu kongruen jika sudut-sudutnya yang bersesuaian sama. Pada dasarnya pembuktian dalam geometri Lobachevski diterapkan di sini. Pada akhirnya kita dapat melihat bahwa luas segitiga dapat didefinisikan sebagaimana didefinisikan pada geometri Lobachevski: luas daerah suatu segitiga adalah excess-nya, yaitu jumlah sudut segitiga itu dikurangi dengan 1800. Tentu saja ini merupakan metode pengukuran daerah segitiga pada bola yang sudah dikenal di geometri bola Euclid.
H. Kesimpulan
Dalam perkembangannya selanjutnya geometri Non-Euclid setidaknya sama kompleksnya dengan geometri Euclid. Dalam geometri Lobachevski dan geometri Riemann juga terdapat geometri ruang, trigonometri dan geometri analitik. Permasalahan dalam pegukuran kurva, bidang, ruang dan masalah-masalah yang melibatkan sifat-sifat lokal seperti kemiringan dan kelengkungan, memerlukan penggunaan integral dan kalkulus differensial.
Jika kita tinjau kembali teori geometri yang telah kita periksa, maka kita berhadapan dengan pertanyaan, teori mana yang benar. Bab ini tidak akan diperpanjang dengan mendiskusikan masalah yang sulit ini, tapi kita akan mempersembahkan dua bab berikut untuk dua aspeknya: pertanyaan untuk konsistensi logis dari geometri non Euclid dan pertanyaan tentang validitas empirisnya.
Pada kesimpulan, kita memuji miskonsepsi yang umum bahwa geometri Euclid merupakan teori yang benar mengenai garis lurus dan bahwa geometri non Euclid sesungguhnya mengkaji tentang garis
lengkung. Dengan demikian dua garis sejajar pada Lobachevski yang memiliki garis tegak lurus persekutuan dan divergen (lihat latihan 1, no.9 di bawah) jelas merupakan garis lengkung, karena garis sejajar haruslah berjarak sama dimana-mana. Dari garis di Riemann jelas merupakan kurva karena seperti yang kita ketahui bahwa garis lurus tidak tertutup.
Ketiga teori tersebut adalah teori tentang garis lurus, tetapi mereka tidak sepakat tentang sifat-sifat garis lurus. Sangatlah tidak adil bila menyatakan suatu teori salah karena tidak konsisten dengan teori yang kita miliki. Dalam pandangan Lobachevski, dua garis sejajar Euclid punya jarak yang sama dimana-mana, tidak mungkin keduannya merupakan garis lurus, seperti yang telah dibuktikan pada teorema 9 bahwa dua garis sejajar tidak mungkin punya jarak yang sama pada lebih dari dua titik.
Untuk melihat perbandingan dari ketiga pandangan yang menarik dan komplek ini tentang sifat-sifat titik dan garis maka disajikan tabel berikut:
Tabel perbandingan antara Geometri Euclide dan Non-Euclide
EUCLIDEAN LOBACHEVSKIAN RIEMANN
Dua garis yang berbeda akan berpotongan pada
Paling banyak satu titik
Paling banyak satu titik
Sati titik (Elliptik tunggal), dua titik (Elliptik ganda) Diberikan garis
L dan titik P di luar L, maka ada
Satu dan hanya satu garis melalui P sejajar dengan L
Sekurang-kurang nya dua garis mela lui P sejajar dengan L
Tidak ada garis mela lui P sejajar dengan L
Sebuah garis
Dibagi menjadi dua bagian oleh sebuah titik
Dibagi menjadi dua bagian oleh sebuah titik
Tidak dibagi menjadi dua bagian oleh sebuah titik
Garis sejajar Jaraknya sama dimana-mana Jaraknya tidak pernah sama dimana-mana Tidak ada Jika sebuah garis memotong satu dari dua garis sejajar, maka
Harus memotong yang lain
Boleh ya, boleh tidak memotong yang lain _____ Hipotesis Sacherri yang valid adalah
Sudut siku-siku Sudut lancip Sudut tumpul
Dua garis yang berbea dan tegak lurus pada garis yang sama
Sejajar Sejajar Berpotongan
Jumlah sudut suatu segitiga adalah = 1800 <1800 > 1800 Luas suatu segitiga adalah Tidak bergantung pada jumlah sudut Proposional terhadap defect Proporsional terhadap excess Dua segitiga dengan sudut-sudut yang bersesuaian sama adalah
sebangun kongruen kongruen
