Materi Pemrograman Linier

(1)

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

Semester Ganjil 2011/2012

(2)

Materi

1.

Pendahuluan

2.

Solusi Grafis

3.

Algoritma Simpleks

4.

Algoritma Simpleks dalam Notasi

Matriks

5.

Analisis Sensitivitas

6.

Dual

7.

Transportasi, Transhipment dan

(3)

Referensi

Winston, W.L.

Operation Research: Application

and Algorithm

(4)

Penilaian

UTS

:30%

UAS

:30%

Kuis

:10%

Tugas :20%

(5)

Definisi

Linear Programming

3 komponen dari

linear

programming problem

(LP)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi obyektif (tujuan): fungsi linier dari peubah keputusan

Fungsi kendala

(constraints): fungsi linier yang membatasi nilai

peubah keputusan

Dimaksimumka n

Diminimumkan

Batasan tanda (sign

restrictions) bagi peubah keputusan

Positif Negatif

Tidak dibatasi tanda

Peubah Keputusan

n

(6)

Contoh Permasalahan LP



Perusahaan mainan kayu: Giapetto’s

Woodcarving



Memproduksi dua tipe mainan: Soilder &

Train



Biaya-biaya dibutuhkan untuk membuat per

buah mainan



Persediaan bahan mentah (kayu) dan jam

kerja untuk membuat per buah mainan

terbatas setiap minggunya



Berapa buah Soilder dan berapa buah Train

yang harus diproduksi per minggu agar

(7)

Tabel Biaya Giapetto’s

Woodcarving

#Soldi er/min ggu #Train / mingg u Batasa n Per mingg u Harga Jual

($)/buah 27 21 Harga Bahan

($)/buah 10 9 Labor cost

($)/buah 14 10 Profit (Harga

Jual - Cost) 3 2 Carpentry

Hour/buah 1 1 80 Finishing

Hour/buah 2 1 100 Demand <=40 ∞

(8)

Fungsi Obyektif? Maksimum profit

Profit/buah 3 2

Jumlah Produksi/min

ggu X1 buah soldier X2 buah train

Fungsi Kendala? Semua sumber daya yang terbatas

Jumlah

produksi/minggu

X1 soldier

X2 train

Batas/ mingg

u Carpentry

Hour/buah 1 1 80

Finishing

Hour/buah_Demand _<=402 1_∞ 100

2 1

2

3

max

z



x



x

80

2 1



x



x

100

2

x

₁



x

₂



40

1



(9)

Batasan tanda? Sifat dari peubah

keputusan, jumlah barang → harus non negatif

LP untuk permasalahan Giapetto’s Woodcarving:

s.t.: subject to → semua peubah keputusan harus memenuhi semua kendala dan

(10)

Feasibel Region and Optimal

Solution

Feasibel region (daerah

feasibel): _{Himpunan semua titik yang memenuhi}

kendala dan batasan tanda

Optimal Solution (Solusi optimal):

untuk masalah maksimisasi/minimisasi

(11)

Penentuan Solusi Optimal Secara

Grafis (LP 2 Peubah)



Langkah 1: Gambar daerah feasibel



Langkah 2: Gambar garis

isoprofit



Langkah 3: Gerakkan garis

isoprofit

di

dalam daerah feasibel yang

menaikkan/menurunkan nilai Z. Titik

terakhir dalam daerah feasibel yang

terkena garis

isoprofit/isocost

adalah

solusi optimal (maks/min)

(12)

(13)

Solusi Grafis untuk LP 2 Peubah

Daerah feasibel: H-E-F-G-D

40

:

EF

garis

bawah

di

daerah

40

1 1





x

)

20

,

40

(

:

),

0

,

40

(

:

D

E

I

dikuadran

daerah

,

0

,

0

₂

1



x



(14)

Solusi Grafis untuk LP 2 Peubah

Solusi optimal:

Titik di dalam HEFGD, yang terkena isoprofit line paling akhir

(maks), jika isoprofit line digerakkan

sejajar dari titik 0, ke arah atas

Gambar Isoprofit line:

)

60

,

20

(

:

G

180

2

3

₁



₂



x

z

(15)

Convex Set (Himpunan Konveks)



S: himpunan konveks jika garis

yang menghubungkan dua titik

manapun di dalam S juga berada

di dalam S

(16)

Extreme Point (Titik ekstrim)



Untuk sembarang himpunan konveks S, P

di dalam S adalah titik ekstrim jika:



Garis yang berada di dalam S mempunyai

P sebagai akhir garis

(17)

Solusi Optimal



Dengan daerah feasibel berupa

himpunan konveks



Solusi Optimal selalu terletak

pada salah satu dari titik ekstrim

pada wilayah feasibel



Pencarian solusi optimal dibatasi

pada titik-titik ekstrim

◦

Tidak perlu pada semua titik di

daerah feasibel

(18)

Masalah Woodcarving berdasarkan titik

Ekstrim

H-E-F-G-D adalah

titik-titik ekstrim dari wilayah feasibel

Titik ekstrim dengan nilai Z paling besar

)

60

,

20

(

:

G

 

20

2

 

60

180

3

profit

(19)

Contoh Masalah Minimisasi



Dorian Auto memproduksi mobil dan

truk



Pelanggannya:

high income women

(HIW) and high income men (HIM).



Dorian Auto mengiklankan produknya

dengan cara:

◦

Membeli 1 menit slot waktu iklan



Dua acara TV yang menjadi target:

◦

Acara komedi

◦

Acara pertandingan sepak bola

(20)



Ingin diputuskan berapa menit

slot iklan yang harus dibeli pada

kedua acara tersebut

◦

Agar sesuai target jumlah penonton

iklan dari HIW dan HIM

◦

Dengan biaya seminimum mungkin



Apa peubah keputusan?

bola

sepak

acara

pada

menit

1

slot

#

:

komedi

acara

pada

menit

1

slot

#

:

2 1

(21)

Masalah Dorian Auto di dalam

Tabel

# 1 menit slot iklan

di Komedi

# 1 menit slot iklan

di Sepak

Bola Target Jumlah pemirsa HIW (juta

orang) 7 2 28

Jumlah pemirsa HIM (juta

orang) 2 12 24

(22)

Formulasi LP masalah

Dorian

Fungsi Obyektif? Minimum biaya

X1:

# 1 menit slot iklan di Komedi

X2:

# 1 menit slot iklan

di Sepak Bola Biaya (ribuan $) 50 100

Kendala? Semua target yang ingin dicapai

X1 X2 Target

Jumlah pemirsa HIW (juta

orang) 7 2 28

Jumlah pemirsa HIM (juta

2 1

100

50

min

z



x



x

28

2

7

x

₁



x

₂



(23)

Formulasi Masalah Dorian

Batasan tanda? Semua peubah keputusan tidak ada yang negatif

LP untuk masalah Dorian Auto:

0

,

0

₂

1



x



(24)

Solusi Grafis untuk Masalah

Dorian

Gambar daerah

(25)

Dorian

Daerah feasibel: daerah di atas C-E-B

C B

Gambar Isocost

line: Z=600

E

I

dikuadran

daerah

,

0

,

0

₂

1



x



x

600

100

50

₁



₂



x

z

(26)

Dorian

Solusi Optimal: C B Z=600

Titik di dalam daerah feasibel yang terkena isocost line paling

akhir (min)

E

Perpotongan AB dan CD



3

.

6

,

1

.

4



:

E



3

.

6



100

 

1

.

4

320

50

cost

Min

z





