LAPORAN KEMAJUAN PENELITIAN LABORATORIUM DANA ITS 2020

LAPORAN KEMAJUAN

PENELITIAN LABORATORIUM DANA ITS 2020

PEMBUATAN ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN

PENGKARAKTERISTIK KETERBELITIAN MATRIKS KANAL QUANTUM (QUANTUM CHANNEL MATRIX)

PADA TELEPORTASI KUANTUM (QUANTUM TELEPORTATION)

Tim Peneliti :

Lila Yuwana Agus Purwanto

Heru Sukamto Bintoro Anang Subagyo

Dwi Januriyanto

(Departemen Fisika/FSAD/ITS)

DIREKTORAT RISET DAN PENGABDIAN KEPADA MASYARAKAT INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

Sesuai Surat Perjanjian Pelaksanaan Penelitian No: 902/PKS/ITS/2020

Daftar Isi

Daftar Isi ... 1

BAB I RINGKASAN ... 2

BAB II HASIL PENELITIAN ... 3

BAB III STATUS LUARAN ... 17

BAB V KENDALA PELAKSANAAN PENELITIAN ... 18

BAB VI RENCANA TAHAPAN SELANJUTNYA ... 19

BAB VII DAFTAR PUSTAKA... 20

BAB VIII LAMPIRAN ... 22

LAMPIRAN 1 Tabel Daftar Luaran ... 22

BAB I RINGKASAN

Perkembangan penelitian mengenai teleportasi kuantum secara teoritik maupun eksperimen terus berlanjut hingga saat ini. Penelitian-penelitian teleportasi kuantum diharapkan dapat menambah khazanah ilmu pengetahuan dan teknologi yang selanjutnya dapat dijadikan rujukan pengembangan sistem komunikasi berbasis teleportasi kuantum. Penelitian ini merupakan hasil kajian dan analisa secara teoritik dan numerik mengenai komponen pokok dari teleportasi kuantum, yaitu kanal kuantum dalam bentuk matriks kanal kuantum (quantum channel matrix).

Di dalam penelitian ini akan disusun algoritma serta pemrogramannya untuk menganalisa pengaruh rank dari matriks densitas tereduksi terhadap klasifikasi keadaan terbelit dan terpisah dari multipartit. Pertama, dilakukan dengan menyusun formulasi umum untuk menentukan kriteria keterbelitan dan keadaan terpisah dari suatu multipartit. Selanjutnya, kriteria keadaan terpisah dan terbelit ditentukan dengan menghitung rank-rank matriks densitas tereduksi. Lebih lanjut, metode yang digunakan dalam penelitian ini bertujuan untuk mengurangi langkah perhitungan dari metode yang telah diusulkan dalam penelitian sebelumnya untuk menentukan keadaan terpisah dari multipartit.

Dari algoritma tersebut, akan ditransformasi ke dalam pemrograman agar perhitungan dapat dilakukan secara komputasi. Lebih lanjut, perhitungan untuk membedakan keadaan multipartit berdasarkan pada keempat kriteria dapat dilakukan dalam waktu yang sangat singkat, yaitu keadaan:

terbelit keseluruhan, terpisah keseluruhan, dan keadaan gabungan, yang terdiri atas keadaan sub- terbelit dan keadaan sub-terbelit-terpisah. Sebagai tambahan, dalam penelitian ini akan diperlihatkan penerapan atau implementasi klasifikasi keadaan keterbelitan tersebut untuk mengidentifikasi pola keterbelitan beberapa keadaan multipartit yang akan digunakan sebagai kanal kuantum dalam bentuk matriks kanal kuantum (quantum channel matrix).

Kata kunci: quantum teleportation, kanal kuantum, multipartit, matriks densitas tereduksi, dan quantum channel matrix

Ringkasan penelitian berisi latar belakang penelitian,tujuan dan tahapan metode penelitian, luaran yang ditargetkan, kata kunci

BAB II

HASIL PENELITIAN

2. Analisa Keterbelitan Dan Matriks Densitas Tereduksi 2.1. Bentuk umum matriks densitas bipartit

|𝜒⟩ = ∑ ∑ 𝑥_𝑖1𝑖2|𝑖₁𝑖₂⟩

d₂−1

i₂=0 d₁−1

i₁=0

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 |x₀₀|²+ ⋯ + |x_{d1−1 d2−1}|² = 1 𝜌 ≡ 𝜌_𝐴𝐵 = |𝜒⟩⟨𝜒|

𝜌_𝐴𝐵 = ∑ ∑ 𝑥_𝑖1𝑖2𝑥_𝑗^∗_1𝑗2|𝑖₁𝑖₂⟩⟨𝑗₁𝑗₂|

d₂−1

𝑖₂,𝑗₂=0 d₁−1

𝑖₁,𝑗₁=0

= (

𝑥₀₀𝑥₀₀^∗ 𝑥₀₀𝑥₀₁^∗ … 𝑥₀₀𝑥_(𝑑

1−1)(𝑑₂−1)

∗

𝑥₀₁𝑥₀₀^∗ 𝑥₀₁𝑥₀₁^∗ … 𝑥₀₁𝑥_(𝑑^∗ _{1−1)(𝑑2−1)}

⋮ ⋮ 𝑥_𝑖𝑗𝑥_𝑘𝑙^∗ ⋮

𝑥_{(𝑑1−1)(𝑑2−1)}𝑥₀₀^∗ 𝑥_{(𝑑1−1)(𝑑2−1)}𝑥₀₁^∗ ⋯ 𝑥_{(𝑑1−1)(𝑑2−1)}𝑥_(𝑑

1−1)(𝑑₂−1)

∗ )

elemen-elemen pada suatu baris ke-𝑚𝑛 merupakan kelipatan dari baris yang lain (baris ke-𝑚′𝑛′) dengan faktor pengali ^𝑥𝑚𝑛

𝑥_{𝑚′𝑛′}, dengan 𝑥_𝑚𝑛 adalah faktor pengali baris ke-𝑚𝑛 dan 𝑥_𝑚′𝑛^′ merupakan faktor pengali baris yang lain (baris ke-𝑝′𝑞′).

Sehingga dengan menerapkan eliminasi Gauss, semua elemen matriks dapat diubah menjadi nol, kecuali untuk satu baris. Dengan kata lain, rank dari matriks densitas asal sama dengan satu

Matriks densitas tereduksi satu-partit

𝜌_𝐴= 𝑇𝑟_𝐵(𝜌_𝐴𝐵) = ∑ 𝐼 ⊗ ⟨𝑚|𝜌_𝐴𝐵𝐼 ⊗ |𝑚⟩

𝑚

= ∑ ∑ ∑ 𝑥_𝑖1𝑚𝑥_𝑗^∗_1𝑚|𝑖₁⟩⟨𝑗₁|

𝑑₂−1

𝑚=0 𝑑₁−1

𝑗₁=0 𝑑₁−1

𝑖₁=0

=

(

∑ |𝑥_0𝑚|²

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ 𝑥_0𝑚𝑥_1𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

… ∑ 𝑥_0𝑚𝑥_𝑑^∗_{1−1 𝑚}

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ 𝑥_1𝑚𝑥_0𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ |𝑥_1𝑚|²

𝑑₂−1

𝑚=0

… ∑ 𝑥_1𝑚𝑥_𝑑^∗_{1−1 𝑚}

𝑑₂−1

𝑚=0

⋮ ⋮ ∑ 𝑥_𝑖𝑚𝑥_𝑗𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

⋮

∑ 𝑥_{𝑑1−1 𝑚}𝑥_0𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ 𝑥_{𝑑1−1 𝑚}𝑥_1𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

⋯ ∑ 𝑥_{𝑑1−1 𝑚}𝑥_𝑑^∗_{1−1 𝑚}

𝑑₂−1

𝑚=0 )

Jika (𝜌_𝐴)_𝑖𝑗 adalah elemen matriks pada suatu baris dan (𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 adalah elemen pada baris yang lain, maka

(𝜌_𝐴)_𝑖𝑗 = ∑ 𝑥_𝑖𝑚𝑥_𝑗𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

= 𝑥_𝑖0𝑥_𝑗0^∗ + 𝑥_𝑖1𝑥_𝑗1^∗ + ⋯ + 𝑥_{𝑖 𝑑2−1}𝑥_{𝑗 𝑑}^∗ ₂₋₁

(𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 = ∑ 𝑥_𝑖′𝑚𝑥_𝑗𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

= 𝑥_𝑖′0𝑥_𝑗0^∗ + 𝑥_𝑖′1𝑥_𝑗1^∗ + ⋯ + 𝑥_{𝑖′ 𝑑2−1}𝑥_{𝑗 𝑑}^∗ ₂₋₁ 𝜌_𝐴 mempunyai rank satu jika dan hanya jika (𝜌_𝐴)_𝑖𝑗 = 𝑐_𝑖𝑖′(𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 atau

𝑥_𝑖0 𝑥_𝑖′0 = 𝑥_𝑖1

𝑥_𝑖′1 = ⋯ = 𝑥_{𝑖 𝑑1−1} 𝑥_𝑖^′_𝑑1−1 = 𝑐_𝑖^′_𝑖

Tetapi secara umum kondisi tersebut tidak dipenuhi, sehingga elemen matriks 𝜌_𝐴 tidak dapat dilenyapkan dan tersisa satu baris yang tidak nol. Dengan kata lain, secara umum rank matriks 𝜌_𝐴 tidak sama dengan satu, 𝑟(𝜌_𝐴) ≠ 1. Demikian juga untuk matriks densitas tereduksi partikel atau partit B , secara umum rank matriks 𝜌_𝐵 tidak sama dengan satu, 𝑟(𝜌_𝐵) ≠ 1.

Persamaan bipartit merepresentasikan keadaan terpisah jika koefisien 𝑥_𝑖𝑗 dapat dipisah atau dinyatakan sebagai 𝑥_𝑖1𝑦_𝑖2

|𝜒⟩ = ∑ ∑ 𝑥_𝑖1𝑦_𝑖2|𝑖₁𝑖₂⟩

d₂−1

i₂=0 d₁−1

i₁=0

𝜌_𝐴=

(

∑ |𝑥₀𝑦_𝑚|²

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ 𝑥₀𝑦_𝑚𝑥₁^∗𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

… ∑ 𝑥₀𝑦_𝑚𝑥_𝑑^∗₁₋₁𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ 𝑥₁𝑦_𝑚𝑥₀^∗𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ |𝑥₁𝑦_𝑚|²

𝑑₂−1

𝑚=0

… ∑ 𝑥₁𝑦_𝑚𝑥_𝑑^∗₁₋₁𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

∑ 𝑥_𝑑1−1𝑦_𝑚𝑥₀^∗𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

∑ 𝑥_𝑑1−1𝑦_𝑚𝑥₁^∗𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

⋯ ∑ 𝑥_𝑑1−1𝑦_𝑚𝑥_𝑑^∗₁₋₁𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0 )

(𝜌_𝐴)_𝑖𝑗 = ∑ 𝑥_𝑖𝑦_𝑚𝑥_𝑗^∗𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

= 𝑥_𝑖𝑦₀𝑥_𝑗^∗𝑦₀^∗+ 𝑥_𝑖𝑦₁𝑥_𝑗^∗𝑦₁^∗+ ⋯ + 𝑥_𝑖 𝑦_𝑑2−1𝑥_𝑗^∗𝑦_𝑑^∗₂₋₁

(𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 = ∑ 𝑥_𝑖′𝑦_𝑚𝑥_𝑗^∗𝑦_𝑚^∗

𝑑₂−1

𝑚=0

= 𝑥_𝑖′𝑦₀𝑥_𝑗^∗𝑦₀^∗+ 𝑥_𝑖′𝑦₁𝑥_𝑗^∗𝑦₁^∗+ ⋯ + 𝑥_𝑖′ 𝑦_𝑑2−1𝑥_𝑗^∗𝑦_𝑑^∗₂₋₁

Baris satu akan melenyapkan baris lainnya dan tersisa satu baris yang tidak lenyap atau dengan kata lain matriks mempunyai rank satu karena (𝜌_𝐴)_𝑖𝑗 = 𝑐_𝑖′𝑖(𝜌_𝐴)_𝑖′𝑗 atau

𝑥_𝑖𝑦₀

𝑥_𝑖′𝑦₀ = 𝑥_𝑖𝑦₁

𝑥_𝑖′𝑦₁ = ⋯ = 𝑥_𝑖𝑦_𝑑1−1 𝑥_𝑖′𝑦_𝑑

1−1

∗ = 𝑐_𝑖′𝑖

Dengan menggunakan eliminasi Gauss, elemen-elemen baris dapat dilenyapkan sehingga tersisa satu baris yang tidak nol, maka 𝑟(𝜌_𝐴) = 1. Dengan cara yang sama, diperoleh 𝑟(𝜌_𝐵) = 1.

2.2. Keadaan Multipartit

|𝜒⟩ = ∑ ∑ … ∑ 𝑥_{𝑖1𝑖2…𝑖𝑛}|𝑖₁𝑖₂… 𝑖_𝑛⟩

𝑑_𝑛−1

𝑖_𝑛=0 d₂−1

i₂=0 d₁−1

i₁=0

𝜌 = |𝜒⟩⟨𝜒| = ∑ ⋯

d₁−1

i₁,j₁=0

∑ 𝑥_{𝑖1…𝑖𝑛}𝑥_𝑗^∗_1…𝑗𝑛|𝑖₁… 𝑖_𝑛⟩⟨𝑗₁… 𝑗_𝑛|

𝑑_𝑛−1

𝑖_𝑛,𝑗_𝑛=0

=

(

𝑥_0…00𝑥_0…00^∗ 𝑥_0…00𝑥_0…01^∗ … 𝑥_0…00𝑥_0…0(𝑑^∗ _𝑛−1) … 𝑥_0…00𝑥_(𝑑^∗ _{1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)} 𝑥_0…01𝑥_0…00^∗ 𝑥_0…01𝑥_0…01^∗ … 𝑥_0…01𝑥_0…0(𝑑

𝑛−1)

∗ … 𝑥_0…01𝑥_(𝑑

1−1)(𝑑₂−1)…(𝑑_𝑛−1)

∗

⋮

𝑥_{0…0(𝑑𝑛−1)}𝑥_0…00^∗ 𝑥_{0…0(𝑑𝑛−1)}𝑥_0…01^∗ … 𝑥_{0…0(𝑑𝑛−1)}𝑥_0…0(𝑑^∗ _𝑛−1) … 𝑥_{0…0(𝑑𝑛−1)}𝑥_(𝑑^∗ _{1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)}

⋮

𝑥_{(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)}𝑥_0…00^∗ 𝑥_{(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)}𝑥_0…01^∗ … 𝑥_{(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)}𝑥_0…0(𝑑^∗ _𝑛−1) 𝑥_{(𝑑1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)}𝑥_(𝑑^∗ _{1−1)(𝑑2−1)…(𝑑𝑛−1)}) Jika 𝑥_{𝑖1𝑖2…𝑖𝑛} adalah faktor pengali pada baris pertama dan 𝑥_𝑖

1′…𝑖_𝑛^′ merupakan faktor pengali baris yang lain, maka baris pertama merupakan kelipatan dari baris yang lain dengan faktor pengali

𝑥_{𝑖1…𝑖𝑛}

𝑥𝑖1′ …𝑖𝑛′. Dengan menerapkan eliminasi Gauss, semua elemen densitas matriks dapat di’nol’kan

kecuali hanya baris pertama yang tersisa. Dengan kata lain, rank density matriks asal juga sama dengan satu, 𝑟(𝜌) = 1.

2.2.1. Keadaan multipartit terpisah keseluruhan

|𝜒⟩ = ∑ ∑ … ∑ 𝑥_𝑖¹₁𝑥_𝑖²₂… 𝑥_𝑖^𝑛_𝑛|𝑖₁𝑖₂… 𝑖_𝑛⟩

𝑑_𝑛−1

𝑖_𝑛=0 d₂−1

i₂=0 d₁−1

i₁=0

Separabilitas dari keadaan Pers. (5.11) dapat ditentukan dengan menghitung matriks tereduksi satu-partit (𝜌_𝑘)

𝜌_𝑛𝑘 = 𝑇𝑟_{𝑚1𝑚2…𝑚𝑘−1𝑚𝑘+1…𝑚𝑛}(𝜌)

= ∑ ∑ …

(𝑑₂−1)

𝑚₂=0 (𝑑₁−1)

𝑚₁=0

∑ ∑ …

(𝑑_𝑘+1−1)

𝑚_𝑘+1=0 (𝑑_𝑘−1−1)

𝑚_𝑘−1=0

∑ ⟨𝑚₁𝑚₂… 𝑚_𝑘−1| ⊗ 𝐼 ⊗ ⟨𝑚_𝑘+1… 𝑚_𝑛|𝜌|𝑚₁𝑚₂… 𝑚_𝑘−1⟩

(𝑑_𝑛−1)

𝑚_𝑛=0

⊗ 𝐼 ⊗ |𝑚_𝑘+1… 𝑚_𝑛⟩

𝜌_𝑘 = ∑ ∑ 𝑥_𝑖^𝑘_𝑘 𝑥_𝑗^𝑘∗_𝑘

𝑑_𝑘−1

𝑗_𝑘=0 𝑑_𝑘−1

𝑖_𝑘=0

|𝑖_𝑘⟩⟨𝑗_𝑘|

Jika 𝑥_𝑖^𝑘_𝑘 adalah faktor pengali pada baris pertama dan 𝑥_𝑖^𝑘′_𝑘 merupakan faktor pengali baris yang lain, maka baris pertama merupakan kelipatan dari baris yang lain dengan faktor pengali 𝑥_𝑖^𝑘_𝑘/𝑥_𝑖

𝑘′ 𝑘′. Dengan menerapkan eliminasi Gauss, semua elemen densitas matriks dapat di’nol’kan kecuali hanya baris pertama yang tersisa. Dengan kata lain, rank density matriks tereduksi satu partit juga sama dengan satu, 𝑟(𝜌_𝑘) = 1.

Selanjutnya, ditinjau matriks densitas multipartit 𝜌_𝑘 sembarang pada partit ke-(𝑘 + 1) berikut ini 𝜌_𝑘𝑘+1 = 𝑇𝑟_{𝑚1𝑚2…𝑚𝑘−1𝑚𝑘+2…𝑚𝑛}(𝜌) = ∑ ∑ 𝑥_𝑖𝑘𝑦_𝑖𝑘+1𝑥_𝑗^∗_𝑘𝑦_𝑖^∗_𝑘+1

𝑑_𝑘+1−1

𝑖_𝑘+1,𝑗_𝑘+1=0 𝑑_𝑘−1

𝑖_𝑘,𝑗_𝑘=0

|𝑖_𝑘𝑖_𝑘+1⟩⟨𝑗_𝑘𝑗_𝑘+1| Matriks densitas tereduksi 𝜌_𝑘𝑘+1 mempunyai dimensi 𝑑_𝑘𝑑_𝑘+1× 𝑑_𝑘𝑑_𝑘+1 dengan baris ke-(𝑖_𝑘𝑖_𝑘+1) merupakan kelipatan dari baris lain yang ke-(𝑖′_𝑘𝑖′_𝑘+1) dengan faktor pengali (^{𝑥𝑖𝑘𝑦𝑖𝑘+1}

𝑥_𝑖′𝑘𝑦_{𝑖′𝑘+1}), sehingga semua baris dapat di’nol’kan kecuali satu baris yang tersisa menggunakan eliminasi Gauss.

Perluasan pada sub sistem atau sub keadaan tiga-partit atau lebih hanya menambah jumlah faktor koefisien dan tidak mengubah rank matriks densitas asal, yaitu satu. Untuk mengidentifikasi keterpisahan (separability) suatu multipartit hanya dibutuhkan 𝒏 − 𝟏 perhitungan, sementara Zhao dkk. menawarkan sebanyak 2^𝑛−1− 1 perhitungan matriks densitas tereduksi.

2.2.2. Keadaan multipartit terbelit keseluruhan

Koefisien 𝑥_{𝑖1𝑖2…𝑖𝑛} tidak dapat dinyatakan dalam keadaan terpisah parsial atau keseluruhan dalam bentuk 𝑥_{𝑖1𝑖2…𝑖𝑛} = 𝑥_{𝑖1⋯𝑖𝑘}𝑥_{𝑖𝑘+1⋯𝑖𝑛} atau 𝑥_{𝑖1𝑖2…𝑖𝑛} = 𝑥_𝑖¹₁𝑥_𝑖²₂… 𝑥_𝑖^𝑛_𝑛

𝜌_𝑘 = (

(𝜌_𝑘)₀₀ (𝜌_𝑘)₀₁ … (𝜌_𝑘)_{0 𝑑𝑘−1} (𝜌_𝑘)₁₀ (𝜌_𝑘)₁₁ … (𝜌_𝑘)_{1 𝑑𝑘−1}

⋮ ⋮ (𝜌_𝑘)_𝑟𝑠 ⋮

(𝜌_𝑘)_𝑑

𝑘−1 0 (𝜌_𝑘)_𝑑

𝑘−1 1 ⋯ (𝜌_𝑘)_𝑑

𝑘−1 𝑑_𝑘−1) Elemen matriks dapat dinyatakan dalam

(𝜌_𝑘)_𝑟𝑠 = ∑ ⋯

𝑑₁−1

𝑚₁=0

∑ ∑ …

𝑑_𝑘+1−1

𝑚_𝑘+1=0 𝑑_𝑘−1−1

𝑚_𝑘−1=0

∑ 𝑥_{𝑚1𝑚2…𝑚𝑘−1𝑟 𝑚𝑘+1…𝑚𝑛}𝑥_𝑚^∗_{1𝑚2…𝑚𝑘−1 𝑠 𝑚𝑘+1…𝑚𝑛}

𝑑_𝑛−1

𝑚_𝑛=0

Jika dan hanya jika (𝜌_𝑘)_𝑟𝑠 = 𝑐_𝑟𝑟′ (𝜌_𝑘)_𝑟′𝑠 atau 𝑥_{𝑚1𝑚2…𝑚𝑘−1𝑟 𝑚𝑘+1…𝑚𝑛} =

𝑐_𝑟𝑟′𝑥_{𝑚1𝑚2…𝑚𝑘−1𝑟′ 𝑚𝑘+1…𝑚𝑛} maka untuk semua s, semua baris dapat dihilangkan kecuali satu baris tersisa. Jika kondisi tersebut tidak dapat dipenuhi, (𝜌_𝑘)_𝑟𝑠 ≠ 𝑐_𝑟𝑟′(𝜌_𝑘)_𝑟′𝑠, maka masing-masing baris tidak saling bergantung dan tidak dapat dinolkan atau dieliminasi menggunakan eliminasi Gauss. Dengan kata lain, rank 𝜌_𝑘 tidak sama dengan satu, 𝑟(𝜌_𝑘) ≠ 1.

Walaupun telah diperoleh semua rank matriks tereduksi satu-partit adalah tidak sama dengan satu, maka tetap harus dilakukan perhitungan terhadap rank matriks densitas tereduksi yang terbagi dalam grup atau sub-keadaan/sub-sistem. Rank dari sub-sistem dapat dihitung dengan trace berikut ini

𝜌_𝑘…𝑙 = (𝑇𝑟_{𝑖1⋯𝑖𝑘−1𝑖ℓ+1…𝑖𝑛}(𝜌))

= (

(𝜌_𝑘…𝑙)₀₀ (𝜌_𝑘…𝑙)₀₁ … (𝜌_𝑘…𝑙)_{0 𝑑}

𝑘−1⋯𝑑_𝑙−1

(𝜌_𝑘…𝑙)₁₀ (𝜌_𝑘…𝑙)₁₁ … (𝜌_𝑘…𝑙)_{1 𝑑𝑘−1⋯𝑑𝑙−1}

⋮ ⋮ ⋮

(𝜌_𝑘…𝑙) _{𝑑𝑘−1⋯𝑑𝑙−10} (𝜌_𝑘…𝑙) _{𝑑𝑘−1⋯𝑑𝑙−1 1} ⋯ (𝜌_𝑘…𝑙) _{𝑑𝑘−1⋯𝑑𝑙−1 𝑑𝑘−1⋯𝑑𝑙−1} )

Sehingga elemen baris ke- 𝑟 dan kolom ke-𝑠 dapat dinyatakan sebagai (𝜌_𝑘…𝑙)_𝑟𝑠 = ∑ ⋯

𝑑₁−1

𝑚₁=0

∑ ∑ …

𝑑_𝑙+1−1

𝑚_𝑙+1=0 𝑑_𝑘−1−1

𝑚_𝑘−1=0

∑ 𝑥_{𝑚1…𝑚𝑘−1𝑟𝑚𝑙+1…𝑚𝑛}𝑥_𝑚^∗_{1…𝑚𝑘−1𝑠𝑚𝑙+1…𝑚𝑛}

𝑑_𝑛−1

𝑚_𝑛=0

Elemen matriks pada Pers. (5.19) menunjukkan bahwa (𝜌_𝑘…𝑙)_𝑟𝑠 ≠ 𝑐_𝑟𝑟^′(𝜌_𝑘…𝑙)_𝑟′𝑠, sehingga setiap baris tidak saling bergantung satu sama lain dan tidak dapat di’nol’kan melalui eliminasi Gauss, 𝑟(𝜌_𝑘…𝑙) ≠ 1 . Jika rank 𝜌_𝑘…𝑙 tidak sama dengan satu, 𝑟(𝜌_𝑘…𝑙) ≠ 1 , maka rank kombinasi pasangannya 𝜌_{1⋯𝑘−1𝑙+1…𝑛} juga tidak sama dengan satu.

Sebagai contoh, ditinjau keadaan empat-partit ABCD yang memiliki kombinasi pasangan 2-2, yaitu AB, AC, AD, BC, BD dan CD. Walaupun semua rank matriks densitas tereduksi satu-partit tidak sama dengan satu, belum bisa dipastikan bahwa keadaan empat-partit tersebut adalah terbelit keseluruhan. Identifikasi selanjutnya dilakukan terhadap rank kombinasi pasangan seperti di atas.

Jika rank matriks densitas tereduksi AB tidak sama dengan satu maka tanpa melakukan perhitungan selanjutnya, dapat dipastikan bahwa rank kombinasi pasangan CD tidak sama dengan satu.

Sehingga proses identifikasi keadaan terbelit untuk empat-partit hanya memerlukan tiga kombinasi perhitungan AB, AC, and AD. Sisa kombinasi, yaitu CD, BD, and BC, dapat teridentifikasi secara otomatis. Dalam disertasi ini juga telah membuktikan bahwa jumlah minimum pola untuk dievaluasi atau dihitung untuk mengidentifikasi keadaan keterbelitan multipartit adalah sebanyak 𝟐^𝒏−𝟏− 𝟏 .

Tabel 2.1. Pola kombinasi perhitungan rank matriks densitas tereduksi untuk mengevaluasi keterbelitan multipartit.

Jumlah Partit (n)

Kombinasi Pola yang Mungkin

Perhitungan Rank Matriks Densitas yang Sesuai Kombinasi

Total Catatan

2, AB 1 A 1 Rank matriks densitas

tereduksi lain (B) tidak sama dengan satu jika rank(A)≠1

3, ABC 1-1-1 A, B, C 3 Jika rank A,B,C≠1 maka tidak

diperlukan perhitungan AB,AC,BC karena rank sisa kombinasi tidak sama dengan satu juga

4, ABCD 1-1-1-1 A, B, C, D 7 Sama dengan di atas

2-2 AB, AC, AD

5, ABCDE 1-1-1-1-1 A, B, C, D, E 15 Sama dengan di atas 2-3 AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE,

CD, CE, DE

6, ABCDEF 1-1-1-1-1-1 A, B, C, D, E, F 31 Pasangan 2-4 seperti CDEF dan 3-3 seperti DEF dan yang lain tidak perlu dievaluasi 2-2-2, 2-4 AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD,

BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF

3-3 ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF

7,

ABCDEFG

1-1-1-1-1- 1-1

A, B, C, D, E, F, G 63 Pasangan 2-5 seperti CDEFG dan 3-4 seperti DEFG dan yang lain tidak perlu dievaluasi 2-2-3, 2-5,

3-4

AB, AC, AD, AE, AF, AG, BC, BD, BE, BF, BG, CD, CE, CF, CG, DE, DF, DG, EF, EG, FG

ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ACD, ACE, ACF, ACG,

ADE, ADF, ADG, AEF, AEG, AFG,

BCD, CDF, CDG, CEF, CEG, CFG, DEF, DEG, DFG, EFG

2.2.2. Keadaan Multipartit Gabungan Keadaan sub-terbelit

Dinyatakan dalam |𝜒⟩ = |𝜒₁⟩ ⊗ |𝜒₂⟩ dengan

|𝜒₁⟩ = ∑ … ∑ 𝑥_{𝑖1𝑖2…𝑖𝑘}|𝑖₁… 𝑖_𝑘⟩

𝑑_𝑘−1

𝑖_𝑘=0 𝑑₁−1

𝑖₁=0

𝑑𝑎𝑛 |𝜒₂⟩ = ∑ …

𝑑_𝑘+1−1

𝑖_𝑘+1=0

∑ 𝑦_{𝑖𝑘+1…𝑖𝑛}|𝑖_𝑘+1… 𝑖_𝑛⟩

𝑑_𝑛−1

𝑖_𝑛=0

𝜌 = ∑ … ∑ 𝑥_{𝑖1…𝑖𝑘}𝑦_{𝑖𝑘+1…𝑖𝑛}𝑥_𝑗^∗_1…𝑗𝑘𝑦_𝑗^∗_{𝑘+1…𝑗𝑛}|𝑖₁… 𝑖_𝑛⟩⟨𝑗₁… 𝑗_𝑛|

𝑑_𝑛−1

𝑖_𝑛,𝑗_𝑛=0 𝑑₁−1

𝑖₁,𝑗₁=0

𝜌_ℓ= ∑ … ∑ ⟨𝑚₁… 𝑚_ℓ−1| ⊗ 𝐼 ⊗ ⟨𝑚_ℓ+1… 𝑚_𝑛|𝜌|𝑚₁… 𝑚_ℓ−1⟩ ⊗ 𝐼

𝑑_𝑛−1

𝑚_𝑛=0 𝑑₁−1

𝑚₁=0

⊗ |𝑚_ℓ+1… 𝑚_𝑛⟩ a) Untuk ℓ ≤ 𝑘

𝜌_ℓ= ∑ … ∑ ∑ … ∑ ∑ 𝑥_{𝑚1−𝑚ℓ−1𝑖ℓ𝑚ℓ+1…𝑚𝑘}𝑥_𝑚^∗_{1−𝑚ℓ−1𝑗ℓ𝑚ℓ+1…𝑚𝑘}|𝑖_ℓ⟩⟨𝑗_ℓ|

𝑑_ℓ−1

𝑖_ℓ𝑗_ℓ=0 𝑑_𝑘−1

𝑚_𝑘=0 𝑑_ℓ+1−1

𝑚_ℓ+1=0 𝑑_ℓ−1−1

𝑚_ℓ−1=0 𝑑₁−1

𝑚₁=0

= (

(𝜌_𝑙)₀₀ (𝜌_𝑙)₀₁ … (𝜌_𝑙)_{0 𝑑}

ℓ−1

(𝜌_𝑙)₁₀ (𝜌_𝑙)₁₁ … (𝜌_𝑙)_{1 𝑑}

ℓ−1

⋮ ⋮ ⋮

(𝜌_𝑙)_𝑑

ℓ−1 0 (𝜌_𝑙)_𝑑

ℓ−1 1 ⋯ (𝜌_𝑙)_𝑑

ℓ−1 𝑑_ℓ−1)

(𝜌_𝑙)_𝑟𝑠 = ∑ ⋯ ∑ 𝑥_{𝑚1⋯𝑚ℓ−1𝑟𝑚ℓ+1⋯𝑚𝑘}𝑥_1⋯𝑚^∗ _{ℓ−1𝑠𝑚ℓ+1⋯𝑚𝑘}

𝑑_𝑘−1

𝑚_𝑘=0 𝑑₁−1

𝑚₁

Seperti pada evaluasi sebelumnya, rank dari matriks densitas tereduksi satu-partit ke-ℓ dari multipartit |𝜒₁⟩ ini tidak sama dengan satu

b) Untuk ℓ > 𝑘

𝜌_ℓ = ∑ … ∑ ∑ 𝑦_{𝑚𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑖ℓ𝑚ℓ+1…𝑖𝑛}𝑦_𝑚^∗_{𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑗ℓ𝑚ℓ+1…𝑚𝑛}|𝑖_ℓ⟩⟨𝑗_ℓ|

𝑑_ℓ−1

𝑖_ℓ,𝑗_ℓ=0 𝑑_𝑛−1

𝑚_𝑛=0 𝑑_𝑘+1−1

𝑚_𝑘+1=0

= (

(𝜌_𝑙)₀₀ (𝜌_𝑙)₀₁ … (𝜌_𝑙)_{0 𝑑ℓ−1} (𝜌_𝑙)₁₀ (𝜌_𝑙)₁₁ … (𝜌_𝑙)_{1 𝑑ℓ−1}

⋮ ⋮ ⋮

(𝜌_𝑙)_{𝑑ℓ−1 0} (𝜌_𝑙)_{𝑑ℓ−1 1} ⋯ (𝜌_𝑙)_{𝑑ℓ−1 𝑑ℓ−1} )

(𝜌_𝑙)_𝑟𝑠 = ∑ … ∑ 𝑦_{𝑚𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑟𝑚ℓ+1…𝑚𝑛}𝑦_𝑚^∗_{𝑘+1−𝑚ℓ−1𝑠𝑚ℓ+1…𝑚𝑛}

𝑑_𝑛−1

𝑚_𝑛=0 𝑑_𝑘+1−1

𝑚_𝑘+1

𝜌_1…𝑘 = 𝑇𝑟_{(𝑘+1)…𝑛}(𝜌)

= ∑ … ∑ ∑ … ∑ 𝑥_{𝑖1…𝑖𝑘}𝑦_{𝑖𝑘+1…𝑖𝑛}𝑥_𝑗^∗_1…𝑗𝑘𝑦_𝑗^∗_{𝑘+1…𝑗𝑛}𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼

𝑑_𝑛−1

𝑖_𝑛,𝑗_𝑛=0 𝑑₁−1

𝑖₁,𝑗₁=0 𝑑_𝑛−1

𝑚_𝑛=0 𝑑_𝑘+1−1

𝑚_𝑘+1=0

⊗ ⟨𝑚_𝑘+1… 𝑚_𝑛|𝑖₁… 𝑖_𝑘𝑖_𝑘+1… 𝑖_𝑛⟩

⟨𝑗₁… 𝑗_𝑘𝑗_𝑘+1… 𝑗_𝑛|𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼 ⊗ |𝑚_𝑘+1… 𝑚_𝑛⟩ ...

𝜌_1…𝑘 = ∑ ⋯ ∑ 𝑥_{𝑖1…𝑖𝑘}𝑥_𝑗^∗_1…𝑗𝑘|𝑖₁… 𝑖_𝑘⟩⟨𝑗₁… 𝑗_𝑘|

𝑑_𝑘−1

𝑖_𝑘,𝑗_𝑘=0 𝑑₁−1

𝑖₁,𝑗₁=0

Matriks densitas sub-keadaan tersebut seperti halnya pada matriks densitas asal, juga memiliki rank satu, rank (𝜌_1…𝑘) = 1. Demikian juga,

𝜌_{𝑘+1…𝑛} = 𝑇𝑟_{𝑖1…𝑖𝑘}(𝜌)

= ∑ … ∑ ∑ … ∑ 𝑥_{𝑖1…𝑖𝑘}𝑦_{𝑖𝑘+1…𝑖𝑛}𝑥_𝑗^∗_1…𝑗𝑘𝑦_𝑗^∗_{𝑘+1…𝑗𝑛}⟨𝑚₁… 𝑚_𝑘|

𝑑_𝑛−1

𝑖_𝑛,𝑗_𝑛=0 𝑑₁−1

𝑖₁,𝑗₁=0 𝑑_𝑘−1

𝑚_𝑘=0 𝑑₁−1

𝑚₁=0

|𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼|𝑖₁… 𝑖_𝑘𝑖_𝑘+1… 𝑖_𝑛⟩⟨𝑗₁… 𝑗_𝑘𝑗_𝑘+1… 𝑗_𝑛|𝑚₁… 𝑚_𝑘⟩𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼

= ∑ ⋯ ∑ 𝑦_{𝑖 …𝑖} 𝑦_𝑗^∗ _…𝑗

𝑑_𝑛−1 𝑑_𝑘+1−1

|𝑖_𝑘+1… 𝑖_𝑛⟩⟨𝑗_𝑘+1… 𝑗_𝑛|

yang juga memiliki rank satu, 𝑟(𝜌_{𝑘+1…𝑛}) = 1.

Matriks densitas bipartit dari gabungan sub-keadaan, (𝑘𝑘 + 1), bagian keadaan dari |𝜒₁⟩ untuk partit ke-𝑘, dan partit ke-(𝑘 + 1) dari keadaan |𝜒₂⟩ diperoleh sebagai berikut

𝜌_𝑘𝑘+1 = ∑ ⋯ ∑ ∑ ∑ 𝑥_{𝑚1…𝑖𝑘}𝑦_{𝑖𝑘+1…𝑚𝑛}𝑥_𝑚^∗_1…𝑗𝑘𝑦_𝑗^∗_{𝑘+1…𝑚𝑛}|𝑖_𝑘𝑖_𝑘+1⟩⟨𝑗_𝑘𝑗_𝑘+1|

𝑑_𝑘+1−1

𝑖_𝑘+1,𝑗_𝑘+1=0 𝑑_𝑘−1

𝑖_𝑘𝑗_𝑘=0 𝑑_𝑛−1

𝑚_𝑛=0 𝑑₁−1

𝑚₁=0

Elemen matriks densitas tersebut pada suatu baris bukan merupakan kelipatan dari baris yang lain, sehingga matriks densitas ini tidak dapat dibuat menjadi nol hingga satu baris tersisa dengan menggunakan eliminasi Gauss. Dengan demikian, rank matriks densitas sub-keadaan terbelit 𝜌_{𝑘+1…𝑛} adalah tidak sama dengan satu. Maka, sub-keadaan matriks densitas bipartit dari gabungan sub-keadaan, (𝑘𝑘 + 1), bagian keadaan dari |𝜒₁⟩ untuk partit ke-𝑘, dan partit ke-(𝑘 + 1) dari keadaan |𝜒₂⟩ merupakan keadaan terbelit.

Evaluasi terhadap keadaan multipartit terpisah keseluruhan memberikan hasil sebagai berikut.

• Jika semua rank matriks densitas tereduksi satu-partit tidak sama dengan satu, maka ini bukan suatu indikasi bahwa multipartit tersebut adalah keadaan terbelit sempurna, tetapi terdapat kemungkinan bahwa multipartit tersebut tersusun atas beberapa sub-keadaan terbelit.

• Multipartit dapat dinyatakan sebagai keadaan terbelit sempurna jika semua rank matriks densitas tereduksi satu-partit dan juga sub-keadaa lebih tinggi tidak sama dengan satu.

Sementara itu,

• Jika rank matriks densitas tereduksi sub-keadaan tidak sama dengan satu, maka rank dari sub-state pasangannya juga tidak sama dengan satu.

• Jika rank matriks densitas tereduksi sub-keadaan sama dengan satu, maka rank dari sub- keadaan pasangannya juga sama dengan satu.

• Dengan kata lain, jika suatu sub-keadaan telah dievaluasi rank matriks densitas

tereduksimya, maka rank matriks densitas tereduksi sub-keadaan sisanya dapat diketahui tanpa melakukan perhitungan lebih lanjut.

• Lebih lanjut, sisa dari pasangan sub-keadaan dapat dievaluasi lagi kedalam sub-keadaan yang lebih kecil

Berikut ini ditampilkan beberapa contoh penentuan sub total masing-masing pola kombinasi untuk jumlah partit tertentu

• Untuk partit 𝒏 = 𝟓, pola 2-3, yaitu AB-CDE atau ditulis AB saja, tanpa pasangannya CDE. Pola lengkap diberikan sebagai berikut

AB AC AD AE BC BD BE

CD CE

DE

Total kombinasi: 10

• Untuk partit 𝒏 = 𝟔,

Pola 3-3, yaitu ABC-DEF, atau ditulis ABC saja, tanpa pasangannya DEF. Semua pola diberikan sebagai berikut

ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF

Total kombinasi pola 3-3: 10

Pola 2-2-2, yaitu AB-CD-EF. Sub keadaan CD-EF mempunyai 3 pola CD-EF, CE-DF, CF-DE.

Sedangkan pola AB mempunyai 5 bentuk: AB, AC, AD, AE, dan AF.

Jumlah total pola 2-2-2 adalah 5 x 3 = 15.

Pola 2-4, AB-CDEF ada 15, yaitu AB AC AD AE AF

BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

Masing-masing dengan pasangan 4-partit yang tidak dituliskan.

Karena itu, jumlah total pola sub-keadaan adalah: 40

Dengan cara di atas dapat dibuat tabel berikut ini.

Tabel 2.2. Pola perhitungan sub-keadaan terbelit dari keadaan multipartit sampai dengan sepuluh- partit

Jumlah Partit (n)

Kombinasi Pola yang Mungkin

Perhitungan Rank Matriks Densitas yang Sesuai Kombinasi

Sub Total

Total

4 2-2 AB-CD 3 3

6 2-2-2 2-4 3-3

AB-CD-EF AB-CDEF ABC-DEF

15 15 10

40

7 2-2-3

2-5 3-4

AB-CD-EFG AB-CDEFG ABC-DEFG

105 21 35

161

8 2-2-2-2

2-2-4 2-6 2-3-3 3-5 4-4

AB-CD-EF-GH AB-CD-EFGH AB-CDEFGH AB-CDE-FGH ABC-DEFGH ABCD-EFGH

105 210 28 280 56 35

714

9 2-2-2-3

2-2-5 2-7 2-3-4 3-3-3 3-6 4-5

AB-CD-EF-GHI AB-CD-EFGHI AB-CDEFGHI AB-CDE-FGHI ABC-DEF-GHI ABC-DEFGHI ABCD-EFGHI

1260 378 36 1629 280 84 126

3787

10 2-2-2-2-2 2-2-2-4 2-2-6 2-8 2-2-3-3 2-4-4 3-3-4 3-7 4-6 5-5 2-3-5

AB-CD-EF-GH-IJ AB-CD-EF-GHIJ AB-CD-EFGHIJ AB-CDRFGHIJ AB-CD-EFG-HIJ AB-CDEF-GHIJ ABC-DEF-GHIJ ABC-DEFGHIJ ABCD-EFGHIJ ABCDE-FGHIJ AB-CDE-FGHIJ

945 3150 630 45 6300 1575 2100 120 210 126 2520

17721

Tabel tersebut menunjukkan bahwa keadaan multipartit yang tersusun atas gabungan sub-keadaan terbelit memiliki pola kemungkinan yang sangat banyak. Sub-keadaan terkecil tersusun atas dua partit atau bipartit. Bipartit dan tripartit tidak memiliki sub-keadaan. Sedangkan multipartit yang memiliki sub-keadaan adalah empat-partit.

Pada dasarnya untuk penentuan keadaan gabungan sub-terbelit dibutuhkan perhitungan yang jumlahnya lebih sedikit dari pada di tabel tersebut. Misalnya pada 10 partit, untuk pola 2-2-3-3 (AB-CD-EFG-HIJ), dengan melakukan runutan perhitungan pola, dapat teridentifikasi sebagai

gabungan keadaan sub-terbelit hanya dalam 16 perhitungan, yaitu perhitungan rank matriks tereduksi untuk:

• A-B-C-D-E-F-G-H-I-J, diperoleh rank tidak sama dengan satu : 10 perhitungan.

• AB, diperoleh perhitungan rank sama dengan satu: 1 perhitungan, sehingga sisanya menjadi permasalahan 8 partit.

• CD, diperoleh perhitungan rank sama dengan satu: 1 perhitungan, sehingga sisanya menjadi permasalahan 6 partit.

• EF-GH-IJ, diperoleh ketiga-tiganya memiliki rank tidak sama dengan satu: 3 perhitungan.

• EFG, diperoleh perhitungan rank sama dengan satu: 1 perhitungan.

• Otomatis sisa pola HIJ memiliki rank satu

Jadi, diperoleh total perhitungan sebanyak 16 perhitungan, jauh lebih sedikit dari 2¹⁰⁻¹− 1 = 𝟓𝟏𝟏 perhitungan untuk kasus terbelit sempurna atau jumlah keadaan dengan pola 2-2-3-3 yang mungkin, yaitu sebanyak 6300 perhitungan.

Klasifikasi dengan berbagai pola seperti yang dijelaskan di atas memiliki manfaat yang sangat penting bagi teleportasi kuantum. Ini merupakan konsekuensi dari kesesuaian antara informasi kuantum yang dikirim dengan keadaan terbelit sebagai kanal kuantum. Untuk kasus sederhana yaitu pengiriman informasi kuantum satu kubit, seperti yang dijelaskan pada Bab IV, maka cukup menggunakan keadaan dua kubit sebagai kanal kuantum. Tetapi untuk pengiriman informasi kuantum lebih dari satu kubit akan melibatkan kanal kuantum yang bervariasi. Sebagai contoh, untuk mengirim informasi kuantum dua kubit, kanal kuantum yang dapat digunakan adalah empat kubit atau enam kubit yang berpola 3-3 (Zhu, 2014). Oleh karena itu, penyajian berbagai pola keterbelitan dalam disertasi ini sangat bermanfaat dan dapat memberikan kontribusi bagi identifikasi pola keterbelitan kanal kuantum yang akan digunakan dalam teleportasi kuantum untuk pengiriman informasi kuantum yang lebih dari satu kubit.

Keadaan gabungan sub-terbelit-terpisah multipartit

Keadaan gabungan multipartit yang tersusun atas kombinasi sub-keadaan terbelit dan terpisah (keadaan gabungan sub-terbelit-terpisah), dapat dinyatakan dalam bentuk

|𝝌⟩ = ∑ ⋯ ∑ 𝒙_{𝒊𝟏…𝒊𝒑−𝟏}

𝒅_𝒏−𝟏

𝒊 =𝟎 𝒅_𝟏−𝟏

𝒊 =𝟎

𝒚_𝒊

𝒑 𝒑 ⋯ 𝒚_𝒊

𝒒

𝒒𝒛_{𝒊𝒒+𝟏…𝒊𝒏}|𝒊_𝟏… 𝒊_𝒏⟩