BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menentukan kapan seseorang akan meninggal dunia. Walaupun demikian, kita dapat menghitung peluang meninggal seseorang dari data-data sebelumnya. Peluang meninggal seseorang ada yang dibuat dalam bentuk tabel, disebut tabel mortalita. Menurut Soenardi [11], tabel mortalita (Tabel 1.1) merupakan suatu tabel (daftar) yang terdiri atas kolom- kolom usia, dinotasikan dengan x; banyak orang yang hidup pada usia x, yaitu lx; banyak orang yang meninggal pada usia x, yaitu dx, serta peluang seseorang berusia x meninggal sebelum mencapai usia x+1, yaitu qx.
Tabel 1.1 Contoh tabel mortalita.
Tabel 1.1a merupakan tabel mortalita yang dibuat bangsa Indonesia tahun 1993.
Tabel 1.1b merupakan tabel mortalita yang dibuat bangsa Amerika tahun 1980.
Tabel Mortalita Indonesia (TMI) I Tabel CSO 1980
x lx dx qx x lx dx qx
15 946710 1174 0.00124 15 96637.30 87.76 0.00091 16 945536 1409 0.00149 16 96549.54 89.62 0.00093 17 944127 1681 0.00178 17 96459.92 91.65 0.00095 18 942446 1894 0.00201 18 96368.27 93.91 0.00097 19 940552 2013 0.00214 19 96274.36 96.35 0.00100 20 938539 2046 0.00218 20 96178.01 99.06 0.00103 21 936493 2060 0.00220 21 96078.95 102.02 0.00106 22 934433 2074 0.00222 22 95976.93 105.25 0.00110 23 932359 2079 0.00223 23 95871.68 108.82 0.00114 24 930280 2130 0.00229 24 95762.86 112.71 0.00118 25 928150 2107 0.00227 25 95650.15 116.98 0.00122
(a) (b)
Keterangan:
x : usia seseorang dalam tahun
lx : banyak orang yang masih hidup pada usia x dx : banyak orang yang meninggal pada usia x
qx : peluang seseorang yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia x+ 1
Dari tabel mortalita di atas, kita dapat menghitung beberapa statistik berikut.
1. Peluang seseorang berusia x akan meninggal t tahun lagi, yaitu tq . x 2. Peluang seseorang berusia x masih hidup t tahun lagi, yaitu tp . x
3. Harapan (ekspektasi) lama hidup yang dapat dicapai oleh bayi yang baru lahir, yaitu e . 0
4. Harapan (ekspektasi) lama hidup yang dapat dicapai oleh seseorang yang berusia x, yaitu e . x
Statistik-statistik tersebut dimanfaatkan oleh perusahaan asuransi untuk menentu- kan besar premi yang harus dibayar nasabah dan cadangan yang harus disediakan perusahaan. Adapun bagi ahli demografi, statistik tersebut digunakan untuk memperkirakan banyak penduduk di masa yang akan datang.
Saat ini, ada beberapa tabel mortalita standar yang telah dibuat. Tabel mortalita tersebut adalah tabel CSO (Commissioner Standar Ordinary) dan Tabel Mortalita Indonesia (TMI). Tabel CSO merupakan tabel mortalita untuk bangsa Amerika yang dibuat sekitar tahun 1958. Tabel ini diperbaiki lagi pada tahun 1980. Adapun tabel TMI dibuat oleh para aktuaris indonesia sekitar tahun 1993. Data yang di- gunakan untuk membuat TMI I ini adalah data dari penduduk Indonesia. Tabel ini kemudian diperbaiki lagi pada tahun 1999 oleh Dewan Asuransi Indonesia menjadi Tabel Mortalita Indonesia II (TMI II). Menurut majalah investor (1999), ada beberapa perbedaan di antara dua tabel tersebut.
Tabel 1.2 Perbedaan TMI I dan TMI II
TMI I TMI II
Pemroses Jepang KTM – DAI
Metode Seriatim Grup
Sumber Data
Bumiputera dan Jiwasraya tahun 1983 – 1985
1993: Bumiputera dan Jiwasraya; 1994: 14 perusahaan; 1995: 16 perusahaan
Jenis Data Uniseks Pria dan Wanita
Populasi 1.781.438 jiwa Pria : 4.499.590 jiwa Wanita: 2.083.126 jiwa
Sumber: Majalah Investor, Desember 1999 (diolah kembali)
Jika kita menggambarkan tingkat mortalita qx untuk setiap tabel mortalita tersebut, diperoleh gambar berikut.
Keterangan:
Tabel CSO80 dibuat pada tahun 1980, TMI I dibuat tahun 1993, dan TMI II dibuat tahun 1999
Gambar 1.1
Perbandingan nilai tingkat mortalita qx untuk beberapa tabel mortalita standar, 0
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
tingkat mortalita qx
umur (tahun)
Perbandingan Beberapa Tabel Mortalita
CSO80 TMI I TMI II(prmpn) TMI II(laki)
Dari Gambar 1.1 tampak nilai tingkat kematian qx untuk TMI II lebih rendah dibandingkan TMI I. Begitu juga nilai qx untuk TMI II (perempuan) lebih rendah dari pada tabel CSO 1980. Berarti ada tren penurunan tingkat kematian (mortalita) dari tahun ke tahun. Hal ini sama dengan yang terjadi di negara-negara lain, seperti Italia dan Inggris [11].
Dalam prakteknya, perusahaan asuransi di Indonesia menggunakan tiga tabel mortalita atau mengkombinasikannya dengan data sejarah perusahaan [11].
Perusahaan asuransi di Indonesia belum memiliki tabel mortalita sendiri yang sesuai dengan kondisi tertanggung perusahaan.
Dari dua kondisi ini, sebaiknya perusahaan asuransi di Indonesia membuat tabel mortalita sendiri. Dengan memiliki tabel mortalita sendiri, tingkat mortalita yang digunakan akan sesuai dengan kondisi tertanggung perusahaan.
Dalam pembuatan tabel mortalita, kita dapat menggunakan dua pendekatan, yaitu numerik (non parametrik) dan analitik (parametrik). Pada tulisan ini, penulis akan menggunakan pendekatan analitik. Dari beberapa model pendekatan analitik, penulis akan menggunakan model yang dikembangkan oleh Lee dan Carter tahun 1992. Ada beberapa alasan mengapa penulis menggunakan model ini dalam pem- buatan tabel mortalita. Alasan pertama, metode ini telah berhasil diaplikasikan di beberapa negara, di antaranya di jepang (Wilmoth 1993), negara-negara G7 (Tuljapurkar 2000), Austria (Carter dan Prskawetz 2001), Belgia (Brouhn 2002).
Alasan kedua, model ini sederhana, hanya melibatkan 3 parameter. Berbeda dengan model Heligman-Pollard (Metode Mcnown dan Rogers) yang terdiri atas 9 parameter.
Untuk mengaplikasikan model Lee-Carter, penulis menggunakan data mutasi klaim sebuah perusahaan asuransi di Jawa Barat.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, masalah-masalah yang dibahas dalam peneliti- an ini meliputi:
1. bagaimana menentukan asumsi untuk usia pecahan yang akan digunakan dalam penaksiran tingkat mortalita kasar,
2. bagaimana menentukan metode yang digunakan dalam penurunan parameter estimasi tingkat mortalita,
3. bagaimana menaksir parameter pada model Gompertz, 4. bagaimana menaksir parameter pada model Lee-Carter,
5. bagaimana membuat tabel mortalita melalui model Gompertz, dan 6. bagaimana membuat tabel mortalita melalui model Lee-Carter.
1.3 Tujuan dan Manfaat Penulisan
Secara umum tujuan dari penulisan ini adalah membuat sebuah tabel mortalita dengan model Lee-Carter. Adapun tujuan khususnya adalah sebagai berikut.
1. Mempelajari dan menerapkan model Gompertz dan Lee-Carter pada data sampel pengamatan.
2. Menentukan laju mortalita (force of mortality) dari suatu data sampel pengamatan.
3. Menentukan estimasi tingkat kematian dengan menggunakan metode kemungkinan maksimal (maximum likelihood estimators).
4. Membuat tabel mortalita untuk suatu data sampel pengamatan.
Adapun manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut.
1. Penulis atau pembaca dapat mengaplikasikan model Lee-Carter untuk data pemegang polis asuransi lainnya.
2. Memberikan masukan kepada perusahaan asuransi dalam menentukan kebijakan perusahaan sesuai dengan angka mortalitanya.
3. Memberikan wawasan kepada mahasiswa yang akan melakukan penelitian dalam pembentukan tabel mortalita.
1.4 Sistematika Penyajian
Pembahasan dalam tesis ini dimulai dengan Bab 1 sebagai pendahuluan. Pada bab ini diuraikan latar belakang masalah penulisan tesis ini. Masalah yang melatar- belakangi adalah adanya tren penurunan tingkat mortalita setiap tahunnya sehingga diperlukan sebuah tabel mortalita yang merepresentasikan keadaan tersebut. Masalah kedua adalah belum adanya tabel mortalita yang sesuai dengan kondisi tertanggung sebuah perusahaan asuransi. Dari latar belakang masalah ini, tujuan tesis ini adalah membuat sebuah tabel mortalita yang dapat mengakomodasi kedua hal tersebut.
Bab 2 menjelaskan teori dasar yang berkaitan dengan model Gompertz. Pembaha- san dimulai dengan definisi dari peubah acak waktu hidup T. Fungsi distribusi dari T inilah yang menyatakan tingkat mortalita pada usia x, dalam aktuaria disimbolkan dengan q . Di bab ini dibahas pula laju mortalita (force of mortality). x Laju mortalita ini dapat menentukan secara spesifik distribusi dari T, sama seperti fungsi distribusi dan fungsi kehidupan. Selain itu, pada bab ini dibahas beberapa hipotesis distribusi dari sisa waktu hidup T. Hippotesis distribusi dari T yang cukup terkenal adalah model Gompertz. Walaupun sudah lama, sekitar 1980, model ini dapat merepresentasikan tingkat mortalita umur 20-60 tahun. Untuk lebih jelas, prosedur pembuatan tabel mortalita dengan menggunakan model Gompertz dibahas pula di bagian akhir Bab2.
Bab 3 menjelaskan model Lee-Carter. Model ini merupakan modifikasi dari model Gompertz. Pada model Gompertz, komponen yang mempengaruhi tingkat mortalita hanya umur. Adapun pada Model Lee-Carter komponen yang mempengaruhinya adalah komponen umur x dan komponen waktu t. Setelah itu, dibahas metode untuk menyelesaikan model Lee-Carter. Oleh karena model ini mengandung variabel bebas yang tidak diketahui, maka digunakan metode aproksimasi. Metode aproksimasi yang digunakan adalah metode dekomposisi
nilai singular. Terakhir, dibahas algoritma model Lee-Carter untuk membuat table mortalita.
Bab 4 menjelaskan aplikasi dari model Gomperz dan Lee-Carter untuk data mutasi klaim kecelakaan suatu perusahaan asuransi di Jawa Barat. Bab terakhir, yaitu Bab 5 merupakan kesimpulan dari permasalahan yang dibahas di sini dan saran.
