Injeksi Total Ajaib pada Gabungan Graf Bintang K1;2 dan Graf Segitiga mK3, dengan m Genap.

Injeksi Total Ajaib pada Gabungan Graf Bintang

K

1

,2

dan

Graf Segitiga

mK

₃

_{, dengan}

m

_Genap

SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA

OLEH :

ANGRELIA NOVA

BP. 0910432047

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

ABSTRAK

Suatu injeksi total dari suatu graf dengan himpunan titik V _{dan himpunan sisi} E adalah suatu pemetaan bijektif dari V _∪E _{ke bilangan bulat positif}N_{. Suatu injeksi} total dikatakan injeksi total ajaib jika terdapat ”konstanta ajaib” h_dan k _dimanah adalah jumlah dari setiap label titik dengan label yang bersisian dengan sisi dan k adalah jumlah dari setiap label sisi yang besisian dengan titik. Total defisiensi dari injeksi total ajaib dengan label maksimum M _adalah M _{− |}v_{| − |}e_{|. Suatu injeksi} total ajaib dengan defisiensi 0 dinamakan suatu pelabelan total ajaib.

Kata kunci : graf bintang, graf segitiga, injeksi total ajaib, injeksi total

BAB I

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah

Graf adalah pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan

titik-titik pada graf membentuk sisi dan dapat direpresentasikan pada gambar sehingga

membentuk pola graf tertentu. Pola-pola yang terbentuk didefinisikan dan

dikelom-pokkan menjadi kelas-kelas graf. Beberapa kelas graf menurut banyaknya sisi yang

terkait terhadap titik antara lain graf reguler, yang derajat setiap titiknya adalah

sama dan irreguler, yang derajat setiap titiknya ada yang tidak sama. Graf

di-gunakan untuk merepresentasikan objek diskrit dan hubungan antara

objek-objek tersebut.

Teori graf merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa

kini. Pemakaian teori graf telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu, antara

lain yaitu optimisasi jaringan, ekonomi, psikologi, genetika, riset operasi (Operation

Riset), dan lain-lain. Graf juga berguna memodelkan sesuatu yang abstrak, seperti

Salah satu penerapan graf adalah tahun 1857 Artur Cayley menggunakan

graf untuk memodelkan molekul senyawa alkana C

nH2n+2 untuk menghitung jumlah

isomernya. Atom Carbon (C_{) dan atom Hidrogen (}H_{) dinyatakan sebagai titik,}

sedangkan ikatan atom C _dan H _{dinyatakan sebagai sisi.}

Salah satu bagian graf yang dipelajari adalah injeksi. Beberapa graf yang

memiliki injeksi adalah diantaranya beberapa graf hutan, graf bintang dan graf

segi-tiga. Injeksi yang akan dipelajari pada tulisan ini adalah gabungan dari graf bintang

dan sebanyakm_{graf segitiga. Diberikan suatu graf bintang dengan graf berorde}s₊₁

yang memiliki satu titik berderajat s _{yang disebut titik pusat dan} s _{titik yang}

ber-derajat satu biasanya kita lambangkan dengan K_{1,s, serta terdapat suatu gabungan}

m _{buah graf lengkap dengan tiga titik atau kita namakan graf segitiga yang kita}

lambangkan dengan mK_{3. Kemudian dibentuk suatu graf baru yang merupakan}

gabungan dari graf bintang K_{1,s dan} m _{buah graf segitiga tersebut, sehingga dapat}

ditulisK₁

,s∪mK3. Selanjutnya gabungan dari graf tersebut merupakan injeksi total

ajaib jika dan hanya jika m _genap.

Pada tugas akhir ini penulis melakukan kajian kembali terhadap paper [3]

tentang injeksi total λ _{yang bersifat sisi ajaib sekaligus titik ajaib pada gabungan}

graf bintang K₁

,2 dan beberapa graf segitiga mK3.

1.2

Perumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas adalah apakah terdapat injeksi total λ_yang

bersi-fat sisi ajaib dan titik ajaib pada gabungan graf bintang K_{1,s dan beberapa graf}

segitiga K_3.

1.3

Pembatasan Masalah

Pada tugas akhir ini graf yang akan dikaji adalah gabungan graf bintang K_1,2

dan beberapa graf segitiga mK_{3, atau dapat dituliskan sebagai} K₁

,2∪mK3, dengan

m _genap.

1.4

Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penulisan ini adalah untuk membuktikan kembali bahwa

K_1,2∪mK_{3 adalah graf yang bersifat injeksi total ajaib untuk} m _genap.

1.5

Sistematika Penulisan

Penulisan dalam tugas akhir ini dibagi menjadi empat bab. Bab I terdiri

dari latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan dan

sistematika penulisan. Pada Bab II dijelaskan mengenai landasan teori tentang

kon-sep dasar dari teori graf berupa definisi dan terminologi, jenis-jenis graf, pemetaan,

injeksi total ajaib. Selanjutnya Bab III memuat pembahasan dari permasalahan.