Pelabelan total sisi ajaib super pada graf bintang yang diperumum
14
BAB III
Algoritma Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super
3.1 Algoritma dan penjelasannya
Proses pengkonstruksian suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada Smn untuk n≥ 3
dan m≥ 0 pada tugas akhir ini, dilakukan dengan cara menyusun suatu algoritma yang diaplikasikan dengan menggunakan pemrograman Matlab 7.0. Algoritma pemrograman disusun ke dalam langkah-langkah berikut.
a. Merepresentasikan graf ke bentuk matriks
Bahasa pemrograman Matlab umumnya bekerja dalam bentuk matiks. Karena itu objek penelitian, yaitu graf bintang yang diperumum Smn ,
terlebih dahulu direpresentasikan ke dalam bentuk matriks. Kita notasikan matriks Anx(m+2) sebagai matriks representasi Smn . Jika S
m
n total sisi-ajaib
super, maka A total sisi-ajaib super. Begitu juga sebaliknya. Pada Smn, dengan n adalah banyaknya sinar bintang yang diperumum dan m adalah banyaknya titik internal baru hasil subdivisi pada tiap sinar bintang yang diperumum, maka diperoleh matriks A dengan ukuran nx(m+2).
Selanjutnya, titik-titik pada Smn direpresentasikan oleh sel-sel kosong pada A yang siap untuk dilabeli. Baris di A merepresentasikan sinar bintang yang diperumum dengan sel pusat bintang sebagai elemen baris pertamanya.
Tinjau Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 sebagai ilustrasi representasi Sm
n dalam
v1,3 v1,1 v5,3 v.,3 v4,3 v3,3 v6,3 vn,3 v2,3 v2,2 v6,2 vn,2 v4,2 v.,2 v3,2 v5,2 v1,2 v1,m+2 v2,m+2 v3,m+2 v4,m+2 v5,m+2 v6,m+2 v..,m+2 vn,m+2
Gambar 3.1: Graf bintang yang diperumum Smn
v1,1 v1,2 v1,3 … … v1,m+2 v2,1 v2,2 v2,3 … … v2,m+2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … vn,1 vn,2 vn,3 … … vn,m+2 Gambar 3.2: Matriks Anx(m+2) representasi dari Smn
Tinjau v1,1 = v2,1 = … = vn,1 pada Adalam Gambar 3.2 merupakan pusat
bintang yang diperumum pada Smn dalam Gambar 3.1.
Untuk mempermudah ilustrasi, tinjau pula Gambar 3.3 S 81 di bawah ini yang dilabeli secara bebas.
6 3 12 11 14 15 8 2 13 5 9 4 16 10 17 7 1
Gambar 3.3: Graf bintang yang diperumum S 81 terlabeli Matriks representasi A dari S 81 pada Gambar 3.3 adalah
3 1 6 3 5 13 3 17 15 3 16 14 3 7 12 3 9 8 3 10 11 3 4 2
Gambar 3.4: Matriks A8x3 representasi dari S 1 8
b. Menentukan masukan (elemen) matriks A dengan label titik
Sel-sel matriks A diisi secara random oleh label bilangan asli 1,2,3,…,p dengan p merupakan banyaknya titik pada Smn yaitu p=mn+n+1.
Pemberian masukan A dilakukan dengan randomisasi permutasi label sebagai masukan A(1,1) dan A(i,j) dengan 2≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ m+2, kemudian nyatakan elemen sel A(2,1), A(3,1),…,dan A(n,1) oleh elemen A(1,1). Randomisasi dilakukan secara acak oleh komputer. A ber-elemen label yang diperoleh menjadi masukan untuk langkah (c).
Proses randomisasi berlaku secara tunggal. Artinya, A hasil randomisasi, hanya akan sekali dijadikan masukan untuk langkah (c). Bila A muncul
kembali pada randomisasi iterasi selanjutnya, maka A tidak akan dijadikan masukan yang baru pada langkah (c).
Algoritma konstruksi total sisi-ajaib super yang disusun dibatasi sebanyak iterasi tertentu agar algoritma dapat berhenti. Dalam hal ini algoritma akan berhenti bila diperoleh suatu konstruksi A total sisi-ajaib super, atau berhenti bila tidak diperoleh A total sisi-ajaib super sebanyak iterasi yang telah ditetapkan. Penetapan iterasi randomisasi tunggal A dibatasi oleh banyaknya kemungkinan permutasi yang muncul dari label yang tersedia {1,2,…,p} yaitu sebanyak p!.
c. Menyususun matriks representasi jumlah label bertetangga di A
Uji kesesuaian A terhadap sifat-sifat total sisi-ajaib super akan dilakukan khususnya menggunakan Lemma 2.2. Pada lemma tersebut diperkenalkan S = {f(x) + f(y) | xy ∈ E}. Dalam hal f(x),f(y)∈{1,2,3,…,p}, maka S dapat dinyatakan sebagai himpunan penjumlahan setiap 2 label yang bertetangga di A. Berdasarkan hal ini disusunlah matriks baru, dinamakan matriks Cnx(m+1), yang merupakan matriks representasi S, yaitu matriks yang
elemen-elemennya merupakan penjumlahan setiap 2 label bertetangga di A. Pada matriks A, sel A(i,j) dan A(k,l) bertetangga jika i=k dan j=l+1. Perhatikan matriks Cnx(m+1) pada Gambar 3.5 yang diperoleh dari Anx(m+2)
pada Gambar 3.2 di bawah ini.
V1,1+ V1,2 V1,2+ V1,3 V1,3+ V1,4 … … V1,m V1,m+1 V2,1+ V2,2 V2,2+ V2,3 V2,3+ V2,4 … … V2,m V2,m+1 … … … … … … … … Vn,1+ Vn,2 Vn,2+ Vn,3 Vn,3+ Vn,4 … … Vn,m+ Vn,m+1 Gambar 3.5: Matriks Cnx(m+1) yang diperoleh dari Anx(m+2)
Untuk mempermudah ilustrasi, tinjau C8x2 pada Gambar 3.6 di bawah ini,
yang merupakan matriks penjumlahan 2 label bertetangga.dari A8x3 pada
Gambar 3.4. 4 7 8 18 20 22 19 30 10 19 12 17 13 21 7 6
Gambar 3.6: Matriks C8x2 yang diperoleh dari A8x3 pada Gambar 3.4
d. Menguji matriks pada langkah (c) dengan sifat-sifat total sisi-ajaib super Kembali mengacu pada Lemma 2.2. Suatu pelabelan total sisi-ajaib super senantiasa memiliki himpunan S = {f(x) + f(y) | xy ∈ E}, terdiri dari q bilangan bulat berurutan. Misalkan S={a1,a2,a3,…,an}. Secara trivial dapat
dilihat bahwa tidak ada elemen di S yang sama. Misalkan pula s=a1
bilangan bulat terkecil di S dan an adalah bilangan bulat terbesar di S.
Karena S terdiri dari q bilangan bulat berurutan, maka S dapat dinyatakan {s,s+1,s+2,…,s+(q-1)). Dengan demikian selisih bilangan bulat terkecil
dan terbesar di S adalah an – a1 = q-1.
Karena C adalah matriks representasi dari S, maka berdasarkan Lemma 2.2, C tidak mengandung elemen yang sama, dan selisih elemen terkecil dan terbesar di C adalah q-1.
Kemudian dengan sifat matriks A total sisi-ajaib super, algoritma akan menguji apakah C yang diperoleh dari A memenuhi persyaratan total sisi-ajaib super di atas atau tidak. Jika ya, maka A yang dimaksud ialah matriks
total sisi-ajaib super dan algoritma dilanjutkan ke langkah (e). Jika tidak, maka proses iterasi randomisasi A akan diulang kembali ke langkah (b) hingga banyaknya p! iterasi tercapai atau hingga A total sisi-ajaib super diperoleh. Jika hingga p! matriks A total sisi-ajaib super tidak diperoleh, maka disimpulkan A bukan total sisi-ajaib super.
e. Melengkapi pemenuhan sifat total sisi-ajaib super A
Bila diperoleh A total sisi-ajaib super, maka algoritma dilanjutkan dengan mencari atribut sifat total sisi-ajaib super lain yang diperlukan, yakni konstanta ajaib k dan matriks yang merepresentasikan label sisi pada Smn,
dinamakan matriks Bnx(m+1). Berdasarkan Lemma 2.2, k = p+q+s, dengan
s adalah elemen terkecil C, dan B=k-C. Langkah pilihan bisa pula dilakukan dengan mencari A total sisi-ajaib super yang lain hingga iterasi sebanyak p! tercapai.
Berikut ini merupakan bagan alir algoritma konstruksi matriks total sisi ajaib super pada graf bintang yang diperumum.
Untuk nSm, t’kan n,m,p,q Isi scr random A(1,1)UA(:,2:m+2) oleh 1,2,3,…,p Ada 2 elemen di C yang sama Buat matriks Anx(m+2)
yang akan dientry
Isi A(2,1), A(3,1),…,A(n,1) oleh nilai pada A(1,1)
Buat matriks Cnx(m+1): Untuk i=1:n, j=1:m+1, Isi C(i,j)=A(i,j)+A(i,j+1) Maks(C)-Min(C) =q-1 No Yes Yes No Start End Cari k=p+q+s, B=k-C
3.2. Implementasi Algoritma
Berikut merupakan algoritma pelabelan total sisi-ajaib super pada graf bintang yang diperumum yang diimplementasikan pada pemrograman Matlab 7.0.
(*============main program konstruksi total sisi-ajaib super =============*) clear all;
clc;
disp('PROGRAM KONSTRUKSI TOTAL SISI-AJAIB SUPER ”SUPERMAGIC”
PADA GRAF BINTANG YANG DIPERUMUM');
disp('---'); disp('A:matriks representasi label titik');
disp('B:matriks representasi label sisi');
disp('C:matriks representasi jumlah label titik bertetangga'); disp('Graf bintang yang diperumum dengan n,m.');
n = input('masukkan n; n = '); m = input('masukkan m; m = ');
cariA = 0;
supermagic_ke = 0; global temp iterasi_ke; while cariA <= 100 tic; supermagic_ke = supermagic_ke+1; kiri = 1; kanan = 2; iterasi_ke=0; while kiri~=kanan [A,B,C,maksimum,s,kiri,kanan,k] = looping_2(n,m); iterasi_ke = iterasi_ke+1; end
Supermagic_S = zeros(n,2*(m+1)+1); Supermagic_S(:,1:2:2*(m+1)+1)=A(:,1:m+2); Supermagic_S(:,2:2:2*(m+1)+1)=B(:,1:m+1); Supermagic_S k A B C disp('lain-lain:'); disp('---'); supermagic_ke iterasi_ke
disp('SELESAI, Press ENTER untuk lanjut ke iterasi berikutnya');
disp('---'); if ~isempty(A) cariA=cariA+1; toc pause; end end
(*=============fungsi randomisasi A dan membangkitkan C=============*) function [A,C,bulean] = looping_1(n,m)
global temp iterasi_ke; cek = true; while cek A = zeros(n,m+2); acak = randperm([n*m+n+1]); siz = size(temp); for i = 1:siz(1) if temp(i,:) == acak
cek = false; end end if cek temp(iterasi_ke+1,:) = acak; cek = false; else cek = true; end end A(1,1)=acak(1); acak(1) = [ ]; for i = 1:n for j = 2:m+2 A(i,j) = acak(1); acak(1) = [ ]; end end for i = 2:n A(i,1) = A(1,1); end C = zeros(n,m+1); for i = 1:n for j = 1:m+1
C(i,j) = A(i,j) + A(i,j+1); end
end
bulean = 0; for i = 1:n
sama = find(C==C(i,j)); panjang = length(sama); if panjang > 1 bulean = 1; break end end if bulean == 1 break end end sama; bulean;
(*=============fungsi membangkitkan C tanpa elemen sama=============*) function [A,B,C,maksimum,s,kiri,kanan,k] = looping_2(n,m)
global temp iterasi_ke;
bulean = 1; while bulean == 1 [A,C,bulean] = looping_1(n,m); end C; maksimum = max(max(C)); s = min(min(C)); kiri = maksimum - s; kanan = (m*n+n+1)-2; k = (m*n+n+1)+(m*n+n)+s; ukuran = size(C); B = zeros(ukuran(1),ukuran(2)); B = k - C;
3.3 Hasil Simulasi
Antar muka dari perangkat lunak yang diperoleh, tampak seperti pada Gambar 3.8 di bawah ini:
Gambar 3.8: Antar muka perangkat lunak sebelum simulasi
Pengoperasian perangkat lunak tersebut sangat sederhana, dengan memasukkan nilai n dan m pada perintah ’masukan’, kemudian tekan enter pada keyboard komputer, maka komputer akan melakukan proses seperti yang tertuang dalam algoritma.
Adapun jika simulasi dilakukan dan diperoleh suatu konstruksi pelabelan A total sisi-ajaib super, maka antar muka dari perangkat lunak akan tampak seperti pada Gambar 3.9.a dibawah ini :
Gambar 3.9.a: Antar muka perangkat setelah diperoleh pelabelan total sisi-ajaib super
Terlihat bahwa dengan masukan n=3 dan m=2 diperoleh konstruksi total sisi-ajaib super A yang didefinisikan sebagai ’Supermagic_S’ dengan konstanta ajaib k=26. Selain itu, program dapat pula menampilkan hasil-hasil lain seperti matriks A, B, dan C. Seperti pada tampilan Gambar 3.9.b di bawah ini.
Gambar 3.9.b: Antar muka perangkat setelah diperoleh pelabelan total sisi-ajaib super
Dari simulasi, program yang dihasilkan mampu mengkonstruksi beberapa matriks pelabelan total sisi-ajaib super dengan n dan m tertentu, yang belum pernah dipublikasikan dalam hasil-hasil peneliti terdahulu, antara lain:
1) S3 3 dengan k=33 2 18 13 19 1 23 9 21 3 2 25 6 22 5 24 4 17 12 2 20 11 14 8 15 10 16 7 2) S3 4 dengan k=41 13 25 3 30 8 29 4 27 10 20 11 13 23 5 22 14 21 6 19 16 18 7 13 26 2 24 15 17 9 31 1 28 12
3) S4 3 dengan k=44 12 24 8 32 4 25 15 23 6 12 22 10 31 3 28 13 26 5 12 21 11 19 14 29 1 27 16 12 30 2 33 9 18 17 20 7
Matriks-matriks di atas masing-masing merepresentasikan pelabelan graf bintang yang diperumum S33, S34, dan S43 berturut-turut seperti pada Gambar 3.10 di bawah ini.
Gambar 3.10: Pelabelan total sisi-ajaib super pada S33, S34, dan S43 16 18 17 24 22 25 21 19 23 15 14 20 2 6 4 12 11 8 5 10 7 13 1 9 3 31 25 20 28 19 21 22 23 27 30 29 17 24 26 13 5 6 16 2 15 14 9 1 3 8 4 10 7 18 12 11 20 22 23 32 24 27 29 19 21 26 31 28 18 33 30 12 11 1 16 2 9 14 17 7 10 3 13 5 25 6 15 4 8 S33 S34 S34
Dari simulasi yang dilakukan, waktu proses (running) simulasi oleh komputer tidak bisa diprediksikan. Dari pengujian yang dilakukan, simulasi untuk graf bintang yang diperumum dengan n,m tertentu sedemikian hingga jumlah titik kurang dari 18 titik, rata-rata lamanya simulasi kurang dari 10 jam. Namun untuk titik lebih dari 18, terjadi inefisiensi waktu proses. Hal ini dikarenakan semakin besar jumlah titik, semakin besar pula ruang random permutasi sebagai ruang masukan A.
