1 PYTHAGORAS DALAM PENYELESAIAN BANGUN DATAR
Rista Dewi Ikrima
Jurusan Tadris Matematika
Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Tulungagung e-mail : ristadewiikrima@gmail.com
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kesulitan siswa dalam memecahkan masalah matematika utamanya materi bangun datar. Penelitian ini dilaksanakan pada kelas VIII. Pentingnya pemahaman konsep dalam pembelajaran sangat memengaruhi sikap, keputusan, dan cara-cara memecahkan masalah. Maka diperlukan metode pembelajaran yang dapat menstimulasi kemampuan pemahaman siswa. Salah satu metode pembelajaran yang dapat digunakan adalah pembelajaran pemahaman konsep. Dengan metode ini maka mampu meningkatkan pemahaman konsep siswa tentang materi teorema Pythagoras sehingga dapat diterapkan dalam menyelesaikan masalah bangun datar. Hasil penelitian ini adalah 1) Dengan pembuktian teorema Pythagoras maka dapat meningkatkan pemahaman siswa, melalui cara menggambar melalui bimbingan guru dan memberikan contoh selanjutnya guru beserta siswa membuat kesimpulan, 2) siswa dapat menerapkan konsep Pythagoras dalam menyelesaikan soal-soal pada bangun datar, 3) menciptakan suasana pembelajaran yang lebih terampil, aktif dan kreatif.
Kata kunci: Pemahaman konsep, Teorema Pythagoras. ABSTRACT
This study aimed to determine the student’s difficult in solving mathematical problems mainly flat wake materials. The research was conducted in class VIII. The importance of understanding the concept of learning greatly affects attitudes, decisions, and the ways to solve the problem. It is necessary to stimulate learning methods student comprehension. One of the methods that can be used is the understanding of the concept of learning. With this method is able to enhance the student’s understanding of the concept of the Pythagorean theorem material so that it can be applied to solve the problem of flat wake. The results of this study were 1) In proving the Pythagorean theorem, it can enhance the student’s understanding, through how to draw through the guidance of teachers and provide further examples of teachers and their students to make inferences, 2) students can apply the Pythagorean concepts in solving problems in the wake flat, 3) creating a learning environment that is more skilled, active and creative.
Keywords: Concept comprehension, Pythagorean theorem.
PENDAHULUAN
Pembelajaran dapat diartikan sebagai suatu proses interaksi antara peserta belajar dengan pengajar atau instruktur dan/atau sumber belajar pada suatu lingkungan belajar untuk pencapaian tujuan belajar tertentu. Dengan demikian, pembelajaran merupakan subsistem dari suatu penyelenggaraan
pendidikan atau pelatihan (Hamzah B.Uno, 2012:54). Belajar untuk mengetahui dan melakukan diharapkan dapat menciptakan manusia-manusia yang produktif dan kreatif. Belajar untuk menjadi diri sendiri diharapkan dapat menciptakan manusia percaya diri pada kemampuan diri sendiri.
Matematika adalah suatu bidang ilmu yang merupakan alat pikir, berkomunikasi,
2
alat untuk memecahkan berbagai persoalan praktis, yang unsur-unsurnya logika dan intuisi, analisis dan konstruksi, generalitas dan individualitas, serta mempunyai cabang-cabang antara lain aritmetika, aljabar, geometri dan analisis.
Seseorang akan merasa mudah memecahkan masalah dengan bantuan matematika, karena ilmu matematika itu sendiri memberikan kebenaran berdasarkan alasan logis dan sistematis. Di samping itu, matematika dapat memudahkan dalam pemecahan masalah karena proses kerja matematika dilalui secara berurut yang meliputi tahap observasi, menebak, menguji hipotesis, mencari analogi, dan akhirnya merumuskan teorema-teorema. Selain itu, matematika memiliki konsep struktur dan hubungan-hubungan yang banyak menggunakan simbol-simbol. Simbol-simbol matematika sangat bermanfaat untuk mempermudah cara kerja berpikir, karena simbol-simbol dapat digunakan untuk mengkomunikasikan ide-ide, dengan jalan memahami karakteristik matematika (Hamzah B.Uno, 2012:54).
Hakikat belajar matematika didasarkan pada pandangan konstruktivisme, yakni anak yang belajar matematika dihadapkan pada masalah tertentu berdasarkan konstruksi pengetahuan yang diperolehnya ketika belajar dan anak berusaha memecahkannya (Hamzah B.Uno, 2012:54). Mengingat matematika memiliki beberapa unit yang satu sama lain saling berhubungan, maka yang penting dalam belajar matematika adalah bagaimana kemampuan seseorang dalam memecahkan masalah matematika.
Kenyataan di lapangan siswa hanya menghafal konsep dan kurang mampu menggunakan konsep tersebut jika menemui masalah dalam kehidupan nyata yang berhubungan dengan konsep yang dimiliki. Bahkan siswa kurang mampu menentukan masalah dan merumuskannya. Sebagian besar siswa kurang mampu menghubungkan antara apa yang mereka pelajari dengan begaimana pengetahuan tersebut akan dimanfaatkan atau diaplikasikan pada situasi baru.
Persoalan sekarang adalah bagaimana menemukan cara yang terbaik untuk
menyampaikan berbagai konsep yang diajarkan sehingga siswa dapat menggunakan dan mengingat lebih lama konsep tersebut. Bagaimana guru dapat berkomunikasi baik dengan siswanya. Bagaimana guru dapat membuka wawasan berpikir yang beragam dari seluruh siswa, sehingga dapat mempelajari berbagai konsep dan cara mengaitkannya dalam kehidupan nyata. Bagaimana guru yang baik dan bijaksana mampu menggunakan model pembelajaran yang berkaitan dengan cara memecahkan masalah (Trianto, 2007:65-66). Misalnya permasalahan penerapan teorema pythagoras tentang bangun datar utamanya, siswa merasa bingung menerapkan konsep ketika menghadapi suatu soal. Ketika dihadapkan pada sebuah soal mereka sudah mengerti, namun apabila soalnya diganti siswa kembali bingung untuk mengerjakannya. Sehingga jawaban siswa menjadi tidak benar karena minimnya pemahaman pada konsep Pythagoras.
KAJIAN TEORI
A. Pandangan Tentang Strategi Pembelajaran
Terdapat berbagai pendapat tentang strategi pembelajaran sebagaimanan dikemukakan oleh para ahli pembelajaran, diantaranya dipaparkan sebagai berikut.
1. Konza secara umum menjelaskan bahwa strategi pembelajaran dapat diartikan sebagai setiap kegiatan yang dipilih, yaitu yang dapat memberikan fasilitas atau bantuan kepada peserta didik menuju ketercapaiannya tujuan pembelajaran tertentu.
2. Gerlach dan Ely, menjelaskan bahwa strategi pembelajaran merupakan cara-cara yang dipilih untuk menyampaikan metode pembelajaran dalam lingkungan pembelajaran tertentu. Selanjutnya dijabarkan oleh mereka bahwa strategi pembelajaran dimaksud meliputi sifat lingkup dan urutan kegiatan pembelajaran yang
3
dapat memberikan pengalaman belajar peserta didik
3. Gropper, mengatakan bahwa strategi pembelajaran merupakan pemilihan atas berbagai jenis latihan tertentu yang sesuai dengan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai. Ini menegaskan bahwa setiap tingkah laku yang diharapkan dapat dicapai oleh peserta didik dalam kegiatan belajarnya harus dapat dipraktikkan.
Memperhatikan beberapa pengertian strategi pembelajaran di atas, dapat disimpulkan bahwa strategi pembelajaran merupakan cara-cara yang akan dipilih dan digunakan oleh seorang pengajar untuk menyampaikan materi pembelajaran sehingga akan memudahkan peserta didik menerima dan memahami materi pembelajaran, yang pada akhirnya tujuan pembelajaran dapat dikuasainya di akhir kegiatan belajar (Hamzah B.Uno, 2012:4).
Metode pembelajaran diartikan sebagai cara yang digunakan guru yang dalam menjalankan fungsinya merupakan alat untuk mencapai tujuan pembelajaran. Metode pembelajaran lebih bersifat prosedural, yaitu berisi tahapan tertentu .
B. Kriteria Pemilihan Strategi Pembelajaran
Pemilihan strategi pembelajaran yang akan digunakan dalam proses pembelajaran harus berorientasi pada tujuan pembelajaran yang akan dicapai. Selain itu, juga harus disesuaikan dengan jenis materi, karakteristik peserta didik, serta situasi atau kondisi dimana proses pembelajaran tersebut akan berlangsung. Terdapat beberapa metode dan teknik pembelajran yang dpaat digunakan oleh guru, tetapi tidak semuanya sama efektifnya dapat mencapai tujuan pembelajaran. Untuk itu dibutuhkan kreatifitas guru dalam memilih strategi pembelajaran tersebut.
Menurut Mager dalam Hamzah B.Uno (2012:7-8) menyampaikan beberapa kriteria yang dapat digunakan
dalam memilih strategi pembelajaran, yaitu sebagai berikut.
1. Berorientasi pada tujuan pembelajaran
2. Pilih teknik pembelajaran sesuai dengan keterampilan yang diharapkan dapat dimiliki saat bekerja nanti (dihubungkan dengan dunia kerja).
3. Gunakan media pembelajaran yang sebanyak mungkin memberikan rangsangan pada indra peserta didik. Artinya, dalam satuan-satuan waktu yang bersamaan peserta didik dapat melakukan aktifitas fisik maupun psikis.
Kriteria pemilihan strategi pembelajaran hendaknya dilandasi prinsip efisiensi dan efektivitas dalam mencapai tujuan pembelajaran dan tingkat keterlibatan peserta didik.
Sebagai guru matematika kita memerlukan metode mengajar agar mengajar sebagai proses memberi perlakuan kepada peserta didik lebih terarah, teratur dan tidak sembarangan atau asal mengajar saja. Keteraturan dalam mengajar itu diperlukan kalau kita ingin tujuan belajar secara efektif tercapai (M. Ali Hamzah dan Muhlisraini, 2014:258-259).
C. Metode Pembelajaran Pemahaman Konsep
Pemahaman atau comprehension diartikan sebagai kemampuan untuk menangkap pengertian dari sesuatu. Hal ini dapat dipertunjukkan dalam bentuk menerjemahkan sesuatu, misalnya angka menjadi kata atau sebaliknya, menafsirkan sesuatu dengan cara menjelaskan atau membuat intisari, dan memperkirakan kecenderungan pada masa yang akan datang (Harjanto, 2005:60). Sedangkan konsep adalah suatu kelas atau kategori stimuli yang memiliki ciri-ciri umum. Stimuli adalah objek-objek atau orang (Oemar Hamalik, 2009:162). Selanjutnya setelah kita mengetahui pengertian tentang pemahaman dan konsep maka sebelum
4
siswa memahami suatu konsep tertentu siswa harus mengerti dari mana konsep tersebut diperoleh.
Pendekatan pembelajaran perolehan konsep berdasarkan karya Jerome Brunner, Jacqueline Goodnow, dan George Austin Brunner. Goodnow dan Austin yakin bahwa lingkungan sekitar manusia beragam, dan sebagai manusia kita harus mampu membedakan, mengkategorikan dan menanamkan semua itu. Kemampuan manusia dalam membedakan, mengkategorikan dan menanamkan sesuatu inilah yang menyebabkan munculnya sebuah konsep (Hamzah B. Uno, 2012:10). Misalnya konsep segitiga adalah bentuk bidang yang jumlah sudutnya 180o, mempunyai tiga sisi. Jadi, manusia mengkategorikan suatu konsep berdasarkan ciri-ciri (atribut) yang dimilikinya. Atas dasar pandangan tersebut maka kemampuan siswa dalam memahami suatu konsep menjadi bagian fundamental dari sistem persekolahan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode pemahaman konsep merupakan suatu metode pembelajaran yang bertujuan untuk membantu siswa memahami suatu konsep tertentu.
Ada beberapa faktor yang memengaruhi pemahaman konsep yaitu kondisi internal dan eksternal. Kondisi internal adalah kondisi dalam diri peserta didik, mengerti sifat yang terkandung dalam konsep, dapat mengenal dan membedakan dengan yang lain. Kondisi eksternal disiapkan oleh pengajar. Peserta didik mempelajari konsep melalui: definisi, observasi, mendengar, melihat, memegang, mendiskusikan, memikirkan bermacam-macam konsep dan bukan konsep.
Pemahaman penguasaan konsep dapat melalui proses persepsi (tanggapan), abstraksi (daya untuk memperoleh pengertian dan membedakan satu dengan lainnya), generalisasi (penggunaan pengertian yang dimiliki) (M. Ali Hamzah dan Muhlisraini, 2014:259-260).
D. Ciri-ciri Konsep
1. Atribut konsep adalah sifat yang membedakan antara satu konsep dengan konsep lainnya. Adanya keragaman antara konsep-konsep ditandai oleh adanya atribut yang berbeda
2. Atribut nilai-nilai, adanya variasi-variasi yang terdapat pada suatu atribut. Konsep menjadi bermacam-macam karena jumlah nilai yang berbeda.
3. Jumlah atribut juga bermacam-macam antara satu konsep dengan konsep lainnya. Jadi, semakin kompleks suatu konsep semakin banyak jumlah atributnya dan semakin sulit untuk mempelajarinya. 4. Kedominanan atribut, menunjuk pada kenyataan bahwa beberapa atribut lebih dominan dari pada yang lainnya. Jika atributnya nyata, maka lebih mudah menguasai konsep dan jika atributnya tidak nyata maka sulit untuk menguasai suatu konsep (Oemar Hamalik, 2009:162-163).
E. Jenis-jenis Konsep
Jenis-jenis konsep dibagi menjadi tiga jenis, yaitu conjuctive concepts,
disjunctive concept, dan relational concepts.
Konsep konjungtif, nilai-nilai tertentu dari berbagai atribut disajikan bersama-sama. Nilai-nilai dan atribut ditambahkan bersama untuk menghasilkan suatu konsep konjungtif. Konsep konjungtif sangat mudah dipelajari dan diajarkan karena hanya menambah antara atribut dan nilai-nilai.
Konsep disjungtif, sesuatu yang dapat dirumuskan dalam sejumlah cara yang berbeda-beda. Antara atribut-atribut dan nilai-nilai dapat disubstitusikan antara yang satu dengan yang lainnya. 5. Konsep hubungan, yakni suatu
konsep yang mempunyai hubungan-hubungan khusus antar atribut. Misalnya konsep jarak dan konsep arah. Jarak menunnjuk pada hubungan antara dua titik, yakni
5
terdapat dua titik yang terpisah arah, juga menunjukkan hubungan antara dua titik gerakan dari satu titik ke titik lainnya (Oemar Hamalik, 2009:163-164).
F. Prosedur Pengajaran Konsep
Ada tujuh langkah yang perlu diikuti dalam mengajarkan konsep yaitu sebagai berikut.
1. Tetapkan perilaku yang diharapkan diperoleh oleh siswa setelah mempelajari konsep
Perilaku yang diharapkan dalam mempelajari konsep
merupakan kemampuan
mengidentifikasi dengan tepat dan benar contoh-contoh konsep yang baru. Misalnya dengan mengidentifikasi objek-objek langsung.
Untuk mengetahui apakah siswa telah mengetahui suatu konsep, terdapat empat hal yang dapat perlu diperhatikan.
a) Siswa dapat menyebutkan nama contoh-contoh konsep apabila siswa melihatnya
b) Siswa dapat menyatakan ciri-ciri konsep tersebut
c) Siswa dapat memilih, membedakan antara contoh-contoh dari yang bukan contoh-contoh d) Siswa lebih mampu
memecahkan masalah yang berkenaan dengan konsep tersebut.
2. Mengurangi banyaknya atribut yang terdapat dalam konsep yang kompleks dan menjadi atribut-atribut penting dominan
Guru perlu melakukan kajian terhadap konsep dan menetapkan yang mana yang akan diajarkan kepada siswa. Setelah itu guru merancang prosedur mengajarkan konsep tersebut.
3. Menyediakan mediator verbal yang berguna bagi siswa
Pada langkah ini guru terlebih dahulu perlu mengetahui sampai
dimana pengetahuan siswa tentang konsep. Setelah itu, guru perlu memberikan tes awal untuk mengetahui pemahaman siswa. Apabila ternyata ada sejumlah siswa yang tidak mengetahui suatu konsep maka guru dapat menggunakan salah satu atau beberapa prosedur berikut ini.
a) Apabila semua siswa belum memahami konsep, maka keseluruhan kelas perlu diadakan review
b) Siswa yang telah mengetahui konsep bertindak sebagai tutor terhadap siswa lainnya, terutama jika jumlah yang telah mengetahui dan yang belum mengetahui konsep seimbang atau sama
c) Memberikan review kepada siswa secara individual misalnya dalam jam-jam kantor.
4. Memberikan contoh-contoh yang positif dan yang negatif mengenai konsep
Contoh-contoh positif dan negatif tentang konsep adalah kondisi yang penting dalam mempelajari konsep. Suatu contoh positif adalah sesuatu yang berisikan atribut-atribut tentang konsep. Suatu contoh negatif adalah sesuatu yang tidak berisikan satu atau lebih atribut.
Dalam menggunakan contoh-contoh positif dan negatif hendaknya dipetimbangkan hal-hal berikut. a) Banyaknya contoh-contoh
positif dan negatif yang dipergunakan dalam pengajaran suatu konsep
b) Derajat kemanfaatan dari contoh-contoh tersebut
c) Derajat kenyataan (realisme) yang terkandung dalam contoh-contoh yang digunakan.
5. Menyajikan contoh-contoh
Ada tiga cara yang dapat ditempuh dalam penyajian
contoh-6
contoh kepada siswa, yaitu sebagai berikut.
a) Penyajian bertahap (successive
presentation), suatu contoh dipertunjukkan kemudian dipertunjukkan contoh lainnya b) Kondisi fokus, dua contoh
disajikan bersama-sama misalnya dua contoh positif atau satu positif dan satu lagi negatif c) Penyajian simultan, tiap contoh
baru dipertunjukkan bersama dengan semua contoh yang telah dipertunjukkan sebelumnya.
Cara yang paling baik diterapkan adalah cara yang ketiga karena siswa tidak perlu mengungkapkan kembali contoh-contoh sebelumnya. Penyajian bertahap juga ada baiknya karena pada satu waktu siswa didorong perhatiannya pada satu hal saja, siswa lebih mudah merancang penyajian secara verbal atau visual atau auditif dalam menyampaikan informasi yang diperlukan oleh siswa untuk menguasai suatu konsep. 6. Sambutan siswa dan penguatan
(reinforcement)
Dalam belajar konsep, penguatan terutama memberikan informasi balikan agar siswa dapat memisahkan antara contoh positif dan contoh negatif. Penguatan yang lebih banyak dan sering akan lebih mempercepat belajar konsep dibandingkan dengan melakukan penguatan secara sebagian-sebagian. 7. Menilai belajar konsep
6. Langkah ini berfungsi sebagai kegiatan penilaian terhadap penguasaan konsep oleh siswa, dan sekaligus dapat berfungsi sebagai penguatan atau umpan balik untuk perbaikan selanjutnya (Oemar Hamalik, 2009:166-169).
G. Teorema Pythagoras
Ketika kita ingin menerapkan metode pembelajaran matematika dalam rangka menanamkan konsep matematika,
ada pengertian yang abstrak pada
matematika. Kita dapat
mengklasifikasikan objek dan kejadian, konsep dan bukan konsep. Misalkan membahas garis sebagai konsep, ada bentuk lurus dan lengkung, tebal dan tipis. Bujur sangkar persegi panjang, segitiga jajar genjang. Suatu konsep dapat ditunjukkan dengan suatu yang konkret dan abstrak (M. Ali Hamzah dan Muhlisraini, 2014:259). Misalkan bila memberi pengertian tentang konsep kubus, prasyaratnya tahu tentang sisi, sudut, bujur sangkar, garis dan titik.
Menanamkan konsep Pythagoras melalui metode pemahaman konsep dengan cara perolehan konsep dirasa adalah metode yang paling tepat untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan bangun datar. Sebelum menyelesaikan masalah tersebut, sebaiknya terlebih dahulu kita mengenal penemu teorema Pythagoras tersebut.
Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569–475 sebelum Masehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain. Untuk mengenang jasa beliau, maka dalil tersebut diberi nama dalil Pythagoras (M. Mukti Aji & Nur Akhsin, 2005:28).
Teorema Pythagoras banyak sekali digunakan dalam perhitungan bidang matematika yang lain. Misalnya, menghitung panjang sisi-sisi segitiga, menentukan diagonal pada bangun datar, sampai perhitungan diagonal ruang pada suatu bangun ruang.
PEMBAHASAN
A. Pemahaman Konsep Pada Teorema Pythagoras
Penyelesaian persoalan bangun datar dengan Teorema Pythagoras meliputi penentuan panjang diagonal dan panjang sisi lainnya dari bangun datar tersebut. Sebelum mempelajari tentang
7
teorema phytagoras, maka siswa harus menguasai materi mengenai segitiga, segiempat, sudut, bilangan kuadrat, serta akar kuadrat. Mari kita mengingat kembali pelajaran kelas VII tentang luas persegi dan luas segitiga siku-siku. Namun sebelum menghitung luas persegi dan luas segitiga, terlebih dahulu mari kita mengenal tentang jenis-jenis segitiga:
1. Jenis-jenis segitiga berdasarkan besar sudutnya
a) Segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang besar salah satu sudutnya 90o
b) Segitiga lancip, yaitu segitiga yang besar sudutnya kurang dari 90o
c) Segitiga tumpul, yaitu segitiga yang besar salah satu sudutnya lebih dari 90o.
2. Jenis segitiga berdasarkan panjang sisinya
a) Segitiga sama sisi, yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang
b) Segitiga sama kaki, yaitu segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang
c) Segitiga sebarang, yaitu segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang satu sama lain
3. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-siku
Mengingat kembali materi sebelumnya yakni tentang luas persegi dan luas segitiga. Persegi adalah segi empat yang keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku. Pada gambar di atas tampak sebuah persegi ABCD yang panjang sisi-sisinya s satuan panjang.
Luas persegi ABCD = sisi sisi L = s s
L = s2 satuan luas
Pada gambar di atas terdapat sebuah persegi panjang PQRS yang panjangnya p dan lebarnya l satuan. Diagonal QS membagi persegi panjang PQRS menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu PQS dan QRS. Adapun luas PQS sama dengan luas QRS sehingga diperoleh
Luas PQS = luas QRS
= ½ luas persegi panjang PQRS Karena persegi panjang PQRS berukuran p dan lebar l, luas PQS = ½ p l atau luas segitiga
siku-siku
= ½ alas tinggi (Sukino & Wilson Simangunsong, 2005:163).
Kegiatan ini dilakukan untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa tentang konsep segitiga karena luas persegi dan luas segitiga siku-siku sangat bermanfaat dalam menemukan teorema Pythagoras. Berikut kegiatan yang dapat dilakukan guru dengan siswa untuk menemukan teorema pythagoras. Untuk menemukan teorema Pythagoras guru dapat menyuruh siswa melakukan kegiatan berikut. Tujuannya adalah agar siswa dapat menemukan sendiri konsep pythagoras. Caranya sebagai berikut: 1. Guru menyuruh siswa menggambar
dua buah persegi berukuran (b + a) cm. Kemudian, pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga siku dengan panjang sisi siku-sikunya b cm dan a cm.
2. Dari gambar yang telah digambarkan, terbentuk empat buah
P Q R S l p A B C D s
8
segitiga siku-siku dan sebuah persegi. Sisi pada persegi kita namakan sisi c. Guru membimbing dan memberikan contoh kepada siswa untuk mengarsir keempat sisi tersebut seperti pada gambar (1).
3. Dari gambar (1) yang telah digambar, siswa dapat menyimpulkan bahwa
Luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku = 4 ½ a b
= 2ab
Dan luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi PQRS
= c c = c2
Jadi, luas persegi ABCD adalah luas empat segitiga siku-siku ditambah luas persegi PQRS yaitu, L = 2ab +
c2
4. Selanjutnya pada kertas kedua, guru menyuruh siswa membuat kembali persegi dengan sisi EFGH berukuran sama seperti gambar (1) yaitu (b + a) cm. Pada dua buah sudutnya buatlah empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk dua persegi panjang berukuran (b x a) cm dan dua buah persegi berukuran (a x a), (b x b) cm. Seperti yang dilakukan pada gambar (1), gambar keempat segitiga diarsir.
5. Dari gambar (2) siswa dapat mengetahui bahwa luas persegi EFGH sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh
Luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang = 2 b a
= 2ab
Luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN + luas OFML = (b b) + (a a)
= b2 + a2
Luas persegi EFGH = 2ab + b2 + a2 Dari kegiatan pada gambar (1) dan (2) guru dan siswa dapat menyimpulkan bahwa ukuran persegi ABCD = ukuran persegi EFGH, sehingga diperoleh
Luas persegi ABCD = luas persegi EFGH
2ab + c2 = 2ab + a2 + b2 c2 = a2 + b2
(
Dewi Nuharini & Tri Wahyuni, 2008:118-119)Dari kegiatan ini maka siswa dapat mengetahui sifat segitiga siku-siku, yaitu pada setiap segitiga siku-siku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Sifat inilah yang kemudian dikenal dengan dalil Pythagoras (Heru Nugroho & Lisda Meisaroh, 2009:98).
Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi siku-siku dan sebuah sisi miring (hipotenusa). Gambar ABC pada
b a b b b a a a A R B S C D P Q c c c c (1) a a a a b b b b b b c c E F G H K L M N O (2)
9
gambar di bawah ini siku-siku di c. Sisi di depan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa), sedangkan sisi yang lainnya disebut sisi siku-siku. Panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku mempunyai hubungan tertentu.
Untuk mempermudah siswa dalam memahami teorema, maka dapat dilakukan dengan cara seperti di bawah ini.
Pada gambar di atas kita dapat menghitung panjang sisi miring (hypotenusa) dengan langkah berikut: (i) Tentukan luas daerah persegi dengan
panjang sisi-sisinya 32 = 9
42 = 16
(ii) Jumlah kedua ruas tersebut digunakan untuk memperoleh luas persegi pada hipotenusa.
h2 = 9 + 16 = 25
(iii) Kita hitung akar kuadrat dari nilai tersebut untuk memperoleh panjang hypotenusa
h = √ = 5 jadi, panjang sisi miring
dari segitiga siku-siku tersebut adalah 5 satuan.
B. Penerapan Teorema Pythagoras
1. Penerapan Teorema Pythagoras pada sisi-sisi segitiga
Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan jenis-jenis segitiga. Sebagaimana yang
telah siswa pelajari, berdasarkan besar sudutnya segitiga dibagi menjadi tiga jenis, yaitu segitiga tumpul, segitiga siku-siku, dan segitiga lancip.
a) Segitiga lancip
Kuadrat dari sisi terpanjang adalah 62 = 36
Jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lain: 42 + 52 = 16 + 25 = 41
Ternyata, kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Dalam segitiga lancip berlaku:
62 < 42 + 52
AC2 < AB2 + BC2 b) Segitiga siku-siku
Kuadrat dari sisi terpanjang adalah 102 = 100
Jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lain: 62 + 82 = 36 + 64 = 100
Ternyata, kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Jadi, dalam segitiga siku-siku berlaku: 102 = 62 + 82 AC2 = AB2 + BC2 c) Segitiga tumpul A B C a b c h 6 cm 4 cm 5 cm 8 cm 6 cm 10 cm 12 cm 5 cm 8 cm
10 Kuadrat sisi terpanjang 122 =
144
Jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lain: 52 + 82 = 25 + 64 = 89
Ternyata, kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi yang lain. Jadi, dalam segitiga tumpul berlaku:
122 > 52 + 82
AC2 > AB2 + BC2
Dari penjelasan di atas dapat diketahui bahwa segitiga lancip dan segitiga tumpul tidak dapat digunakan untuk menemukan teorema Pythagoras. Jadi, segitiga yang dapat digunakan untuk menemukan teorema Pythagoras adalah segitiga siku-siku (Nuniek Avianti Agus, 2007:95-98).
2. Penerapan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar
Penerapan teorema Pythagoras dalam perhitungan bangun datar misalnya, menghitung panjang diagonal, menghitung sisi miring trapesium, dan lain sebagainya. Untuk mengetahui seberapa besar pemahaman siswa tentang teorema pythagoras guru memberikan beberapa contoh soal untuk dikerjakan siswa.
Contoh 1:
Perhatikan gambar persegi panjang ABCD, di bawah ini. Diketahui ukuran panjang dan lebar persegipanjang tersebut berturut-turut adalah 15 cm dan 8 cm.
Tentukan:
1) luas persegipanjang ABCD, 2) panjang diagonal BD, 3) panjang BE.
Penyelesaian :
1) Seperti yang sudah diketahui luas persegi adalah
L = p x l = 15 x 8 = 120 cm2
Jadi, luas persegi ABCD adalah 120 cm2
2) Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka panjang diagonal BD = panjang sisi miring pada segitiga BCD sehingga BD2 = BC2 + CD2 = 152 + 82 = 289 BD = √ = 17
Jadi, panjang diagonal BD adalah 17 cm.
3) Panjang garis BE adalah ½ kali panjang diagonal BD, panjang BD sudah diketahui sebesar 17 cm sehingga: panjang BE = ½ × panjang diagonal BD = ½ × 17 = 8,5 Jadi, panjang BE = 8,5 cm. Contoh 2:
Pada gambar segitiga siku-siku ABC, agar memenuhi teorema Pythagoras tentukan:
1) Nilai x 2) Panjang AB 3) Panjang BC 4) Luas segitiga ABC
Penyelesaian:
1) Diketahui panjang AB adalah 5x cm dan panjang BC adalah 6x cm dan panjang AC adalah
A B C D E 15 cm 8 cm A B C 5x cm 6x cm √ cm
11 √ cm. Dengan menggunakan teorema Pythagoras AC2 = AB2 + BC2 AC = √ √ = √( ) ( ) √ = √ √ = √ 244 = 61x2 x2 = 4 x = 2 Jadi, nilai x = 2
2) Karena nilai x = 2 sudah diketahui sehingga panjang AB = 2 5 = 10 cm
3) Panjang BC = 2 6 = 12 cm 4) Luas ABC = ½ panjang AB
panjang BD
= ½ 10 12 = 60 cm2
Jadi, luas segitiga ABC adalah 60 cm2.
Contoh 3:
Diketahui segitiga sama kaki seperti gambar di samping. Panjang AB = 6 cm, AC = BC = 5. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh tinggi CD = 4. Luas segitiga ACD adalah 6 cm2.
Apabila segitiga tersebut diputar 90o sehingga seperti gambar berikut maka tentukan :
1) Panjang DF
2) Luas segitiga CAD
Penyelesaian:
1) Untuk mengetahui panjang DF kita dapat menggunakan perbandingan sisi-sisinya pada segitiga CAD dan segitiga ABC.
DF = DF = 2,4 cm
Jadi, panjang DF adalah 2,4 cm 2) Luas ACD = ½ 5 2,4 = 6
cm2.
Jadi, luas segitiga ACD adalah 6 cm2.
PENUTUP A. Kesimpulan
1. Pemahaman Konsep pada Teorema Pythagoras
Berdasarkan pembahasan dapat disimpulkan bahwa: penyelesaian persoalan bangun datar dengan Teorema Pythagoras meliputi penentuan panjang diagonal dan panjang sisi lainnya dari bangun datar. Sebelum menemukan Teorema Pythagoras guru dapat menjelaskan unsur-unsur yang terdapat dalam teorema Pythagoras misalnya jenis-jenis segitiga, luas persegi dan luas segitiga. Kegiatan ini dilakukan untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa tentang konsep segitiga karena luas persegi dan luas segitiga siku-siku yang sangat bermanfaat dalam menemukan
A B C D 6 cm 5 cm 5 cm E F 4 cm D C A F 5 cm 4 cm 3 cm A B C D 6 cm 5 cm 5 cm 4 cm
12
teorema Pythagoras. Pembuktian teorema Pythagoras dapat dilakukan dengan menggambar.Tujuan kegiatan tersebut adalah agar siswa dapat memahami konsep Pythagoras sehingga dapat diterapkan dalam penyelesaian masalah bangun datar.
Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi siku-siku dan sebuah sisi miring (hipotenusa). Sifat segitiga siku-siku yaitu pada setiap segitiga siku-siku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Sifat inilah yang kemudian dikenal dengan dalil Pythagoras.
2. Penerapan Teorema Pythagoras Segitiga yang dapat digunakan dalam menentukan teorema pythagoras adalah segitiga siku-siku karena kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Penerapan teorema Pythagoras dalam perhitungan bangun datar misalnya, untuk menghitung panjang diagonal, menghitung sisi miring trapesium, dan lain sebagainya. Dengan menggunakan teorema Pythagoras siswa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku.
B. Saran
Berdasarkan simpulan di atas, maka saran yang dapat disampaikan adalah: 1) Bagi Guru antara lain: a) Dalam kegiatan pembelajaran matematika, guru diharapkan dapat mengajarkan kepada peserta didik tentang penguasaan konsep suatu materi, b) Guru diharapkan dapat mengajarkan tentang hubungan suatu materi dengan materi lain, salah satunya adalah materi Pythagoras dengan materi luas bangun datar, 2) Bagi peserta didik adalah peserta didik diharapkan dapat menguasai konsep matematika yang diajarkan oleh guru sehingga dapat memecahkan masalah yang berhubungan dengan kemampuan menyelesaikan soal bangun datar.
DAFTAR RUJUKAN
[1] Aji, M. Mukti & Nur Akhsin, 2005.
Matematika Untuk Kelas VIII SMP dan MTS. Klaten: PT. Intan Pariwara.
[2] Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah
Belajar Matematika 2 Untuk Kelas VIII Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional.
[3] Hamalik, Oemar. 2009. Perencanaan
Pengajaran Berdasarkan Pendekatan Sistem, Jakarta: PT. Bumi Aksara.
[4] Hamzah, M. Ali & Muhlisraini. 2014.
Perencanaan dan Strategi Pembelajaran Matematika, Jakarta: PT.
Raja Grafindo Persada.
[5] Harjanto, 2005. Perencanaan Pengajaran. Jakarta: PT. Rineka Cipta.
[6] Nugroho, Heru & Lisda Meisaroh. 2009. Matematika SMP dan MTs Kelas
VII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
[7] Nuharini, Dewi & Tri Wahyuni. 2008.
Matematika Konsep dan Aplikasinya Untuk Kelas VIII SMP dan MTs.
Jakarta: Pusat Pebukuan Departemen Pendidikan Nasional.
[8] Sukino & Wilson Simangunsong. 2005.
Matematika Untuk SMP Kelas VIII.
Jakarta: Erlangga.
[9] Trianto, 2007. Model-model Pembelajaran Inovatif Berorientasi Konstruktivistik. Jakarta: Prestasi Pustaka Publisher.
[10] Uno, Hamzah B.. 2012. Model Pembelajaran Menciptakan Proses Belajar Mengajar yang Kreatif dan Efektif. Jakarta: PT. Bumi Aksara.
