T
URUNAN DALAMR
UANGD
IMENSI-
n
A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata)
secara aljabar (melalui rumus eksplisit)
secara visual (melalui grafik atau kurva ketinggian)
Suatu fungsi dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan sebuah bilangan riil unik pada masing-masing pasangan bilangan terurut bilangan riil (x,y) di dalam sebuah himpunan
D; dan bilangan riil unik tersebut dinyatakan oleh f (x,y). Himpunan D merupakan daerah asal (domain) dari f.
Himpunan nilai yang digunakan f merupakan daerah hasil (range) dari f. Dengan kata lain,
f x y( , ) | ( , )x y D
Jika z f x y( , ), maka x dan y merupakan variabel bebas (independent variables) sementara z merupakan variabel tak bebas (dependent variable).
Fungsi dua variabel tidak lain adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bagian dari ℝ2 dan daerah nilainya merupakan himpunan bagian dari ℝ. Perhatikan contoh berikut.
>> Contoh 1
Misalkan 2 2
( , ) 9
f x y x y .
a. Hitunglah f(1, 2).
b. Carilah daerah asal fungsi f. c. Carilah daerah hasil fungsi f. Jawab:
a. 2 2
(1, 2) 9 1 2 4 2
f
b. Fungsi f tidak akan terdefinisi jika kurang dari 0. Jadi,
( , ) 0
f x y → 2 2
9x y 0
2 2 9x y 0
2 2
9x y 2 2
9
x y
Dengan demikian,
2 2
( , ) | 9
D x y x y .
2 2
9
x y
– 3
– 3 3
3
y
c. Misalkan 2 2
( , ) 9
z f x y x y . Karena z merupakan akar kuadrat positif, maka 0
z . Dan,
2 2
9x y 9 → 2 2
9x y 3 → z3. Jadi, daerah hasilnya adalah:
z| 0 z 3
f x y( , ) | 0 f x y( , ) 3
.Cara lain untuk meninjau perilaku suatu fungsi dua variabel adalah dengan meninjau grafik.
Jika f adalah suatu fungsi dua variabel dengan daerah asal D, maka grafik f adalah himpunan semua titik (x,y,z) di ℝ3 sedemikian sehingga z = f (x,y) dan (x,y) berada di D.
>> Contoh 2
Sketsakan grafik fungsi z f x y( , ) 6 3 x2y. Jawab:
Grafik f mempunyai persamaan z 6 3x2y atau 3x2y z 6 yang menyatakan bidang. Bagian dari grafik ini terletak pada oktan pertama, yang disketsakan pada gambar berikut.
>> Contoh 3
Sketsakan grafik fungsi 1 2 2 3 36 9 4
z x y .
Jawab:
Perhatikan bahwa z0. Jika kedua ruasnya dikuadratkan dan kemudian disederhanakan,
maka diperoleh 2 2 2
9x 4y 9z 36 atau
2 2 2 1
4 9 4
x y z
yang berbentuk elipsoida. Grafik
fungsinya adalah setengah bagian atas dari elipsoida, yang disketsakan pada gambar berikut.
2 2
1
3 36 9 4
z x y
(0,0,6)
(0,3,0) (2,0,0)
z
y
Suatu sketsa yang berpadanan dengan grafik dari fungsi dua variabel z f x y( , )
seringkali sukar dibuat dalam ruang dimensi-3, sehingga sketsa dalam ruang dimensi-2 dibuat. Setiap bidang horizontal z = c memotong permukaan pada suatu kurva. Proyeksi dari perpotongan ini pada bidang xy disebut sebagai suatu kurva ketinggian, dan koleksi dari kurva-kurva ketinggian tersebut disebut sebagai suatu peta kontur.
>> Contoh 4
Gambarkan peta kontur untuk permukaan yang mempunyai fungsi 1 2 2 3 36 9 4
z x y
dengan z0, z1, z1,5, z1, 75, dan z2. Jawab:
Saat z0, diperoleh 2 2
9x 4y 36 atau
2 2 1 4 9
x y
yang berbentuk elips.
Saat z1, diperoleh 9x24y2 27 atau
2 2
27 4
1 3
x y
yang berbentuk elips.
Saat z1,5, diperoleh 2 2 63
9 4
4
x y atau
2 2
63 63 36 16
1
x y
yang berbentuk elips.
Saat z1,75, diperoleh 2 2 135
9 4
16
x y atau
2 2
135 135 144 64
1
x y
yang berbentuk elips.
Saat z2, diperoleh 2 2
9x 4y 0 yang berbentuk titik. Bidang
z = c
Kurva Ketinggian
f (x,y) = c
Permukaan
z = f (x,y)
Suatu fungsi tiga variabel adalah aturan yang memberikan sebuah bilangan riil unik kepada
Notasi untuk turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel adalah sebagai berikut. Jika z f x y( , ), maka:
Simbol merupakan simbol untuk turunan parsial dalam matematika.
Aturan untuk pencarian turunan parsial dari z f x y( , ) adalah sebagai berikut. Untuk mencari fx, pandang y sebagai konstanta dan diferensialkan f x y( , ) terhadap x.
-2 8 turunan parsial. Demikian seterusnya, sampai turunan parsial ke-n, diperoleh 2n
turunan parsial.
>> Contoh 6
Tentukan turunan parsial kedua dari 3 2 ( , ) y sin x
Perhatikan pada Contoh 6 bahwa fxy fyx. Hal ini merupakan kasus khusus yang memiliki
kriteria sebagai berikut.
Teorema 1 Teorema Clairaut
Misalkan fxy dan fyx merupakan fungsi yang kontinu pada suatu himpunan buka S. Maka, dengan cara yang serupa.
C. Limit dan Kontinuitas
Berikut ini adalah definisi formal dari limit fungsi dua variabel.
( , )x ylim( , )a b f x y( , )L berarti jika untuk setiap bilangan 0, terdapat 0 sedemikian
Ada beberapa fungsi yang memerlukan penangan khusus. Perhatikan Contoh 9 berikut.
>> Contoh 9
. Pertama, hampiri (0,0) sepanjang sumbu-x, yang berarti bahwa
0
memiliki dua limit yang berbeda, maka
2 2
Fungsi polinomial dua variabel:
1 1
Fungsi rasional dua variabel:
Teorema 2
Berdasarkan Teorema 2, maka dapat dikatakan bahwa
2 2 Selanjutnya akan dibahas mengenai fungsi kontinu.
Fungsi dua variabel f x y( , ) disebut kontinu di (a,b) jika
Teorema 3 (Fungsi Komposisi)
Fungsi 3 2
( , ) 4
g x y x xyy , yang merupakan suatu fungsi polinom, adalah kontinu di mana-mana. Demikian pula dengan f t( ) cos t kontinu di setiap bilangan t pada ℝ. Berdasarkan Teorema 3, dapat disimpulkan bahwa f (x,y) = (f (g(x,y)) kontinu di semua titik (x,y) pada bidang.
D. Keterdiferensialan
Suatu fungsi f dikatakan dapat terdiferensialkan di 𝒑 jika terdapat suatu vektor 𝒎 sedemikian sehingga
f (𝒑 + 𝒉) = f (𝒑) + 𝒎 𝒉+|𝒉| 𝜀(𝒉)
dengan 𝜀 𝒉 →0 saat 𝒉 → 𝟎.
Jika vektor 𝒎 ada, maka sifatnya unik (tunggal). Vektor 𝒎 ini disebut sebagai vektor gradien f di 𝒑 dan dilambangkan ∇f (𝒑) [baca: grad f ]. Jadi, jika fungsi f terdiferensialkan di 𝒑 maka fungsi f memiliki gradien ∇f (𝒑) dan
f (𝒑 + 𝒉) = f (𝒑) + ∇f (𝒑) 𝒉+|𝒉| 𝜀(𝒉)
dengan 𝜀 𝒉 →0 saat 𝒉 → 𝟎.
Dari definisi di atas, dapat ditarik beberapa aspek, yaitu:
1) Turunan f x( ) merupakan suatu bilangan, sedangkan gradien ∇f (𝒑) merupakan suatu vektor.
2) ∇f (𝒑) 𝒉merupakan hasil kali titik dari dua vektor. 3) Definisi tersebut memiliki arti pada sembarang dimensi.
Teorema 4
Jika f fungsi dua variabel terdiferensialkan di 𝒑 = x y, , maka turunan parsial pertama dari
f ada di 𝒑 dan
∇f (𝒑) = f x
(𝒑) 𝒊 + f y
(𝒑) 𝒋
Serupa dengan fungsi dua variabel, Jika g adalah fungsi tiga variabel yang terdiferensialkan di 𝒑 = x y z, , , maka turunan parsial pertama dari g ada di 𝒑 dan
∇g (𝒑) = g x
(𝒑) 𝒊 + g y
(𝒑) 𝒋 + g
z
(𝒑) 𝒌
Teorema 5
∇ adalah suatu operator linier. Maka, (i) ∇ [f (𝒑) + g (𝒑)] = ∇f (𝒑) + ∇g (𝒑) (ii) ∇ [𝛼 ∙f (𝒑)] = 𝛼 ∙ ∇f (𝒑)
(iii) ∇ [f (𝒑)∙g (𝒑)] = f (𝒑)∙ ∇g (𝒑) + g (𝒑)∙ ∇f (𝒑)
Teorema 6
>> Contoh 12
Carilah ∇f jika f x y z( , , )xsinyz. Jawab:
𝒑 = ( , , )x y z , maka:
∇f (𝒑) = f x
(𝒑) 𝒊 + f y
(𝒑) 𝒋 + f z
(𝒑) 𝒌 ∇f (𝒑) = sinyz 𝒊 + xzcosyz 𝒋 + xycosyz 𝒌
E. Turunan Berarah dan Gradien
Untuk setiap vektor satuan 𝒖, misalkan
𝐷𝒖𝑓 𝒑 = lim→0𝑓 𝒑
+𝒖 − 𝑓(𝒑)
Limit ini, jika ada, disebut sebagai turunan berarah dari f di 𝒑 dalam pada arah 𝒖.
Teorema 7
Misalkan f terdiferensialkan di 𝒑. Maka, f memiliki suatu turunan berarah di 𝒑 pada arah dari suatu vektor satuan 𝒖 dan
𝐷𝒖 f (𝒑) = 𝒖 ∇f (𝒑)
Jika f adalah fungsi dua variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi 𝐷𝒖 f (x,y) = 𝑢1 f x (x,y) + 𝑢2 f y (x,y)
Jika f adalah fungsi tiga variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi 𝐷𝒖 f (x,y,z) = 𝑢1 f x (x,y,z) + 𝑢2 f y (x,y,z) + 𝑢3 f z (x,y,z)
>> Contoh 13
Carilah turunan berarah fungsi f x y( , )x y2 34y di titik (2, 1) dalam arah vektor 𝒗= 2 𝒊+ 5 𝒋.
Jawab:
Diketahui 𝒑 = (2, 1) .
Langkah pertama, cari terlebih dahulu vektor gradien di (2, 1) , yaitu ∇f (2, –1).
∇f (𝒑) = f x
(𝒑) 𝒊 + f y
(𝒑) 𝒋 ∇f (𝑥,𝑦) = f
x
(𝑥,𝑦) 𝒊 + f y
(𝑥,𝑦) 𝒋 ∇f (𝑥,𝑦) = 2xy3 𝒊 + (3x y2 2 4) 𝒋
∇f (2, –1) = 4 𝒊 + 8 𝒋
|𝒗| = 2252 29
Berdasarkan Teorema 7, maka
𝐷𝒖 f (𝒑) = 𝒖 ∇f (𝒑)
Teorema 8A (Aturan Rantai Kasus Pertama)
Misalkan z f x y( , ) adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan xg t( ) dan
Bentuk di atas juga dapat dituliskan sebagai berikut:
dz z dx z dy
Teorema 8B (Aturan Rantai Kasus Kedua)
Teorema 8 (Aturan Rantai Versi Umum)
Teorema 9 (Teorema Fungsi Implisit)
Garis normal terhadap suatu permukaan S dengan kurva ketinggian F x y z( , , )k di titik P adalah garis yang melalui titik P dan tegak lurus terhadap bidang singgung. Karena itu, arah garis normal diberikan oleh vektor gradien F x y z( ,0 0, )0 , sehingga persamaan
Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan 2 2 2
2 23
Persamaan bidang singgungnya adalah:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Dan, garis normalnya adalah:
0 0 0
Pentingnya dz adalah dari kenyataan bahwa jika dx = ∆x dan dy = ∆y, masing-masing mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu aproksimasi yang baik terhadap ∆z, perubahan padanannya dalam z. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini.
Walaupun dz bukanlah merupakan suatu aproksimasi yang baik terhadap ∆z, dapat dilihat bahwa penghampiran ini akan semakin baik jika Δx dan Δy semakin kecil.
>> Contoh 19
Diketahui 3 3
( , ) 2
z f x y x xyy . Hitunglah Δz dan dz jika (x,y) berubah dari (2,1) ke
(2,03, 0,98). Jawab:
3 3 3 3
(2, 03, 0,98) (2,1)
2(2, 03) (2, 03)(0,98) (0,98) 2(2) 2(1) 1
0, 779062
z f f
2,03 2 0,03
x
y 0,98 1 0,02
2
2
2 2
( , ) ( , )
6 3
6(2) 1 (0, 03) 2 3(1) ( 0, 02)
0, 77
x y
dz f x y dx f x y dy
x y x x y y
H. Maksimum dan Minimum
Misalkan 𝒑 = ( , )x y sebagai suatu titik variabel dan 𝒑𝟎 = ( ,x y0 0) sebagai suatu titik tetap pada ruang dimensi-2. (Hal berikut juga berlaku pada ruang dimensi-n.)
Misalkan 𝒑𝟎 suatu titik di S, yaitu wilayah dari f.
(i) Jika 𝑓(𝒑𝟎) ≥ 𝑓(𝒑) untuk semua 𝒑 di S, maka 𝑓(𝒑𝟎) adalah nilai maksimum global
dari f pada S.
(ii) Jika 𝑓(𝒑𝟎) ≤ 𝑓(𝒑) untuk semua 𝒑 di S, maka 𝑓(𝒑𝟎) adalah nilai minimum global dari f pada S.
(iii) Jika 𝑓(𝒑𝟎) adalah suatu nilai maksimum global atau minimum global, maka 𝑓(𝒑𝟎)
adalah nilai ekstrem global dari f pada S.
Misalkan 𝒑𝟎 suatu titik di S, yaitu wilayah dari f.
Untuk (i) dan (ii) jika NS, dengan N merupakan suatu lingkungan dari 𝒑𝟎.
(i) Jika 𝑓(𝒑𝟎) ≥ 𝑓(𝒑) untuk semua 𝒑 di S, maka 𝑓(𝒑𝟎) adalah nilai maksimum lokal dari f pada S.
(ii) Jika 𝑓(𝒑𝟎) ≤ 𝑓(𝒑) untuk semua 𝒑 di S, maka 𝑓(𝒑𝟎) adalah nilai minimum lokal dari f pada S.
(iii) Jika 𝑓(𝒑𝟎) adalah suatu nilai maksimum lokal atau minimum lokal, maka 𝑓(𝒑𝟎)
adalah nilai ekstrem lokal dari f pada S.
Gambar berikut memberikan tafsiran geometri dari kedua konsep di atas.
Teorema 10 (Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum)
Jika f kontinu pada suatu himpunan tertutup yang terbatas S, maka f mencapai suatu nilai maksimum (global) dan suatu minimum (global) dua-duanya di sana.
Titik-titik kritis dari f pada S ada tiga jenis, yaitu: 1) titik-titik batas
2) titik-titik stasioner; 𝒑𝟎 disebut sebagai suatu titik stasioner jika 𝒑𝟎 adalah suatu titik dalam dari S dengan f terdiferensialkan dan ∇f (𝒑𝟎) = 𝟎. Pada titik ini, bidang singgung akan mendatar.
3) titik-titik singular; 𝒑𝟎 disebut sebagai suatu titik singular jika 𝒑𝟎 adalah suatu titik dalam dari S dengan f tidak terdiferensialkan.
S minimum lokal
minimum global maksimum lokal
Teorema 11 (Teorema Titik Kritis)
Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di 𝒑𝟎 dan turunan parsial pertama dari f
ada, maka fx(𝒑𝟎) = 0 dan fy(𝒑𝟎) = 0.
Perhatikan Teorema 12 di atas. Jika diketahui 𝒑𝟎 merupakan suatu titik maksimum atau minimum lokal dari f, maka nilai fx(𝒑𝟎) dan fy(𝒑𝟎) pastilah sama dengan 0. Namun, jika
diketahui fx(𝒑𝟎) = 0 dan fy(𝒑𝟎) = 0, hal ini tidak menjamin terdapat ekstrem lokal di titik
𝒑𝟎. Untuk lebih jelasnya, simak Contoh 20 dan Contoh 21 berikut ini.
>> Contoh 20
Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari
2
Selanjutnya, buatlah turunan parsial pertamanya sama dengan nol,
( , ) 2 2 0 2 2 1
sehingga diperoleh satu-satunya titik kritis, yaitu (1,0).
Perhatikan bahwa
Karena 2
f adalah nilai minimum lokal sekaligus juga minimum global dari f.
>> Contoh 21
Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari 2 2
( , )
Selanjutnya, buatlah turunan parsial pertamanya sama dengan nol,
( , ) 2 0 0 tidaklah memberikan keterangan mengenai suatu maksimum ataupun minimum dari f. Maka,
(0,0) 0
Untuk itu, terdapat kriteria untuk menentukan apa yang terjadi di suatu titik stasioner.
Teorema 13 (Uji Turunan Parsial Kedua)
Diketahui bahwa f (𝒑) mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari 𝒑𝟎, dan ∇f (𝒑𝟎) = 𝟎. Misalkan,
Untuk mengingat rumus D, akan lebih mudah bila dituliskan sebagai determinan:
2 Selanjutnya, nilai d dapat diminimumkan dengan persamaan yang lebih sederhana:
2 2 2 2
( , ) ( 1) (6 2 )
d f x y x y x y
2( 1) 2(6 2 ) 4 4 14 0
Dengan proses eliminasi dari sistem persamaan: 4 4 14 0
diperoleh satu-satunya titik kritis
11 5
6,3 .sehingga berdasarkan Teorema 13, f mempunyai nilai minimum lokal di titik
11 5
6 ,3 . Secara intuitif, dapat dilihat bahwa minimum lokal ini sebenarnya juga merupakan minimum global, karena pasti terdapat tepat satu titik pada bidang yang diberikan yang terdekat dengan titik
(1,0, 2) . Jadi, jarak terdekatnya adalah:
2 2 2
Cara lain untuk pengerjaan Contoh 22 akan dibahas pada subbab selanjutnya.
I. Metode Lagrange
Teorema 14 (Metode Pengali Lagrange)
Untuk mencari nilai maksimum atau minimum 𝑓(𝒑) terhadap kendala 𝑔 𝒑 = 0 , selesaikanlah sistem persamaan berikut:
∇𝑓 𝒑 = 𝜆 ∙ ∇𝑔(𝒑)
dan
𝑔 𝒑 = 0
untuk 𝒑 dan 𝜆. Setiap titik 𝒑 yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala, dan 𝜆 yang berpadanan disebut sebagai pengali Lagrange. Hitunglah 𝑓 di semua titik 𝒑 yang dihasilkan; yang terbesar antara nilai-nilai yang didapat adalah nilai maksimum 𝑓, sementara yang terkecil adalah nilai minimum 𝑓,
Jika 𝒑 = ( , )x y dan persamaan vektor ∇𝑓 𝒑 = 𝜆 ∙ ∇𝑔(𝒑) dituliskan dalam bentuk komponennya, maka sistem persamaan pada Teorema 14 menjadi:
x x
f g ; fy gy ; g x y( , ) 0
x x
f g ; fy gy ; fz gz ; g x y z( , , )0
Jika terdapat lebih dari kendala yang ditekankan pada variabel-variabel suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, digunakanlah pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala). Misalnya, jika kita mencari nilai ekstrem dari suatu fungsi f dengan tiga variabel terhadap dua kendala g(x,y,z) = 0 dan h(x,y,z) = 0, maka sistem persamaan yang harus diselesaikan adalah:
1 2
Selanjutnya, nilai d dapat diminimumkan dengan persamaan yang lebih sederhana:
2 2 2 2
Dengan menggunakan Teorema 14,
∇f (𝒑) = 𝜆 ∙ ∇g (𝒑)
Titik kritis yang diperoleh adalah
11 5 7
L A T I H A N
1. Sketsakan grafik fungsi 2 2
( ) 16
f x x y .
2. Tentukan turunan parsial kedua dari 2
( , ) 3 xcos
f x y e y.
3. Tentukan apakah limit di bawah ini memiliki hasil atau tidak. Jika memiliki hasil, tentukanlah limitnya.
a.
2 2
4 4 ( , )x ylim(0,0)
x y
x y
b.
2 2
2 2 ( , ) (0,0)
sin( ) lim
5 5
x y
x y
x y
4. Carilah turunan berarah dari fungsi 2
( , , )
f x y z xyz di titik (1,1,1) dalam arah vektor 𝒗= 5,3,3 .
5. Tentukan z/ x jika 3x z2 y3xyz3 0.
6. Jika w f r( s s t t, , r), tentukanlah w w w
r s t
.
7. Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan 2 2
2 8
xyz x y di titik (2, 0, –3).
8. Diketahui fungsi 3 2
( , ) 3 9 4
F x y x y x y. Tentukanlah titik ekstrem fungsi
tersebut, kemudian tentukan jenis dari titik ekstrem tersebut.
9. Carilah volume maksimum dari suatu silinder yang memiliki luas permukaan 24𝜋.
10. Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari f x y z( , , ) x 2y2z pada elips 2 2
2
