Edge Anti-Magic Total Labeling dari

(1)

Edge Anti-Magic Total Labeling dari

C_n plusm

Chairul Imron dan Suhud Wahyudi Jurusan Matematika

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

[email protected], [email protected]

Abstract

We will find edge anti-magic total labeling of graph C_n plusm, where _m

 

n₂ _.

m plus

C_n is a cycle graph with expanded m edges. Keyword: edge anti-magic total labeling, graph.

1. PENDAHULUAN

Graph tak berarah G selanjutnya disebut graph G , didefinisikan sebagai pasangan terurut G(V,E) dengan V adalah himpunan hingga tak kosong simpul dan E adalah himpunan bagian dari V Vyang dinamakan dengan himpunan sisi. Graph C_n plusm dengan _m

 

₂n _{adalah graph cycle dengan}_n

simpul dan n sisi serta m sisi tambahan yang menghubungkan antara simpul-simpul yang ada pada graph cycle, seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Graph C₅ plus2

,

C₇plus3 dan C₉ plus4

Pelabelan yang berkembang sekarang adalah pelabelan pada himpunan simpul, himpunan sisi, atau keduanya. Pelabelan tersebut biasanya dikenal dengan nama pelabelan simpul, pelabelan sisi, atau pelabelan total. Sedangkan evaluasi dari pelabelan terdiri tiga macam yaitu evaluasi simpul, evaluasi sisi atau evaluasi total yaitu evaluasi pada simpul dan sisi. Dari kedua istilah tersebut dikenal salah

(2)

satunya adalah pelabelan total sisi ajaib (edge magic total labeling) yaitu pelabelan total dan evaluasi pada sisi dari graph. Jumlah tersebut disebut angka ajaib, yang biasa dilambangkan dengan simbol huruf k. Pada tahun 2006 (Imron, 2006), telah dipublikasikan graph ajaib dari graph cycle, yang membahas bagaimana memberi label pada graph cycle sehingga graph cycle tersebut mempunyai sifat ajaib. Ide pelabelan ini dikenalkan pertama kali oleh Sedlacek (Sedlacek, 1963) pada 1960-an, selanjutnya diformulasikan oleh Kotzig dan Rosa (Rosa, 1970) pada tahun 1970-an. Perhatikan definisi tentang pelabelan dibawah ini.

Pelabelan total sisi ajaib pada graph C_n plusm dengan m1 telah diseminarkan di Names-2009 (Imron, 2009a), dengan m2 telah diseminarkan di IICMA (Imron, 2009b), dan dengan _m

 

₂n _{telah diseminarkan di Seminar} Nasional Universitas Jember (Imron, 2010). Pada paper ini akan dibahas pelabelan total sisi anti ajaib (edge anti-magic total labeling). Pelabelan total sisi anti-ajaib yakni pelabelan dimana jumlah label sisi dan label simpul-simpul yang menempel atau yang insiden pada sisi tersebut selalu tidak sama untuk setiap sisi. Hasil jumlah pada setiap sisi merupakan barisan aritmatika.

Definisi Pelabelan

Pelabelan total sisi ajaib pada (p,q)-graph G adalah fungsi bijektif } , . . , 3 , 2 , 1 { ) ( ) ( :V G E G  pq 

sedemikian sehingga ada suatu bilangan konstan k dimana

k uv v u) ( ) ( ) (   

dengan u,vVdan uvEdan k dinamakan jumlahan ajaib dari graph G (Wallis, 2001). Jika (V(G)){1,2,3,..,p}maka graph G dinamakan pelabelan super total sisi ajaib (Enomoto, 1998), dan dikatakan pelabelan total sisi anti-ajaib, jika mapping g_ :EWjuga bijektif, dengan

} ) 1 ( , . . , 2 , , { )} ( | ) ( {w uv uv E G a a d a d a q d W  _      

adalah himpunan bobot dari sisi di graph G atau bobot dari sisi-sisi )

( ),

(uv uv E G

(3)

Tujuan dari penelitian ini antara lain memberi label graph C_n plusm

dengan _m

 

n₂ _{dengan bilangan bulat positif sehingga mempunyai sifat anti}

ajaib. Manfaat dari penelitian ini adalah menambah wawasan keilmuan tentang pelabelan graph dan kriptografi. Manfaat yang lain, dapat diterapkan untuk menyusun skema pembagian rahasia yang biasanya digunakan sistem pengamanan elektronik yang digunakan dalam perbankan, dan jaringan komunikasi.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Graph C_n plusm dengan _m

 

₂n _{adalah sebuah graph cycle}

n

C dengan

menambah m sisi pada graph tersebut. Telah dipublikasikan graph C plus satu _n

(Imron, 2009a) dan C plus dua (Imron, 2009b) yang menceriterakan tentang _n

pelabelan total sisi ajaib. Paper ini akan membahas pelabelan total sisi anti-ajaib dari graph C_n plusm dengan _m

 

₂n _{. Sebelum mencari pelabelan total sisi}

anti-ajaib, dicari terlebih dahulu batas beda dari graph C_n plusm dengan _m

 

n₂ _.

Bilangan beda yaitu bilangan positif yang membedakan antara jumlahan pada satu sisi dengan sisi yang lain, biasanya disimbolkan dengan huruf d . Secara umum graph Cn plusm dengan

 

2

n 

m dapat dilihat pada Gambar 1. Hasil dari penelitian ini dituliskan dalam beberapa teorema.

Teorema 1:

Graph C_n plusm dengan _m

 

₂n _{adalah graph cycle dengan tambahan m sisi}

adalah pelabelan total sisi anti-ajaib dengan d 4.

Bukti:

Perhatikan Gambar 1, jika S adalah jumlah label pada simpul dan _v S adalah _e

jumlah label pada sisi. Untuk graph Cn plusm dengan

 

2 n 

m , jumlah simpul adalah pndan jumlah sisi paling banyak adalah qnm. Konstruksi graph

m plus

(4)

a. satu simpul berderajat m2, m simpul berderajat tiga dan sisanya berderajat dua, atau

b. m2 simpul berderajat tiga dan sisanya berderajat dua, atau yang lainnya. Dalam paper ini digunakan yang pertama, sehingga jumlah pelabelan untuk semua sisi adalah j m i e v S v mv S qk  



 1 2

atau jumlah pelabelan dengan beda d dapat ditulis

) ) 1 ( ( ) 2 ( ) ( ) (mn ka ad  a d  a mn d sehingga 2 6 3 2 4 5 2 ) 1 )( ( ) ( 2 2 m n m nm n d n m n m a n m         

untuk bilangan awal terkecil, yaitu a6 dan bilangan pada simpul berderajat besar juga kecil, diperoleh

) ( 6 2 6 3 2 4 5 2 ) 1 )( ( 2 2 n m m n m nm n d n m n m   _     _ _ atau n m mn m n m n m nm n d          2 6 9 2 4 5 2 2 2 2 atau d 4. 

Disamping batasan beda dari pelabelan total sisi anti-ajaib dari graph

m plus

C_n tersebut, ditemukan pula beberapa teorema tentang pelabelan total sisi anti-ajaib dengan beda satu, dua dan empat.

Teorema 2.

Graph C plus m dengan _n n4 dan mn3 adalah (2n2,1)-pelabelan total sisi anti-ajaib.

Bukti:

Graph C_n plusm dengan n4 dan mn3, banyaknya simpul adalah

n

(5)

diuraikan dalam dua bagian yaitu untuk n genap dan n gasal. Pertama untuk

n gasal, konstruksi graphnya seperti pada Gambar 2, yaitu

Gambar 2. Konstruksi graph Cn plusn3 untuk n gasal Didefinisikan pelabelan pada simpul adalah

, ) (x_i i

 dengan i1,2,,n dan pelabelan sisi sebagai berikut

j n x x _j)2( 1) ( ₁  dan (x_nx_j) n j dengan j3,5,7,,(n2) 1 ) (x₁x_n n  , (x₁x₂)2n, dan (x_nx_n_₁)2n1 ) 1 ( 2 2 ) (xtxt₁  n t  dengan 2 1 , , 3 , 2   n t  1 2 ) (xlxl₁  l  dengan , ,( 2) 2 3 , 2 1  _  n n n l 

Berikut ini contoh pelabelan total sisi anti-ajaib dari C₉ plus6 seperti pada Gambar 3.

Gambar 3. Contoh (20,1)-pelabelan total sisi anti-ajaib

Sedangkan konstruksi untuk n genap dan ₂n_{gasal seperti Gambar 4.} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 19 21 23 12 14 15 17 20 22 24 11 13 16 x1 xn x2 x3 x4 x(n+1)/2 xn-3 xn-2 xn-1

(6)

Gambar 4. Konstruksi graph C_n plusm untuk n genap dan ₂n_gasal

dan pelabelan simpulnya, adalah (x_i) i, dengan i1,2,,n dan pelabelan sisinya adalah (e_i) i, dengan in1,n2,,2nm. Sedangkan untuk ₂n genap pelabelan sisi seperti pada Gambar 5, serta pelabelannya sama seperti ₂n gasal.

Gambar 5. Konstruksi graph C_n plusm untuk n genap dan ₂n_genap Berikut ini contoh pelabelan total sisi anti-ajaib dari C₉ plus6 seperti pada Gambar 6. 

Gambar 6. Contoh (18,1)dan (22,1)-pelabelan total sisi anti-ajaib Berikut ini teorema yang lain, yaitu teorema untuk beda 2 dengan _m

 

₂n _,

Teorema 3.

Graph C plus _n m dengan n4 gasal dan _m

 

n₂ _adalah₍_n₄_,₂₎_-pelabelan

1 2 3 5 7 4 6 8 16 18 20 9 11 13 15 17 21 12 19 10 14 1 2 3 5 7 4 6 8 16 18 20 9 11 13 15 17 22 12 19 14 ₁₀ 21 23 24 25 26 27 x1 x2 x3 x4 x5 x6 xi-2 xi-1 xi xi+1 xn-3 xn-2 xn-1 xn e1 e2 e3 e2n+m en+m+2 en+m+3 en+m+4 en+m+5 en+m+6 en+m+1 e2n+m-1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 xi xi+1 xi+2 xi+3 xn-3 xn-2 xn-1 xn e1 e2 e3 e4 e5 en+m+2 en+m+3 en+m+4 en+m+5 en+m+6 en+m+1

(7)

Bukti:

Graph C_n plusm dengan n gasal dan _m

 

₂n _{, banyaknya simpul adalah}

n

p dan banyaknya sisi adalah qnm. Konstruksi graph Cn plusm seperti

pada gambar di atas. Didefinisikan pelabelan pada simpul adalah

         genap i untuk i n gasal i untuk i v_i 2 1 2 1 ) ( 

dan pelabelan sisi adalah

) ( 2 , , 5 , 3 2 1 ) ( 1 , , 2 , 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 1 1 2 1 gasal n j j n v v n i i m n v v m n v v m n v v j i i n n                      

Beberapa contoh dari pelabelan total sisi anti-ajaib dari graph Cn plusm dengan

5



n , n7 dan n9 yang dapat dilihat pada Gambar 7. 

Gambar 7. Contoh (n4,2)-pelabelan total sisi anti-ajaib Berikut ini teorema yang lain, yaitu teorema untuk beda 2 dengan m1, Teorema 4.

Graph C_n plusm dengan n4 gasal dan m1 adalah (n2,4)-pelabelan total sisi anti-ajaib.

Bukti:

Graph C_n plusm dengan n gasal dan m1, banyaknya simpul adalah pndan banyaknya sisi adalah qn1. Didefinisikan pelabelan pada simpul adalah

2 5 6 1 4 3 8 7 10 9 12 15 16 11 14 13 18 17 20 19 22 21 2 5 6 1 4 3 8 7 10 9 11 2 5 6 1 4 3 8 7 10 9 12 15 16 11 14 13 17 12

(8)

       genap i untuk i n gasal i untuk i v_i 1 1 ) ( 

dan pelabelan sisi adalah

1 , , 2 , 1 , 3 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 1 3 1         n i i v v v v v v i i n n    

Beberapa contoh dari pelabelan super total sisi ajaib dari graph C_n plusm dengan 5



n , n7 dan n9 yang dapat dilihat pada Gambar 8. 

Gambar 8. Contoh (n2,4)-pelabelan total sisi anti-ajaib 3. KESIMPULAN

Dari uraian diatas dapat diambil kesimpulan bahwa graph C_n plusm dengan

 

2 n 

m merupakan pelabelan total sisi anti-ajaib dengan beda satu, dua dan empat. Batasan beda agar graph C_n plusm dengan _m

 

₂n _{merupakan pelabelan}

total sisi anti ajaib adalah d 4.

UCAPAN TERIMA KASIH

Paper ini merupakan bagian dari hasil penelitian yaitu penelitian Hibah Fundamental sesuai surat Perjanjian Pelaksanaan Penelitian Fundamental Nomor: 0536/I2.7/PM/2010 tanggal 1 Mei 2010, oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih atas dukungannya.

DAFTAR PUSTAKA

Baca, M., F. Bertault, J.A. MacDougall, M. Miller, R. Simanjuntak and Slamin, (2000), Vertex-Antimagic Total Labelings of Graphs.

2 5 6 1 ₄ 3 8 7 10 9 12 15 16 11 14 13 18 17 19 2 5 6 1 4 3 8 7 10 9 11 2 5 6 1 4 3 8 7 10 9 12 15 11 14 13

(9)

Chairul Imron, Bandung AS (2006), Magic Graph on Cycle, The First ICoMS, UNISBA, Bandung, 19-21 Juni 2006.

Chairul Imron, Suhud Wahyudi (2009a), Critical Set of Edge Magic Total

Labeling of Expanding Cycle Graph, Conference Internasional NAMES

2009, Banjarmasin 3-4 Juli 2009.

Chairul Imron, Suhud Wahyudi (2009b), Critical Set of Edge Magic Total

Labeling of Cycle Plus 2 Edges Graph, IICMA 2009, UGM, Jogjakarta

12-13 Oktober 2009.

Chairul Imron, Suhud Wahyudi (2010), Super Edge-Magic Total Labeling of

Graph Cn plus m, SemNas Matematika, UMM, Malang, 30 Januari 2010.

Enomoto, H., A.S. Llado, T. Nakamigawa and G. Ringel (1998), Super

Edge-Magic Graphs, SUT Jurnal of Mathematics, Vol. 34, No. 2, 105-109.

J. Sedlacek, problem 27 (1964), Theory of Graphs and it's Applications, (Smolenice,1963), 163-164, Publ. House Czechoslovak Acad. Sci.,Prague. A. Kotzig and A. Rosa (1970), Magic Valuations of Finite Graph, Canad. Math.

Bull. 13 , 451-461.