KUANTOR SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA. Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 31 MODUL LOGIKA MATEMATIKA

(1)

______________________________________________

31

MODUL LOGIKA MATEMATIKA

KUANTOR

SMTS 1101 / 3SKS

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun Oleh :

(2)

______________________________________________

32 DAFTAR ISI

Cover pokok bahasan ... 31

Daftar isi . ... 32

Judul Pokok Bahasan ... 33

2.1. Pengantar ... 33

2.2. Kompetensi ... 33

2.3 Uraian Materi ... 33

2.3.1 Semesta Pembicaraan ... 33

2.3.2 Variabel dan Konstanta ... 34

2.3.3. Pernyataan Terbuka ... 36

2.3.4 Kuantor Universal dan Ekstensial... 37

2.3.5 Negasi suatu pernyataan ... 40

2.3.6 Fungsi Pernyataan ... 41

Rangkuman ... 44

(3)

______________________________________________

33 KUANTOR

2.1 Pengantar

Dalam modul ini akan mempelajari konsep dasar tentang semesta pembicaraan, kalimat terbuka, kuantor universal dan kuantor eksistensial, sebagai konsep penalaran dalam logika matematika.

2.2 Kompetensi

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan:

a. Terampil dalam menggunakan konsep dasar semesta pembicaraan, kalimat terbuka, penggunaan kuantor.

b. Terampil dalam membedakan kuantor universal dan kuantor eksistensial. c. Terampil dalam mengerjakan contoh soal kuis / latihan

2.3 Uraian Materi

Pentingnya persiapan sebelum mempelajari pokok bahasan ini merupakan langkah awal keberhasilan kompetensi yang diharapkan. Kuantor yang akan dibahas disini hanya salah satu cara dalam merubah suatu pernyataan terbuka (yang belum punya nilai kebenaran) menjadi suatu pernyataan yang mempunyai nilai kebenaranya.

Dalam logika matematika, ada beberapa hal yang perlu kita ketahui sebelum membahas kuantor, misalnya perlunya pergertian semesta pembicaraan, variabel, konstanta dan pernyataan/kalimat terbuka.

2.3.1. Semesta Pembicaraan

Semesta pembicara itu menguraikan sifat-sifat dari, dan hubungan antara obyek-obyek. Obyek-obyek ini dapat berupa apa saja, seperti orang-orang, benda-benda, binatang, bilangan dan lain sebagainya. Keseluruhan obyek-obyek yang dibicarakan disebut “semesta pembicara” disingkat semesta saja.

(4)

______________________________________________

34

Pada setiap pembicaraan matematika, orang selalu mulai dengan menetapkan lebih dahulu semesta pembicara nya. Sebab benar atau salahnya suatu ucapan tergantung pada semesta pembicara nya.

Contoh(2.1):

Suatu pernyataan x2 + 1 = 0 mempunyai penyelesaian” tidak mempunyai nilai benar atau salah sebelum terlebih dahulu ditentukan semesta pembicara nya. Jika semesta pembicaranya himpunan bilangan-bilangan riil (nyata), maka pernyataan di atas bernilai salah. Tetapi jika semesta pembicaranya himpunan bilangan-bilangan kompleks, maka pernyataan bernilai benar.

2.3.2. Variabel dan Konstanta

Definisi (2.1):

Variabel adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah simbol yang menunjukan suatu anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan

Untuk dapat berbicara tentang anggota tertentu dari semestanya, diperlukan suatu simbol atau tanda yaitu suatu nama dari anggota tersebut.

Contoh(2.1):

Misalnya ada pernyataan “Niken”, “Ais”, “Aji” adalah nama orang, dimana semestanya adalah himpunan orang-orang.

Jika semestanya himpunan bilangan-bilangan, maka angka 5, angka 211 adalah suatu simbol untuk bilangan-bilangan yang disajikan.

Simbol seperti itu disebut Konstanta. Jadi konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya.

(5)

______________________________________________

35

Jika hendak berbicara tentang anggota sembarang dari semestanya, maka diperlukan suatu tanda-tanda lain dari konstanta. Tanda demikian yang dimaksud adalah variabel (atau perubah). Jadi variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.

Contoh (2.2):

Misalnya semesta pembicaranya terdiri atas mereka yang kuliah pada sebuah universitas (perguruan tinggi) maka kata “mahasiswa” menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.

Contoh (2.3):

Pehatikan beberapa pernyataan berikut: (a). Manusia makan nasi

(b). Manusia memakai sepatu (c). 4 + x = 7

(d). p < 5

Suatu pernyataan mempunyai nilai benar atau salah tergantung pada kesesuaian kalimat tersebut dengan keadaan sesungguhnya. Bernilai benar jika keadaan sesungguhnya sesuai dengan realita yang ada, jika sebaliknya bernilai salah. Pernyataan seperti ini biasanya disebut pernyataan faktual.

Jika pernyataan (a) manusia diganti Tony, maka pernyataannya menjadi “Toni makan nasi”. Pernyataan ini jelas bernilai benar saja atau salah saja, tergantung realitasnya. Demikian juga untuk pernyataan (b) akan menjadi pernyataan “Tony memakai sepatu” pernyataan ini akan menjadi jelas nilainya, yaitu benar atau salah tergantung realitasnya.

Pada pernyataan (c) jika x diganti 3, akan bernilai benar. tetapi jika x diganti 4 akan bernilai salah. Demikian juga untuk pernyataan (d) jika p diganti “0 atau 1, atau 2, atau 3, atau 4” akan bernilai benar untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah, tetapi jika semestanya himpunan bilangan asli, maka pernyataan akan bernilai salah.

(6)

______________________________________________

36

Kata-kata “manusia”, “x” , “p” pada pernyataan diatas disebut variabel. Sedangkan pengganti katanya yaitu “Tony”, “3”, “4”, dan “0,1,2,3,4” disebut konstanta.

Jika semesta pembicaranya bilangan-bilangan maka variabel yang dimaksudkan adalah variabel numerik. Dalam hal ini, variabel adalah tanda-tanda, yang biasanya dipilih huruf kecil dari abjad “x”, “y” dan seterusnya.

2.3.3. Pernyataan Terbuka.

Pernyataan-pernyataan dalam contoh (2.3) di atas disebut kalimat (pernyataan) terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka pernyataan yang terjadi dikatakan sebagai pernyataan tertutup.

Definisi (2.2):

Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta yang sesuai dengan semestanya maka pernyataanya akan bernilai benar saja atau salah saja.

Jadi pernyataan terbuka merupakan pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah.

Kita misalkan pernyataan terbuka ini dengan simbol/notasi “p(x)”. Huruf “p”, “q” , ….dan seterusnya disini hanyalah sebuah simbol/notasi dalam pengkajian suatu sifat, hanya untuk mempermudah dalam pembicaraan selanjutnya. Misalnya: “p (x)” ini merupakan kalimat terbuka, dan diucapkan sebagai “obyek x mempunyai sifat p”. Variabel yang terdapat dalam rangkaian tanda “p(x)” disebut variabel bebas. Disini “p(x)” , tidak bernilai benar atau salah. Pernyataan ini disebut pernyataan terbuka.

Agar pernyataan terbuka “p(x)” ini mempunyai nilai salah atau benar (yaitu menjadi pernyataan deklaratif), maka jika perlu semua variabel bebas di dalamnya diganti dengan suatu konstanta. Ada cara yang lazim digunakan untuk merubah

(7)

______________________________________________

37

pernyataan terbuka ini menjadi pernyataan deklaratif, yaitu dengan membubuhkan suatu kuantor. Yang dimaksud kuantor disini adalah kuantor universal atau kuantor eksistensial di depan pernyataan “p(x)”.

2.3.4. Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial.

a. Fungsi Pernyataan

Suatu fungsi pernyataan adalah suatu pernyataan terbuka di dalam semesta pembicaraannya. Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang dinyatakan sebagai “p(x)” yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya untuk setiap a

∈

semesta pembicaraannya. Ingat disini p(a) suatu pernyataan.

Contoh (2.4):

Misalnya: fungsi pernyataan “

p(x) = 1+ x > 5

”

Disini

p(x)

akan merupakan fungsi pernyatan pada A = himpunan bilangan asli. Tetapi

p(x)

bukan merupakan fungsi pernyataan pada K = himpunan bilangan kompleks.

Contoh (2.5):

a)

Jika

p(x) = 1 + x > 5

didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka

p(x) bernilai benar untuk x = 5,6,7, ...

b) Jika

q(x) = x + 3 < 1

didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x yang menyebabkan

q(x)

bernilai benar.

c) Jika

r(x) = x + 3 > 1

didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka

r(x)

bernilai benar untuk x = 1,2,3, ...

Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan

p(x)

yang didefinisikan pada suatu himpunan tertentu akan bernilai benar untuk semua anggota semesta

(8)

______________________________________________

38

pembicaraan, beberapa anggota semesta pembicaraan, atau tidak ada anggota semesta pembicaraan yang memenuhi.

b. Kuantor Umum (Universal)

Simbol

∀

yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap”disebut kuantor

umum (universal). Jika

p(x

) adalah fungsi proposional pada suatu himpunan A

(himpunan A adalah semesta pembicaraanya) maka

(∀x ∈ A) p(x)

atau ∀x, p(x) atau ∀x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen dalam himpunan A,

p(x)

merupakan pernyataan yang benar”. atau “Untuk semua x, berlaku

p(x)”.

Beberapa macam ucapan-ucapan yang mempunyai arti sama diantaranya:

(∀x ∈ A) p(x)

dibaca : • Untuk setiap x ∈ A berlakulah x mempunyai sifat p

• Semua x, berlaku

p(x)

• Tiap-tiap x, x memenuhi sifat

p(x).

Contoh (2.6):

Misalnya pernyataan p(x) = x tidak kekal

p(manusia) = Manusia tidak kekal

maka

∀

x p(x) atau

∀

x, p(x)

atau

∀

x x

∈{manusia},

p(x)

= semua manusia tidak kekal (Benar).

Perhatikan:

Bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi ∀x p(x) merupakan pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya).

Contoh (2.7):

∀

x r(x) =

∀

x (x+3>1)

pada A = {bilangan asli} bernilai benar.

(9)

______________________________________________

39

c. Kuantor Khusus (Eksistensial)

Simbol

∃

dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit

satu” disebut kuantor khusus. Jika

p(x)

adalah fungsi pernyataan pada himpunan tertentu A (himpunan A adalah semesta pembicaraanya) maka

(

∃

x

∈

A) p(x) atau

∃

x! p(x)

atau

∃

x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A,

sedemikian hingga

p(x)

merupakan pernyataan benar” atau “Untuk beberapa x,

p(x)”.

Ada yang menggunakan simbol ∃x! untuk menyatakan “Ada hanya satu”. Beberapa macam ucapan-ucapan yang mempunyai arti sama diantaranya:

(∃x) P(x)

dibaca : • Terdapat x

∈

A, x bersifat

p(x)

• Ada x

∈

A

sedemikian hingga x mempunyai sifat

p.

• Sekurang-kurangnya satu x

∈

A

mempunyai sifat

p

• Beberapa x, x mempunyai sifat

p.

Contoh (2.9):

Misalkan suatu pernyataan

p(x) = x

adalah anita

p(pewira ABRI) = perwira ABRI adalah wanita

Maka

∃

x p(x) =

∃

x! p(x) =

∃

x

∈

{perwira ABRI},

p(x)

= Ada perwira ABRI wanita (Benar).

Contoh (2.10):

∃

x p(x) =

∃

x ( x + 1 < 5 )

pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah.

Contoh (2.11):

∃

x r(x) =

∃

x (3 + x > 1)

pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah.

(10)

______________________________________________

40

Contoh(2.12): Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut dengan

mengambil semesta pembicaraannya adalah himpunan semua bilangan riil.

(1)

∀

x,



x



= x

(4).

∃

x ; x + 2 = x

(2)

∃

x, x

2

= x

(5).

∃

x



x



= 0

(3)

∀

x ; x + 1 > x

Jawab :

(1) Bernilai salah, sebab jika x0 = -3, maka |x0|≠ x0

(2) Bernilai benar, sebab ada x0 = 1, sedemikian sehingga berlaku x02 =x0

(3) Benar, sebab tiap-tiap bilangan riil selalu memenuhi pertidaksamaan

x+1 > x

(4) Salah, sebab tidak ada pemecahan untuk x + 2 = x (5) Bernilai benar, sebab ada x0 = 0, sehingga |x0| = 0

2.3.5. Negasi Suatu Pernyataan yang Memuat Kuantor.

Negasi dari “Semua manusia tidak kekal” adalah “tidak benar bahwa semua manusia tidak kekal ” atau “Beberapa manusia tidak kekal”

Jika p(x) adalah manusia (=x) tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau

∀

x

p x

( )

bernilai benar dan “beberapa manusia tidak kekal” atau

x

∃

p x

( )

bernilai salah.

Jadi ingkaran dari kuantor universal (∀x) p(x) dinyatakan dengan simbol

logika

:

[ x p(x)]

∀

≡ ∃

x

:

p(x)

atau ( x) p(x)∀ ≡ ∀( x) p(x) ≡ ∃( x) p(x)

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan)

(11)

______________________________________________

41

MODUL LOGIKA MATEMATIKA Dan sebaliknya

Ingkaran dari kuantor eksistensial (∃x) p(x) dinyatakan dengan ( x) p(x)∃ dinyatakan dengan simbol logika

:

[ x p(x)]

∃

≡ ∀

x

:

p(x)

atau

( x) p(x)∃ ≡ ∃( x) p(x) ≡ ∀( x) p(x)

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor eksistensial adalah ekivalen dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi universal (fungsi pernyataan yang dinegasikan)

Contoh(2.13):

Tentukan ingkaran-ingkaran dari setiap pernyataan soal contoh (2.12) diatas

Penyelesaian: (1) ∀x, x =x ≡ ∃x, x =x ≡ ∃x, x ≠x (2) ∃x, x2

=

x ≡ ∀x, x2 =x ≡ ∀x, x2 ≠x (3) ∀x, x+ >1 x ≡ ∃x, x+ >1 x ≡ ∃x, x+ >1 / x ≡ ∃x, x+ ≤1 x (4) ∃x, x+ = ≡ ∀2 x x, x+ = ≡ ∀2 x x, x+ ≠2 x (5) x, x∃ = 0≡ ∀x, x = ≡ ∀0 x, x ≠0

2.3.6. Fungsi Pernyataan yang memuat lebih dari satu variabel

Didefinisikan himpunan

A , A , A , ... ,A

₁ ₂ ₃ _n. Suatu fungsi pernyataan yang memuat variabel pada himpunan

A

₁

×

A

₂

×

A

₃

×

... A

×

_n merupakan kalimat tebuka

p(x

1

, x

2

, x

3

, ... , x

n

)

yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, ... , an) ernilai benar

atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, ... , an) anggota semesta pembicaraan

1 2 3 n

(12)

______________________________________________

42

MODUL LOGIKA MATEMATIKA Contoh (2.14):

Diketahui P = {pria}, W = {wanita}. “x menikah dengan y” ≡ M(x,y) adalah fungsi pernyataan pada P x W.

Contoh (2.15):

Diketahui A = {bilangan asli}. “2x – y + 5z < 10” ≡ K(x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.

Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan suatu kuantor untuk setiap variabel seperti berikut ini:

∀x ∃x p(x,y)

atau

∃x ∃y ∀z p(x,y,z)

merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.

Contoh (2.16):

Misalnya: P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta

p(x,y)

= x

adalah kakak y.

Maka

∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) dibaca “Untuk setiap x di P dan y di W

sedemikian hingga x adalah kakak y” berarti bahwa setiap

anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida.

Jika pernyataan itu ditulis sebagai ∃y ∈ W ∀x ∈ P p(x,y) dibaca “Ada

y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x adalah kakak y” berarti

(13)

______________________________________________

43 bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak semua

anggota P.

Misalnya negasi dari pernyataan yang memuat kuantor dapat

ditentukan sebagai berikut ini:

~[∃x {∀y p(x,y)} ] ≡ ∀x ~ [∀y p(x,y)] ≡ ∀x ∃y ~ p(x,y)

atau

∃

x { y p(x,y)}

∀

≡ ∃ ∀

x

y p(x,y)

≡ ∃ ∀

x

y p(x,y)

≡ ∀ ∃

x

y p(x,y)

Contoh (2.17):

Diketahui P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida} serta

p(x,y) = x adalah kakak y.

Tuliskan negasi dari pernyataan:

∀

x

∈

P,

∃

y

∈

W, p(x,y)

Jawab: Negasi dari pernyataan

∀

x

∈

P,

∃

y

∈

W, p(x,y) adalah:

~[

∀

x

∈

P {

∃

y

∈

W, p(x,y)} ]

≡

∃

x

∈

P, ~[

∃

y

∈

W, p(x,y)]

≡

∃

x

∈

P,

∀

y

∈

W, ~p(x,y)

atau

{

,

( , )}

(

) {

,

( , )}

x

P

y

W p x y

x

P

y

W p x y

∀ ∈

∃ ∈

≡ ∀ ∈

∃ ∈

(14)

______________________________________________

44 (

) ( , )

x

P

y

W p x y

≡ ∃ ∈

∃ ∈

(

) ( , )

x

P

y

W p x y

≡ ∃ ∈

∀ ∈

Jika kita baca pernyataan semula adalah: “Setiap anggota P adalah

kakak dari paling sedikit satu anggota W”

Negasi dari pernyataan itu adalah “Tidak benar bahwa setiap

anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W” yang ekivalen

dengan “Ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W”.

Rangkuman

1. Keseluruhan obyek-obyek yang dibicarakan disebut “semesta pembicara”

2. Variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan untuk menunjuk pada

anggota sembarang dari semesta pembicaranya.

3. Konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk

menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya.

4. Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah ditulis

p(x).

5. Kuantor universal yang dinyatakan sebagai

(

∀

x)

dan kuantor eksistensial dinyatakan sebagai

(

∃

x).

6. Pernyataan (

∀

x)

p(x)

dibaca : (1). Semua x mempunyai sifat p. (2). Untuk setiap x berlakulah x mempunyai sifat p. (3).Tiap-tiap x, x mempunyai sifat p.

(15)

______________________________________________

45

Pernyataan (∃x)

p(x)

dibaca : (1). Terdapat x, x mempunyai sifat p. (2). Ada x sedemikian hingga x mempunyai sifat p. (3). Sekurang-kurangnya satu x mempunyai sifat p. (4). Beberapa x, x mempunyai sifat p

7. Ingkaran dari pernyataan (∀x) p(x) ditulis ( x) p(x)∀ ≡ ∀( x) p(x) ≡ ∃( x) p(x) 8. Ingkaran dari pernyataan(∃x) p(x ditulis ( x)P(x)∃ ≡ ∃( x)P(x) ≡ ∀( x) p(x)

9. negasi dari pernyataan ∃x ∈ W, ∀y ∈ P, p(x,y) adalah

~[

∃

x {

∀

y p(x,y)} ]

≡

∀

x ~ [

∀

y p(x,y)]

≡

∀

x

∃

y ~ p(x,y) atau

∃

x { y p(x,y)}

∀

≡ ∃ ∀

x

y p(x,y)

≡ ∃ ∀

x

y p(x,y)

≡ ∀ ∃

x

y p(x,y)

10. Negasi dari pernyataan

∀

x

∈

P,

∃

y

∈

W, p(x,y) adalah:

~[

∀

x

∈

P {

∃

y

∈

W, p(x,y)} ]

≡

∃

x

∈

P, ~[

∃

y

∈

W, p(x,y)]

≡

∃

x

∈

P,

∀

y

∈

W, ~p(x,y)

atau

{

,

( , )}

(

) {

,

( , )}

x

P

y

W p x y

x

P

y

W p x y

∀ ∈

∃ ∈

≡ ∀ ∈

∃ ∈

(

) ( , )

(

) ( , )

x

P

y

W p x y

x

P

y

W p x y

≡ ∃ ∈

∃ ∈

≡ ∃ ∈

∀ ∈

(16)

______________________________________________

46

MODUL LOGIKA MATEMATIKA SOAL-SOAL LATIHAN

1. Manakah yang merupakan kalimat terbuka (a) Jika saya lapar maka saya tidak bisa belajar (b) Mahasiswa Jurusan matematika rajin-rajin

(c) Segitiga sama sisi adalah segi tiga yang ketiga sisinya sama panjang. (d). x – 5 < 7

(e). Agus kuliah di UGM

(f). Diagonal bujur sangkar saling berpotongan dan tegak lurus

2. Misalkan

A

=

{ , , , , }

1 2 3 4 5

merupakan himpunan semesta, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut, kemudian carilah negasinya

(a). (∃x ∈ A), x + 3 = 10 (e). (∃x ∈ A), x + 3 < 5 (b). (∀x ∈ A), x + 3 < 10 (f). (∀x∈ A), x + 3 ≤ 7

(c).

∀

x

(

4 + <

x

10 )

(g).

∃

x

(

4 + >

x

8 )

(d).

∃

x

(

4 + =

x

7 )

(h).

∀

x

(

4 + ≤

x

7 )

3. Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut ini dalam bentuk simbolik, kemudian tentukan negasinya

(a). Setiap bilangan kuadrat lebih besar atau sama dengan nol (b). Ada segi tiga sama kaki yang bukan segi tiga sama sisi (c). Tidak ada manusia yang hidup abadi

(d). Di perguruan tinggiku ada profesor wanita

4. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut ini: (a).

∃

x x

, (

+ =

3

5 )

dalam himpunan

X

=

{ , , , ...}

1 2 3

(b).

∀

n

(

2 + >

n

5 )

dalam himpunan bilangan asli (c).

(

∀ ∈

x

R

) (

x

2

≥

0 )

; R = {bilangan cacah}

(17)

______________________________________________

47

(d).

∃

x x

≠

0

dalam himpunan bilangan riel

(e).

(

∃ ∈

x

R

) (

x

2

>

x

)

; R = {bilangan riel}

5. Ingkarilah (cari negasi) pernyataan-pernyataan berikut ini, (a).

∃

x p x

( )

∧ ∀

y q y

( )

(g).

∀ ∀

x

y p x y

( , )

(b).

∀

x p x

( )

→ ∀

y q y

( )

(h).

∀ ∃

x y p x y

( , )

(c).

∀

x p x

( )

∨ ∃

y q y

( )

(i).

∃ ∀

x

y p x

[ ( )

∧

q y

( )]

(d).

∃

x p x

( )

→ ∃

y

(

:

q y

( ))

(j).

∀ ∀

x

y

[

:

p x

( )

∨

q y

( )]

(e).

∀

x p x

( )

∧ ∃

y q y

( )

(k).

∃ ∀

x

y p x

[ ( )

→

q y

( )]

(f).

∃

x p x

( )

∨ ∀

y q y

( )

(l).

∀ ∀ ∃

x

y

z p x y z

( , , )

6. Ambil M = {1, 2, 3} adalah himpunan universal, tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini :

(a).

∀ ∃

x y x

(

+ =

y

1 )

(k)

( )( )

∃

x

∃

y x

2

+

y

2

<

12

(b)

∃ ∀

x

y x

(

+ =

y

1 )

(l)

( )( )

∀

x

∃

y x

2

+

y

2

<

12

(c).

∃ ∃

x y x

(

+ =

y

1 )

(m)

∀ ∀

x

y

, x + y

2 2

<

20

(d).

∀ ∃

x y x

(

2

< +

y

1 )

(n)

∀ ∃

x y

, x + y

2 2

<

13

(e).

∃ ∃

x y x

(

2

< +

y

1 )

(o)

∃ ∃

x y

, x + y

2 2

<

13

(f).

∃ ∀

x

y x

(

2

< +

y

1 )

(p)

∃ ∀

x

y

, x + y

2 2

<

13

(g).

∀ ∃

x y

, x + 2y < 10

2 (q)

∃ ∃ ∀

x y

z

, x + y

2 2

<

z

2 (h)

∃ ∀

x

y

, x + 2y > 10

2

(r).

∃ ∀ ∃

x

y

z

, x + y

2 2

<

z

2 (i)

( )( )

∀

x

∀

y x

2

+

y

2

<

12

(s).

∀ ∃ ∃

x y

z

, x + y

2 2

<

z

2

(j)

( )( )

∃

x

∀

y x

2

+

y

2

<

12

(t).

∃ ∃ ∃

x y

z

, x + y

2 2

<

z

2

(18)

______________________________________________

48

7. Tentukan ingkaran dari soal no 6

8. Tiadakanlah pernyataan berikut ini :

(1) (∃x) (∀y), p(x,y) (7). (∃x) (∀y) (p(x) .∨.q(y))

(2) (∀x) (∀y), p(x,y) (8). (∀x) (∃y), (p(x, y) → q (y)) (3) (∃x) (∃y) (∀z), P(x,y,z) (9). (∃x) (∃y), (p(x) . ∧ . q(y)) (4) (∀x) (∃y), (p(x) . ∨ . q(y)) (10). (∀x) p(x) ∧ (∃x) q(x)

(5) (∃x) ∀y), (p(x,y) → q (x,y)) (11). (∃y) p(y) ∧ (∀x)q(x)

(6) (∃y) (∃x), (p(x) ∧q(y)) (12). (∃x)p(x). ∨ .∀x q(x)

Kunci jawaban

No 1: (a). bukan (b) ya (c) bukan (d) ya (e) bukan (f) bukan (coba cari alasannya)

No 2:

(a). Salah, sebab tidak ada bilangan dalam A yang memenuhi persamaan

x+3=10

(b) Benar, sebab tiap-tiap bilangan dalam A memenuhi pertidaksamaan x+ 3<10

(e) Benar, sebab jika x0 = 1, maka x0 + 3 < 5, yakni1 adalah pemecahannya.

(f) Salah, sebab jika x0 = 5, maka x0 + 3 > 7

(cobalah untuk soal yang lainnya)

Negasinya

(a)

(

∃ ∈x A , x

)

+ =3 10 ≡

(

∀ ∈x A , x

)

+ =3 10 ≡ ∀ ∈

(

x A , x

)

+ ≠3 10 (b)

(

∀ ∈x A , x

)

+ <3 10 ≡ ∃ ∈

(

x A , x

)

+ <3 10 ≡ ∃ ∈

(

x A , x

)

+ ≥3 10 (e)

(

∃ ∈x A , x

)

+ <3 5 ≡ ∀ ∈

(

x A , x

)

+ < ≡ ∀ ∈3 5

(

x A , x

)

+ ≥3 5

(19)

______________________________________________

49

(f)

(

∀ ∈x A , x

)

+ ≤3 7 ≡ ∃ ∈

(

x A , x

)

+ ≤3 7 ≡ ∃ ∈

(

x A , x

)

+ >3 7 (cobalah untuk soal yang lainnya)

No 5:

(a)

( )

∃x p(x)∧ ∀

( )

y q(y) ≡ ∃

( )

x p(x)∨ ∀

( )

y q(y)

( )

y p(x)

( )

y q(y)

≡ ∀ ∨ ∃

(e)

( )

∀x p(x)∧ ∃

( )

y q(y) ≡ ∀

( )

x p(x)∨ ∃

( )

y q(y)

( )

y p(x)

( )

y q(y)

≡ ∃ ∨ ∀

(cobalah untuk soal yang lainnya)

No 6:

• Untuk menjawab (d), (e), (f)

Diselidiki M = {1, 2, 3}, apakah sifat x2 < y + 1 akan dipenuhi?

↓

x = 1, y = 1 12 < 1 + 1 y = 2 12 < 2 + 1 y = 3 12 < 3 + 1 x = 2, y = 1 22

</

1 + 1 y = 2 22

</

2 + 1 y = 3 22

</

3 + 1 x = 3, y = 1 32

</

1 + 1 y = 2 32

</

2 + 1 y = 3 32

</

3 + 1 Jadi (d)

( )( )

∀

x

∃

y x

2

< + →

y

1 salah

(20)

______________________________________________

50

(e)

( )( )

∃

x

∃

y x

2

< + →

y

1 salah

(f)

( )( )

∃ ∀

x

y x

2

< + →

y

1 benar

• Untuk menjawab (g) dan (h)

Diselidiki apakah sifat x2 + 2y < 10 dipenuhi?

x = 1, y = 1 12 + 2.1 < 10 y = 2 12 + 2.2 < 10 y = 3 12 + 2.3 < 10 x = 2, y = 1 22 + 2.1 < 10 y = 2 22 + 2.2 < 10 y = 3 22 + 2.3 = 10 x = 3, y = 1 32 +2.1 > 10 y = 2 32 +2.2 > 10 y = 3 32 +2.3 > 10 (g)