• Tidak ada hasil yang ditemukan

MAKALAH TEOREMA BINOMIAL

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "MAKALAH TEOREMA BINOMIAL"

Copied!
11
0
0

Teks penuh

(1)

MAKALAH

TEOREMA BINOMIAL

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Diskrit

Dosen Pengampu : Dr. Isnaini Rosyida, S.Si, M.Si

Rombel B Kelompok 2 1. Wihdati Martalyna (0401516006) 2. Betha Kurnia S. (0401516012) 3. Agriat Barata (0401516015) 4. Anita Sulistyawati (0401516020)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

(2)

2

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah yang berjudul “Teorema Binomial ” ini dengan baik.

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Diskrit. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Tuhan Yang Maha Esa senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

(3)

3

TEOREMA BINOMIAL

Teorema binomial memberikan koefisien dari perluasan ekspresi binomial berpangkat. Ekspresi binomial secara sederhana merupakan penjumlahan dari dua suku, seperti 𝑥 + 𝑦 (Suku-suku dapat dihasilkan dari konstan dan variabel, tetapi tidak diperhatikan disini).

Contoh 1 berikut mengilustrasikan bagaimana koefisien dalam perluasan khas dapat ditemukan dan menyiapkan kami untuk pernyataan teorema binomial.

Contoh 1

Penjabaran (𝑥 + 𝑦)3 dapat ditentukan menggunakan kombinatorial daripada perkalian tiga suku.

Saat (𝑥 + 𝑦)3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) dijabarkan, semua hasil kali suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dijumlahkan. Suku-suku 𝑥3, 𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2, 𝑦3

terbentuk.

Untuk mendapatkan suku 𝑥3, sebuah 𝑥 harus dipilih dari setiap penjumlahan, dan

hanya dapat dikerjakan dengan cara ini.

Jadi, suku 𝑥3 pada hasil perkalian tadi memiliki koefisien 1.

Untuk mendapatkan suku 𝑥2𝑦, sebuah 𝑥 harus dipilih dari dua dari tiga penjumlahan (dan akibatnya 𝑦 dalam penjumlahan lainnya).

Bilangan seperti itu disebut bilangan kombinasi 2 dari tiga objek, dinamakan (3 2). Dengan cara yang sama, bilangan dari suku 𝑥𝑦2 adalah bilangan dari cara memilih satu dari tiga penjumlahan untuk mendapatkan sebuah 𝑥 (dan akibatnya, ambil sebuah 𝑦 dari setiap dua penjumlahan lain).

Hal ini dapat diselesaikan dengan (3 1).

Akhirnya, satu-satunya cara untuk mendapatkan sebuah suku 𝑦3 adalah memilih 𝑦 untuk setiap ketiga penjumlahan dalam hasil kalinya, dan ini hanya bias diselesaikan dengan satu cara. Akibatnya,

(𝑥 + 𝑦)3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥 + 𝑦)

= 𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑥 + 𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑥𝑥 + 𝑦𝑥𝑦 + 𝑦𝑦𝑥 + 𝑦𝑦𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2+ 𝑦3

(4)

4

Teorema 1 (Teorema Binomial)

Misalkan 𝑥 dan 𝑦 adalah variabel, dan misalkan n adalah bilangan bulat non negatif. Maka, (𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑ (𝑛 𝑗 ) 𝑥𝑛−𝑗𝑦𝑗 𝑛 𝑗=0 = (𝑛 0) 𝑥𝑛 + ( 𝑛 1) 𝑥𝑛−1𝑦 + ⋯ + ( 𝑛 𝑛 − 1) 𝑥𝑦𝑛−1+ ( 𝑛 𝑛) 𝑦𝑛 Bukti:

Kita gunakan bukti kombinatorial.

Suku-suku dalam hasil kali saat dijabarkan adalah bentuk 𝑥𝑛−𝑗𝑦𝑗 untuk 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑛.

Untuk menghitung bilangan dengan suku-suku dalam bentuk 𝑥𝑛−𝑗𝑦𝑗, catat bahwa

untuk mendapatkan suku tersebut, perlu memilih 𝑛 − 𝑗 𝑥s dari n jumlah (sehingga

j suku lain dalam hasil kali adalah ys).

Sehingga koefisien 𝑥𝑛−𝑗𝑦𝑗 adalah ( 𝑛

𝑛 − 𝑗), dan sama dengan ( 𝑛

𝑗 ). Terbukti.

Atau kita dapat membuktikan teorema ini dengan induksi matematika.

Bukti:

Untuk n = 0, jelas pernyataan tersebut benar. Asumsikan pernyataan benar untuk n-1 > 0. Artinya, (𝑥 + 𝑦)𝑛−1 = ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−1−𝑘 𝑛−1 𝑘=0

(5)

5 Perhatikan bahwa, (𝑥 + 𝑦)𝑛 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)𝑛−1 = (𝑥 + 𝑦) ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−1−𝑘 𝑛−1 𝑘=0 = 𝑥 ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−1−𝑘 𝑛−1 𝑘=0 + 𝑦 ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−1−𝑘 𝑛−1 𝑘=0 = ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘+1𝑦𝑛−1−𝑘 𝑛−1 𝑘=0 + ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛−1 𝑘=0 = (𝑛 − 1 𝑛 − 1) 𝑥 𝑛+ ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘+1𝑦𝑛−1−𝑘+ ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛−1 𝑘=1 + (𝑛 − 1 0 ) 𝑦 𝑛 𝑛−2 𝑘=0 = 𝑥𝑛 + ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘+1𝑦𝑛−1−𝑘 𝑛−2 𝑘=0 + ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛−1 𝑘=1 + 𝑦𝑛

Ganti k+1 dengan k pada suku kedua, diperoleh

(𝑥 + 𝑦)𝑛 = 𝑥𝑛 + ∑ (𝑛 − 1 𝑘 − 1) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛−1 𝑘=1 + ∑ (𝑛 − 1 𝑘 ) 𝑥 𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛−1 𝑘=1 + 𝑦𝑛

Setelah disederhanakan, didapat

(𝑥 + 𝑦)𝑛 = 𝑥𝑛 + ∑ {(𝑛 − 1 𝑘 − 1) + ( 𝑛 − 1 𝑘 )} 𝑥 𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛−1 𝑘=1 + 𝑦𝑛

Berdasarkan identitas Pascal, maka (𝑥 + 𝑦)𝑛 = 𝑥𝑛 + ∑ (𝑛 𝑘) 𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛−1 𝑘=1 + 𝑦𝑛 = ∑ ( 𝑛 𝑘) 𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘 𝑛 𝑘=0 .

Jadi, pernyataan benar untuk n. Terbukti.

Contoh 2

Bagaimana penjabaran dari (𝑥 + 𝑦)4 ?

Penyelesaian:

(6)

6 (𝑥 + 𝑦)4 = ∑ (4 𝑗) 𝑥4−𝑗𝑦𝑗 4 𝑗=0 = (4 0) 𝑥 4+ (4 1) 𝑥 3𝑦 + (4 2) 𝑥 2𝑦2+ (4 3) 𝑥𝑦 3 + (4 4) 𝑦 4 = 𝑥4 + 4𝑥3𝑦 + 6𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦3+ 𝑦4 Contoh 3

Apakah koefisien dari 𝑥12𝑦13 dalam penjabaran (𝑥 + 𝑦)25 ? Penyelesaian:

Dari teorema binomial, maka koefisien dari 𝑥12𝑦13 adalah

(25 13) =

25!

13!12!= 5,200,300.

Contoh 4

Apakah koefisien dari 𝑥12𝑦13 dalam penjabaran (2𝑥 − 3𝑦)25 ?

Penyelesaian:

Pertama, catat bahwa (2𝑥 − 3𝑦)25= (2𝑥 + (−3𝑦))25. Dengan menggunakan teorema binomial,

(2𝑥 + (−3𝑦))25= ∑ (25

𝑗 ) (2𝑥)25−𝑗(−3𝑦)𝑗

25

𝑗=0

Akibatnya, koefisien 𝑥12𝑦13 dalam penjabarannya akan diperoleh saat 𝑗 = 13,

yaitu (25 13) 2 25−13(−3)13 = (25 13) 2 12(−3)13= − 25! 13!12!2 12313.

Sekarang kita dapat membuktikan beberapa identitas yang berguna menggunakan teorema binomial, yaitu Akibat 1, Akibat 2, dan Akibat 3.

Akibat 1

Misalkan n bilangan bulat non negatif. Maka, ∑ (𝑛

𝑘)

𝑛

(7)

7

Bukti:

Menggunakan teorema binomial dengan x = 1 dan y = 1, maka 2𝑛 = (1 + 1)𝑛 = ∑ (𝑛 𝑘) 1𝑘1𝑛−𝑘 𝑛 𝑘=0 = ∑ ( 𝑛 𝑘) 𝑛 𝑘=0 . Terbukti.

Selain menggunakan pembuktian, tersebut, dapat juga menggunakan pembuktian berikut ini.

Bukti:

Sebuah himpunan dengan nunsur memiliki total 2𝑛 subset berbeda. Setiap subset memiliki nol unsur, satu unsur, dua unsur, atau n unsur di dalamnya.

Ada (𝑛0) subset dengan nol unsur, (𝑛

1) subset dengan satu unsur, ( 𝑛

2) subset dengan dua unsur, dan (𝑛𝑛) subset dengan n unsur.

Sehingga, ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)

menghitung total banyaknya subset dari sebuah himpunan dengan n unsur.

Dengan menyamakan rumus tersebut dengan yang telah kita punyai sebelumnya, yaitu rumus banyaknya subset sebuah himpunan dengan n unsur, maka

∑ (𝑛 𝑘) 𝑛 𝑘=0 = 2𝑛 Akibat 2

Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Maka ∑ (−1)𝑘(𝑛

𝑘)

𝑛

𝑘=0 = 0.

Bukti:

Kita gunakan teorema binomial dengan 𝑥 = −1 dan 𝑦 = 1, maka

0 = 0𝑛 = ((−1) + 1)𝑛 = ∑𝑘=0𝑛 (𝑛𝑘) (−1)𝑘1𝑛−𝑘 = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘) (−1)𝑘.

(8)

8

Tandai: Akibat 2 mengakibatkan bahwa

(𝑛0) + (𝑛 2) + ( 𝑛 4) + ⋯ = ( 𝑛 1) + ( 𝑛 3) + ( 𝑛 5) + ⋯ Akibat 3

Misalkan n adalah bilangan bulat non negatif. Maka

∑ 2𝑘(𝑛 𝑘) 𝑛 𝑘=0 = 3𝑛 Bukti:

Kita mengenal ruas kiri dari rumus ini adalah penjabaran dari (1 + 2)𝑛 , sehingga dengan teorema binomial,

(1 + 2)𝑛 = ∑ (𝑛 𝑘) 1𝑛−𝑘2𝑘 𝑛 𝑘=0 = ∑ ( 𝑛 𝑘) 2𝑘 𝑛 𝑘=0 . Sehingga, ∑ 2𝑘(𝑛 𝑘) 𝑛 𝑘=0 = 3𝑛 Terbukti.

IDENTITAS LAIN MENGENAI KOEFISIEN BINOMIAL

TEOREMA 3 (IDENTITAS VANDERMONDE)

Misalkan m, n, dan r bilangan bulat non negatf dengan r tidak lebih dari m ataupun n. Maka (𝑚 + 𝑛 𝑟 ) = ∑ ( 𝑚 𝑟 − 𝑘) 𝑟 𝑘=0 (𝑛 𝑘) Bukti:

• Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan n elemen. • Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah (𝑚 + 𝑛

𝑟 ). • Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan memilih k elemen

(9)

9 0 ≤ k ≤ r.

• Berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah ( 𝑚

𝑟 − 𝑘) ( 𝑛 𝑘)

• Jadi berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah ∑ ( 𝑚

𝑟 − 𝑘)

𝑟

𝑘=0 (

𝑛 𝑘)

• Kita telah mendapatkan dua ekspresi untuk menentukan banyaknya cara untuk memilih r unsur dari gabungan himpunan dengan m item dan himpunan dengan n item. Menyamakan kedua persamaan tersebut menghasilkan identitas Vandemonde.

COROLLARY 4

Jika n bilangan bulat non-negatif, maka

(2𝑛 𝑛 ) = ∑ ( 𝑛 𝑘) 2 𝑛 𝑘=0 Bukti:

Kita gunakan identitas Vandermonde dengan m=r=n untuk mendapatkan

(2𝑛 𝑛) = ∑ ( 𝑛 𝑛 − 𝑘) ( 𝑛 𝑘) = 𝑛 𝑘=0 ∑ (𝑛 𝑘) 2 𝑛 𝑘=0

Kesamaan ini diperoleh menggunakan identitas (𝑛𝑘) = (𝑛 − 𝑘𝑛 ).

TEOREMA 4

Misalkan n dan r bilangan bulat non-negatif dengan 𝑟 ≤ 𝑛. Maka

(𝑛 + 1 𝑟 + 1) = ∑ ( 𝑗 𝑟) 𝑛 𝑗=0

(10)

10

Soal

1. Tentukan penjabaran dari (𝑥 + 𝑦)6 !

2. Apakah koefisien dari 𝑥101𝑦99 dalam penjabaran (2𝑥 − 3𝑦)200 ?

3. Tentukan rumus untuk koefisien 𝑥𝑘 dalam penjabaran (𝑥2−1

𝑥) 100

, dimana k adalah bilangan bulat !

4. Show that a nonempty set has the same number of subsets with an odd number number of elements as it does subsets with an even number of elements.

5. Determine a formula involving binomial coefficients for the nth term of a sequence if its initial terms are those listed.

a. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …

b. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

Penyelesaian:

1. Dari teorema binomial, maka

(𝑥 + 𝑦)6 = ∑ (6 𝑗) 𝑥4−𝑗𝑦𝑗 6 𝑗=0 = (6 0) 𝑥 6+ (6 1) 𝑥 5𝑦 + (6 2) 𝑥 4𝑦2+ (6 3) 𝑥 3𝑦3+ (6 4) 𝑥 2𝑦4+ (6 5) 𝑥𝑦 5+ (6 6) 𝑦 6 = 𝑥6 + 6𝑥5𝑦 + 15𝑥4𝑦2+ 20𝑥3𝑦3 + 15𝑥2𝑦4+ 6𝑥𝑦5+ 𝑦6

2. Pertama, catat bahwa (2𝑥 − 3𝑦)200 = (2𝑥 + (−3𝑦))200. Dengan menggunakan teorema binomial,

(2𝑥 + (−3𝑦))200= ∑ (200

𝑗 ) (2𝑥)200−𝑗(−3𝑦)𝑗

200

𝑗=0

Akibatnya, koefisien 𝑥101𝑦99 dalam penjabarannya akan diperoleh saat 𝑗 = 99,

yaitu (200 99) 2 200−99(−3)99 = (200 99) 2 101(−3)13= − 25! 13! 12!2 101399

(11)

11 3. (𝑥2 −1 𝑥) 100 = ∑ (100𝑗 ) (𝑥2)100−𝑗(−1 𝑥) 𝑗 100 𝑗=0 = ∑ (100 𝑗 ) 𝑥200−2𝑗(−1)𝑗𝑥−𝑗 100 𝑗=0 = ∑ (100𝑗 ) 𝑥200−3𝑗(−1)𝑗 100 𝑗=0

Karena akan dicari koefisien 𝑥𝑘, maka

200 − 3𝑗 = 𝑘 ⟺ 𝑗 =200 − 𝑘 3 Karena 0 ≤ 𝑗 ≤ 100, maka 0 ≤200−𝑘

3 ≤ 100 ⇔ 0 ≤ 200 − 𝑘 ≤ 300 ⇔ −100 ≤ 𝑘 ≤ 200.

Sehingga diperoleh koefisien 𝑥𝑘 adalah (200−𝑘100 3

) (−1)

200−𝑘 3 ,

dengan −100 ≤ 𝑘 ≤ 200 dan 𝑘 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3

4. Misalkan terdapat himpunan A yang tak kosong dengan n unsur. Dari Akibat 2 diperoleh

(𝑛 0) − ( 𝑛 1) + ( 𝑛 2) − ( 𝑛 3) + ( 𝑛 4) − ( 𝑛 5) + ⋯ = 0 ⟺ (𝑛 0) + ( 𝑛 2) + ( 𝑛 4) + ⋯ = ( 𝑛 1) + ( 𝑛 3) + ( 𝑛 5) + ⋯

Ruas kiri memberikan banyaknya subset dengan sejumlah genap unsur, dan ruas kanan memberikan banyaknya subset dengan sejumlah ganjil unsur.

5. a. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …

Barisan tersebut apabila dikaitkan dengan koefisien binomial ekuivalen dengan barisan (2 0) , ( 3 1) , ( 4 2) , ( 5 3) , ( 6 4) , ( 7 5) , … Sehingga formula suku ke n adalah (𝑛 + 2

𝑛 − 1) = ( 𝑛 + 2

2 ) b. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

Barisan tersebut apabila dikaitkan dengan koefisien binomial ekuivalen

dengan barisan (0 0) , ( 2 1) , ( 4 2) , ( 6 3) , ( 8 4) , ( 10 5) , … Sehingga formula suku ke n adalah (2𝑛 − 2

Referensi

Dokumen terkait

Foto jamak dapat dibuat dengan tiga cara, yaitu dengan multikamera atau beberapa kamera yang masing-masing diarahkan pada satu daerah sasaran, kamera multilensa

Penelitian ini membahas salah satu aplikasi dari bilangan Catalan yaitu ketika menghitung banyaknya cara yang dapat dilakukan oleh seseorang dalam memilih rute perjalanan

Pemilihan umum (Pemilu) adalah salah satu cara dalam sistem demokrasi untuk memilih wakil-wakil rakyat yang akan duduk di lembaga perwakilan rakyat, serta salah

Ada berapa carakah kita dapat menuliskan angka 10 sebagai hasil penjumlahan atas tepat tiga bilangan bulat positif yang tidak harus berbeda satu sama lain jika urutan

Dam karena mengerjakan salahsatu dari beberapa larangan haji, yaitu dengan cara melakukan salah satu dari tiga pilihan (menyembelih seekor kambing yang syah untuk Qurban,

Salah satu cara untuk mendapatkan bilangan prima besar yang akan digunakan pada pembangkitan kunci algoritma RSA adalah dengan mengambil acak suatu bilangan bulat

Batuan endapan atau batuan sedimen adalah salah satu dari tiga kelompok utama batuan ( bersama dengan batuan beku dan batuan metamorfosis ) yang terbentuk melalui tiga

Motor induksi satu fasa berbeda cara kerjanya dengan motor induksi tiga fasa, dimana pada motor induksi tiga fasa untuk belitan statornya terdapat tiga belitan yang