MAKALAH
MAKALAH
TEOREMA BINOMIAL
TEOREMA BINOMIAL
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah MatematMatematika ika DiskritDiskrit Dosen
Dosen Pengampu Pengampu : : Dr. Dr. Isnaini Isnaini Rosyida, Rosyida, S.Si, S.Si, M.SiM.Si Rombel B
Rombel B Kelompok 2 Kelompok 2 1.
1. Wihdati Wihdati Martalyna Martalyna (0401516006(0401516006)) 2.
2. Betha Betha Kurnia Kurnia S. S. (0401516012(0401516012)) 3.
3. Agriat Agriat Barata Barata (0401516015(0401516015)) 4.
4. Anita Anita Sulistyawati Sulistyawati (0401516020(0401516020))
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2017
2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah yang berjudul “Teorema Binomial ” ini dengan baik.
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Diskrit. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.
Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga
Tuhan Yang Maha Esa senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
TEOREMA BINOMIAL
Teorema binomial memberikan koefisien dari perluasan ekspresi binomial berpangkat. Ekspresi binomial secara sederhana merupakan penjumlahan dari dua suku, seperti
(Suku-suku dapat dihasilkan dari konstan dan variabel, tetapi tidak diperhatikan disini).Contoh 1 berikut mengilustrasikan bagaimana koefisien dalam perluasan khas dapat ditemukan dan menyiapkan kami untuk pernyataan teorema binomial. Penjabaran
dapat ditentukan menggunakan kombinatorial daripada Saat
dijabarkan, semua hasil kali suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dijumlahkan. Suku-suku
,
,
,
terbentuk.
Untuk mendapatkan suku
, sebuah
harus dipilih dari setiap penjumlahan, dan hanya dapat dikerjakan dengan cara ini.Jadi, suku
pada hasil perkalian tadi memiliki koefisien 1.Untuk mendapatkan suku
, sebuah
harus dipilih dari dua dari tiga penjumlahan (dan akibatnya
dalam penjumlahan lainnya).Bilangan seperti itu disebut bilangan kombinasi 2 dari tiga objek, dinamakan
32
. Dengan cara yang sama, bilangan dari suku
adalah bilangan dari cara memilih satu dari tiga penjumlahan untuk mendapatkan sebuah
(dan akibatnya, ambil sebuah
dari setiap dua penjumlahan lain).Hal ini dapat diselesaikan dengan
31
.Akhirnya, satu-satunya cara untuk mendapatkan sebuah suku
adalah memilih
untuk setiap ketiga penjumlahan dalam hasil kalinya, dan ini hanya bias diselesaikan dengan satu cara. Akibatnya,
3
3
Sekarang kita nyatakan teorema Binomial.
Contoh 1
perkalian tiga suku.
Misalkan
dan
adalah variabel, dan misalkan n adalah bilangan bulat non negatif. Maka,
−
=
0
1
−
⋯
1
−
Bukti:Kita gunakan bukti kombinatorial.
Suku-suku dalam hasil kali saat dijabarkan adalah bentuk
−
untuk 0,1,2,…,
.Untuk menghitung bilangan dengan suku-suku dalam bentuk
−
, catat bahwa untuk mendapatkan suku tersebut, perlu memilih
s dari n jumlah (sehingga j suku lain dalam hasil kali adalah ys).Sehingga koefisien
−
adalah
, dan sama dengan
. Terbukti.Atau kita dapat membuktikan teorema ini dengan induksi matematika. Bukti:
Untuk n = 0, jelas pernyataan tersebut benar. Asumsikan pernyataan benar untuk n-1 > 0. Artinya,
−
1
−
−−
=
Selanjutnya, akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n.
Perhatikan bahwa,
−
1
−
−−
=
1
−
−−
=
1
−−
−
=
1
−
+
−−
=
1
−
−
=
1
1
1
+
−−
1
−
−
=
1
0
−
=
1
−
+
−−
=
1
−
−
=
Ganti k+1 dengan k pada suku kedua, diperoleh
1
−
1
−
=
1
−
−
=
Setelah disederhanakan, didapat
{ 1
−
1 1
}
−
=
Berdasarkan identitas Pascal, maka
∑
−
=
−
∑
=
−
. Jadi, pernyataan benar untuk n.Terbukti.
Bagaimana penjabaran dari
? Penyelesaian:Dari teorema binomial, maka
4
−
=
40
41
42
43
44
4
6
4
Apakah koefisien dari
dalam penjabaran
? Penyelesaian:Dari teorema binomial, maka koefisien dari
adalah2513
!!
!
5,200,300
.Apakah koefisien dari
dalam penjabaran2 3
? Penyelesaian:Pertama, catat bahwa
2 3
2 3
. Dengan menggunakan teorema binomial,2 3
25 2
−
3
=
Akibatnya, koefisien
dalam penjabarannya akan diperoleh saat 13
, yaitu25132
−
3
25132
3
!!
!
2
3
.Sekarang kita dapat membuktikan beberapa identitas yang berguna menggunakan teorema binomial, yaitu Akibat 1, Akibat 2, dan Akibat 3.
Contoh 3
Bukti:
Menggunakan teorema binomial dengan x = 1 dan y = 1, maka
2
11
∑ 1
=
1
−
∑
=
. Terbukti.Selain menggunakan pembuktian, tersebut, dapat juga menggunakan pembuktian berikut ini.
Bukti:
Sebuah himpunan dengan nunsur memiliki total
2
subset berbeda. Setiap subset memiliki nol unsur, satu unsur, dua unsur, atau n unsur di dalamnya.Ada
0
subset dengan nol unsur,1
subset dengan satu unsur,2
subset dengan dua unsur, dan
subset dengan n unsur.Sehingga,
∑
=
menghitung total banyaknya subset dari sebuah himpunan dengan n unsur.
Dengan menyamakan rumus tersebut dengan yang telah kita punyai sebelumnya, yaitu rumus banyaknya subset sebuah himpunan dengan n unsur, maka
=
2
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Maka
∑ 1
=
0
. Bukti:Kita gunakan teorema binomial dengan
1
dan 1
, maka0 0
(11)
∑ 1
=
1
−
∑ 1
=
. Terbukti.Tandai: Akibat 2 mengakibatkan bahwa
02 4⋯ 135 ⋯
Misalkan n adalah bilangan bulat non negatif. Maka
2
=
3
Bukti:
Kita mengenal ruas kiri dari rumus ini adalah penjabaran dari
12
, sehingga dengan teorema binomial,12
∑ 1
=
−
2
∑ 2
=
. Sehingga,2
=
3
Terbukti.
Misalkan m, n, dan r bilangan bulat non negatf dengan r tidak lebih dari m ataupun n. Maka
=
Bukti:
Akibat 3
IDENTITAS LAIN MENGENAI KOEFISIEN BINOMIAL
0 ≤ k ≤ r .
• Berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah
• Jadi berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah
∑
=
• Kita telah mendapatkan dua ekspresi untuk menentukan banyaknya cara untuk memilih r unsur dari gabungan himpunan dengan m item dan himpunan dengan n item. Menyamakan kedua persamaan tersebut menghasilkan identitas Vandemonde.
Jika n bilangan bulat non-negatif, maka
2 ∑
=
Bukti:
Kita gunakan identitas Vandermonde dengan m=r=n untuk mendapatkan
2
=
=
Kesamaan ini diperoleh menggunakan identitas
. Misalkan n dan r bilangan bulat non-negatif dengan ≤
. Maka 1
1
=
COROLLARY 4
1. Tentukan penjabaran dari
!2. Apakah koefisien dari
dalam penjabaran2 3
? 3. Tentukan rumus untuk koefisien
dalam penjabaran
, dimana k adalah bilangan bulat !4. Show that a nonempty set has the same number of subsets with an odd number number of elements as it does subsets with an even number of elements.
5. Determine a formula involving binomial coefficients for the nth term of a sequence if its initial terms are those listed.
a. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …
b. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … Penyelesaian:
1. Dari teorema binomial, maka
6
−
=
60
61
62
63
64
65
66
6
15
20
15
6
2. Pertama, catat bahwa
2 3
2 3
. Dengan menggunakan teorema binomial,2 3
200 2
−
3
=
Akibatnya, koefisien
dalam penjabarannya akan diperoleh saat 99
, yaitu3.
∑ 100
=
−
100
−
1
−
=
100
−
1
=
Karena akan dicari koefisien
, maka2003 ⟺ 200
3
Karena
0 ≤ ≤ 100
, maka0 ≤
−
≤ 100 ⇔ 0 ≤ 200 ≤ 300 ⇔ 100 ≤ ≤ 200
. Sehingga diperoleh koefisien
adalah 100
−
1
, dengan
100 ≤ ≤ 200
dan ≡ 2 3
4. Misalkan terdapat himpunan A yang tak kosong dengan n unsur. Dari Akibat 2 diperoleh
01 2345⋯ 0
⟺ 024 ⋯ 135⋯
Ruas kiri memberikan banyaknya subset dengan sejumlah genap unsur, dan ruas kanan memberikan banyaknya subset dengan sejumlah ganjil unsur.
5. a. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …
Barisan tersebut apabila dikaitkan dengan koefisien binomial ekuivalen dengan barisan
20,31,42,53,64,75,…
Sehingga formula suku ke n adalah
2
1 2
2
b. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …
Barisan tersebut apabila dikaitkan dengan koefisien binomial ekuivalen dengan barisan
00,21,42,63,84,105 ,…
Sehingga formula suku ke n adalah
