I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua. Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom. Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain.

Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan

diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang terjadi secara periodik.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan

software Mathematica 6. 2. Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua.

II. LANDASAN TEORI

Definisi 1. (Persamaan Diferensial Orde Dua)

Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum

( , , ) 0 F x y y′ ′′ =

dimana y diturunkan terhadap x, y dy dx ′ = , 2 2 d y y dx ′′ = . [Farlow, 1994] Definisi 2. (Persamaan Diferensial Takotonom)

Persamaan orde dua y′′ − ∇_yV x y

( )

, =0 disebut persamaan diferensial takotonom dimana V: 0,

[ ]

T × n → kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,

( )

1 2 , , ,..., y n V V V V x y y y y ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ = ⎜_{∂ ∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠ T

[Ji & Shi,2006]

Definisi 3. (Solusi Periodik)

Anggap bahwa x= Φ

( )

t adalah solusi

periodik untuk persamaan

( )

; n

x&= f x x∈D⊂ dan terdapat bilangan

positif T, sedemikian sehingga

(

t T

)

( )

t

Φ + = Φ untuk n maka

t

∀ ∈

( )

t

Φ disebut solusi periodik dari x= Φ

( )

t dengan periode T. Jika Φ

( )

t memiliki periode T, maka Φ

( )

t juga memiliki periode 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka disebut periodik-T.

Definisi 4. (Nilai Batas)

Jika kondisi tambahan untuk persamaan diferensial yang diberikan menghubungkan dua atau lebih nilai x, kondisinya disebut kondisi batas atau nilai batas.

[Rice & Strange, 1994]

Definisi 5. (Kalkulus Variasi)

Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika yang berhubungan dengan masalah optimisasi yang meliputi memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah integral. Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( )

(

,

( ) ( )

,

)

b a I y =

∫

L x y x y′ x dx dengan y dy dx ′ = dan y x

( )

∈C1

[ ]

a b, . Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu terhadap semua argumennya.

L

Untuk pembahasan selanjutnya ditetapkan . Sehingga bentuk integral di atas dapat diubah menjadi

0, a= b=T

( )

(

( ) ( )

)

0 , , T I y =

∫

L x y x y′ x dx dengan y x

( )

∈C1

[ ]

0,T . Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi y x

( )

dalam 1

[ ]

0,

C T dengan syarat T dan kedua titik ujung peubah y x

( )

ditetapkan yaitu

dan

( )

0 ₀

y = y y T

( )

= y_T, agar

( )

I y optimum (maksimum atau minimum) [Wan, 1995] Definisi 6. (Fungsi Lagrangian)

Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( )

(

( ) ( )

)

0 , , T I y =

∫

L x y x y′ x dx dengan y dy dx ′ = dan

( )

1

[ ]

0, y x ∈C T .

Bentuk L

(

x y x,

( ) ( )

,y x′

)

disebut fungsi

Lagrangian.

[Wan, 1995] Definisi 7. (Panjang atau Norm Vektor) Panjang atau norm dari suatu vektor

(

1, 2,..., n

)

x= x x x di dalam didefinisikan sebagai n 2 2 2 1 2 ... n x x x x= + + + .

Rumus diatas dinamakan norm Euclidean. [Mathews, 1992] Definisi 8. (Hasil kali dalam)

Misalkan x dan y merupakan vektor berukuran

m, hasil kali dalam dari vektor x dan y adalah

1 1 2 2 1 , . , m m m i i i .. x y x y x y x y x y x y = = + + + =

∑

Suatu vektor juga merupakan suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom. Oleh karena itu, persamaan diatas dapat ditulis menjadi

1 1 2 2 ... m m.

x yT = x y +x y + +x y

[Beezer, 2006] Definisi 9. (Himpunan konveks dan Fungsi Konveks)

Misalkan C⊂ n adalah himpunan vektor. Maka C disebut sebagai himpunan konveks

jika untuk semua , 'x x ∈Cterdapat λ∈

[ ]

0,1 maka

(

1−λ

)

x+λx′∈C.

Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x

yang terdefinisi pada himpunan konveks C. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f

memenuhi persamaan

(

)

(

1

)

(

1

) ( )

( )

f −λ x+λx′ ≤ −λ f x +λf x′ . Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika

( )

2

0,

f x x C

dan merupakan strictly convex jika

( )

2 0, f x x ∇ > ∀ ∈C. [Hanum, 2006] Definisi 10. (Persamaan Euler-Lagrange) Persamaan 0 f d f y dx y ∂ ∂ − = ′ ∂ ∂

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

disebut persamaan Euler-Lagrange dengan fungsi Lagrangian f x y y

(

, , ′

)

.

[Simmons, 1991]

Definisi 11. (Persamaan Euler-Lagrange Pada Kalkulus Variasi)

Penjelasan tentang persamaan ini diringkaskan dari buku Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition [Simmons, 1991].

Diasumsikan fungsi y x

( )

yang meminimumkan integral

(

)

2 1 , , x x I =

∫

f x y y dx′ (1) Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk

( )

y x dengan membandingkan nilai I yang sesuai untuk pendekatan fungsi y x

( )

. Ide utamanya yaitu y x

( )

memberikan nilai minimum untuk I, I akan bertambah jika

( )

y x diubah-ubah. Perubahan ini disusun sebagai berikut.

Misalkan η

( )

x adalah sembarang fungsi dengan diketahui η′′

( )

x fungsi kontinu dan

( )

x1

( )

x2 0

η =η = (2) Jika α adalah parameter, kemudian

( )

( )

( )

y x = y x +αη x (3) menggambarkan kelompok satu parameter dari fungsi y x

( )

. Penyimpangan vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal dari kurva y x

( )

yang meminimumkan I

yaitu αη

( )

x , ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)

1 x

y

2 x

x

(

x y1, 1

)

x

( )

x η

( )

y x

(

x y2, 2

)

( )

x αη

( )

( )

( )

y x =y x +αη x

Maksud dari persamaan (3) bahwa untuk setiap kelompok pada tipe ini, yaitu untuk masing-masing nilai pada fungsi η

( )

x ,

fungsi y x

( )

yang meminimumkan I

termasuk kelompok satu parameter dan sesuai dengan nilai parameter α=0.

Dengan η

( )

x tetap,

( )

( )

( )

y x = y x +αη x dan

( )

( )

( )

y′ x = y′ x +αη′ x disubstitusikan ke integral (1), dan diperoleh fungsi dari α

( )

2

(

)

1 , , x x I α =

∫

f x y y′ dx

( )

( ) ( )

( )

[

]

2 1 , , x x f x y x αη x y x′ αη′ x dx =

∫

+ + (4) Saat α =0, persamaan (3) menghasilkan

( )

( )

y x = y x , dan karena y x

( )

meminimumkan integral, diketahui bahwa

( )

I α harus minimum saat α =0. Dengan kalkulus dasar, kondisi penting untuk meminimumkan adalah menjadi nolkan turunan I′

( )

α saat α =0 yaitu I′

( )

0 =0. Turunan I′

( )

α dapat dihitung dengan menurunkan persamaan (4)

( )

2

(

)

1 , , x x I α f x y α ∂ ′ = ∂

∫

y dx′ . (5) Dengan rangkaian cara untuk menurunkan fungsi dari beberapa variabel diperoleh

(

, ,

)

f x f y f y f x y y x y y α α α α ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ = + + ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f

( )

x f

( )

x y y η η ∂ ∂ _′ = + ′ ∂ ∂ .

Jadi persamaan (5) dapat ditulis

( )

2

( )

( )

1 x x f f I x y y α ∂ η ∂ η ′ = + ′ ∂ ∂

⎡

⎢

⎥

⎣

∫

′ x

⎤

dx

⎦

0 . (6)

( )

0

I′ = , jadi letakkan α =0 pada persamaan (6) menghasilkan

( )

( )

2 1 0 x x f f x x dx yη yη ∂ ∂ _′ + ′ ∂ ∂

⎡

⎤

⎢⎣

⎦

∫

_⎥

= . (7)

Pada persamaan ini turunan η′

( )

x muncul bersama dengan fungsi η

( )

x . η′

( )

x dapat dieliminasi dengan mengintegralkan bagian kedua,

( )

( )

( )

2 2 2 1 1 1 x x x _x x f f d f x dx x x dx yη η y η dx ∂ _′ ∂ = − ′ ′ ∂ ∂ y ∂ ′ ∂

⎡

⎤

⎛

⎜

⎟

⎢

⎥

⎞

⎣

⎦

⎝

∫

∫

_⎠

( )

2 1 x x d f x dx dx y η ∂ = − ′ ∂

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

karena persamaan (2). Persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk

( )

2 1 0 x x f d f x y dx y η ∂ − ∂ dx= ′ ∂ ∂

⎡

⎛

⎞⎤

⎜

⎟

⎢

⎥

⎣

⎝

⎠⎦

∫

. (8)

Penarikan kesimpulan pada masalah ini berdasarkan pada nilai tetap fungsi η

( )

x . Meskipun demikian karena integral pada persamaan (8) harus menjadi nol untuk setiap fungsi, disimpulkan bahwa pernyataan dalam tanda kurung juga harus sama dengan nol. Sehingga dihasilkan 0 f d f y dx y ∂ ∂ − = ′ ∂ ∂

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

(9)

yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange.

Definisi 12. (Fungsi Hamiltonian)

Persamaan H x y s

(

, ,

)

= s y, ′ −F x y y

(

, , ′

)

disebut sebagai fungsi Hamiltonian dengan

(

, ,

)

F x y y′ adalah fungsi Lagrangian dan

(

, ,

)

y

s= F′ x y y′ .

[Wan, 1995] Definisi 13. (Persamaan Hamiltonian-Jacobi)

Untuk fungsi Hamiltonian H x y s

(

, ,

)

, persamaan diferensial

disebut persamaan Hamiltonian-Jacobi

dengan

(

, , _y

)

_x 0 H x yϕ +ϕ =

( )

x y, ϕ adalah fungsi : n ϕ × → . [Wan, 1995]

Lema 14

Misal S: 0,

[ ]

T × n→ adalah fungsi yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

( )

0,

(

,

)

, S y =S T y

( )

0,

(

,

)

, S S y T y x x ∂ ∂ = ∂ ∂ , n y∈ sehingga syarat berikut dipenuhi

(1) Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T × n× n,

(

x y y, , ′ ≥

)

0 % L (2) Untuk setiap

(

x y,

)

∈

[ ]

0,T × n, persamaannya L%

(

x y q, ,

)

=0 mempunyai solusi q=q x y( , ) memenuhi

( )

0,

(

,

)

q y =q T y .

Misal q=q x y( , ) solusi dari L%

(

x y q, ,

)

=0 yang memenuhi q

( )

0,y =q T y

(

,

)

. Jika

[ ]

* : 0, n y T → solusi

( )

(

,

( )

)

, y′ x =q x y x x∈

[ ]

0,T (10)

( )

0

( )

y = y T (11)

kemudian y* ( )x minimizer dari persamaan

( )

min , y I y ∈Ω

( )

(

( ) ( )

)

, 0 , , T I y =

∫

L x y x y x′ dx

maka y* ( )x adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1] Teorema 15

Asumsikan bahwa S: 0,

[ ]

T × n→ solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , _y

(

,

)

)

S x y H x y S x y x ∂ 0 + ∇ = ∂ dan q: 0,

[ ]

T × n → n memenuhi

(

)

(

, , ,

)

(

,

)

0 q x y q x y yS x y ∇L − ∇ = Jika y* : 0,

[ ]

T → n solusi

( )

(

,

( )

)

, y′ x =q x y x x∈

[ ]

0,T (12)

( )

0

( )

y = y T (13)

kemudian y* ( )x minimizer dari persamaan

( )

min , y I y ∈Ω

( )

(

( ) ( )

)

, 0 , , T I y =

∫

L x y x y x′ dx

maka y* ( )x solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

III. PEMBAHASAN

1. Perumusan Masalah

Didefinisikan persamaan diferensial takotonom

( )

, 0

y

y′′ − ∇ V x y = (14) dimana V: 0,

[ ]

T × n → kontinu dan periodik di x dengan periode T dan dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y

( )

1 2 , , ,..., y n V V V V x y y y y ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ = ⎜_{∂ ∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠ T .

Akan dicari solusi periodik untuk persamaan diferensial takotonom (14). Persamaan

diferensial takotonom (14) memiliki nilai batas periodik

( )

0

( )

,

y = y T y′

( )

0 = y T′

(

)

.

(15)

2. Metode Carathéodory

Pada teori kalkulus variasi [Simmons, 1991], dijelaskan bahwa diasumsikan ada fungsi y x

( )

yang meminimumkan integral

( )

2

(

)

1 , , . x x I y =

∫

L x y y′ dx (16)