PENGGUNAAN METHODA PENDEKATAN BEDA HINGGA PADA ANALISIS PLAT ORTHOTROPIK
Sri Haryono
Abstrak
Didalam beberapa hal solusi analitik (metoda keseimbangan dan energy) tidak selamanya dapat diterapkan dalam sejumlah persoalan-persoalan perhitungan lentur pada plat. Penggunaan pendekatan numeris dengan segala kemampuannya dapat dikembangkan untuk dapat memecahkan persoalan-persoalan desain yang rumit menjadi sebuah analisis secara praktis dan sederhana.
Metoda beda hingga mampu menggantikan persamaan deferensial plat dan persamaan-persamaan yang harus didefinisikan dengan kondisi batas menjadi suatu persamaan beda hingga ekivalen. Dengan demikian pemecahan persoalan-persoalan lentur didalam plat dapat disederhanakan menjadi pemecahan persamaan-persamaan aljabar secara simultan untuk setiap nodal pada seluruh permukaan didalam plat.
Didalam analisis plat-plat selama ini selalu digunakan asumsi bahwa plat merupakan struktur dengan bentuk dan jenis material yang isothropik Didalam kenyataannya bagaimanapun juga plat-plat dengan bentuk dan jenis material anisothropic didalam penggunaannya sangat memegang peranan yang sangat penting, hal ini berkaitan dengan kekhususannya dalam hal kekakuan lenturnya yang sangat tinggi.
Penggunaan metoda Navier untuk memecahkan persamaan defleksi, momen lentur dan tegangan pada plat secara analitik bagaimanapun juga cukup rumit didalam penyelesaiannya. Untuk itu dalam makalah ini akan disampaikan pendekatan beda hingga didalam menganalisis plat ortotropik dengan bantuan pola koefisien untuk oiperator beda hingga khususnya untuk plat-plat yang berbentuk persegi.
Kata kunci : plat orthotropik, defleksi, tegangan, metoda beda hingga.
1. PENDAHULUAN
Plat adalah elemen struktur yang awalnya berbentuk datar , dimana ketebalannya jauh sangat kecil diban-dingkan dengan demensi elemen struktur lainya. Plat-plat dapat diklasifi-kasikan ke dalam tiga kelompok , yaitu :
1. Plat tipis dengan lendutan kecil. 2. Plat tipis dengan lendutan besar. 3. Plat tebal.
Dari kriteria-kriteria yang sering digunakan untuk mendefinisikan plat tipis adalah ratio antara ketebalan plat
dengan bentang yang terpendek harus lebih kecil dari 1/20.
Beberapa contoh material yang didalam analisisnya digunakan pendekatan model sebagai plat anisothropik / orthotropik adalah beberapa material yang dihasilkan oleh pabrik antara lain corrugated-rolled metal sheet, konstruk si plat tersusun yang diisi dengan filler, plywood, komposit beton fiber, beton bertulang dan struktur grid.
2. DASAR-DASAR TEORI
2.1. Sifat-sifat Umum Plat
Dengan meninjau plat bebas plat bebas pada gambar (1), dimana bidang xy terletak pada bidang tengah dan kemudian lendutan arah z adalah sama dengan nol. Komponen perpindahan pada sebuah titik akan terjadi pada arah x , y dan z, yang diberi tanda secara berurutan adalah u, v dan w. Disebab kan beban lateral, maka deformasi akan terjadi pada bidang tengah pada setiap titik sebesar w.
Gambar 1.
Asumsi dasar untuk perhitungan lentur pada teori small-deflection (teori klsik) untuk isothropik , homogen , elastik , plat tipis didasarkan pada geometri pada perubahan bentuknya, yang kesemua nya dapat dinyatakan sebagai berikut :
1. Defleksi pada bidang tengah sangat kecil dibandingkan dengan ketebalan plat. Kemiringan dari permukaan yang telah mengalami defleksi adalah sangat kecil dengan demikian tambahan luas an akibat kemiringan dapat diabai kan. 2. Bidang tengah tetap tidak mengala
mi regangan akibat lentur.
3. Pada bidang tengah potongan bidang yang pada awalnya rata tetap rata setelah terjadi lentur. 4. Tegangan normal pada bidang
tengah, , sangat kecil diban dingkan dengan komponen tegangan yang lain sehingga dapat diabaikan.
2.2 Hubungan Reganngan dan Kelengkungan
Sebagai konsekuensi dari asumsi (3) diatas, hubungan regangan –perpindah an dapat dinyatakan
………(2.1)
Dengan mengintegralkan persamaan diatas akan diperoleh
w=w(x,y) ……….(a)
Kemudian dengan mengintegralkan kembali untuk persamaan-oersamaan
dan akan memberikan
………(b) Disini secara jelas bahwa dan
menunjukan, secara berurutan, adalah nilai dari u dan v pada bidang tengah. Berdasarkan pada asumsi (2) pada ayat (2.1) di atas dapat disimpul
kan bahwa , dengan
demikian maka
….(2.2) Persamaan untuk u diatas ditunjukan di dalam gambar (2) pada potongan mn
yang melewati titik ,
gambaran yang serupa juga untuk v pada bidang zy. Untuk persamaan 2.2 cukup konsisten dengan asumsi (3).
Gambar (2)
Dengan mengsubstitusikan persamaan 2.2. ke dalam persamaan 1.1 khususnya pada , akan diperoleh
………… (2.3) Formula-formula ini memberikan nilai tegangan pada setiap titik di dalam plat. Kelengkungan didefinisikan sebagai laju perubahan kemiringan sudut dari lengkung terhadap jarak sepanjang lengkung. Dari asumsi (1), maka kelengkungan K (kappa) pada bidang tengah sejajar dengan bidang xz, yz, dan xy secara berurutan adalah :
…..…..(2.4)
dimana
Sehingga hubungan antara regangan-kelengkungan dapat dinyatakan sebagai
…….….. (2.5) 2.3. Tegangan dan Regangan
Pada analisis 3 demensi , tegangan dan regangan yang secara umum dapat dihubungkan dengan hukun Hooke, yang cukup valid untuk material isotropik homogeny, maka akan diperoleh hubungan
,
,
,
……… (2.4) Konstanta E,v dan G secara berurutan adalah modulus elastisitas, poisson ratio dan modulus elastisitas geser, yang dapat dihubungkan dengan persamaan sebagai berikut :
……….(2.6)
Doubel subskrip untuk tegangan di atas diinterpretasikan sebagai berikut : subskrip pertama menunjukkan arah normal untuk bidang atau permukaan dimana komponen tegangan bekerja, subskrip kedua menunjukkan arah tegangan tersebut.
Substitusikan keda-
lam persamaan 2.4 akan memberikan hubungan tegangan-regangan sebagai berikut :
………..(2.7) Apabila dikaitkan dengan kelengkung an plat, persamaan (2.3) dan (2.4) maka persamaan di atas akan mejadi :
…………(2.8)
Dengan melakukan integrasi terhadap persamaan di atas besarnya resultan tegangan sepanjang ketebalan plat dapat ditentukan ………..(2.9) Dimana dan ……….(2.10)
Perjanjian tanda untuk gaya geser sama dengan untuk tegangan geser. Momen dan gaya geser pada gambar (3) di bawah mempunyai arah (tanda) positif. Melakukan substitusi persamaan (2.8) kedalam persamaan (2.9) dan (2.10) akan memberikan persamaan momen lentur dan twisting moment sebagai fungsi dari kelengkungan dan defleksi (lendutan) sebagai berikut :
…….(2.11) Dimana :
……….(2.12)
Adalah kekakuan geser plat.Tegangan tegangan dapat dicari dari persamaan (2.8) dengan mensubstitusikan kedalam persamaan (2.11) dan dengan memasuk persamaan (2.12), akan diperoleh :
………(
2.13)
Penentuan komponen-komponen tega ngan melalui penggunaan hukum Hooke tidak dimungkinkan, hal ini disebabkan karena persamaan (2.1) yang tidak menghubungkan dengan regangan. Untuk tujuan ini maka persamaan differensial dari keseimbang an elemen plat pada kondisi tegangan secara umum dapat digunakan. Persamaan-persamaan tersebut adalah :
Pada plat yang menerima beban , maka komponen tegangan secara umum akan bervariasi dari satu titik ke titik lain. Tinjau satu elemen dxdy pada plat yang dibebani dengan beban merata per satuan luas p (gambar 3) dengan asumsi bahwa luasan plat sangat kecil, untuk penyederhanaan maka komponen gaya dan momen dapat ditinjau terdistribusi secara merata pada masing masing permukaan. Di dalam gambar ditunjuk kan sebagai sebuah vector yang mewakili beban rata-rata yang bekerja pada pusat dari masing-masing permukaan. Sebagai contoh dengan perubahan lokasi sebuah komponen momen Mx yang bekerja pada sebuah permukaan x negative, sesuai dengan teori ekspansi dari Taylor maka pada permukaan x positif maka nilai komponen momen tersebut akan menjadi :
Gambar 3.
Jika jumlah komponen-komponen gaya pada arah sumbu z sama dengan nol maka akan memberikan persamaan keseimbangan sebagai berikut
Dimana :
……… (2.15)
Sehingga persamaan keseimbangan untuk komponen momen pada arah sumbu x dapat dinyatakan dengan :
Atau
………….(2.16)
Analog untuk komponen momen pada arah sumbu y adalah :
………….. (2.17)
Dengan demikian dari beberapa persamaan 2.15, 2.16 dan 2.17 diperoleh
……… (2.18)
Ini merupakan persamaan deferensial keseimbangan untuk lentur pada plat tipis. Untuk gaya geser vertical Qx dan Qy sebagai fungsi dari w (defleksi) dapat diperoleh melalui persamaan-persama an (2.16) , (2.17) dan (2.11) sebagai berikut :
……… (2.19)
Dimana :
………
(2.20)
3. PLAT ORTHOTROPIK
Persamaan dasar untuk menghitung lentur dari plat-plat tipis yang orthotropis dengan defleksi yang sangat kecil, didasarkan pada formulasi hukum Hooke.
……..(3.1)
Dimana Ex , Ey , Exy dab G adalah
besaran-besaran yang satu dengan yang lainnya tidak saling bergantungan. Dalam bentuk yang lain persamaan (1) di atas dapat dinyatakan dengan formulasi sebagai berikut :
……….(3.2)
Dalam hal ini secara berurutan vx , vy ,
dan E’x , E’y adalah Poisson ratio efektif
dan modulus elastisitas efektif. Subskrip x dan y menunjukkan arah tegangan-tegangan. Modulus elastisitas tegangan geser G besarnya sama untuk material-material isotropic dan orthotropic. Dengan demikian konstanta-konstanta elastik pada kedua persamaan di atas dapat dihubungkan dengan :
………(3.3)
Hubungan regangan – perpindahan pada persamaan (2.3) di atas didasarkan pada tinjauan geometris pada plat orthotropis yang belum mengalami perubahan bentuk. Tegangan-tegangan diperoleh dengan memasukkan persamaan (2.3) ke dalam persamaan (3.1), yang dapat dinyatakan dalam bentuk :
……….(3.4) Sedangkan formula-formula untuk menghitung momen, dapat diperoleh dengan memasukkan persamaan-persamaan di atas ke dalam persamaan-persamaan (2.9) dan (2.10), dan dengan melakukan integrasi persamaan tersebut akan diperoleh hasil sebagai berikut :
……….(3.5) Dimana :
… (3.6) Dimana ekspresi secara berurutan Dx ,
lentur dan kekakuan torsi dari plat orthotropik. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) kedalam persamaan (2.16) dan (2.17) maka akan diperoleh gaya-gaya geser vertikal di dalam plat sebagai berikut :
………(3.7) Dimana :
……(3.8) Persamaan governing differential dari defleksi untuk plat orthotropik , dengan menggunakan persamaan (1.15) dan (1.16) dapat diekspresikan dalam bentuk :
... (3.9)
Yang mana dapat diselesaikan untuk nilai w dengan kondisi batas yang telah ditentukan.
4. PENENTUAN KEKAKUAN
Untuk menentukan kekakuan dari material orthotropik yang digunakan di dalam struktur plat. Pertimbangan praktis yang sering digunakan sebagai asumsi, berkenaan dengan sifat-sifat material, merupakan hasil ekspresi pendekatan untuk konstanta-konstanta elastik. Ketepatan untuk ekspresi-ekspresi di atas secara umum merupakan faktor yang cukup signifikan didalam persoalan plat orthotropik.
Modulus plat orthotropik dan Poisson ratio :
…………. (3.10)
dapat diperoleh secara eksperimental dengan pengujian tarik dan geser , seperti pada material-material isotropik. Kekakuan plat dihitung dari persamaan (3), (6) dan (8) :
………..(3.11) Apabila secara eksperimental hal ini tidak dimungkinkan maka untuk menentukan konstanta-konstanta modulus plat orthotropik dan Poisson ratio, dapat dilakukan suatu upaya pendekatan dengan teknik analisis. Pendekatan yang akhir-akhir ini digunakan, adalah dengan mentransformasikan sebuah plat orthotropik dengan sifat-sifat elastik sama dengan rata-rata sifat dari komponen dari plat asal. Hal seperti ini disebut dengan plat orthotropik ekivalen atau plat orthotropik tertranformasi. Sebagai contoh, pada plat beton dengan menggunakan rib, kekakuan lentur dari rib dan sistem plat dikombinasikan dan sebuah potongan yang bersifat homogen diambil sebagai model pengganti. Kemudian, konstanta-konstanta pada persamaan (10) dilakukan pendekatan dengan persamaan (11) yang akan memberikan kekakuan. Sebagai catatan
bahwa jika (kemudian
, ………. (3.12) Sehingga : , , =D ……… (3.13) Selanjutnya kekakuan beberapa macam plat orthotopik dapat ditunjuk kan pada pembahasan dibawah ini :
4.1. Plat Beton Dengan Tulangan 2 (dua) Arah (x dan y)
Gambar 4.
Dimana :
= Poisson ratio beton
= Modulus elastisitas beton dan baja
= Momen inertia plat (baja tula-ngan) terhadap sumbu netral pada potongan arah sumbu x = konstan
=Momen inertia plat (baja tulangan) terhadap sumbu netral pada potongan arah sumbu y = konstan
4.2. Plat Beton Bertulang Dengan Pengaku
,
E ,E’ = modulus elastisitas plat dan pengaku
v = poisson ratio plat
s = jarak dari as ke as pengaku I = momen inertia pengaku
Gambar 5.
4.3. Plat beton bertulang Dengan Rib
C = kekakuan torsi untuk satu rib I = momen inertia terhadap garis
netral dari potongan melin- tang T dengan lebar s (yang diarsir) = Kekakuan torsi plat
E = modulus elastisitas plat
4.4. Corrugated Plate
Gambar 7
Dimana :
5. PLAT ORTHOTROPIK PERSEGI Prosedur untuk menentukan lendutan dan tegangan pada plat persegi orthrotopik adalah identik dengan tata cara yang dilakukan pada plat-plat
orthotropik pada umumnya. Sekarang akan gunakan methoda Navier untuk menganalisis kasus pada plat ortho tropik persegi yang terletak pada tumpuan sederhana akibat beban tidak merata p(x,y) Dengan memasukkan persamaan (3.1) ke dalam persamaan (3.9) akan diperoleh
Persamaan diatas berlaku untuk semua harga x dan y, dengan memperhatikan persamaan diatas maka suku didalam kurung harus sama dengan nol, hal ini akan menyebabkan :
………..(3.14)
Persamaan ini menunjukkan besarnya lendutan pada permukaan plat, dengan mensubstitusikan persamaan (3.14) dan (3.3) ke dalam 3.1 b , maka akan diperoleh :
……….(3.15) Dimana
Untuk material isotropik , persamaan (12) dan (13), Dx = Dy = H= D . Di dalam kasus khusus pada plat persegi di bawah beban merata po, melalui
persamaan 3.15 dapat diperoleh :
……… (3.16)
Jika material adalah orthotropik persamaan di atas mereduksi persamaan 3.6 . Sebagai contoh jika plat terbuat dari beton bertulang, maka
, maka persa maan (16) menjadi :
( m, n = 1,2 3,……….)
yang mana ini mempunyai bentuk yang sama dengan pers.3.6 .Ini menyatakan bahwa pusat lendutan yang terjadi pada struktur plat beton bertulang (axb) yang mempunyai kekakuan Dx , Dy adalah sama untuk plat isotropik (a1xb1) dengan kekakuan D. Dengan adanya persamaan lendutan untuk struktur plat diatas, maka dapat dihitung besarnya momen lentur dari persamaan (3.5) Lendutan pada plat-plat persegi ortho tropik juga dapat ditentukan dengan prosedur dasar yang sama yaitu metoda Levi dan pendekatan metoda beda hingga. Dengan menggunakan pola koefisien untuk beberapa operator beda hingga pada gambar (8) di bawah,
Gambar 8. pola koefisien operator beda hingga
maka pola koefisien yang berhubungan dengan beda hingga untuk persamaan (3.9) pada plat orthotropik dengan
mudah dapat ditentukan. Hal ini diberikan pada gambar (9) dalam hal nodal-nodal yang terdistribusi secara merata, sebagai contoh
Pada kasus plat othotropik persegi axa yang dibebani dengan beban merata po, dengan mengambil nilai h=a/4 , Dx=Do, Dy=0,50Do , H = 1,248 Do, dan vx = vy = 0,30. Pada kasus ini Governing equition untuk lendutannya adalah :
Dengan pendekatan metoda beda hingga maka untuk kasus diatas diperoleh hasil lendutan pada pusat plat sebesar , semen tara dari perhitungan secara eksak dipe roleh hasil
sebesar dengan
demikian terdapat selisih lebih kurang sebesar 24 %.
6. KESIMPULAN
1. Dari perhitungan secara eksak diperoleh hasil sebesar dengan demikian terdapat selisih lebih kurang sebesar 24 %.
2. Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti dengan ketepatan hasil yang lebih tinggi maka diperlu-kan pembagian ukuran elemen menjadi lebih kecil lagi atau nilai h lebih kecil, jarak nodal lebih rapat .
3. Dari hasil yang diperoleh, ternyata bahwa perhitungan dengan metoda pendekatan beda hingga cukup praktis dan teliti untuk me-nyelesaikan perhitungan gaya-gaya dalam dan lendutan pada plat yang secara eksak sangan rumit pemecahannya.
7. Daftar Pustaka :
Ugural,A.C, Stresses in Plate and Shells, Mc Graw Hill Book Company, USA, 1981
Ugural.A.C and Fenster,S.K, Advanced Strength and Applied Elasticity, Elsevier,2d ed, 1981
Szilard.R,Theory and analysis of Plates – Classical and Numerical Methods, Prentice Hall, 1974.
Mc Farland, D. , Smith B.L., and Bernhart,W.D., Analysis of Plates, Spartans Books, 1972. Salvadori,M.G. and Baron,M.L., Numerical Methods in Engineering, Prantice-Hall, 1967
Ketter, R.L. and Prawell,S.P. Jr, Modern Methods of Engineering Computation, Mc Graw Hill, 1969.
Vinson, J.R., Structural Mechanics : The Behavior of Plates and Shells, Wiley, 1974.
Shoup, T.E., A Practical Guide to Computer Methods for Engineeris, Prantice-Hall, 1979
Biodata Penulis :
Sri Haryono, S1 Konsentrasi Struktur, Jurusan Teknik Sipil – FTSP. ITB (1983), Bandung.
S2 Konsentrasi Struktur, Jurusan Teknik Sipil – FT.UGM (2003), Yogyakarta
Staf Pengajar, pada Konsentrasi Struktur, Jurusan Teknik sipil – FT. UTP Surakarta
Ketua Jurusan Sipil – FT. UTP periode 1994 – 1998
