Modul 8
Modul 8
GAYA TERDISTRIBUSI
GAYA TERDISTRIBUSI
1
1.. PePendndaahuhululuaann
Sampai saat ini kita menganggap bahwa gaya tarik bumi pada
Sampai saat ini kita menganggap bahwa gaya tarik bumi pada suatu benda tegar dinyatakansuatu benda tegar dinyatakan se
sebabagagai i gagaya ya tutungnggagall W W yg yg bebekekerjrja a papada da bebendnda a tetersrsebebutut, , hahal l inini i didilalakukukakan n ununtutukk memudahkan dalam perhitungan. Faktanya setiap gaya yang bekerja pada suatu benda, memudahkan dalam perhitungan. Faktanya setiap gaya yang bekerja pada suatu benda, maka gaya
maka gaya tersetersebut but akan terdistriakan terdistribusi pada busi pada suasuatu tu lualuas s sensentuh tuh terbaterbatas tas bagabagaimanimanapunapun kecilnya. Sebagai contoh, gaya yang dikenakan oleh jalan beraspal pada ban mobil akan kecilnya. Sebagai contoh, gaya yang dikenakan oleh jalan beraspal pada ban mobil akan diterapkan ke ban pada seluruh luas sentuhnya, seperti terlihat pada gambar di bawah.
diterapkan ke ban pada seluruh luas sentuhnya, seperti terlihat pada gambar di bawah.
Gambar 1. Gaya terdistribusi padas ban
Gambar 1. Gaya terdistribusi padas ban mobilmobil
Untuk menghitung gaya yang bekerja tersebut maka kita harus menjumlahkan pengaruh Untuk menghitung gaya yang bekerja tersebut maka kita harus menjumlahkan pengaruh gaya yang tersebar pada seluruh daerah. Ada tiga kategori persoalan distribusi :
gaya yang tersebar pada seluruh daerah. Ada tiga kategori persoalan distribusi : 1.
1. DDisistrtribibususi gai gaririss
Apabila sebuah garis terdistribusi sepanjang suatu
Apabila sebuah garis terdistribusi sepanjang suatu garis, seperti pada garis, seperti pada beban ertikalbeban ertikal me
menernerus us yayang ng digdiganantuntung g ololeh eh kabkabel, el, gagambambar r !a, !a, makmaka a inintentensitsitas as w w dardari i bebebanban dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang garis, yatu newton per meter "#$%&, dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang garis, yatu newton per meter "#$%&, atau pon per kaki "lb$'t&.
atau pon per kaki "lb$'t&. !.
!. DDisistrtribibususi li luauass Apabila
Apabila sebuah sebuah gaya gaya terdistribusi terdistribusi pada pada suatu suatu luas, luas, seperti seperti tekanan tekanan hidrolik hidrolik air air terhadap bagian dalam bendungan, gambar !b, maka intensitas dinyatakan sebagai terhadap bagian dalam bendungan, gambar !b, maka intensitas dinyatakan sebagai gaya per satuan luas. (ntensitas ini dikenal sebagai tekanan untuk aksi gaya 'luida gaya per satuan luas. (ntensitas ini dikenal sebagai tekanan untuk aksi gaya 'luida dan tegangan untuk distribusi internal dari gaya pada )at padat.
dan tegangan untuk distribusi internal dari gaya pada )at padat. *.
*. DDisistrtribibususi oli olumumee
Sebuah gaya yang terdistribusi pada olume suatu benda dikenal sebagai sebuah Sebuah gaya yang terdistribusi pada olume suatu benda dikenal sebagai sebuah gaya benda. +aya benda yang paling umum adalah tarikan graitasi yang beraksi gaya benda. +aya benda yang paling umum adalah tarikan graitasi yang beraksi pada seluruh elemen massa dari sebuah benda. Sebagai contoh, penentuan gaya pada seluruh elemen massa dari sebuah benda. Sebagai contoh, penentuan gaya
Mekanika Teknik Mekanika Teknik
Fidiarta Andika ST, MT
Fidiarta Andika ST, MT Pusat Pengembangan Bahan AjarPusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu BuanaUniversitas Mercu Buana
‘1 ‘122
1 1
pada struktur kantileer, gambar !c, akan membutuhkan perhitungan distribusi gaya graitasi terhadap seluruh struktur.
Gambar 2. Tiga kategori distribusi
2. Pusat Massa
Gambar 3. Benda tiga dimensi
injaulah sebuah benda tiga dimensi berukuran, berbentuk, dan bermassa m sembarang. -ika kita gantung benda tersebut, sebagaimana diperlihatkan dalam gambar *, dari sembarang titik seperti a, maka benda akan berada dalam kesetimbangan di bawah aksi tarikan pada tali dan resultan dari gaya graitasi yang beraksi pada semua partikel benda tersebut. /esultan ini jelas kolinier dengan tali, dan misalkan kita menandai posisinya dengan membor sebuah lubang hipotetis dengan ukuran yang dapat diabaikan sepanjang garis kerjanya. 0ita ulangi percobaan dengan menggantung benda tersebut dari titik lain seperti b dan c, dan dalam tiap percobaan kita menandai garis kerja dari gaya resultannya. Untuk setiap tujuan praktis, garis kerja ini akan kongruen di sebuah titik +, yang dikenal sebagai pusat graitasi dari benda. etapi sebuah analisis yang tepat harus memperhitungkan 'akta bahwa arah gaya graitasi pada berbagai partikel benda sedikit berbeda karena arah tersebut bertemu menuju pusat tarikan bumi. Selain itu, karena partikelpartikel tersebut berada pada jarak yang berbeda dari bumi, intensitas medan gaya bumi tidak benarbenar konstan pada setiap titik pada benda. injauan ini membawa kita
kepada kesimpulan bahwa garis kerja dari resultan gaya graitasi dalam percobaan yang baru saja diuraikan tidak akan sungguhsungguh kongruen, dan oleh karena itu tidak ada pusat graitasi yang unik dalam pengertian yang tepat. 0ondisi ini secara praktis tidak penting selama kita membahas benda yang ukurannya kecil dibandingkan dengan ukuran bumi. 0arena itu kita menganggap bahwa sebuah medan gaya yang diakibatkan oleh tarikan graitasi adalah merata dan sejajar, dan kondisi ini menghasilkan konsep pusat unik dari graitasi.
Gambar . Pusat massa
Untuk menentukan lokasi pusat graitasi benda sembarang secara sistematis, gambar 2a, kita terapkan prinsip momen terhadap sistem sejajar dari gaya graitasi untuk menentukan lokasi resultannya. %omen akibat gaya graitasi resultan terhadap suatu sumbu sembarang ternyata sama dengan jumlah momen terhadap sumbu yang sama akibat gaya graitasi d yang beraksi pada seluruh partikel yang ditinjau sebagai elemen sangat kecil dari benda yang bersangkutan. /esultan gaya graitasi yang beraksi pada seluruh elemen adalah berat benda tersebut dan diberikan oleh penjumlahan W =
∫
dW . Sebagai contoh,jika kita menerapkan prinsip momen terhadap sumbuy, momen terhadap sumbu ini akibat berat elemen adalah 3 d, dan jumlah momen ini untuk seluruh elemen benda adalah
∫
xdW . -umlah momen ini harus sama dengan W x , yaitu momen dari jumlah. 4lehkarena itu, xW =
∫
xdW . Dengan pernyataan yang serupa untuk dua komponen lainnya,kita dapat menyatakan koordinat pusat graitasi + sebagai
W dW z z W dW y y W dW x x =
∫
=∫
=∫
Untuk membayangkan momen 'isis akibat gaya graitasi guna memperoleh persamaan ketiga, kita dapat mengubah posisi benda tersebut dan sumbu yang tergantung sedemikian rupa sehingga sumbu) menjadi horisontal. 5erlu diketahui bahwa pembilang dari masing
Mekanika Teknik
Fidiarta Andika ST, MT Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘12
masing persamaan di atas menyatakan jumlah momen, sedangkan perkalian dan koordinat yang berkaitan dari + menyatakan momen dari jumlah. 5rinsip momen ini berulang kali dipakai dalam seluruh mekanika.
Dengan substitusi 6 mg dan d 6 g dm, pernyataan untuk koordinat pusat graitasi menjadi m dm z z m dm y y m dm x x =
∫
=∫
=∫
0erapatan 7 dari suatu benda adalah massa per satuan olume. -adi massa sebuah di'erensial elemen dari olume d8 menjadi dm 6 7 d8. Dalam hal 7 tidak konstan pada seluruh benda tetapi dapat dinyatakan sebagai suatu 'ungsi koordinat benda, kita harus memasukkan ariasi ini ke dalam perhitungan pembilang dan penyebut pada persamaan awal. 0emudian kita dapat menuliskan pernyataan ini sebagai
dV dV z z dV dV y y dV dV x x ρ ρ ρ ρ ρ ρ
∫
∫
∫
= = =3. Sentroid dari Garis !uas dan "olu#e
Apabila kerapatan 7 dari suatu benda yang seluruhnya seragam, maka 7 akan menjadi 'aktor yang konstan baik dalam pembilang maupun penyebut. (stilah sentroid dipakai apabila suatu perhitungan hanya membahas bentuk geometris saja. Apabila membicarakan benda 'isis sebenarnya, kita menggunakan istilah pusat massa. -ika kerapatan diseluruh benda adalah merata, maka posisi sentoird dan pusat massa akan sama, sedangkan jika kerapatan berariasi, maka kedua titik ini umumnya tidak akan berhimpit.
5erhitungan sentroid dibagi dalam tiga kategori yang beda tergantung pada apakah bentuk benda yang dibahas dapat dibuat modelnya sebagai sebuah garis, sebuah luas atau sebuah olume.
a. +aris. Untuk sebuah batang ramping atau kawat dengan panjang 9, luas pemotong melintang A, dan kerapatan 7, benda akan mendekati bentuk ruas garis, dan dam 6 7 Ad 9. -ika 7 dan A konstan sepanjang batang tersebut, maka koordinat pusat massa juga menjadi koordinat sentroid dari segmen garis.
b. 9uas. Untuk benda umum berolume 8 dan kerapan 7, elemen memiliki massa dm 6 7 d8. 0erapan 7 akan saling menghilang jika ia konstan pada seluruh olume, dan koordinat pusat massa juga menjadi koordinat sentrod dari benda.
c. 5emilihan elemen untuk integrasi. 0esulitan utama yang sering dijumpai pada teori umumnya tidak terletak pada konsepnya melainkan pada prosedur untk menerapkannya. Dengan adanya pusat massa dan sentroid, konsep prinsip momen menjadi cukup sederhana, kesulitan yang ada terutama terletak pada pemilihan elemen di'erensial dan pernyataan integralnya, khususnya terdapat lima pedoman untuk diperhatikan.
1& 4rder elemen. Apabila mungkin, elemen di'erensial order pertama lebih baik dipilih daripada order elemen yang lebih tinggi, sehingga hanya satu integrasi yang diperlukan untuk meliputi keseluruhan gambar.
!& Kontituitas. Apabila mungkin, kita selalu memilih elemen yang dapat diintegrasikan dalam satu operasi kontinu untuk meliputi gambar.
*& Pembuangan suku-suku berorde lebih tinggi . Sukusuku berorde lebih tinggi selalu dapat dibuang dibandingkan sukusuku berorde lebih rendah.
2& Pemilihan koordinat . Sebagai aturan umum kita memilih sistem koordinat yang paling cocok untuk batasbatas gambar.
;& Koordinat sentroid elemen. -ika mengambil elemen di'erensial orde pertama atau kedua, kita perlu memakai koordinat ke sentroid elemen untuk lengan momen dalam pernyataan momen dari elemen di'erensial.
ontoh soal :
$. Benda dan Bentu% Ga&un'an
-ika sebuah benda atau bentuk dapat dibagi dengan mudah menjadi beberapa bagian berbentuk sederhana, kita dapat menggunakan prinsi pmomen dimana tiap bagian tersebut diperlakukan sebagai elemen hingga dari keseluruhan. -adi untuk benda demikian digambarkan secara skematis dalam gambar di bawah ini, yang bagianbagiannya bermassa m1, m!, m* dan
Mekanika Teknik
Fidiarta Andika ST, MT Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘12
mempunyai koordinat massa terpisah dalam arah 3 berupa 31, 3!, 3*,prinsip momen memberikan "m1 < m! < m*& = 6 m131 < m!3! < m*3*.
Gambar !. Benda dan bentuk gabungan
Dimana 3 adalah koordinat 3 dari pusat massa keseluruhan. >ubungan yang sama berlaku pula untuk dua arah koordinat yang lainnya. 0ita dapat membuatnya menjadi umum untuk benda dengan jumlah bagianbagian yang sembarang dan menyatakan jumlahnya dalam bentuk yang ringkas dan memperoleh koordinat pusat masa.
∑
∑
∑
∑
∑
∑
= = = m z m z m y m y m x m x>ubungan analog berlaku untuk garis luas, dan olume gabungan dimana m? diganti dengan 9?, A? dan 8?, berturutberturut. 5erlu dijelaskan bahwa jika sebuah lobang atau rongga ditinjau sebagai bagian komponen dari benda atau bentuk gabungan, maka massanya dianggap sebagai besaran negati'.
Seringkali dalam praktek batasbatas luas atau olume tidak dapat dinyatakan dalam bentuk geometris sederhana atau dalam bentuk yang dapat digambarkan secara sistematis. Untuk kasus demikian kita perlu menggunakan metode pendekatan untuk menyelesaikannya. Sebagai contoh, tinjaulah soal penentuan lokasi dari luas tak beraturan yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini. 9uas tersebut dapat dibagi menjadilajurlajur selebar @3 dan tinggi ariabel h. 9uas A dari tiap jalur berwarna, adalah h @3 dan dikalikan dengan koordinatkoordinat 3c.
Gambar ". Benda luas tak beraturan
Dan yc dari sentroidnya untuk memperoleh momen akibat luastersebut. -umlah momen untuk semua lajur dibagi jumlah total jalur akan menghasilkan komponen sentroid yang bersesuaian. 5engolahan hasilhasil yang sistematis memungkinkan dilakukannya perhitungan yang berturut dari luas total A3c dan Ayc, dan koordinat sentroid adalah :
∑
∑
∑
∑
= = A Ay y A Ax x c c5endekatan ini akan bertambah tepat apabila lebar jalur yang digunakan semakin kecil. Umumnya tinggi ratarata dari jalur harus dihitung apabila kita melakukan pendekatan terhadap luas. %eskipun biasanya penggunaan elemen yang lebarnya konstan menguntungkan, namun tidak harus demikian. Bahkan kenyataannya kita dapat menggunakan elemen dengan ukuran sembarangan dan bentuk yang mendekati luas yang diberikan untuk memenuhi keakuratan.
Dalam menentukan lokasi sentroid sebuah olume tak beraturan, peroalan dapat disederhanakan dengan menentukan sentroid sebuah luasan.injaulah olume yang diperlihatkan dalam gambar di bawah ini, dimana besar luas potongan melintang A terhadap arah 3 digambar terhadap 3 seperti diperlihatkan.
Gambar #. Benda $olume tak beraturan
Mekanika Teknik
Fidiarta Andika ST, MT Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘12
9uas sebuah lajur di bawah kura adalah A @3, yang sama dengan elemen olume @8 yang bersesuaian. -adi luas di bawah olume tersebut memiliki olume benda, dan koordinat 3 terhadap sentroid luas di bawah kura tersebut diberikan oleh :
∑
∑
∑
∑
=
∆
∆
=
V Vx A x x A x ( ) z c (. Teore#a Pa))us*Guldinuseorema pappus adalah sebuah metode sederhana yang digunakan untuk menghitung luas permukaan yang dibentuk dengan memutar sebuah kura bidang terhadap sumber yang tak berpotongan pada bidang kura tersebut.
a. eorema1 :
9uas suatu permukaan putar sama dengan panjang kura pembentuk dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh titik berat kura ketika permukaan itu dibentuk, dengan catatan kura pembentuk tidak boleh memotong sumbu putarnya.
Gambar %. Teorema&1 Pappus
d9 dari garis 9 diputar terhadap sumbu =. terbentuk bidang dA 6 !Cy d9. %aka seluruh bidang yg dibentuk 9 adalah:
L
y
A
=2
π
b. eorema!
8olume benda putar 6 luas bidang pembentuk dikalikan jarak yg ditempuh titik berat ketika membentuk benda tersebut. "catatan sama di atas&.
Gambar '. Teorema&2 Pappus
8olume d8 yg dibentuk elemen dA 6 !Cy dA. -adi olume yg dibentuk A adalah 86
ʃ
!Cy dA. 0arenaʃ
y dA 6 A maka kita peroleh :Ȳ
A
y
V
=
2
π
+. Re,erensi%eriam, -.9, 9.+. 0raige, 1E, Mekanika Teknik Jilid 1: Statika (Edisi Kedua), -akarta : 5enerbit rlangga.
Mekanika Teknik
Fidiarta Andika ST, MT Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘12